专题03 二次函数与线段综合问题 （压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级下册

专题03 二次函数与线段综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型01 二次函数与横竖线段 题型02 二次函数与斜线段 题型03 二次函数与等线段 题型04 二次函数与倍线段 题型05 二次函数与平行 题型06 二次函数与垂直 题型07 二次函数与线段和的最值问题 题型08 二次函数与线段差的最值问题 题型09 二次函数与胡不归问题 题型10 二次函数与周长最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题为二次函数与线段综合问题，所有题型均依托二次函数图像上点的坐标展开，解题贯穿两条核心原则：一是点在函数图像上，则点的坐标满足二次函数解析式；二是平面内线段长度优先用坐标进行代数表达，几何关系转化为坐标之间的数量关系，求出结果后带回原题检验是否符合图像范围与题意。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数与横竖线段 例1（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 题型归纳 1. 特征：抛物线上两点，求水平或竖直方向线段的长度、动点坐标。 2. 方法：设抛物线上动点的横坐标，代入解析式写出纵坐标；水平线段用横坐标之差，竖直线段用纵坐标之差表达线段长度，再列方程求解。 3. 易错提醒：计算长度时注意上下、左右位置关系，线段长度取正值；求出坐标后要核对点是否在抛物线上。 1．（24-25九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数最值，由求出，，再得出直线解析式为，设，则，则，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，令得， ∴， 令得或， ∴， 设直线直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 故答案为：． 2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点，在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，则该矩形周长的最大值________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，矩形的性质；设点的坐标为，先解方程得，，则抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性得到，由于，则矩形的周长可表示为，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：设点的坐标为， 当时，， 解得， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，， ， 矩形的周长， 矩形的周长， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    （1）的度数是______； （2）若点M是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点Q，则的长的最大值是______． 【答案】 /90度 4 【分析】（1）先分别求解A，B，C的坐标，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：（1）∵二次函数， 当时，则， 解得：，， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴； （2）设直线为， ∴，解得： ， ∴直线为， ∵，设，则， ∴， 当时，的最大值为：； 故答案为：（1）；（2）4 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，熟练的利用二次函数的性质求解线段长度的最值是解本题的关键. 4．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 类型二、二次函数与斜线段 例2（25-26九年级上·河南信阳·期中）一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A，求最小值为：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是构造等腰直角三角形将最值问题转化为二次函数求解． 通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值 【详解】解：过点作轴，交直线于点， 对于，当； 当，，解得 ∴点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴当时，取最小值为， ∵， ∴， 此时，取最小值，值为． 故答案为：． 题型归纳 1. 特征：抛物线上两点之间倾斜线段，求线段长、动点坐标。 2. 方法：设抛物线上点坐标，过两点作坐标轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理表示斜线段长度，再根据题意列等式求解。 3. 易错提醒：不要直接用坐标相减当作斜线段长度；注意区分线段表达式和坐标差值，最后检验点的位置是否符合题意。 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为______． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．过点作交于点，可得，根据相似三角形的性质可得出，根据，得出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 依题意，设，则 则， ∵点、点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，此时点P的横坐标为2， 故答案为：2． 类型三、二次函数与等线段 例3（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线经过点、，与y轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴为直线l，在直线l上是否存在点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 线段的最大值为，此时点的坐标为 (3) 存在，点的坐标为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出点坐标，将线段的最大值转化为二次函数求最值即可； （3）设出点坐标，根据两点间距离公式列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴设抛物线的表达式为； 将代入得：，解得， ∴. （2）解：设直线的解析式为， 将、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴线段的最大值为，此时点的坐标为. （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴. 题型归纳 1. 特征：抛物线上存在点，使得两条线段长度相等，求动点或参数。 2. 方法：把两条线段都用坐标表示长度，根据线段相等建立等式，解方程得到点的横坐标，再回代求纵坐标。 3. 易错提醒：方程求解会出现多组解，要结合图像取舍，舍去不符合位置条件的解。 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点的坐标． (2)若点P在直线下方抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点P作y轴的平行线交线段于点N，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)P点横坐标为2或 【分析】（1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：联立， 解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点，，代入即可解决题． （2）求出直线的解析式为，设，，根据抛物线对称轴为直线，得点，得，，根据，得，解方程即可； （3）设圆心为P，（其中），设直线交x轴于点Q，由轴，得出轴，设，则，分当点N在线段上时，当点M在线段上时，运用圆内接四边形对角性质，相似三角形的判定和性质解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：设直线的解析式为， ，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D与点P关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，（不合），， 当时，（不合），（不合）， 综上，， 故点的横坐标为． （3）解：设圆心为P，（其中），设直线交x轴于点Q， ∵轴， ∴轴， 设， 则， 当点N在线段上时， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为抛物线第二象限上一点， ∴， ∴． 当点M在线段上时， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 故点纵坐标为1． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及一次函数的解析式，二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质，圆内接四边形性质，二次函数与线段综合，二次函数与相似三角形综合，是解题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，求线段的最大值； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A坐标为；点B坐标为；点C坐标为 (2)4 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数性质，当时，，当时，，解得或，即可求解；      （2）设直线的函数表达式为，将点，点， 得，设点P坐标为，点M坐标为，点N坐标为，即可求解；         （3）在该抛物线的对称轴上存在点Q，设点Q坐标为，使，即，代入即可求解. 【详解】（1）解：当时，， ∴点C坐标为； 当时，，解得或， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为 ∴点B坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， ∵点，点， ∴，解得， ∴； 设点P坐标为， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为4； （3）解：在该抛物线的对称轴上存在点Q，设点Q坐标为， 使，即， ∴，解得， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程配方法、二次函数图象性质相关知识．熟练掌握二次函数图象性质，将问题转化，是解此题的关键． 类型四、二次函数与倍线段 例4（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，，交轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，点在线段上，连接并延长，交抛物线于点，点在第一象限的抛物线上，横坐标为，连接，交轴的正半轴于点，设线段的长为，当时，求与之间的函数关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，连接并延长，交抛物线于点，连接，交线段于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：； (2)与之间的函数关系式：； (3)． 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）先根据中点坐标公式求出点坐标，再求直线的解析式，并求出点的坐标，最后求出线段的长，即可找到与之间的函数关系式； （3）先求直线的解析式并与抛物线联立方程求出点坐标，再求直线的解析式，求出直线与轴的交点坐标，然后用坐标距离公式分别求出和，根据，求出的值，代入点即可． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 将得： ， ， ， 将代入中得：，即，     综上：． ∴抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴当，，即点． ∵点在线段上， ∴． ∵， ∴，即． ∵点在抛物线上，， ∴，即点． ∵点在第一象限的抛物线上，横坐标为， ∴点． ∵设直线的解析式为：， 将点、点代入得： ， 得： ， ， ∴直线的解析式为：， ∴点． ∵， ∴点在点上方， ∴， ∴． （3）∵由（2）得点，点， ∴ ． ∵设直线的解析式为：， 将点、点代入得： ， 得： ， ∴直线的解析式为：． ∵点是直线和抛物线的交点， ∴， 即： ， ， ， ∴点． ∵设直线的解析式为：， 将点、点代入得： ， 得： ， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． ∵， ∴， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴，（舍）． ∵将代入， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数综合问题，明确题意，进行推理思考是解决问题的关键． 题型归纳 1. 特征：题目给出两条线段存在倍数关系，在抛物线上找点满足倍数条件。 2. 方法：分别写出两条线段的坐标表达式，按倍数关系列出方程，求解未知数，得到对应点坐标。 3. 易错提醒：注意倍数关系的两种方向，不要漏情况；检验解对应的点是否在图像规定范围内。 1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)求的长； (3)若为直线上方抛物线上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． 求的最大值； 当时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)的最大值为；点的坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，二次函数的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）由（）得抛物线的解析式为，当时，，则，从而求得，，再由勾股定理即可求解； （）求出直线解析式为，设，则，得，然后通过二次函数的性质即可求解； 由，，，得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为，且过，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，为； ∵，，， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标， (3)连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）把，代入求出的值即可确定函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标； （3）过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标． 【详解】（1）解：把，代入 得：， 解得． 抛物线的函数关系式为． （2）解：设直线的解析式为， 把，代入 得∶， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， 解得或（舍去）． ； （3）解：如图：过E作， ，关于PC对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ，， ，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ，解得：， ． 类型五、二次函数与平行 例5（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新拋物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点． ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∵， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于，记与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：, ∴； 综上：或； 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，使得两点连线与已知直线平行。 2. 方法：平行直线倾斜程度相同，转化为坐标之间的等量关系，设抛物线上动点坐标，列方程求解。 3. 易错提醒：注意区分直线平行与重合，要排除重合的情况；求出结果带回图像验证。 1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，点为抛物线上一点，过点的直线（不与轴平行）与拋物线有唯一公共点． (1)求直线的解析式； (2)平移直线交抛物线于A，B两点，交轴于点，若点为的中点，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，中点坐标等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点的坐标，设直线 的解析式为，把代入得到，联立，根据有唯一公共点，即可求解； （2）设直线的解析式为，联立，得到，根据点为的中点，即可求解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， ， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线的方程得： ∴， ∴， 直线与抛物线有唯一公共点， ， 解得：， 将代入，可得：， 直线的解析式为； （2）解：∵直线直线， ∴可设直线为， 联立， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 2．（2025·山东潍坊·三模）如图1，在平面直角坐标系中，一个三角形和二次函数图象的一部分围成的封闭图形，称为“冰激凌型”．已知是二次函数图象与轴的交点，的中点坐标为，二次函数的最小值为，点是轴上方的一个动点，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，连接，，若得到的四边形有一组对边平行，求的长； (3)连接，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）设的中点为点C，则，，确定，，从而确定抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，代入一个点的坐标，解答即可； （2）设的外接圆圆心为E，连接，，分两种情况求解即可； （3）根据点圆的最值解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为点C，则，， ∴，， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最小值为， 不妨设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为或． （2）解：设的外接圆圆心为E，连接，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，直线是线段的垂直平分线，， ∴，的外接圆半径为， ∴， 当时， 过点A作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的外接圆直径， ∴， 综上所述，或． （3）解：设的外接圆圆心为E，连接，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，直线是线段的垂直平分线，， ∴，的外接圆半径为， ∴， ∴当三点共线时，取得最大值， ∴， ∴取得最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，点圆的最值计算，正弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 类型六、二次函数与垂直 例6（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案； （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， ∴点，， 经过点，，      解得 抛物线的函数解析式为： （2）过点P作轴交直线于点F， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴ （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接， 如图，当点P在直线上方时， ∵轴， ∴， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 把代入得到， 则， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 同理，如图，当点P在直线下方时， ∵， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，使得两条线段互相垂直。 2. 方法：利用垂直对应的直角几何特征，转化为坐标数量关系，设动点坐标列方程求解。 3. 易错提醒：不要漏掉动点在不同位置的多种情况；检验垂直关系是否真实成立。 1．（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M从点C出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，的面积最大，并求出最大面积； (3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接．该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线与直线垂直时，） 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大面积为 (3)存在，或． 【分析】（1）将点和点代入二次函数解析式中求解b的c的值即可求解解析式． （2）根据点C为抛物线与x轴的交点可求解点C的坐标，由待定系数法进而可求解直线的解析式，根据三角形面积的求法，表示出的面积的表达式，再根据二次函数的性质即可求解最大值． （3）分类讨论点P的位置，根据点P在直线下方时，求出直线的垂直平分线的解析式以及直线的解析式，即可求解点Q的坐标，进而可求解点P的坐标；再根据点P在直线上方时，依次求出直线方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， 得，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：过点M作于点H，与y轴交于点G．如图． 设， ，解得或． ，即． 设直线的解析式为， 将点，代入， 得，解得， ，． ． ． ． ， ． ， ． ， 当时，的面积最大，最大面积为． （3）解：存在． 设直线与交于点Q，如图． 当点P在直线下方时， ， ，即点在的垂直平分线上． 所以线段的中点坐标为． 过该点与垂直的直线的k值为， 故设的垂直平分线解析式为， 将点代入，得， 直线的垂直平分线的解析式为． ， ，同理可求直线的解析式为． 联立，解得， 点Q的坐标． 所以直线的解析式为． 联立，解得或． 点P的坐标为． 当点在直线上方时， ， ，则设直线的解析式为， 将点B的坐标代入，得， 直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解，直线方程的求解，二次函数最值的性质，分类讨论点P的位置求解直线方程与抛物线的交点是解决本题的关键． 类型七、二次函数与线段和的最值问题 例7（23-24九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知二次函数的图象与轴分别交于两点（如图所示），与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为_________． 【答案】 【分析】、两点关于抛物线对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，点即为所求，只要求出直线的解析式，把对称轴的值代入直线的解析式，可求的坐标． 【详解】解：如图，连接交对称轴于点，连接，点即为所求， 由二次函数，得， 令，得，， 故，， 故对称轴为， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线， 把代入直线的解析式，得， 的坐标为． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线的轴对称性确定使当取得最小值时的点坐标． 题型归纳 1. 特征：在抛物线上找一动点，使两条线段长度之和最小。 2. 方法：利用对称变换，转化为两点之间线段最短模型，找到对应定点，求出交点即为动点。 3. 易错提醒：看清定点、动点在哪条线上；要判断所求点是否在抛物线的取值范围内。 1．（2026·重庆铜梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)； (2)，的最小值为：； (3)点的横坐标为或 【分析】（1）根据抛物线与轴交点及对称轴为求解即可； （2）连接，过作轴交于，当最大时，最大，得到点坐标，过作的平行线，过作，两平行线交于点，当三点共线时最小； （3）原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，分别求出直线的解析式，再与新抛物线解析式联立方程组求解即可. 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴， 而，设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴，解得：（舍）或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的横坐标为或． 2．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，求最大值及此时点坐标； (3)在（2）问的基础上，点是的角平分线与的交点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时， (3)的最小值为 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值即可得抛物线的表达式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，利用二次函数的性质即可得的最大值为，； （3）先求出直线解析式，根据点是的角平分线与的交点得出，根据抛物线解析式可求出对称轴为直线，，把点向右平移个单位到，连接，交对称轴于，作，交轴于，连接，可得四边形是平行四边形，，即可得出、、三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为，利用两点间距离公式求出的长即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ∴此时，． （3）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是的角平分线与的交点，且在第三象限， ∴点到轴和轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等， 设， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且， ∴， 如图，把点向右平移个单位到，连接，交对称轴于，作，交轴于，连接， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴、、三点在同一条直线上时，有最小值，最小值为， 由（2）可知，， ∴， ∴的最小值为． 3．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，与直线：交于A、D两点，其中，． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，P为直线上方抛物线上的一点，过P作轴交直线于Q点，、是轴上的两个动点，在上方，且．当线段长度取得最大值时，求的最小值 (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D平移后的对应点为点F，连接，在新抛物线上确定一点R，直线与x轴交于点Q，当时，直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出其中一种情况的求解过程 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数的性质求出，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质求出，设，则，则，则当时，线段长度取得最大值，此时；作点关于轴的对称点，将点向上平移2个单位长度得到点，连接、、，根据轴对称和平移的性质得到，，，，利用勾股定理求出，通过证明四边形是平行四边形，得到，再利用线段之间的转化以及两点之间线段最短的性质即可求出的最小值； （3）设直线交轴于点，利用一次函数的性质求出，进而得到，则有，再分2种情况讨论：①点在点的左侧；②点在点的右侧；再利用一次函数和等腰三角形的性质求出对应的直线的解析式，再联立抛物线和直线的解析式，即可求出点R的坐标． 【详解】（1）解：代入到，得， ∴， 代入和到，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，线段长度取得最大值，此时； 如图1，作点关于轴的对称点，将点向上平移2个单位长度得到点，连接、、， 则，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设直线交轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（1）得，， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴， ∵点D平移后的对应点为点F，， ∴； ①当点在点的左侧，记此时点为， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当，则， 解得， ∴， 联立， 解得或， ∴点R的坐标为； ②当点在点的右侧，记此时点为，作轴于点， 则， 由①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点R的坐标为； 综上，点R的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、平行四边形的性质与判定、轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题、一次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题的关键．本题是函数综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，综合要求较高，适合有能力解决几何难题的学生． 类型八、二次函数与线段差的最值问题 例8（25-26九年级上·全国·期末）已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 【答案】 【分析】连接，由题意得，推得，所以当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长，然后求出直线的解析式为，求出该直线与抛物线的交点坐标即可． 【详解】解：连结， 由已知，，则， ， 当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得，， 点C位于y轴左侧， ， 当时，， 点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与线段相关的最值问题，二次函数图象与性质， 求一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意，分析线段差的最值的几何意义是关键． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，使两条线段长度之差最大。 2. 方法：依据三角形两边之差小于第三边，三点共线时取得差值最大值，联立求交点坐标。 3. 易错提醒：区分线段和最小、线段差最大的模型，不要混用；检验点是否在抛物线上。 1．（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)如图1，点，是两动点，分别连接，，请求出的最大值，并求出的值； (3)如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别于，，当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)为定值 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）当时，求得的值，从而得出点坐标，令，求得的值，进而求得、两点坐标； （2）将点向上平移个单位至，作点关于直线的对称点，作直线交直线于点，则最大值是：的长，进一步求得结果； （3）根据题意过点作轴，交于点，过点作，交射线于点，过点作，交射线于点，根据相似三角形的性质求出，进而即可进行分析解答． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时， 解得： （2）如图1， 将点向上平移个单位至，作点关于直线的对称点，则 ∴ 作直线交直线于点，，则最大值是：的长， 的最大值为， 直线的解析式为：， 当时，， ； （3）为定值，理由如下： 过点作轴，交于点，过点作，交射线于点，过点作，交射线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得 由（1）得，，， ， ， ， ∴为定值． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？ (3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时，的面积的最大值为； （3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为， 的最大值为； 类型九、二次函数与胡不归问题 例9（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型归纳 1. 特征：求带系数的线段与另一条线段相加的最小值，动点在抛物线上。 2. 方法：构造等角，把带系数的线段转化为新线段，转化成两点之间线段最短求解。 3. 易错提醒：角度构造要准确，注意系数的大小；检验动点位置是否符合图像范围。 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接、、，过点作于点，过点作于点，先利用抛物线解析式求出、，得到为等边三角形，，再利用角所对的直角边等于斜边一半求出，，根据垂直平分线的性质得到，推出当、、共线时，的值最小，最小值为的长，通过勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】如图，连接、、，过点作于点，过点作于点， 当时，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 又， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，学会转换线段解决问题是解题关键． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是______．    【答案】 【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可． 【详解】解：连接，过作，过作，    令，即， 解得或1， ，， ，， ， ． ， 根据垂线段最短可知，的最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题． 3．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图1，抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为，与y轴交于点，点P为线段上方的抛物线上一动点，过点P作轴于点H，与交于点M．点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求点H的坐标； (3)如图2． ①求线段最大时，点P的坐标； ②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据平行线分线段成比例求解即可； （3）①根据待定系数法求出直线表达式，设，则，可求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②在x轴上取点，作直线，过N作于E，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，在中，解直角三角形求出，则，故当H、N、E三点共线时，最小，最小值为，此时，最后在中，根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①设直线表达式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，取最大值，此时， ∴； ②在x轴上取点，作直线，过N作于E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当H、N、E三点共线时，最小，最小值为，此时， 由①知， ∴， ∴． 类型十、二次函数与周长最值问题 例10（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在y轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为_______． 【答案】 【分析】先由对称轴和点N坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，结合的长度一定，所以只需取最小值即可．过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P，进而即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ， 解得， 该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值， 当的值最小时，的周长最小， 如图1，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 则， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，， ∴． 题型归纳 1. 特征：在抛物线上找点，使由线段围成的图形周长最小。 2. 方法：固定长度的线段直接保留，将变化的两条线段通过对称转化，利用两点之间线段最短求解。 3. 易错提醒：分清周长中哪些线段长度不变，只对可变线段做转化；不要误把固定线段参与最值变换。 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 联立二次函数和一次函数求得A、B两点坐标，因为长度不变，所以当最小时，即的周长最小．过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，当三点共线时，最小，即的周长最小，利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可求出点P坐标． 【详解】解：直线与抛物线交于A、B两点， 联立，得或， ，， ． 过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，如图所示． ． 不变， 当三点共线时，最小，即的周长最小． ， ． 设直线的函数表达式为，将，代入得， ，解得， ， 当时，． ． 故填：． 3．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称轴为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴解方程组得， ∴． 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点． (1)写出抛物线顶点的坐标________； (2)点是点关于轴的对称点，判断点是否在直线上，并说明理由； (3)若点是抛物线上的点，且在直线的上方，过点作轴交线段于点，直接写出线段的最大值． 【答案】(1)； (2)解：点在直线上，理由如下： 令，得，即， 解得， 点在点的左侧， ， 设直线的解析式为， 将代入得：，解得， 直线的解析式为， ∵点是点关于轴的对称点，点的坐标为， ∴点的坐标为， 当时，即点在直线上； (3)． 【分析】（1）将抛物线化为顶点式，即可得到抛物线顶点的坐标； （2）先求出，再求出直线的解析式，根据轴对称的性质得到点的坐标，代入直线的解析式判断即可； （3）设，则，求出线段的函数解析式，进而化为顶点式作答即可． 【详解】（1）解：， 顶点的坐标为； （2）略； （3）解：设，则， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：线段长度的最大值为． 2．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且横坐标为，若轴（点不重合），则的长度为___________； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值之差为，请求出的值； (4)已知，连接，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，的取值范围为___________． 【答案】(1) (2)1 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）结合（1）中抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性即可解答； （3）分和两种情况，结合图象讨论即可； （4）由随的增大而增大可知，再分点M在点P上方和点M在点P下方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 得：，即， ∴抛物线函数表达式为：； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点横坐标为，点的横坐标为，且轴（点不重合）， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即点与点关于对称轴对称， ∴， 解得：， ； （3）解：设抛物线与y轴交于点B， ， ∴顶点坐标为． 将代入，则， ， ∴点关于对称轴的对称点为， 根据题意：，抛物线图象开口向上，对称轴为直线， 当时，则在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为点，最低点为点， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴，即， 解得：或（舍去）； 当时，则在点和点A之间的部分（包括两点）的最高点为点，最低点为， ∵最高点和最低点的纵坐标之差为， ，即， 解得：或（舍去）； 综上，的值为或； （4）解：， ∴抛物线对称轴是直线． ∵随的增大而增大，点在抛物线上，横坐标为， ∴． 当点M在点P上方时，抛物线在内部没有图象，此种情况不符合题意； 当点M在点P下方时，如图，此种情况符合题意， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴． 综上可知，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大． 3．（26-27九年级上·天津和平·期中）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)设点，求使取最小值时的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用待定系数法，代入两点求解析式，是二次函数的送分基础题； （2）动点面积最值，用“铅锤高×水平宽”把三角形面积转化为关于的二次函数，再利用顶点求最值； （3）线段和最小，属于“将军饮马”模型：作其中一点关于定直线的对称点，把折线段拉直，转化为两点间线段最短． 【详解】（1）解：把、代入： 两式相减得，故；代入得． （2）解：设直线的解析为：，过、， ∴， 解得， ． 设，过作竖直线交于，如图所示： 水平距离，由铅锤高公式： ∵，当时面积最大： ，此时 （3）解：抛物线与轴交点； 配方得：，即顶点． 如图所示：作关于直线的对称点，则， ，当、、三点共线时最小． 设直线的解析式为：将、代入得：， 解得： 把代入： 【点睛】本题是二次函数综合压轴，依次考查三类高频模型：求解析式：待定系数法，代入两点坐标解二元一次方程组；二次函数面积最值，记住铅锤高公式(竖直线段)×()，把面积化成二次函数求顶点；将军饮马求两线段和最小：作对称点→拉直→三点共线，交点即为最值点；若动点在定直线上，优先考虑作一个定点关于该直线的对称点，再连另一个定点． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求二次函数表达式； (2)将抛物线向左平移a个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则a的值为________； (3)已知P为线段上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由一次函数与轴、轴交点得出点、的坐标，再将点、坐标代入二次函数表达式，解出、的值，即可得二次函数表达式； （2）将函数表达式进行平移变换，得到，将点代入求值即可； （3）由题意要求，得出点、的坐标，得出，利用函数对称性的性质，得出，由，列出方程，对的取值范围进行分类讨论，最终求出的值，得出点的横坐标． 【详解】（1）解：∵经过，两点， ，两点分别为轴、轴交点， 当时，， 当时，. ∴点、点, 将点、点代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：函数表达式为， 向左平移个单位，然后向下平移个单位后， 函数表达式变为， ∵点在函数上， 得， 化简得， ∴或（舍去）． （3）解：如下图： ∵点在直线上， ∴点， ∵点为点作x轴的垂线与该二次函数的图象的交点， ∴点， ∴， ∵点为点作轴的垂线与该二次函数的图象的交点， ∴点与点关于对称轴直线对称， ∴， ∵， ∴， 当时，得， 解得或（舍去）； 当时，得， 解得（舍去）或； 综上所述，的值是或， 故的横坐标是或． 5．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图：校园劳动实践基地准备修建抛物线造型的雨水收集导流槽，以水平地面为轴，竖直向上为轴．导流槽截面轮廓为抛物线，槽口两端落在地面、；导流槽最低点一侧和竖直挡墙交于． (1)求导流槽截面抛物线的解析式； (2)准备在槽壁第三象限位置取点安装水位传感器，过作垂直地面的竖线交槽内的斜向隔水墙于，求的最大面积； (3)在抛物线上找监测点（不与，重合），作轴，垂足，直线交隔水墙于， 满足，求坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点B的坐标，在求出的解析式，设，，则M的坐标为，利用铅垂法表示出的面积，最后由二次函数的图象和性质求解即可； （3）设，则，，表示出和，然后根据列出绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，， 则M的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为； （3）解：设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵是点B，故，即， 则， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时， ∴或． 6．（26-27九年级上·天津红桥·期中）已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． (1)求点B的坐标； (2)过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 【答案】(1)点B的坐标为 (2)①；②最大值为 【分析】（1）根据抛物线的对称性来求解点的坐标． （2）①先求出直线和直线的方程，再求出点的坐标，最后根据两点间距离公式求出的长． ②先求出，再将进行转化，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】（1）解：设点的坐标为． 点在抛物线上，其对称轴为直线， ．解得． 点B的坐标为． （2）①抛物线的对称轴为直线， 点P的坐标为，． ，． 抛物线经过点， ，．解得． 抛物线的解析式为． 点C的坐标为．有． ．可得，． 根据题意，．． ． ②如图，过点Q作轴，垂足为H，与相交于点N． ，， 直线的解析式为． 设点Q的坐标为，则点，点． ，． ， ． ，． ． ． 当时，取得最大值，最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与线段综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型01 二次函数与横竖线段 题型02 二次函数与斜线段 题型03 二次函数与等线段 题型04 二次函数与倍线段 题型05 二次函数与平行 题型06 二次函数与垂直 题型07 二次函数与线段和的最值问题 题型08 二次函数与线段差的最值问题 题型09 二次函数与胡不归问题 题型10 二次函数与周长最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题为二次函数与线段综合问题，所有题型均依托二次函数图像上点的坐标展开，解题贯穿两条核心原则：一是点在函数图像上，则点的坐标满足二次函数解析式；二是平面内线段长度优先用坐标进行代数表达，几何关系转化为坐标之间的数量关系，求出结果后带回原题检验是否符合图像范围与题意。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数与横竖线段 例1（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是_____． 题型归纳 1. 特征：抛物线上两点，求水平或竖直方向线段的长度、动点坐标。 2. 方法：设抛物线上动点的横坐标，代入解析式写出纵坐标；水平线段用横坐标之差，竖直线段用纵坐标之差表达线段长度，再列方程求解。 3. 易错提醒：计算长度时注意上下、左右位置关系，线段长度取正值；求出坐标后要核对点是否在抛物线上。 1．（24-25九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是______． 2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数图象与坐标轴分别交于、、三点，在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，则该矩形周长的最大值________． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    （1）的度数是______； （2）若点M是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点Q，则的长的最大值是______． 4．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 类型二、二次函数与斜线段 例2（25-26九年级上·河南信阳·期中）一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A，求最小值为：______． 题型归纳 1. 特征：抛物线上两点之间倾斜线段，求线段长、动点坐标。 2. 方法：设抛物线上点坐标，过两点作坐标轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理表示斜线段长度，再根据题意列等式求解。 3. 易错提醒：不要直接用坐标相减当作斜线段长度；注意区分线段表达式和坐标差值，最后检验点的位置是否符合题意。 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与直线交于点、点，点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，则当最大时，点的横坐标为______． 类型三、二次函数与等线段 例3（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线经过点、，与y轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴为直线l，在直线l上是否存在点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型归纳 1. 特征：抛物线上存在点，使得两条线段长度相等，求动点或参数。 2. 方法：把两条线段都用坐标表示长度，根据线段相等建立等式，解方程得到点的横坐标，再回代求纵坐标。 3. 易错提醒：方程求解会出现多组解，要结合图像取舍，舍去不符合位置条件的解。 1．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，抛物线与直线交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点的坐标． (2)若点P在直线下方抛物线上，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点P作y轴的平行线交线段于点N，当时，求点P的横坐标． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，求线段的最大值； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、二次函数与倍线段 例4（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，，交轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图1，点在线段上，连接并延长，交抛物线于点，点在第一象限的抛物线上，横坐标为，连接，交轴的正半轴于点，设线段的长为，当时，求与之间的函数关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，连接并延长，交抛物线于点，连接，交线段于点，若，求点的坐标． 题型归纳 1. 特征：题目给出两条线段存在倍数关系，在抛物线上找点满足倍数条件。 2. 方法：分别写出两条线段的坐标表达式，按倍数关系列出方程，求解未知数，得到对应点坐标。 3. 易错提醒：注意倍数关系的两种方向，不要漏情况；检验解对应的点是否在图像规定范围内。 1．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)求的长； (3)若为直线上方抛物线上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． 求的最大值； 当时，求点的坐标． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标， (3)连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 类型五、二次函数与平行 例5（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新拋物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点． ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，使得两点连线与已知直线平行。 2. 方法：平行直线倾斜程度相同，转化为坐标之间的等量关系，设抛物线上动点坐标，列方程求解。 3. 易错提醒：注意区分直线平行与重合，要排除重合的情况；求出结果带回图像验证。 1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，点为抛物线上一点，过点的直线（不与轴平行）与拋物线有唯一公共点． (1)求直线的解析式； (2)平移直线交抛物线于A，B两点，交轴于点，若点为的中点，求点的坐标． 2．（2025·山东潍坊·三模）如图1，在平面直角坐标系中，一个三角形和二次函数图象的一部分围成的封闭图形，称为“冰激凌型”．已知是二次函数图象与轴的交点，的中点坐标为，二次函数的最小值为，点是轴上方的一个动点，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，连接，，若得到的四边形有一组对边平行，求的长； (3)连接，请直接写出线段的最大值． 类型六、二次函数与垂直 例6（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，使得两条线段互相垂直。 2. 方法：利用垂直对应的直角几何特征，转化为坐标数量关系，设动点坐标列方程求解。 3. 易错提醒：不要漏掉动点在不同位置的多种情况；检验垂直关系是否真实成立。 1．（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M从点C出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，的面积最大，并求出最大面积； (3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接．该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线与直线垂直时，） 类型七、二次函数与线段和的最值问题 例7（23-24九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知二次函数的图象与轴分别交于两点（如图所示），与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为_________． 题型归纳 1. 特征：在抛物线上找一动点，使两条线段长度之和最小。 2. 方法：利用对称变换，转化为两点之间线段最短模型，找到对应定点，求出交点即为动点。 3. 易错提醒：看清定点、动点在哪条线上；要判断所求点是否在抛物线的取值范围内。 1．（2026·重庆铜梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 2．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，求最大值及此时点坐标； (3)在（2）问的基础上，点是的角平分线与的交点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，连接，，求的最小值． 3．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，与直线：交于A、D两点，其中，． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，P为直线上方抛物线上的一点，过P作轴交直线于Q点，、是轴上的两个动点，在上方，且．当线段长度取得最大值时，求的最小值 (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D平移后的对应点为点F，连接，在新抛物线上确定一点R，直线与x轴交于点Q，当时，直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出其中一种情况的求解过程 类型八、二次函数与线段差的最值问题 例8（25-26九年级上·全国·期末）已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时， 有最大值． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，使两条线段长度之差最大。 2. 方法：依据三角形两边之差小于第三边，三点共线时取得差值最大值，联立求交点坐标。 3. 易错提醒：区分线段和最小、线段差最大的模型，不要混用；检验点是否在抛物线上。 1．（24-25九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)如图1，点，是两动点，分别连接，，请求出的最大值，并求出的值； (3)如图2，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别于，，当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？ (3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 类型九、二次函数与胡不归问题 例9（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．若为轴上一个动点，连接，则的最小值为_______． 题型归纳 1. 特征：求带系数的线段与另一条线段相加的最小值，动点在抛物线上。 2. 方法：构造等角，把带系数的线段转化为新线段，转化成两点之间线段最短求解。 3. 易错提醒：角度构造要准确，注意系数的大小；检验动点位置是否符合图像范围。 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为________． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是______．    3．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图1，抛物线交x轴于A、B两点，其中点A坐标为，与y轴交于点，点P为线段上方的抛物线上一动点，过点P作轴于点H，与交于点M．点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求点H的坐标； (3)如图2． ①求线段最大时，点P的坐标； ②在①的条件下，若点N为y轴上一动点，求的最小值． 类型十、二次函数与周长最值问题 例10（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在y轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为_______． 题型归纳 1. 特征：在抛物线上找点，使由线段围成的图形周长最小。 2. 方法：固定长度的线段直接保留，将变化的两条线段通过对称转化，利用两点之间线段最短求解。 3. 易错提醒：分清周长中哪些线段长度不变，只对可变线段做转化；不要误把固定线段参与最值变换。 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 3．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点． (1)写出抛物线顶点的坐标________； (2)点是点关于轴的对称点，判断点是否在直线上，并说明理由； (3)若点是抛物线上的点，且在直线的上方，过点作轴交线段于点，直接写出线段的最大值． 2．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且横坐标为，若轴（点不重合），则的长度为___________； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值之差为，请求出的值； (4)已知，连接，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，的取值范围为___________． 3．（26-27九年级上·天津和平·期中）如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)设点，求使取最小值时的值． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求二次函数表达式； (2)将抛物线向左平移a个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则a的值为________； (3)已知P为线段上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当时，求点P的横坐标． 5．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图：校园劳动实践基地准备修建抛物线造型的雨水收集导流槽，以水平地面为轴，竖直向上为轴．导流槽截面轮廓为抛物线，槽口两端落在地面、；导流槽最低点一侧和竖直挡墙交于． (1)求导流槽截面抛物线的解析式； (2)准备在槽壁第三象限位置取点安装水位传感器，过作垂直地面的竖线交槽内的斜向隔水墙于，求的最大面积； (3)在抛物线上找监测点（不与，重合），作轴，垂足，直线交隔水墙于， 满足，求坐标． 6．（26-27九年级上·天津红桥·期中）已知抛物线（为常数）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，其对称轴为直线． (1)求点B的坐标； (2)过线段上一点M作的垂线l． ①若P为抛物线的对称轴与x轴的交点，当直线l经过点P时，求线段的长； ②若直线l与直线上方的抛物线相交于点Q，求的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $