4.2 指数函数（讲义，知识点&10大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

第 四 章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 课标要点 1、理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象与性质。 2、理解底数 对指数函数图象和单调性的影响。 3、能利用指数函数的单调性比较幂值大小、解简单指数不等式。 4、了解指数函数图象的平移、对称和翻折变换。 5、能解决简单的指数型复合函数的定义域、值域、单调性和奇偶性问题。 学习重难点 重点： 1、指数函数的概念、图象与性质； 2、底数 与 的分类讨论； 3、利用单调性比较大小和解指数不等式； 4、指数函数图象变换； 5、指数型复合函数的定义域、值域和单调性。 难点： 1、含参数的指数函数图象与性质讨论； 2、指数型复合函数的值域和最值求参； 3、复合函数单调性中“同增异减”的判断； 4、分段函数在分界点处的单调性衔接； 5、指数函数与奇偶性、恒成立、有解问题的综合应用。 知识点 指数函数定义及图像 1、指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2、图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 函数值的变化 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大. 3、底数对指数函数图像的影响 函数 ， ， 和 ， ， 的图象 （1）函数和的图像关于轴对称 （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 特别提醒 1、当底数大小不定时，请按和两种情况讨论 2、识别或绘制指数函数的图像，可以从几个特殊点出发 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 知识点 指数函数的图像变换 已知指数函数 . 1、平移变换（其中 ） ; (若形式为 ，则需变形为 的形式再判断) ; ; . 规律总结：上加下减(针对函数值 )，左加右减(针对自变量 ). 2、对称变换 3、翻折变换 ①函数 的图象可以将函数 的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴的上方，去掉原 轴下方的部分，并保留 的图象在 轴上方的部分即可得到. ; ②函数 的图象可以将函数 的图象在 轴右侧的部分沿 轴翻折到 轴左侧，替代原 轴左侧部分的图象，并保留 的图象在 轴右侧的部分即可得到. 随学随练 1．（25-26高一上·山东聊城·期中）若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点 指数函数的性质及应用（重点） 1、利用函数单调性比较幂值大小 （1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断。 （2）底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或利用幂函数单调性判断。 （3）底数不同，指数不同：通过中间量来比较（常利用和作为中间量来比较大小）或转化为同底数（同指数）再比较大小。 2、利用函数单调性及图像解指数不等式 (1)对于形如 (或 ) ( 且 ) 的不等式，当 时，转化为 (或 )；当 时，转化为 (或 ). (2)对于形如 且 的不等式，可将 化成以 为底数的幂的形式，再进行转化求解. 3、利用单调性及奇偶性判断函数图像 （1）从函数的定义域入手，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域入手，判断图象的上下位置； （3）从函数的奇偶性入手，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点入手，排除不合要求的图象； （5）从函数的单调性入手，判断图象的变化趋势. 随学随练 1．（26-27高一上·辽宁·期中）下列函数中在定义域上是增函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 拓展 指数函数的复合函数 1、求指数型复合函数的定义域 （1）由于指数函数 的定义域是，所以函数 的定义域与 的定义域相同. （2）求函数 的定义域，令 ，求出使 有意义的 的范围，转化为 的范围，则可求出 的范围. 如 型函数，定义域为R 2、求指数型复合函数的值域 （1）在求形如 的函数值域时，①换元，令 ；② 的值域即函数 的定义域；③结合函数 与指数函数 的单调性，利用“同增异减”的规律判断复合函数 的单调性，从而求出函数 的值域. （2）求 型函数的值域，如型函数，①换元，令 ；② 的值域即函数 的定义域；③结合二次函数和指数函数 的单调性，利用“同增异减”的规律判断复合函数 的单调性，从而求出函数 的值域.先求出 的范围，再求 的范围. 3、谨记复合函数单调性的结论——“同增异减”. 活学活用（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 题型 指数函数的概念 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数．求的表达式. 解题贴士 紧扣 的标准形式，底数满足 且 ，指数式前的系数必须为1。含参数时先列方程求出底数，再检验是否满足底数条件。注意 这类式子可变形，但系数不为1，不是标准指数函数。要区分指数函数与幂函数。 ▌对点练1-1（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. ▌对点练1-2（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数是指数函数，求的值. 题型 比较指数幂的大小 ▌例1（26-27高一上·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则（    ） A． B． C． D． 解题贴士 同底数幂比较大小，优先利用指数函数的单调性。同指数幂比较大小，可借助幂函数单调性或指数函数图象高低。底数和指数都不同，常找0和1作中间量，或化为同底、同指数再比较。含参数时要先判断底数范围，必要时分类讨论。 ▌对点练2-1（26-27高一上·浙江·开学考试）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（26-27高一上·全国·课后作业）设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 题型 指数函数图像变换的应用 ▌例1（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 解题贴士 先识别基本函数 的底数范围和定点。平移遵循“上加下减，左加右减”，翻折要注意保留哪一部分图象。结合图象经过的象限列出不等式，确定参数范围。含绝对值的指数型函数，先画基本图象，再进行翻折处理。 ▌对点练3-1（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（    ） A． B．27 C． D．9 ▌对点练3-2（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 指数函数过定点问题 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． ▌例2（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 解题贴士 令指数部分等于0，求出对应的 ，再计算 ，得到定点坐标。形如 的函数，定点由 确定。定点代入直线或曲线方程，可得到参数之间的关系。求最值时常用“1”的代换和基本不等式，并检验等号成立条件。 ▌对点练4-1（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. ▌对点练4-2 （26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 题型 复合指数函数的定义域与值域 ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是______，值域是______. 解题贴士 定义域先看内层函数的限制，以及分母、根号等附加条件。值域先求内层函数的取值范围，再利用外层指数函数的单调性求范围。形如 的函数，要关注 的最大值和最小值。换元后注意新变量的取值范围，结果写成集合或区间。 ▌对点练5-1（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). ▌对点练5-2（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 题型 根据复合指数函数的值域（最值）求参 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 ▌例2．（25-26高一上·福建漳州·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是______. 解题贴士 1、通过换元，把指数型函数转化为二次函数或基本函数。根据 或 判断外层指数函数的单调性。结合区间端点、对称轴和顶点位置求最值。列方程或不等式求参数，最后检验参数是否符合底数条件 2、直接根据复合函数判断单调性的方法来判断最值，再根据最值来求参 3、分段函数的最值问题要借助图像来判断，要注意端点的判断 ▌对点练6-1（2026高一·全国·专题练习）已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 ▌对点练6-2 （25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 题型 复合函数的单调性及奇偶性 ▌例1 （25-26高一上·福建泉州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数是（    ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高一上·安徽·期末）下列函数中,在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再验证 与 的关系。判断单调性可分解为内层函数和外层函数，依据“同增异减”处理。含指数式的分式常先分离常数，便于判断单调性。分段函数要分别判断各段单调性，并检查分界点处是否衔接。 ▌对点练7-1（26-27高一上·北京东城·阶段检测）若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 ▌对点练7-2（25-26高一上·广西百色·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 题型 根据复合指数函数的单调性求参 ▌例1（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 1、先确定外层指数函数的单调性，再由内层函数的单调区间与给定区间匹配。二次函数要看对称轴与给定区间的位置关系。分段函数在 上单调，还要比较分界点左右两侧的函数值。最后取各条件的交集，并检验参数范围是否满足底数条件。 2、分段函数的单调性要根据图像来判断，要注意端点的判断 ▌对点练8-1（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练8-2（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 复合指数函数图像的辨析 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   ▌例2（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 先看定义域和奇偶性，排除明显不符的选项。再看特殊点的函数值符号和大小，排除错误图象。结合 与 两侧的单调性和渐近趋势判断。含绝对值或分式时，可先化简分段，再画草图核对。 ▌对点练9-1（25-26高一上·四川南充·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． ▌对点练9-2（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．   B．   C．   D．   题型 复合指数函数的综合问题 ▌例1（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. ▌例2（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数，其中. (1)若，且，求x的值. (2)若函数为偶函数，若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. (3)已知函数在区间上是奇函数，在上是偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 解题贴士 先整理不等式或等式，利用换元把指数式转化为整式。恒成立问题常分离参数，转化为求最值。有解问题要注意存在性与任意性的区别。涉及奇偶性和单调性时，可先构造新函数再转化。最后检验参数范围和等号成立条件。 ▌对点练10-1（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 ▌对点练10-2（25-26高一上·江西·阶段检测）已知函数 . (1)求关于 的不等式 的解集； (2)求 的值； (3)若对任意 ，且 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 基础通关 1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北保定·期中）（多选）若函数（且）的图象不经过第二象限，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 5．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知实数满足，则（   ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 素养提升 1．（25-26高一上·河南·期中）（多选）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A．， B．的值域为 C．若，则 D．若，且，则 2．（25-26高一上·山西大同·期中）（多选）下列结论中，正确的是（   ） A．函数与的图像关于轴对称 B．函数的单调增区间是 C．函数的图像必过定点 D．函数的图像与的图像有两个交点 3．（25-26高一上·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·海南·期末）已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数在区间上的最大值比最小值大，其中且，则实数______． 7．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若在R上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 9．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 10.（25-26高一上·吉林长春·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 四 章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 课标要点 1、理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象与性质。 2、理解底数 对指数函数图象和单调性的影响。 3、能利用指数函数的单调性比较幂值大小、解简单指数不等式。 4、了解指数函数图象的平移、对称和翻折变换。 5、能解决简单的指数型复合函数的定义域、值域、单调性和奇偶性问题。 学习重难点 重点： 1、指数函数的概念、图象与性质； 2、底数 与 的分类讨论； 3、利用单调性比较大小和解指数不等式； 4、指数函数图象变换； 5、指数型复合函数的定义域、值域和单调性。 难点： 1、含参数的指数函数图象与性质讨论； 2、指数型复合函数的值域和最值求参； 3、复合函数单调性中“同增异减”的判断； 4、分段函数在分界点处的单调性衔接； 5、指数函数与奇偶性、恒成立、有解问题的综合应用。 知识点 指数函数定义及图像 1、指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2、图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 函数值的变化 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大. 3、底数对指数函数图像的影响 函数 ， ， 和 ， ， 的图象 （1）函数和的图像关于轴对称 （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 特别提醒 1、当底数大小不定时，请按和两种情况讨论 2、识别或绘制指数函数的图像，可以从几个特殊点出发 随学随练 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数，且.求函数的解析式. 【答案】 【分析】根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可. 【详解】由题意有，解得或， 当时，，此时，，所以，舍去； 当时，，此时，，所以，满足题意． 故. 知识点 指数函数的图像变换 已知指数函数 . 1、平移变换（其中 ） ; (若形式为 ，则需变形为 的形式再判断) ; ; . 规律总结：上加下减(针对函数值 )，左加右减(针对自变量 ). 2、对称变换 3、翻折变换 ①函数 的图象可以将函数 的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折到 轴的上方，去掉原 轴下方的部分，并保留 的图象在 轴上方的部分即可得到. ; ②函数 的图象可以将函数 的图象在 轴右侧的部分沿 轴翻折到 轴左侧，替代原 轴左侧部分的图象，并保留 的图象在 轴右侧的部分即可得到. 随学随练 1．（25-26高一上·山东聊城·期中）若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】抓住与1大小，正负讨论，结合指数函数的图象求解. 【详解】若，，函数经过第三象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则不可能同时经过第一、二、四象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则经过第一、二、四象限，合题意； 若，，函数经过第二，四象限，不合题意； 若，，函数经过第二，三，四象限，不合题意； 综上，当，时，经过第一、二、四象限. 故选：D. 知识点 指数函数的性质及应用（重点） 1、利用函数单调性比较幂值大小 （1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断。 （2）底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或利用幂函数单调性判断。 （3）底数不同，指数不同：通过中间量来比较（常利用和作为中间量来比较大小）或转化为同底数（同指数）再比较大小。 2、利用函数单调性及图像解指数不等式 (1)对于形如 (或 ) ( 且 ) 的不等式，当 时，转化为 (或 )；当 时，转化为 (或 ). (2)对于形如 且 的不等式，可将 化成以 为底数的幂的形式，再进行转化求解. 3、利用单调性及奇偶性判断函数图像 （1）从函数的定义域入手，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域入手，判断图象的上下位置； （3）从函数的奇偶性入手，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点入手，排除不合要求的图象； （5）从函数的单调性入手，判断图象的变化趋势. 随学随练 1．（26-27高一上·辽宁·期中）下列函数中在定义域上是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，根据幂函数的图象和性质可得，在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，由指数函数图象和性质可得，为减函数，故B错误； 对于C，由二次函数图象和性质可得，在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，由幂函数的图象和性质可得为增函数，故D正确. 2．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数的大致图像为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域，奇偶性，特殊值选出答案 【详解】由题意知，函数的定义域为， 因为，所以为奇函数，排除A， ，排除B，，排除C，故D正确. 故选：D 拓展 指数函数的复合函数 1、求指数型复合函数的定义域 （1）由于指数函数 的定义域是，所以函数 的定义域与 的定义域相同. （2）求函数 的定义域，令 ，求出使 有意义的 的范围，转化为 的范围，则可求出 的范围. 如 型函数，定义域为R 2、求指数型复合函数的值域 （1）在求形如 的函数值域时，①换元，令 ；② 的值域即函数 的定义域；③结合函数 与指数函数 的单调性，利用“同增异减”的规律判断复合函数 的单调性，从而求出函数 的值域. （2）求 型函数的值域，如型函数，①换元，令 ；② 的值域即函数 的定义域；③结合二次函数和指数函数 的单调性，利用“同增异减”的规律判断复合函数 的单调性，从而求出函数 的值域.先求出 的范围，再求 的范围. 3、谨记复合函数单调性的结论——“同增异减”. 活学活用（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】BD 【分析】根据幂函数解析式，代入点坐标，求出n值，即可判断A的正误；根据指数函数恒过定点的求法，可判断B的正误；根据指数型复合函数单调性的求法，可判断C的正误；根据条件，代入化简，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得， 解得，则，故A错误； 选项B：令，解得，此时， 所以图象必过定点，故B正确； 选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，在R上单调递减， 由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误； 选项D：由题意， 则， 所以，即，故D正确. 题型 指数函数的概念 ▌例1（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数．求的表达式. 【答案】 【详解】函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， 解题贴士 紧扣 的标准形式，底数满足 且 ，指数式前的系数必须为1。含参数时先列方程求出底数，再检验是否满足底数条件。注意 这类式子可变形，但系数不为1，不是标准指数函数。要区分指数函数与幂函数。 ▌对点练1-1（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【答案】①④⑦ 【分析】由指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】因为形如且的函数称为指数函数， 所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数. ▌对点练1-2（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数是指数函数，求的值. 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义列式求解即可. 【详解】解：因为函数是指数函数， 所以，，即， 所以. 题型 比较指数幂的大小 ▌例1（26-27高一上·湖南·期中）若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由，得， ． ． ▌例2（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 解题贴士 同底数幂比较大小，优先利用指数函数的单调性。同指数幂比较大小，可借助幂函数单调性或指数函数图象高低。底数和指数都不同，常找0和1作中间量，或化为同底、同指数再比较。含参数时要先判断底数范围，必要时分类讨论。 ▌对点练2-1（26-27高一上·浙江·开学考试）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数的底数，故该函数在R上单调递减，因为，所以； 幂函数的指数，故该函数在上单调递增，因为，所以； 综上，. ▌对点练2-2（26-27高一上·全国·课后作业）设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化成，通过比较得到，再利用指数函数的单调性即可判断. 【详解】 由可得：， ， ， 为正数 ， 又因为是单调增函数 所以， 所以. 题型 指数函数图像变换的应用 ▌例1（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解. 【详解】由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. ▌例2（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先判断指数型函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 解题贴士 先识别基本函数 的底数范围和定点。平移遵循“上加下减，左加右减”，翻折要注意保留哪一部分图象。结合图象经过的象限列出不等式，确定参数范围。含绝对值的指数型函数，先画基本图象，再进行翻折处理。 ▌对点练3-1（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（    ） A． B．27 C． D．9 【答案】A 【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求出的值，由此可计算出的值. 【详解】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出， 又函数的图象过原点，则，可得， 因此. 故选：A ▌对点练3-2（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      题型 指数函数过定点问题 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． ▌例2（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 解题贴士 令指数部分等于0，求出对应的 ，再计算 ，得到定点坐标。形如 的函数，定点由 确定。定点代入直线或曲线方程，可得到参数之间的关系。求最值时常用“1”的代换和基本不等式，并检验等号成立条件。 ▌对点练4-1（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数（，）的图象所过的定点在直线上，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】先根据指数函数性质求得函数图象所过定点，代入直线方程得到，的线性关系，再通过基本不等式的“1的代换”求解最小值. 【详解】函数所过定点为， 依题意，该定点在直线上，则， 即， 故 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. ▌对点练4-2 （26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）的图象过定点. 题型 复合指数函数的定义域与值域 ▌例1（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． ▌例2（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是______，值域是______. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义和图象、结合换元法求解定义域和值域. 【详解】由指数函数的概念可得：定义域为， 令，则， 根据指数函数的图象可得：， 故函数的值域是． 解题贴士 定义域先看内层函数的限制，以及分母、根号等附加条件。值域先求内层函数的取值范围，再利用外层指数函数的单调性求范围。形如 的函数，要关注 的最大值和最小值。换元后注意新变量的取值范围，结果写成集合或区间。 ▌对点练5-1（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为，值域为. 【详解】（1）应满足，， 定义域为. ，， 的值域为. （2）定义域为. ， ， 此函数的值域为. （3），， ， 定义域为. ，. 又，. ， ，此函数的值域为. ▌对点练5-2（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2). 【答案】(1)定义域为，且，值域为，且； (2)定义域为，值域为 【分析】根据给定的各函数有意义列出不等式，求解即得对应函数的定义域；由求得的定义域确定相应函数的指数取值，再借助指数函数性质即可求得值域. 【详解】（1）由，得， 故的定义域为，且， 又，即 故的值域为，且； （2）要使函数有意义，则，解得. 所以函数的定义域为， 因为，所以， 即函数的值域为. 题型 根据复合指数函数的值域（最值）求参 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则， 所以实数的值是或. ▌例2．（25-26高一上·福建漳州·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用二次函数和指数函数单调性得出两段函数值域，依题意得出不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，的值域为， 当时，的值域为， 若使函数的值域为，则, 画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图： 显然当和时，，当时，满足题意； 因此不等式的解集为. 故答案为： 解题贴士 1、通过换元，把指数型函数转化为二次函数或基本函数。根据 或 判断外层指数函数的单调性。结合区间端点、对称轴和顶点位置求最值。列方程或不等式求参数，最后检验参数是否符合底数条件 2、直接根据复合函数判断单调性的方法来判断最值，再根据最值来求参 3、分段函数的最值问题要借助图像来判断，要注意端点的判断 ▌对点练6-1（2026高一·全国·专题练习）已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】A 【详解】令， 因为单调递减， 又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时有， 即得，解得或， 所以. ▌对点练6-2 （25-26高一下·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可求解在上的值域为，进而根据在上的值域需要包含，结合指数函数的性质求解. 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 题型 复合函数的单调性及奇偶性 ▌例1 （25-26高一上·福建泉州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性，一一判断各选项中的函数性质，即可得答案． 【详解】对于A，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且为偶函数， 不符合题意； 对于C，设，定义域为R，满足， 故函数为奇函数； 当时，在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，且， 故在R上单调递减，不符合题意； 对于D，设，定义域为R，且满足， 故为奇函数； 又在R上单调递增，在R上单调递减， 故在R上单调递增，D正确， ▌例2 （25-26高一上·安徽·期末）下列函数中,在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据基本初等函数的性质判断可得. 【详解】一次函数为上的减函数，指数函数为上的减函数， 二次函数在区间上是减函数，在区间上单调递增； 幂函数为定义域上的增函数， 故选：D. 解题贴士 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再验证 与 的关系。判断单调性可分解为内层函数和外层函数，依据“同增异减”处理。含指数式的分式常先分离常数，便于判断单调性。分段函数要分别判断各段单调性，并检查分界点处是否衔接。 ▌对点练7-1（26-27高一上·北京东城·阶段检测）若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 【答案】C 【分析】先化简函数表达式，再依据奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数单调性规律判断单调性即可确定选项 【详解】根据题意， ，定义域为，关于原点对称 对任意，有 ， 因此为奇函数，排除B、D选项； 因为为上的增函数，故为上的增函数，且恒成立； 所以，为上的减函数，为上的增函数； 所以，为上的增函数，排除A选项， 所以，为奇函数，且为上的增函数. ▌对点练7-2（25-26高一上·广西百色·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 题型 根据复合指数函数的单调性求参 ▌例1（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． ▌例2（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在上单调递减，首先保证各段都单调递减，其次在分段地方，左边在断点处的函数值要不小于右边在断点处的函数值． 【详解】因为函数在上单调递减， 则在上单调递减，故，解得； 在上单调递减，则在上单调递增，故； ，解得：恒成立， 综上，的取值范围为． 解题贴士 1、先确定外层指数函数的单调性，再由内层函数的单调区间与给定区间匹配。二次函数要看对称轴与给定区间的位置关系。分段函数在 上单调，还要比较分界点左右两侧的函数值。最后取各条件的交集，并检验参数范围是否满足底数条件。 2、分段函数的单调性要根据图像来判断，要注意端点的判断 ▌对点练8-1（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. ▌对点练8-2（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数在上单调递减，需要满足两个条件：各分段内函数自身单调递减，且在分段点处左侧函数值不小于右侧函数值；分别对二次函数、指数型复合函数列出不等式，求交集得到参数范围. 【详解】当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴在区间的右侧，即：. 当时，指数函数，内层函数为单调递增函数，需外层指数函数为单调递减函数， 因此底数满足：. 函数在上单调递减，需满足处左侧函数值不小于右侧函数值，即， 代入，得，解得. 联立三个约束条件：，取交集得，即的取值范围是. 题型 复合指数函数图像的辨析 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． ▌例2（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 解题贴士 先看定义域和奇偶性，排除明显不符的选项。再看特殊点的函数值符号和大小，排除错误图象。结合 与 两侧的单调性和渐近趋势判断。含绝对值或分式时，可先化简分段，再画草图核对。 ▌对点练9-1（25-26高一上·四川南充·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性及其在时的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于，由，可得，解得， 所以函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数，排除AB选项， 当时，，，则，此时，排除C选项， 故选：D. ▌对点练9-2（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的值域判断即可. 【详解】因为，所以， 又为增函数，所以，即， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 题型 复合指数函数的综合问题 ▌例1（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. ▌例2（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数，其中. (1)若，且，求x的值. (2)若函数为偶函数，若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围. (3)已知函数在区间上是奇函数，在上是偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将得，由即可求解； （2）根据函数为偶函数求出函数的解析式，求出函数在的值域为，将不等式在上有解转化为在上有解即可求解； （3）求出函数的解析式，计算出函数的值域，再考虑，两种情况，分别计算即可求解. 【详解】（1）时，， ，即，解得， 故x的值为. （2）因为函数为偶函数， 所以，即， 整理得，解得，即， 当时，令，，为对勾函数，所以， 所以， 在上有解，即在上有解， ，则，所以， 故实数m的取值范围为. （3）因为在区间上是奇函数，所以有，即， 整理得，解得，即，， 由（2）知，， 所以， ①当时，令，，由反比例函数与一次函数的单调性得函数在上单调递增，所以； ②当，令，，为对勾函数，所以； 所以的值域为， 对于上的任意实数，，，不等式恒成立，则 （i）当时，， ，解得， （ii）当时，， ，解得， 综上，的取值范围是. 解题贴士 先整理不等式或等式，利用换元把指数式转化为整式。恒成立问题常分离参数，转化为求最值。有解问题要注意存在性与任意性的区别。涉及奇偶性和单调性时，可先构造新函数再转化。最后检验参数范围和等号成立条件。 ▌对点练10-1（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 【答案】A 【分析】先判断出函数是上的奇函数且单调递增，将原不等式形为恒成立，再令，判断出为R上奇函数，且单调递增，从而可得不等式恒成立，最后令，将问题转化为恒成立，结合及二次函数的性质，求出的最小值，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以函数是上的奇函数， 又因为， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增， 又因为 ， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令， 则， 所以为R上奇函数， 又因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令，即有恒成立， 即，所以恒成立， 所以恒成立， 因为，所以， 所以，当时，等号成立， 所以，所以实数有最大值. 故选：A. ▌对点练10-2（25-26高一上·江西·阶段检测）已知函数 . (1)求关于 的不等式 的解集； (2)求 的值； (3)若对任意 ，且 ，不等式 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）应用指数运算结合指数函数单调性解指数不等式； （2）应用指数运算法则计算求解； （3）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，得， 即， 即， 所以不等式的解集为. （2），. （3）对任意的，且，不等式恒成立， 显然函数在上单调递增，，即， ， 由（2）可知， 即， 即，解得， 故实数的取值范围为. 基础通关 1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性判定. 【详解】由题，，函数在上是减函数，所以. 3．（25-26高一上·河北保定·期中）（多选）若函数（且）的图象不经过第二象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件，利用指数函数的性质得，即可求解. 【详解】因为函数恒过点， 又函数（且）的图象不经过第二象限，则， 即且， 故选：AC. 4．（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 5．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知实数满足，则（   ） A．有最大值1 B．有最小值0 C．有最小值1 D．有最大值0 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数单调性得出，再由指数函数单调性求最值. 【详解】令，由指数函数的单调性可知单调递增， 单调递减，所以为上的增函数， 由可得， 即，所以，即， 所以， 素养提升 1．（25-26高一上·河南·期中）（多选）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A．， B．的值域为 C．若，则 D．若，且，则 【答案】ABD 【分析】由，，判断A；由指数函数的单调性判断BC；由偶函数的性质判断D. 【详解】对于A，∵过原点，∴，∴①， 又∵时，， ∴时，，由题，图象无限接近直线，则②， 由①②知，，故A正确； 对于B，由，，得， ，，故B正确； 对于C，由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误； 对于D，∵函数为偶函数，∴， 又∵.，∴，∴，∴，故D正确． 故选：ABD 2．（25-26高一上·山西大同·期中）（多选）下列结论中，正确的是（   ） A．函数与的图像关于轴对称 B．函数的单调增区间是 C．函数的图像必过定点 D．函数的图像与的图像有两个交点 【答案】AC 【分析】对于A：整理可得，即可判断对称性；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：根据指数函数定点分析判断；对于D：作出函数的图像，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以函数与的图像关于轴对称，故A正确； 对于选项B：显然函数的定义域为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递减， 则在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调增区间是，故B错误； 对于选项C：令，解得，可得， 所以函数的图像必过定点，故C正确； 对于选项D：作出函数的图像，如图所示： 所以函数的图像与的图像有一个交点，故D错误； 故选：AC. 3．（25-26高一上·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出要使函数的值域为，须满足函数在上单调递增，且最小值小于等于在时的函数值，据此列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 4．（25-26高一下·江苏无锡·开学考试）若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． 5．（25-26高一上·海南·期末）已知函数，且，在区间上的最大值与最小值之差为，则（      ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】讨论、，结合指数函数的单调性求区间最值，再由已知列方程求参数值，进而求函数值. 【详解】当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，即，又，解得， 此时函数，所以， 当时，在区间上的最大值为，最小值为， 所以，方程无解. 综上，. 故选：B 6．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数在区间上的最大值比最小值大，其中且，则实数______． 【答案】或 【分析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，由已知得到关于实数的方程求解即得. 【详解】若，则函数在区间上单调递减， 所以， 由题意得，又，故； 若，则函数在区间上单调递增， 所以， 由题意得，又，故. 所以或. 故答案为：或 7．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若在R上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若在R上单调递增， 则，解得，即的取值范围是. 8．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．则函数的单调递增区间为______ 【答案】 【分析】由奇偶性的定义解出与的函数解析式，再使用复合函数的单调性求解． 【详解】由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. 则，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. 9．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以. （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得. （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得， 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 10.（25-26高一上·吉林长春·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，在R上单调递增 (2)； (3) 【分析】（1）根据和两函数奇偶性得到方程组，求出和的解析式，并判断出的单调性； （2）转化为，令，，根据函数单调性求出最小值，从而得到不等式，求出实数的取值范围； （3）设在上的值域为，在的值域为，只需为的子集，求出，分类讨论得到，从而列出不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又是奇函数，是偶函数，故， 故①，②， 式子①+②得，故， 故， 其中在R上单调递增，理由如下： 因为在R上单调递增，故在R上单调递增； （2）为奇函数， 时，不等式有解， 即在上有解， 又其中在R上单调递增，故在上有解， 所以，故只需， 令，，则在单调递减， 故在处取得最小值，最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； （3）设在上的值域为，在的值域为， 对任意的，总存在，使得， 只需为的子集， ， 其中在上单调递增，故， 所以，，故， ，对称轴为， 若，在上单调递增，故， 所以，解得，又，故， 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又，故； 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又； 若，在上单调递减，故， 所以，解得，又，无解； 综上，，实数的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $