专题02 二次函数的图像与性质类综合问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级下册
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内容正文：
专题02 二次函数的图像与性质十一类综合问题
目 录
通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移
题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一 用待定系数法求二次函数解析式
题型二 二次函数图像上点的坐标特征
题型三 二次函数的性质
题型四 二次函数的图像
题型五 类比法探索新函数的图像与性质
题型六 二次函数图像与各项系数符号
题型七 函数图像的综合判断
题型八 二次函数图像的平移问题
题型九 二次函数对称问题
题型十 二次函数的最值问题（代数最值）
题型十一 二次函数与其它函数交点问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移
二次函数的图像与性质是初中数学核心重难点，所有题型均围绕解析式、图像形状位置、增减性与最值、点坐标特征、图像变换、函数交点六大核心展开。解题贯穿两条底线原则：一是关注二次项系数决定开口方向，且二次项系数不能为 0；二是研究自变量限定范围下的函数变化，不能直接套用全体实数范围内的结论，所有图像变换、参数求值的结果最终均需带回图像与解析式合规检验。
题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、用待定系数法求二次函数解析式
例1（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________．
【答案】
【分析】利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设此二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过点，，，
∴，解得，
∴此二次函数的解析式为．
题型归纳
1. 特征：给出抛物线上点的坐标，求二次函数对应的解析式。
2. 方法：根据已知点的特征，选择合适的函数形式，代入点坐标建立方程，求解系数。
3. 易错提醒：选错函数形式增加计算量，求出系数后代入检验步骤容易省略。
1．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________．
【答案】
【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式．
【详解】解：设此二次函数的解析式为，
将代入，得，
解得，
这个二次函数的解析式为．
2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
…
0
1
3
4
…
…
8
0
3
8
…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限 B．
C．当时，的值随值的增大而增大 D．图象的对称轴为
【答案】D
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再结合二次函数性质逐一判断选项即可．
【详解】解：将，，代入得：
，
解得，
∴二次函数解析式为，
由此可得函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线.
A，顶点在第四象限，图象经过第四象限，原选项结论错误，不符合题意；
B，，，，得，不满足，原选项结论错误，不符合题意；
C，开口向上，对称轴为，则时随增大而增大，时随增大而减小，原选项结论错误，不符合题意；
D，图象对称轴为直线，结论正确，符合题意．
3．（2025九年级·全国·专题练习）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________．
【答案】或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，灵活运用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．
根据抛物线形状相同则的值相同，再将交点坐标代入交点式求出表达式即可．
【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点为，，
∴设抛物线解析式为 ．
∵其形状与抛物线相同，
∴，
即或．
当时，；
当时，．
∴该抛物线的表达式为或．
故答案为：或．
类型二、二次函数图像上点的坐标特征
例2 （25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）若抛物线与x轴只有一个交点，则a的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点．根据二次函数与一元二次方程的关系列方程求解．
【详解】解：由题意得：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
题型归纳
1. 特征：已知抛物线上部分点坐标，判断其它点坐标、比较点纵坐标大小。
2. 方法：将点代入解析式验证，或者利用图象对称性，比较点到对称轴距离判断高低。
3. 易错提醒：比较函数值大小时，忽略开口方向，只看点横坐标大小直接判断。
1．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）若抛物线经过点，四个点，则m 的值为________．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据点A和点C的坐标可求出对称轴，再根据题意可得点B和点D关于对称轴对称，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴对称轴为直线，
∵点B和点D的纵坐标相同，
∴点B和点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
故答案为：2．
2．（25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是_____．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，将抛物线向上平移后得到新解析式，代入给定点坐标得到关于、的方程，再变形目标代数式求值．
【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度后，解析式为．
该抛物线经过点，代入得：
则，代入得：
故答案为：．
3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数的图像的顶点坐标为，过点，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的图像的顶点坐标为，可以设二次函数的解析式为，把点的坐标代入解析式，可得：，解方程即可求出的值．
【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为，
二次函数过点，
可得：，
整理得：，
解得：．
故答案为： ．
类型三、二次函数的性质
例3（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表，
…
0
1
2
…
…
3
6
7
6
…
根据表格中的信息，得到如下结论：①二次函数的图象开口向上；②求该二次函数的表达式时，可设；③关于的一元二次方程的两个根为0或2；④若，则．以上结论正确的是______________．
【答案】③④/④③
【分析】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论.
【详解】解：∵和时，均为，
∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为;
设二次函数解析式为，
将代入得：，解得,
逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误;
② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误;
③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确;
④ ∵对称轴为直线，时，
∴关于对称轴的对称点是，即时,
∵开口向下，
∴当时，，故④正确.
综上：③④正确.
题型归纳
1. 特征：给出二次函数，判断增减性、顶点、对称轴、最值等基础性质。
2. 方法：先确定开口方向和对称轴，结合图象，判断自变量变化对应的函数变化规律。
3. 易错提醒：增减性必须以对称轴为分界，容易当成在全体实数范围内单调变化。
1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．
（1）抛物线的对称轴为直线______；
（2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______．
【答案】 1
【分析】（1）利用对称轴公式进行计算即可；
（2）根据对称性得到和时的函数值相等，根据增减性结合题意，得到，进行求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线．
（2）∵，抛物线的对称轴为直线，
∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，和时的函数值相等．
∵当，时，均满足，
∴，
∴t的取值范围为：．
2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ．
【答案】8
【分析】根据抛物线解析式得到点的坐标，易得点到的距离、线段的长度，所以根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：由抛物线知，顶点．
∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，
∴．
则，
解得．
∵轴，
∴，．
∴．
∴．
3．（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）下列关于二次函数（为常数）的结论：
①该函数的图象与函数的图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点；
③当时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象的顶点在函数的图象上，其中所有正确结论的序号是 ___________ ．
【答案】①
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
①根据二次函数的一样，形状一样即可求解；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得．
【详解】解：二次函数，
与函数的二次项系数相同，故图象形状相同，结论①正确；
对于
当时，
∴该函数的图象不一定经过点，结论②不正确；
二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则结论③不正确；
对称轴为直线，
∴当时，，
∴顶点坐标为，
对于二次函数，当时，，
∴该函数的图象的顶点不在函数的图象上，结论④不正确；
综上，所有正确的结论序号是①
故答案为：①．
类型四、二次函数的图像
例4（24-25九年级上·河北唐山·期末）在三个数中，随机取一个数作为函数中的值，使该二次函数图像开口向下的概率为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
二次函数图象开口向下得出，从所列三个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：∵从三个数中，随机取一个数，共有3种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向下的有这2种结果，
∴该二次函数图象开口向上的概率是，
故答案为：．
题型归纳
1. 特征：识别二次函数图象，根据解析式判断图象大致形状、位置。
2. 方法：从开口方向、顶点位置、与坐标轴交点，综合判断图象。
3. 易错提醒：混淆顶点位置、坐标轴交点，看错图象的上下左右位置。
1．（2025·江苏盐城·三模）函数的图像如图所示，类似地，函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图像的识别，分别求出当时和当时的函数解析式，进而得到当时和当时函数的开口方向和对称轴，再结合函数图象即可得到答案．
【详解】解：当时，函数解析式为，
当时，函数解析式为，
∴当时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，
当时，该函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，
故的图像为
故选：C．
2．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点E、F、G、H分别位于正方形的四条边上，，四边形也是正方形，设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图像可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形为中心对称图形，可得到，，根据勾股定理可得，再由勾股定理与正方形面积关系可得，对二次函数关系式进行配方求出顶点式，根据抛物线开口方向和顶点位置，即可确定函数图像大致位置．
【详解】解：已知四边形、为正方形
则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则函数图像为抛物线，开口向上，顶点为 ，选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像、正方形性质、勾股定理等知识，结合正方形性质与勾股定理知识列出函数关系式是解题关键．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是_______．
【答案】
【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键．
过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解．
【详解】解：过作轴于点．
由题意可知，
，
∴由勾股定理得，，
设，则，，
抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得：，
故答案为：．
类型五、类比法探索新函数的图像与性质
例5（2021·湖北荆州·中考真题）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程的解为：__________；
③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）①关于y轴对称；②；③；（2）将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，当时，自变量的取值范围为或．
【分析】（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．
【详解】解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；
故答案为关于y轴对称；
②由题意及图象可看作直线y=-1与函数的图象交点问题，如图所示：
∴方程的解为；
故答案为；
③由题意可看作直线y=a与函数的图象有四个交点的问题，如图所示：
∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是；
故答案为；
（2）由题意得：将函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图所示：
∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
题型归纳
1. 特征：给出陌生函数，类比二次函数的研究思路，探究图象特征与函数性质。
2. 方法：沿用二次函数研究流程，列表描点画图，再观察图象，总结增减性、最值等特点。
3. 易错提醒：生硬套用二次函数结论，没有结合新函数本身图象特征分析。
1．（2022·江苏南京·二模）我们在研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图像．利用此方法对函数进行探究．
绘制图像：
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图像．
观察探究：
（2）结合图像，写出该函数的一条性质：______．
（3）方程的解是______．
（4）若关于x的方程有两个不相等的实数解，则b的取值范围是______．
延伸思考：
（5）将该函数的图像经过怎样的变换可以得到函数的图像？写出变换过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围．
【答案】
（1）函数图象如下所示：
（2）此函数的函数值最大为0（答案不唯一）
（3）或；
（4）或；
（5）函数经过向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数的图像，当时，或
【分析】（1）利用描点法画函数图象即可；
（2）根据（1）所画函数图象求解即可；
（3）直接解方程即可；
（4）分别求出当直线恰好经过（0，-4）时，则，当，当直线与函数恰好只有一个交点时，；当，当直线与函数恰好只有一个交点时，，结合函数图象即可得到答案；
（5）根据图象的平移规律“左加右减，上加下减”结合函数图象进行求解即可．
【详解】解：（1）列表得：
x
…
-3
-2
0
2
3
…
…
-1
0
-4
0
1
…
（2）由（1）中函数图象可知，此函数的函数值最大为0（答案不唯一）；
（3）∵方程，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
（4）如图所示，当直线恰好经过（0，-4）时，则，
∴结合函数图象，当时，直线与函数有两个不同的交点，
∴当时，关于x的方程有两个不相等的实数解；
当，当直线与函数恰好只有一个交点时，
∴，即，
∴，
解得；
同理当，当直线与函数恰好只有一个交点时，求得，
∴当时，直线与函数有两个不同的交点，
∴当时，关于x的方程有两个不相等的实数解；
综上所述，当或时，关于x的方程有两个不相等的实数解；
（5）如图所示，函数经过向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数的图像，当时，或．
【点睛】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数与一次函数综合，二次函数的平移，二次函数的性质等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小明学习完二次函数后发现函数图象关于直线（n为常数）对称，他还发现除了二次函数，还有一些函数也具有这样的性质，他把这些函数称之为“函数”．
【探究一】小明对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（1）①列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
0
4
6
▲
6
4
6
▲
6
4
0
…
②画图：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．
（2）由图象知：①_________
②方程有两个实数根，它们分别为：_________；_________；
③若直线与函数的图象有三个交点，则_________．
【探究二】若关于x的“函数”（a，b为常数）经过点，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求出t的值．
【答案】探究一：
列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
0
4
6
6
4
6
6
4
0
…
②函数图象，如图所示：
2）①0；②4；；③4；探究二：或
【分析】探究一：（1）①根据函数解析式求出时，时，y的值即可；
②先描点，再连线画出函数图象即可；
（2）①根据函数图象得出对称轴，求出n的值即可；
②根据函数图象与x轴的交点，即可得出答案；
③根据函数图象得出答案即可；
（3）先求出函数解析式，然后分四种情况讨论：当时，当，即时，当时，当时，分别列式求出t的值即可．
【详解】解：探究一：（1）①当时，；
当时，；
（2）①根据函数图象可知：对称轴为y轴，因此；
②根据函数图象可知：与x轴的交点为，，
∴方程的两个根为，；
③根据函数图象可知：直线与函数的图象有三个交点，
∴；
探究二：∵关于x的“函数”（a，b为常数）经过点，
∴，
解得：，
∴关于x的“函数”为，
①当时，
时，，
时，，
，
解得：；
②当，即时，
时，，
时，，
，
解得：；
③当时，
时，，
时，，
，
解得：（舍去）；
④当时，
时，，
时，，
，
解得：（舍去），
综上，t的值为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，解题的关键是理解新定义，熟练掌握二次函数的性质．
类型六、二次函数图像与各项系数符号
例6（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论：
①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________．
【答案】①②③④
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论．
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，即异号，
．
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，故①正确；
②当时，图象在轴下方，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，
，即，由②知，
，
，
，故③正确；
④对称轴为直线，
与关于对称轴对称，
当时，，
当时，，故④正确；
⑤抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，取最大值，
，
，
，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是①②③④．
题型归纳
1. 特征：给出抛物线图象，判断各项系数或者系数组合代数式正负。
2. 方法：由开口判断二次项系数，对称轴判断一次项系数，y 轴交点判断常数项，代入特殊点判断代数式。 3. 易错提醒：对称轴相关符号判断容易出错，特殊点代入得到的式子不会变形推导。
1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．有下列结论：①；②；③方程没实数根；④；⑤；其中正确结论的序号为________．
【答案】②④⑤
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
①根据函数图象确定二次函数参数的取值范围即可；
②根据点的坐标求出对称轴，然后得出，最后取特殊值确定代数式的取值范围即可；
③根据函数图象确定一元二次方程根的情况即可；
④根据特殊值以及各参数的取值范围，确定代数式的正负即可；
⑤利用特殊值确定，得出，根据的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴；
∵对称轴位于轴右侧，
∴异号，
∴；
∵与轴交于负半轴，
∴；
∴，
故①错误，不符合题意；
②由点、可得，
对称轴为直线，
∴，
∴，
当时，，
即，
∴，
则，
故②正确，符合题意；
③由函数图象可知，抛物线与直线有两个交点，
∴方程有两个实数根，
故③错误，不符合题意；
④当时，，
即；
由②得，
∴，
由①得，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
⑤当时，，
∴，
由②得，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，其中，
∴，
即，
解得，
故⑤正确，符合题意；
综上，正确选项为：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；②；③；④若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的序号________．
【答案】①②④⑤
【分析】本题考查了二次函数的性质、根的判别式、由函数图像判断式子的正负，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：二次函数的开口方向向下，
，
对称轴，则，即，
，
当时，，由图象可知函数与轴交点在轴正半轴，
，
，
，故①正确；
二次函数图象与轴交于，对称轴为，根据二次函数的对称性可知，二次函数与轴的另一个交点的坐标为，
当时，代入二次函数，得，
故②正确；
③二次函数过点，
，
又，代入，
得，
即,
则，
∴，故③错误；
④二次函数开口向下，对称轴为，
∴当时，有最大值，
对于任意不等于1的实数，，
∴恒成立，故④正确；
将方程，
整理为，
，
，
，
即无论取何值，方程均有两个不相等的实数根，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，即可得出的符号，即可判断①，根据时，，即可判断②，根据时，即可判断③，根据时，，即可判断④，根据抛物线开口向下，时，的值最大，即可判断⑤．
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，故①正确；
②当时，，故，故②正确；
③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误；
④由对称知，当时，函数值小于，，且，
即，代入得，得，故④正确；
⑤当时，的值最大．此时，，
而当时， ，
所以，
故，即，故⑤错误．
故①②④正确．
故答案为：①②④．
类型七、函数图像的综合判断
例7（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象的性质，牢记解析式的系数与图象的关系是解题的关键；分别分析当时和当时，函数图象的开口方向和顶点位置，函数的图象所经过的象限，从而可得出答案．
【详解】解：根据题意，
当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限；
当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限；
分析选项可得，只有D选项符合题意．
题型归纳
1. 特征：同一题干含有二次函数与一次函数，选出符合参数条件的一组图象。
2. 方法：从其中一个图象读出参数范围，再验证另一个函数图象是否匹配这个参数。
3. 易错提醒：两个函数共用同一组参数，单独分析图象，忽略参数前后保持一致。
1．（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据二次函数图象得出的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．
【详解】解：抛物线开口向下得到，
对称轴在轴右侧，则，解得，
抛物线与轴交点在正半轴，则，
∴，
∴一次函数的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求．
2．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限，
，
，
二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴右侧；
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
二次函数的图象与y轴交点在x轴下方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解．
【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意；
B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意；
C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意；
D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意．
类型八、二次函数图像的平移问题
例8（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得函数解析式为___________．
【答案】
【分析】本题考查函数图象的平移，熟练掌握函数平移规律是解题的关键．
根据二次函数顶点式平移的规律，函数值“上加下减”，自变量“左加右减”，从而得到新函数的解析式
【详解】原二次函数为
向上平移3个单位长度，函数表达式为，
再向左平移2个单位长度，函数表达式为，
则新二次函数的解析式为 ，
故答案为 ．
题型归纳
1. 特征：抛物线经过上下、左右平移，求平移前后解析式或者平移方向距离。
2. 方法：优先看顶点，抓住顶点的平移变化，同步得到抛物线整体平移结果。
3. 易错提醒：平移口诀记反，左右平移方向容易出错，混淆自变量的加减位置。
1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________.
【答案】
【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可．
【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，
则点、，
由于点、都在抛物线上，
则，
解得，
将代入得：，
∴，
故答案为：．
2．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，将抛物线向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则m的取值范围为_______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移问题，抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，通过计算抛物线顶点与线段有公共点时的最小值和抛物线经过点时的最大值，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，
如图，当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有公共点，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得：；
将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段有公共点，如图，
，
抛物线经过点时，抛物线最后与线段有公共点，如图：
，
把点坐标代入函数得，
解得：，
当时，抛物线与线段没有公共点，
综上所述，平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为，
故答案为：．
3．（2025九年级·全国·专题练习）将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是_________________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握函数图象平移的逆过程，通过顶点坐标的逆向平移确定原函数表达式是解题的关键．
根据函数图象平移的规律，将新函数的顶点坐标逆向平移即可得到原函数的顶点坐标，从而确定原函数的表达式．
【详解】解：新函数的顶点坐标为，
由于图象是由原函数向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，
因此将新函数的顶点先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，
得到原函数的顶点坐标为，
故原二次函数的表达式为．
故答案为：．
类型九、二次函数对称问题
例9（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向下，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴，
解得：
∴，
故答案为：．
题型归纳
1. 特征：抛物线关于坐标轴、定点或者直线对称，求新抛物线或者相关点坐标。
2. 方法：抓住顶点与开口方向，找到顶点对称后的位置，判断开口是否翻转。
3. 易错提醒：做对称变换时，忘记判断开口方向是否改变，顶点坐标变换算错。
1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象关于直线对称，则______．
【答案】4
【分析】本题考查了二次函数的对称轴性质，解题的关键是掌握二次函数对称轴的计算公式．
利用二次函数的对称轴公式，代入与对称轴，计算求解的值．
【详解】解：对于二次函数，其对称轴为；
已知，对称轴为，则；
化简得，解得．
故答案为：4．
2．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，关于抛物线对称轴对称，且，则点坐标为_____，的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意，可以得到，进而得到的值，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到c的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
∵两点关于直线对称，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
∴，
∴
把点代入抛物线得：，
解得．
故答案为：； ．
3．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质．
把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解．
【详解】解：把代入，则，
解得：，
二次函数解析式为：，
令，则，
故，
∵抛物线的对称轴为直线，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，
，
∴此时的值最小，
∴此时周长有最小值，
，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
类型十、二次函数的最值问题（代数最值）
例10（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________．
【答案】1或
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据的正负分类讨论，确定最小值的位置，代入计算得到的值．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
∵在区间内，分两种情况讨论：
当时，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，即时，
代入得，
整理得，
解得；
当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，
在中，离对称轴更远，
∴时取得最小值，
代入得，
整理得，
解得；
综上，的值为或．
题型归纳
1. 特征：给定自变量取值范围，求函数最大值或者最小值。
2. 方法：对比对称轴和自变量区间的位置，分情况讨论，在顶点或者区间端点取最值。
3. 易错提醒：直接拿顶点当作最值，不判断顶点横坐标是否落在给定取值区间内。
1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，分类讨论是解题的关键．
二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，根据参数的取值范围分类讨论顶点是否在区间内，利用二次函数的性质求最值，由最值差为4建立方程求解．
【详解】解：二次函数可化为，开口向下，顶点为，
∵，，
（1）当时，顶点在内，最大值，
最小值在端点处：当时，，
当时，，
①当时，，最小值，
差为，
解得：，（舍去）；
②当时，，最小值，
差为，无解；
（2）当时，顶点不在内，函数y在上随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
差为，
故无解，
综上，满足条件，
故答案为：．
2．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键．
根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可．
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
当时，有最小值，最小值为，
函数的最小值为，
，
；
②当时，抛物线开口向下，
，
当时函数有最小值，
，
，
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数的最值问题．
由于二次函数开口向上，当时，最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的端点处．通过计算顶点和端点处的函数值，并令其差为5，解方程可得的值．
【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，由于，抛物线开口向上，最小值在处，；
最大值在处（因为离对称轴更远），；
由函数y的最大值与最小值的差为5，得：，
，
解得：．
故答案为：．
类型十一、二次函数与其它函数交点问题
例11（2024·四川凉山·模拟预测）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】直线与抛物线有交点，则画出二次函数的图象，根据图象进行解答即可．本题主要考查二次函数图象的性质及直线交点的问题，数形结合是解题的关键．
【详解】解：画出抛物线，如图，
当时，，且抛物线的顶点是图象最低点，抛物线开口向上，
∵直线与抛物线有交点，,
∴由图象可知．
故答案为：．
题型归纳
1. 特征：抛物线和一次函数等其它函数，根据交点个数、交点坐标求相关参数。
2. 方法：联立两个函数解析式，转化成方程，利用方程根的情况分析交点。
3. 易错提醒：联立方程后忽略二次项系数不能为 0，不检验根是否满足原始函数。
1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与抛物线．
(1)若它们没有交点，则的取值范围是_______；
(2)若当时它们有交点，则的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质以及直线与抛物线的位置关系，数形结合是解题的关键．
（1）先将抛物线化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向，再结合直线与抛物线的位置关系来确定a的取值范围；
（2）先求出抛物线在这个区间内的最大值和最小值，再根据直线与抛物线有交点的条件来确定a的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵直线与抛物线没有交点，
∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点，
∴的取值范围是，
故答案为：．
（2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上，
当时，y有最小值，
当时，，
当时，，
∵，
∴当时，，y有最大值1，
∵直线与抛物线，当时它们有交点，
∴a的取值范围是，
故答案为：．
2．（2025九年级·全国·专题练习）已知直线经过第一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为______．
【答案】2
【分析】先由直线经过第一、二、三象限，求出，再通过的实数解的个数即可求解．
【详解】解：直线经过第一、二、三象限，
．
由直线与抛物线，
得：关于的方程．
即：．
．
直线与抛物线有2个交点．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，将抛物线中x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一个新图像，则新图像与直线的交点个数为4时，则m的取值范围是__________.
【答案】
【分析】本题考查图像法求不等式的解集，利用图像法进行求解即可。
【详解】解：∵，
∴原抛物线的顶点坐标为，
∴其翻折后的对应点为，
如图：
当时，新图像与直线的交点个数为3，
当时，新图像与直线的交点个数为2，
当时，新图像与直线的交点个数为4；
故答案为：
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数（m为常数，）．
(1)求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
(2)若该图象与x轴两交点之间的距离为4，求m的值．
【答案】(1)证明：令，得方程．
．
∵，
∴，即，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与轴有两个公共点．
(2)
【分析】（1）将二次函数与x轴交点问题转化为一元二次方程根的问题，通过计算判别式并结合的条件证明判别式大于0；
（2）求解一元二次方程得到两交点横坐标，根据两点距离列绝对值方程求解m的值．
【详解】（1）证明：令，得方程，
．
∵，
∴，即，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）解：令，则，
∴，
解得，．
∵两交点之间的距离为4，
∴，即，
∴，
∴．
2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线（a为常数，且）过点．
(1)求抛物线与y轴的交点坐标；
(2)当时，求函数的最大值与最小值的差．
【答案】(1)
抛物线与轴的交点坐标为
(2)
函数的最大值与最小值的差为
【分析】（1）把点代入抛物线，求出a的值，进而即可得到答案；
（2）把函数解析式配方后，根据二次函数的性质求出函数的最大和最小值，进而即可求解．
【详解】（1）解：把点代入抛物线得，
解得：，
∴，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为；
（2）解：∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，，
当时，，
∴函数的最大值与最小值的差为．
3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数（b、c为常数）
(1)若函数图象关于直线对称，
①则_______；
②若函数图象与x轴的一个交点为，则另一个交点为______；
(2)若函数图象的顶点在直线上，求c的最小值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）根据对称轴公式即可求解，再由对称性求解另一交点；
（2）先表示出顶点坐标，再代入直线，得到关于的二次函数，再由二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：①，对称轴为直线
∴，
解得；
②函数图象关于直线对称，图象与x轴的一个交点为，
∴另一个交点为，即；
（2）解：，
∴顶点为
∵顶点在直线上，
∴，则
此时该函数开口向上，故当时，取得最小值为．
4．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知抛物线：．
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标；
(2)把抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式；
(3)求抛物线与坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)抛物线的顶点坐标为
(2)
(3)与y轴交点坐标为，与x轴无交点
【分析】（1）将二次函数的解析式化为，则抛物线的顶点坐标为；
（2）根据二次函数的图像的平移进行解答即可；
（3）先求出抛物线与轴的交点为，令，得到，根据任何实数的平方都不小于，可推导出抛物线与轴没有交点，即可解答．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为．
（2）解：抛物线为．
向右平移个单位长度得，
再向上平移个单位长度得，
即抛物线的解析式为．
（3）解：令，得，
抛物线与轴的交点为．
令，得
，即．
任何实数的平方都不小于，
该方程无实数根，即抛物线与轴没有交点．
综上，抛物线与坐标轴只有个交点，坐标为．
5．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数的对称性进行求解；
（2）利用二次函数的顶点坐标及，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，
；
（2）解：二次函数的最大值为，
，，
又，
，
，整理得，
即，
解得，，
，
，则，
．
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专题02 二次函数的图像与性质十一类综合问题
目 录
通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移
题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一 用待定系数法求二次函数解析式
题型二 二次函数图像上点的坐标特征
题型三 二次函数的性质
题型四 二次函数的图像
题型五 类比法探索新函数的图像与性质
题型六 二次函数图像与各项系数符号
题型七 函数图像的综合判断
题型八 二次函数图像的平移问题
题型九 二次函数对称问题
题型十 二次函数的最值问题（代数最值）
题型十一 二次函数与其它函数交点问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移
二次函数的图像与性质是初中数学核心重难点，所有题型均围绕解析式、图像形状位置、增减性与最值、点坐标特征、图像变换、函数交点六大核心展开。解题贯穿两条底线原则：一是关注二次项系数决定开口方向，且二次项系数不能为 0；二是研究自变量限定范围下的函数变化，不能直接套用全体实数范围内的结论，所有图像变换、参数求值的结果最终均需带回图像与解析式合规检验。
题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、用待定系数法求二次函数解析式
例1（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________．
题型归纳
1. 特征：给出抛物线上点的坐标，求二次函数对应的解析式。
2. 方法：根据已知点的特征，选择合适的函数形式，代入点坐标建立方程，求解系数。
3. 易错提醒：选错函数形式增加计算量，求出系数后代入检验步骤容易省略。
1．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________．
2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
…
0
1
3
4
…
…
8
0
3
8
…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限 B．
C．当时，的值随值的增大而增大 D．图象的对称轴为
3．（2025九年级·全国·专题练习）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________．
类型二、二次函数图像上点的坐标特征
例2 （25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）若抛物线与x轴只有一个交点，则a的值为______．
题型归纳
1. 特征：已知抛物线上部分点坐标，判断其它点坐标、比较点纵坐标大小。
2. 方法：将点代入解析式验证，或者利用图象对称性，比较点到对称轴距离判断高低。
3. 易错提醒：比较函数值大小时，忽略开口方向，只看点横坐标大小直接判断。
1．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）若抛物线经过点，四个点，则m 的值为________．
2．（25-26九年级上·山东威海·期中）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是_____．
3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知二次函数的图像的顶点坐标为，过点，则的值为__________．
类型三、二次函数的性质
例3（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表，
…
0
1
2
…
…
3
6
7
6
…
根据表格中的信息，得到如下结论：①二次函数的图象开口向上；②求该二次函数的表达式时，可设；③关于的一元二次方程的两个根为0或2；④若，则．以上结论正确的是______________．
题型归纳
1. 特征：给出二次函数，判断增减性、顶点、对称轴、最值等基础性质。
2. 方法：先确定开口方向和对称轴，结合图象，判断自变量变化对应的函数变化规律。
3. 易错提醒：增减性必须以对称轴为分界，容易当成在全体实数范围内单调变化。
1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．
（1）抛物线的对称轴为直线______；
（2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______．
2．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ．
3．（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）下列关于二次函数（为常数）的结论：
①该函数的图象与函数的图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点；
③当时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象的顶点在函数的图象上，其中所有正确结论的序号是 ___________ ．
类型四、二次函数的图像
例4（24-25九年级上·河北唐山·期末）在三个数中，随机取一个数作为函数中的值，使该二次函数图像开口向下的概率为_____．
题型归纳
1. 特征：识别二次函数图象，根据解析式判断图象大致形状、位置。
2. 方法：从开口方向、顶点位置、与坐标轴交点，综合判断图象。
3. 易错提醒：混淆顶点位置、坐标轴交点，看错图象的上下左右位置。
1．（2025·江苏盐城·三模）函数的图像如图所示，类似地，函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点E、F、G、H分别位于正方形的四条边上，，四边形也是正方形，设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图像可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是_______．
类型五、类比法探索新函数的图像与性质
例5（2021·湖北荆州·中考真题）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程的解为：__________；
③若方程有四个实数根，则的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
题型归纳
1. 特征：给出陌生函数，类比二次函数的研究思路，探究图象特征与函数性质。
2. 方法：沿用二次函数研究流程，列表描点画图，再观察图象，总结增减性、最值等特点。
3. 易错提醒：生硬套用二次函数结论，没有结合新函数本身图象特征分析。
1．（2022·江苏南京·二模）我们在研究一个新函数时，常常会借助图像研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图像．利用此方法对函数进行探究．
绘制图像：
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图像．
观察探究：
（2）结合图像，写出该函数的一条性质：______．
（3）方程的解是______．
（4）若关于x的方程有两个不相等的实数解，则b的取值范围是______．
延伸思考：
（5）将该函数的图像经过怎样的变换可以得到函数的图像？写出变换过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围．
2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）小明学习完二次函数后发现函数图象关于直线（n为常数）对称，他还发现除了二次函数，还有一些函数也具有这样的性质，他把这些函数称之为“函数”．
【探究一】小明对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（1）①列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
0
4
6
▲
6
4
6
▲
6
4
0
…
②画图：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．
（2）由图象知：①_________
②方程有两个实数根，它们分别为：_________；_________；
③若直线与函数的图象有三个交点，则_________．
【探究二】若关于x的“函数”（a，b为常数）经过点，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求出t的值．
类型六、二次函数图像与各项系数符号
例6（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论：
①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________．
题型归纳
1. 特征：给出抛物线图象，判断各项系数或者系数组合代数式正负。
2. 方法：由开口判断二次项系数，对称轴判断一次项系数，y 轴交点判断常数项，代入特殊点判断代数式。 3. 易错提醒：对称轴相关符号判断容易出错，特殊点代入得到的式子不会变形推导。
1．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．有下列结论：①；②；③方程没实数根；④；⑤；其中正确结论的序号为________．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；②；③；④若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的序号________．
3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______．
类型七、函数图像的综合判断
例7（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）在同一坐标系内，函数和的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
题型归纳
1. 特征：同一题干含有二次函数与一次函数，选出符合参数条件的一组图象。
2. 方法：从其中一个图象读出参数范围，再验证另一个函数图象是否匹配这个参数。
3. 易错提醒：两个函数共用同一组参数，单独分析图象，忽略参数前后保持一致。
1．（2025九年级下·广东广州·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
类型八、二次函数图像的平移问题
例8（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得函数解析式为___________．
题型归纳
1. 特征：抛物线经过上下、左右平移，求平移前后解析式或者平移方向距离。
2. 方法：优先看顶点，抓住顶点的平移变化，同步得到抛物线整体平移结果。
3. 易错提醒：平移口诀记反，左右平移方向容易出错，混淆自变量的加减位置。
1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________.
2．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，将抛物线向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则m的取值范围为_______．
3．（2025九年级·全国·专题练习）将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是_________________．
类型九、二次函数对称问题
例9（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________．
题型归纳
1. 特征：抛物线关于坐标轴、定点或者直线对称，求新抛物线或者相关点坐标。
2. 方法：抓住顶点与开口方向，找到顶点对称后的位置，判断开口是否翻转。
3. 易错提醒：做对称变换时，忘记判断开口方向是否改变，顶点坐标变换算错。
1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象关于直线对称，则______．
2．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，关于抛物线对称轴对称，且，则点坐标为_____，的值为_____．
3．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______．
类型十、二次函数的最值问题（代数最值）
例10（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________．
题型归纳
1. 特征：给定自变量取值范围，求函数最大值或者最小值。
2. 方法：对比对称轴和自变量区间的位置，分情况讨论，在顶点或者区间端点取最值。
3. 易错提醒：直接拿顶点当作最值，不判断顶点横坐标是否落在给定取值区间内。
1．（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．
2．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________．
3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______．
类型十一、二次函数与其它函数交点问题
例11（2024·四川凉山·模拟预测）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是______．
题型归纳
1. 特征：抛物线和一次函数等其它函数，根据交点个数、交点坐标求相关参数。
2. 方法：联立两个函数解析式，转化成方程，利用方程根的情况分析交点。
3. 易错提醒：联立方程后忽略二次项系数不能为 0，不检验根是否满足原始函数。
1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与抛物线．
(1)若它们没有交点，则的取值范围是_______；
(2)若当时它们有交点，则的取值范围是______．
2．（2025九年级·全国·专题练习）已知直线经过第一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为______．
3．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，将抛物线中x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一个新图像，则新图像与直线的交点个数为4时，则m的取值范围是__________.
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数（m为常数，）．
(1)求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
(2)若该图象与x轴两交点之间的距离为4，求m的值．
2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线（a为常数，且）过点．
(1)求抛物线与y轴的交点坐标；
(2)当时，求函数的最大值与最小值的差．
3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数（b、c为常数）
(1)若函数图象关于直线对称，
①则_______；
②若函数图象与x轴的一个交点为，则另一个交点为______；
(2)若函数图象的顶点在直线上，求c的最小值．
4．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知抛物线：．
(1)用配方法求抛物线的顶点坐标；
(2)把抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式；
(3)求抛物线与坐标轴的交点坐标．
5．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，．
(1)求的值；
(2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式．
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