专题05 二次函数与角度综合问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级下册

专题05 二次函数与角度综合问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型01 等角构等腰 题型02 等角构全等 题型03 二次函数与倍角问题 题型04 二次函数与角的和差倍分 题型05 二次函数与15°角 题型06 二次函数与45°角 题型07 二次函数与60°角 题型08 二次函数与90°角 题型09 二次函数与135°角 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题为二次函数与角度综合问题，所有题型依托抛物线上点的坐标与角度几何关系求解，解题贯穿两条核心原则：一是抛物线上点的坐标满足二次函数解析式；二是将角度条件转化为边长、斜率、三角形全等或等腰等代数关系，求出结果后带回原题检验，判断点是否在抛物线上、是否符合图像范围。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等角构等腰 例1（2026九年级上·全国·专题练习）已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． (1)_______． (2)在轴上有一点，求点的坐标． 题型归纳 1. 特征：题目给出两个角相等，在抛物线上寻找满足等角条件的动点。 2. 方法：利用等角对等边，构造等腰三角形，转化出线段相等的坐标关系式，列方程求点坐标。 3. 易错提醒：等腰三角形要区分谁是顶角、底角，存在多种情况，容易漏解；求出坐标后验证角度是否符合题意。 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)连接，当时，求证：； (3)设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； (4)连接，当时，直接写出的值． 2．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 类型二、等角构全等 例2 （25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 题型归纳 1. 特征：存在相等角，通过构造全等三角形建立坐标之间的等量关系，求解抛物线上动点。 2. 方法：以已知角为基础作辅助线，构造全等三角形，得到对应边相等，转化为坐标等式进行计算。 3. 易错提醒：找准全等三角形的对应边、对应角；注意不同位置的动点会构造出多组全等图形，不要遗漏。 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 2．（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，，，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点P横坐标为t，面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点D为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点Q，若，求S的值． 类型三、二次函数与倍角问题 例3（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 题型归纳 1. 特征：存在一个角是另一个角的两倍，在抛物线上找点满足二倍角条件。 2. 方法：利用二倍角几何模型，作角平分线或者构造等腰三角形，将倍角转化为等角，再转化为线段关系列式。 3. 易错提醒：倍角转化模型选择错误；没有分类讨论动点的不同位置，丢失部分解。 1．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则______，点在直线上，若，则点的坐标是______． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为_____________． 3．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 类型四、二次函数与角的和差倍分 例4（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 题型归纳 1. 特征：角度之间存在和、差、倍数、分数关系，结合抛物线求对应动点。 2. 方法：通过作辅助线拆分或者合并角度，转化成相等角，再利用直角三角形、等腰三角形转化为线段长度关系。 3. 易错提醒：角度加减时容易混淆角之间的位置；画图不全，漏掉动点在不同侧的情况。 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，为坐标原点．点为轴上的动点，当点运动到使时，的长度为______． 2．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则____________．    3．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，作点关于轴的对称点，直线交抛物线于另一点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，且，求此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．点坐标是，若，求出点的横坐标． 类型五、二次函数与 15° 角 例5（21-22九年级上·山西太原·阶段检测）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．      题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，构造出 15° 的特殊角，求解动点坐标。 2. 方法：15° 角可由 45° 与 30° 角相减得到，构造直角三角形，利用特殊直角三角形边长比例转化线段关系。 3. 易错提醒：15° 对应的直角三角形边长计算复杂，容易出现计算错误；注意 15° 角在不同方位的两种情况。 1．（2022·湖南湘潭·模拟预测）如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·广东清远·二模）已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于，交抛物线于点． (1)求二次函数解析式． (2)若点在线段上运动（不与，重合），求四边形面积的最大值，并求此时点坐标． (3)设点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 类型六、二次函数与 45° 角 例6（2026·贵州黔南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D是二次函数的顶点，连接直线，点E是直线上一动点，连接，，当时，点E的坐标为__________． 题型归纳 1. 特征：抛物线上存在点，使形成的夹角为 45°，求动点坐标。 2. 方法：依托 45° 构造等腰直角三角形，利用全等转化坐标关系，列出方程求解。 3. 易错提醒：45° 角在直线两侧各有一个点，极易漏解；构造等腰直角三角形时找错对应顶点。 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标__________． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则_________ ． 类型七、二次函数与 60° 角 例7（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，形成夹角等于 60°，求解动点坐标。 2. 方法：构造含 60° 角的直角三角形或等边三角形，利用特殊三角形边长比例转化坐标关系。 3. 易错提醒：等边三角形有两个方向，存在两组解；注意区分 60° 角顶点位置。 1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC． (1)求抛物线的表达式； (2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标； (3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 类型八、二次函数与 90° 角 例9（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，抛物线交x轴于A和B两点，交y轴于点C．直线与抛物线交于M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使，则m的值为_________． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，使得两条线段夹角为直角，求动点坐标。 2. 方法：以定点或者动点为直角顶点，构造垂直，转化为线段的坐标关系，列方程求解。 3. 易错提醒：直角顶点有多个选择，需要分类讨论；计算时忽略点在抛物线上的限制条件。 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 2．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为___________． 类型九、二次函数与 135° 角 例9（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，构造 135° 的夹角，求动点坐标。 2. 方法：135° 的补角是 45°，利用邻补角转化，构造等腰直角三角形，转化坐标关系计算。 3. 易错提醒：135° 的开口方向有两种情况，容易只算出一组解；计算线段长度时符号出错。 1．（22-23九年级上·山西运城·期末）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左则），与y轴交于点，点是抛物线的顶点．抛物线的对称轴交轴于点，点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为，点的坐标为，连接分别与轴，对称轴交于点． (1)求三点的坐标并直按写出顶点的坐标； (2)当时．求点的坐标； (3)试探究：在点运动过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．（2023·广东茂名·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接与，交于点D，求当的值最大时点P的坐标； (3)点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线轴，点M为直线上的一个动点，过点M作轴于点N，在线段上任取一点K，当有且只有一个点K满足时，请直接写出此时线段的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，连接，若的面积为3，求点的坐标． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 3．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数与角度综合问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型01 等角构等腰 题型02 等角构全等 题型03 二次函数与倍角问题 题型04 二次函数与角的和差倍分 题型05 二次函数与15°角 题型06 二次函数与45°角 题型07 二次函数与60°角 题型08 二次函数与90°角 题型09 二次函数与135°角 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题为二次函数与角度综合问题，所有题型依托抛物线上点的坐标与角度几何关系求解，解题贯穿两条核心原则：一是抛物线上点的坐标满足二次函数解析式；二是将角度条件转化为边长、斜率、三角形全等或等腰等代数关系，求出结果后带回原题检验，判断点是否在抛物线上、是否符合图像范围。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、等角构等腰 例1（2026九年级上·全国·专题练习）已知：如图，抛物线内的的三个顶点都在抛物线上：其中点为抛物线的顶点，点的坐标为，点的坐标为． (1)_______． (2)在轴上有一点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法得到抛物线的解析式，进而得到点的坐标，过点作于点，过点作于点，于点，通过证明四边形为矩形，进而根据勾股定理证明，证明； （2）根据当点在的上方时和当点在的下方时，分情况讨论，通过证明边的关系得到点的坐标． 【详解】（1）解：点，点都在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 如图1，过点作于点，过点作于点，于点，则， ． ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， 在中， 在中， ， ， 为直角三角形， ； （2）解：如图2，①当点在的上方时，设与交于点， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为，代入，，得：， ， 直线的解析式为， 令，则， ； ②如图3，当点在的下方时， ， ， 设直线的解析式为， 代入，得：， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入，得：， ， 直线的解析式为， 令，则， ， 综上，当时，点的坐标为或． 题型归纳 1. 特征：题目给出两个角相等，在抛物线上寻找满足等角条件的动点。 2. 方法：利用等角对等边，构造等腰三角形，转化出线段相等的坐标关系式，列方程求点坐标。 3. 易错提醒：等腰三角形要区分谁是顶角、底角，存在多种情况，容易漏解；求出坐标后验证角度是否符合题意。 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)连接，当时，求证：； (3)设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； (4)连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) 证明：∵当时，代入， 得， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，， ， 解得，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． (3)或； (4)或4． 【分析】（1）直接将点坐标代入即可； （2）由题意知，进而可得，据此得证； （3）根据图象明显可知点在点左侧时，最值之差大于，不合题意，点在和顶点之间时，最值之差小于，不合题意；则分两种情况讨论即可； （4）分两种情况讨论：当点在上方时，作点关于轴对称点，易得，再构造一线三垂直全等可得直线解析式，进而联立二次函数解析式求出值；当点在下方时，易得，同理可求值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：由题意可知顶点坐标为， ∵当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∴此时，，成立； 当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∵，， ∴， ∴， 解得，（舍）； 综上，或； （4）解：①当点在上方时，作点关于轴对称点，则， 则， ∴， 过作交延长线于点， 则为等腰直角三角形， ∴， 过作轴于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴点， ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， 解得（舍去）或， ∴； ②当点在下方时，过作交于点，过作交于点 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴在 ， ∴，， ∴， ∵在第四象限， ∴点． ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， ， ， 解得（舍去）或， ∴； 综上，的值为或4． 【点睛】本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为，这个最小值为 【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可； （2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可； （3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标； （2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为； （3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 类型二、等角构全等 例2 （25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图1，抛物线与轴相交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点，抛物线的顶点为点． (1)求点和点的坐标； (2)当时，抛物线的取值范围是_______； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， (2) (3)存在；， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数与方程的关系、几何中角度相等的条件转化，涉及全等三角形和两直线平行和内错角相等；解题的关键是将角度相等的几何条件转化为代数关系． （1）联立抛物线方程与直线方程解出点坐标；将抛物线化为顶点式或利用顶点公式求出点坐标； （2）确定抛物线在的递增或递减情况，计算端点及顶点的函数值，比较得出范围； （3）当在直线上方时，构造，利用两直线平行，内错角相等，计算点坐标；当在直线下方，构造全等三角形，，计算点坐标． 【详解】（1）解：求点和点的坐标 联立：解得或 故点． 抛物线化为顶点式：， 故点． （2）抛物线开口向上，对称轴为， 当 取值范围内时，时，（最小值）； 当时，随增大而减小，时，； 当时，随增大而增大，时， 比较得：最小值为，最大值为， 故的取值范围为 ． （3）解：分两种情况讨论： ①当在直线上方时， 过点作， 设，， 解得，则 令，，点 ∵，直线与轴交于点，直线与轴交于点 ∴可将直线是直线沿方向平移（即向左平移个单位） 则 联立：解得或（舍） 故点． ②当在直线下方， ， 过点作轴于点，延长与交于 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 又∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点 设，，则 联立：，解得或（舍） 故点． 综上所述，，． 题型归纳 1. 特征：存在相等角，通过构造全等三角形建立坐标之间的等量关系，求解抛物线上动点。 2. 方法：以已知角为基础作辅助线，构造全等三角形，得到对应边相等，转化为坐标等式进行计算。 3. 易错提醒：找准全等三角形的对应边、对应角；注意不同位置的动点会构造出多组全等图形，不要遗漏。 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题． （1）根据题意先求得，进而可得，根据对称性可得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）当点M在x轴上方，设交轴于点，证明得出，待定系数法求得直线的解析式，联立抛物线解析式求得的坐标；当点M在x轴下方，同理可得的解析式为，再联立抛物线解析式求得的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，根据得出，进而设，解方程得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 将，代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：如图，当点M在x轴上方，设交轴于点， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴，则 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点 当点M在x轴下方，同理可得的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）解：如图过点作轴于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） 当时， ∴ 2．（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，，，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点P横坐标为t，面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点D为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点Q，若，求S的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）把已知点，代入抛物线解析式，得到二元一次方程组，解方程组求出b，c，得到抛物线解析式； （2）先求出B点坐标，算出直线解析式，设动点，过P作竖直线交于H，用两点纵坐标之差求出，利用面积公式得到，化简得到S关于t的函数关系式； （3）先求出抛物线顶点D、直线解析式，利用角度相等转化，得到相等角，求出直线的斜率，得到解析式，联立直线与抛物线方程，求出第一象限内动点P的横坐标t，把t代入第（2）问的面积表达式，算出S的值． 【详解】（1）解：将点，代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令得， ， ，， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 点Р在抛物线上， ， 如图，过点P作轴，交延长线于点H，则， ， ， ， S与t的函数关系式为； （3）解：如图，过点C作交x轴于点K，延长交x轴于点N， ， 又，， ， ， 顶点D坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 直线与x轴的交点N为， ，， ， ，， ， ， 点K的坐标为， 设直线的解析式， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 联立抛物线与直线：得， ， ， ，， 点， ． 类型三、二次函数与倍角问题 例3（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据，在上取一点，使得，则．进而得出，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． 当时，如图所示， ∵ 在上取一点，使得，则 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） 当时，同理可得 综上所述， 故答案为： 题型归纳 1. 特征：存在一个角是另一个角的两倍，在抛物线上找点满足二倍角条件。 2. 方法：利用二倍角几何模型，作角平分线或者构造等腰三角形，将倍角转化为等角，再转化为线段关系列式。 3. 易错提醒：倍角转化模型选择错误；没有分类讨论动点的不同位置，丢失部分解。 1．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则______，点在直线上，若，则点的坐标是______． 【答案】 或 【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时：是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：，， ∴，， 根据点坐标，有， 所以点坐标，    设所在直线解析式为，其过点、， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当点在线段上时，设， ， 而， ∴， ∴， 因为：，，， 有， 解得：，， 所以点的坐标为：， 当在的延长线上时， 在中，，，， ∴， ∴， 如图延长至，取，    则有为等腰三角形，， ∴， 又∵， ∴， 则为符合题意的点， ∵， ∴， 的横坐标：，纵坐标为； 综上点的坐标为：或， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称性质，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为_____________． 【答案】/ 【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 【详解】解：在中，当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 在中，当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，则，如图，   ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 3．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 类型四、二次函数与角的和差倍分 例4（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 题型归纳 1. 特征：角度之间存在和、差、倍数、分数关系，结合抛物线求对应动点。 2. 方法：通过作辅助线拆分或者合并角度，转化成相等角，再利用直角三角形、等腰三角形转化为线段长度关系。 3. 易错提醒：角度加减时容易混淆角之间的位置；画图不全，漏掉动点在不同侧的情况。 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，为坐标原点．点为轴上的动点，当点运动到使时，的长度为______． 【答案】或/或 【分析】连接，在上截取，分类讨论，①当在轴上半轴上时，②当在轴下半轴上时，利用外角的知识及，证明，，继而可分别求出的长度． 【详解】连接， ∵， ∴， 在上截取，则， 在中，， 在中，， ①当在轴上半轴上时，， ∵， ∴， 又∵(同一个角)， ∴， ，即， ； ②当在轴下半轴上时，， ∵ABC=/OM，C+/OAC=45°， ∴， 又∵(同一个角)， ∴， ∴，即， 解得：， 故. 综上可得的长度为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，解答本题的关键是分类讨论点M的位置，利用相似三角形的性质：对应边成比例求出有关线段的长度有一定难度． 2．（2023·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，点E为直线l上一点，且，连接，则____________．    【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，勾股定理，锐角三角函数；根据二次函数，可以求得点、点，然后根据勾股定理即，过点C作于点F，根据三角函数计算,结合，利用正切计算即可；能熟练利用三角函数解题，结合数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】∵， ∴点、点，    ∴，， 过点C作于点F， ∵ ∴, ∵，， ∴， ∴, ∴, ∴, 故答案为：． 3．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，作点关于轴的对称点，直线交抛物线于另一点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，且，求此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．点坐标是，若，求出点的横坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)点 的横坐标为 或 ． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据轴对称的性质得到，则，设直线解析式为，求出直线解析式后联立抛物线，求出，进而求出的值，得到，过作轴垂线交于点，设，则，，进而列方程求解即可； （3）先由平移规律求出新抛物线的表达式；再由得，结合中的边角关系，把条件转化为射线与轴的夹角条件；然后按点在轴右侧、左侧两种情况，设直线与轴的交点为，利用三角形的外角性质与内角和定理，在中求出，进而确定直线的解析式，与新抛物线联立求交点，并结合点的位置关系检验取舍． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ； （2）解：当时，即， ∵作点C关于x轴的对称点D， ∴， ∴， 设直线解析式为，代入、， 得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立直线与抛物线：， 解得：（舍去）， 此时，即， ∴ ， ∵， ∴， 过作轴垂线交于点， 设，则， ∴， 则， ∴， ∴， 解得，， ∴点坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴沿射线方向平移个单位长度即向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∵该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，，， ∴，且． ∵ 在 中，， ∴， ∵， ∴． ∵点、都在轴上方，射线、在射线的同侧，且， ∴ 射线在内部， ∴， ∴． 点可能在轴右侧，也可能在轴左侧（如图）． 当点在轴上时，，此时射线与射线互为反向延长线， ∴； ∵ 满足条件时需，而， ∴，矛盾，此时不合题意． 设射线的反向延长线与轴交于点． ①当点在轴右侧时， ∵是的外角， ∴． ∵ 点在轴左侧， ∴ 射线与射线方向相同， ∴， ∴． ∵ 轴，射线 与射线 方向相同， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为，代入、， 得， 解得，， ∴ 直线的解析式为 ． 联立直线与新抛物线，消去并整理，得 ， 解得，． 当时，点落在射线上，此时，不合题意，舍去； ∴此时点的横坐标为，即． ②当点在轴左侧时，射线与轴相交， ∵点在射线上， ∴． ∵射线与射线方向相同， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵轴，射线与射线方向相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时，点与点重合，即射线与射线重合． 设直线的解析式为，代入、， 得， 解得，， ∴ 直线的解析式为． 联立直线与新抛物线，得， 即， 解得． 当时，点在轴右侧，在射线的反向延长线上，此时，不合题意，舍去； ∴ 此时点的横坐标为， 综上，点的横坐标为1或 ． 类型五、二次函数与 15° 角 例5（21-22九年级上·山西太原·阶段检测）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    【答案】 【分析】先求出B、C的坐标得到，则，从而得到，设与x轴的交点为N，求出，进而求出直线的解析式为，由此联立两函数解析式即可求出答案． 【详解】解：在，当时，，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设与x轴的交点为N， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 故答案为：．    题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，构造出 15° 的特殊角，求解动点坐标。 2. 方法：15° 角可由 45° 与 30° 角相减得到，构造直角三角形，利用特殊直角三角形边长比例转化线段关系。 3. 易错提醒：15° 对应的直角三角形边长计算复杂，容易出现计算错误；注意 15° 角在不同方位的两种情况。 1．（2022·湖南湘潭·模拟预测）如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入直线，解方程求出的值即可； （2）把代入直线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （3）分在上方和下方两种情况，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：由（1）可知，， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得：， ∴， 将、代入中得， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （3）解：存在，的坐标为或 ①当点在直线上方时，设交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②如图，当点在直线下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， 所以； 综上所述：存在点，使得，的坐标为或． 2．（2026·广东清远·二模）已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于，交抛物线于点． (1)求二次函数解析式． (2)若点在线段上运动（不与，重合），求四边形面积的最大值，并求此时点坐标． (3)设点是抛物线上一动点，是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使得；点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后得出直线的解析式为，设，且，则，然后根据铅垂法表示出四边形的面积，进而问题可求解； （3）由题意可分当点在轴的上方时，当点在轴的下方时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线， ∴，即， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可知：二次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：，即， 令，则有，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，且， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时点的坐标为 （3）解：由题意可分：当点在轴的上方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由（2）可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 当点在轴的下方时，设直线与轴的交点为，如图所示： 由题意知：， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立得：，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为或． 类型六、二次函数与 45° 角 例6（2026·贵州黔南·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D是二次函数的顶点，连接直线，点E是直线上一动点，连接，，当时，点E的坐标为__________． 【答案】或 【分析】先求解，，，顶点，可得，可得重合时符合条件，如图，作的外接圆，连接，则，结合，且两个角在的同侧，可得在上，设，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， 当时，则， 解得：，， 当时，， ∴，，， ∵， ∴顶点， ∴， ∴， ∴重合时符合条件，如图， 此时， 如图，作的外接圆，连接，则， ∵，且两个角在的同侧， ∴在上， 设， ∵，，， ∴ ， 解得：， ∴， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设， ∴， 解得：或， ∴， 综上：的坐标为或. 题型归纳 1. 特征：抛物线上存在点，使形成的夹角为 45°，求动点坐标。 2. 方法：依托 45° 构造等腰直角三角形，利用全等转化坐标关系，列出方程求解。 3. 易错提醒：45° 角在直线两侧各有一个点，极易漏解；构造等腰直角三角形时找错对应顶点。 1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标__________． 【答案】 【分析】，令，可求，当时，，即，如图，作于，过作轴于，过作于，设，证明，则，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立，求解作答即可． 【详解】解：， 令， 解得，， ∴， 当时，，即， 如图，作于，过作轴于，过作于，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则_________ ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是抛物线的定点问题、韦达定理的应用以及角度的几何意义；解题的关键是先求出抛物线的定点，再利用的几何特征确定交点的坐标，最后代入抛物线方程求解并验证判别式． 【详解】解：原抛物线整理为： ， 不论为何值，抛物线均过定点， 令 解得： 定点 如下图，过作轴， 则，， ，， 为等腰直角三角形， 点坐标为或 将代入抛物线方程得： 解得； 将代入抛物线方程得： 解得； 抛物线与轴交于两个不同的点， ，且， 解得：且， 当或时，均满足该条件， 故答案为：或． 类型七、二次函数与 60° 角 例7（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，抛物线，顶点为，将抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到抛物线，顶点为，与相交于点，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，求得的坐标是解题的关键． 根据平移的性质求得交点Q的坐标，得到解析式，代入C求得Q的坐标， 过作交于，利用为等边三角形，则，构建方程求解即可． 【详解】如图，过作交于， 根据题意， 抛物线，代入得， 若，由图易知为等边三角形， ，即， 则，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，形成夹角等于 60°，求解动点坐标。 2. 方法：构造含 60° 角的直角三角形或等边三角形，利用特殊三角形边长比例转化坐标关系。 3. 易错提醒：等边三角形有两个方向，存在两组解；注意区分 60° 角顶点位置。 1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC． (1)求抛物线的表达式； (2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标； (3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）利用待定系数法代入计算即可； （2）过作轴于，利用求出的长，从而用t表示出，列出方程即可得出答案； （3）由（2）及可知，代入求得、，即可得出直线的解析式为，设，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出∠APM=90°，由的直角三角形即可推出，利用两点坐标距离公式列出方程，进行求解即可得出答案． 【详解】（1）解：将点、点的坐标分别代入，得 ， 解这个方程组，得， 则二次函数表达式． （2）过作轴于， 当时，， ∴， ∴． ∵、， ∴, ∴． ∵动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， 解得，，． ∵Q的横坐标为， ∴或． （3）存在，理由如下： 由（2）可知：，， ∵， ∴． ∴，此时点为的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点P、Q坐标代入中，得： ，解得：， ∴设直线的解析式为， ∴设， ∵,, ∴,, ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵,， ∴， ∴ ∴，． 故答案为：存在，，． 【点睛】本题考查了二次函数与几何动点的综合应用，利用锐角三角函数求线段的长度，勾股逆定理，勾股定理，距离公式及坐标轴上点的特征等知识，较为综合，能够熟练应用知识是解题的关键． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）将，两点代入抛物线的解析式，解方程即可； （2）①设直线交x轴于E，可推出为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果； ②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：①如图1， 设直线交x轴于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为：， 由得， ∴，（舍去）， 即点P的横坐标为； ②如图2， 令， 解得，， ∴， 直线过、两点， 直线的解析式为：， 设点， 分以下两种情况： 点P在第三象限时，作轴于F， ∵点E与关于对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去），， ∴； 当点P在第二象限时， 同理可得：， ∴（舍去），， ∴； 综上所述：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量． 类型八、二次函数与 90° 角 例9（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，抛物线交x轴于A和B两点，交y轴于点C．直线与抛物线交于M，N两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使，则m的值为_________． 【答案】或1或 【分析】此题是二次函数的综合题，主要考查了切线的性质，及二次函数与一次函数的关系．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解，要注意分类讨论，不要丢解． 分为①当以为直径的圆和x轴相切时，②当点A或B在直线上时，分别求解即可． 【详解】解：①当以为直径的圆和x轴相切时，符合题设条件，连接 设的中点为点S，则轴， 设点的横坐标为， ∴， ∴， 联立与， 即， 整理得， 则， ∴， 而点S的横坐标为， ∴点S的坐标为， ，则， 即，解得； ②当点A或B在直线上时，也符合题设条件，即此时轴， 如图： 或轴，如图 对于，当时，则， 解得或， ∴， 将点代入， 得或，解得或． 综上，或1或． 故答案为：或1或． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，使得两条线段夹角为直角，求动点坐标。 2. 方法：以定点或者动点为直角顶点，构造垂直，转化为线段的坐标关系，列方程求解。 3. 易错提醒：直角顶点有多个选择，需要分类讨论；计算时忽略点在抛物线上的限制条件。 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 2．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）已知点P为二次函数图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于C点，若，则点P的横坐标的值为___________． 【答案】 【分析】先求出点，，证明是等腰直角三角形，则，由得到，设直线与y轴交点为点D ,可证是等腰直角三角形，，得到D的坐标是，用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式与二次函数联立，解方程组即可得到点P的横坐标的值． 【详解】解：当时，，解得， 由题意可知，， 当时，， ∴， 如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为点D , ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得或, 即点P的坐标是， ∴点P的横坐标的值为． 故答案为： 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式、函数图象的交点问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 类型九、二次函数与 135° 角 例9（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，，从而可得，，作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，从而可得，最后再代入二次函数解析式，计算即可得出结果． 【详解】解：在中，令，则， 解得，， ∴，， ∴，， 如图，作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴． 题型归纳 1. 特征：抛物线上找点，构造 135° 的夹角，求动点坐标。 2. 方法：135° 的补角是 45°，利用邻补角转化，构造等腰直角三角形，转化坐标关系计算。 3. 易错提醒：135° 的开口方向有两种情况，容易只算出一组解；计算线段长度时符号出错。 1．（22-23九年级上·山西运城·期末）综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左则），与y轴交于点，点是抛物线的顶点．抛物线的对称轴交轴于点，点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为，点的坐标为，连接分别与轴，对称轴交于点． (1)求三点的坐标并直按写出顶点的坐标； (2)当时．求点的坐标； (3)试探究：在点运动过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，的值为： 【分析】（1）利用函数解析式求出当时，；当时，；以及顶点坐标公式，即可得出答案； （2）作轴于点，通过证明可得出：．即可得出．当时，求出（舍去），，即可得出点的坐标． （3）由，可得，故，，可得，即可得出设直线的解析式为：，结合，即可得出的值． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ∴点的坐标为； 当时，，解得：． ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴点的坐标为． （2）作轴于点，则， ∴． 又∵． ∴ ∴． ∴ ∴． 当时，， ∴（舍去）， ∴ ∴点的坐标为． （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，点的横坐标为， ∴． 故存在点，使得，的值为：． 故答案为：存在，的值为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形、特殊角的存在性问题，掌握二次函数的性质，灵活构造图形是解题的关键． 2．（2023·广东茂名·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接与，交于点D，求当的值最大时点P的坐标； (3)点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线轴，点M为直线上的一个动点，过点M作轴于点N，在线段上任取一点K，当有且只有一个点K满足时，请直接写出此时线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识． （1）把点、代入抛物线解析式中，即可求得a、b的值，从而得到抛物线解析式； （2）过点P作轴，交于G，先求出抛物线与y轴交于点C的坐标，进而得到直线解析式．设点，点G坐标为，则，由轴可得，从而，根据二次函数的性质即可得到当时，的值有最大值，从而得到点P的坐标； （3）分两种情况讨论，①当点M在点F的右侧，连接，以为斜边，作等腰直角，当以H为圆心为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足，设点，由“”可证，可得，，由勾股定理可求y的值，可求点M坐标，即可求解；同理可得②当点M在点F的左侧情况． 【详解】（1）∵抛物线（）与x轴交于点、， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点P作轴，交于G， ∵抛物线的解析式为与y轴交于点C， ∴点， ∵， ∴直线解析式为， 设点，则点G坐标为， ∴， ∵轴， ∴ ∴ ∴当时，的值有最大值， ∴点； （3）①当点M在点F的右侧，连接，以为斜边，作等腰直角，当以H为圆心为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足，连接，交于Q，延长交于E，则轴，如图2所示： 设点， 点、， 抛物线的对称轴为直线， 点F与点关于抛物线的对称轴成轴对称， 点，轴，， ，， ∴， ∴， ， 又， ， ，， ∵当点P的纵坐标为2时， ，即， ∴， ∵，， ， ，（舍） ，则， 点M的坐标， ∵轴， ， ②当点M在点F的左侧，连接，以为斜边，作等腰直角，当以H为圆心、为半径作圆，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足，连接，交于Q，延长交于E，则轴，如图3所示： 设点， ∵点、， 抛物线的对称轴为直线， ∵点F与点关于抛物线的对称轴成轴对称， 点，轴，， ，， ∴， ∴， ， 又， ， ，， ∵当点P的纵坐标为2时， ，即，， ∵，， ∴ ，（舍） ，则， 点M的坐标， ∵轴， ， 综上所述：线段的长为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，连接，若的面积为3，求点的坐标． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，设（），根据题意列出方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：①若点在轴的上方，②若点在轴的下方，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于抛物线， 令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴，交于点， 设（），则， ∴． ∵， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，点的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论：①若点在轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得或， ∴点的坐标为． ②若点在轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组，得或， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 2．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)存在，点坐标为． (3)存在，点的横坐标为或或或． 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． （2）解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． （3）解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． 3．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)设四边形PBOC的面积为，求的最大值； (2)连接，若的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，过点作轴于点，设点，即可表示出，，，根据列出关于m的函数关系式，问题随之得解； （2）结合（1）中的结论，利用，即可作答； （3）根据，可得，利用已知的，结合三角形外角的定义可以证明，进而可证明，设，表示出，再在中，利用勾股定理求出n，问题得解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， ， 过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，； （2）解：，， ，， ， 又， ∴当取大值，即时，也有最大值， 的最大值； （3）解：轴，轴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ∵为第四象限内抛物线上一点，与轴交于点， ∴设， ∴，， ∵， ∴， 在中，有， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，勾股定理等知识，问题的难点在第三小问，合理利用这一条件证明，是解答本题的关键． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)，线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点和常数项，把，代入解析式，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出系数，即可得到抛物线的表达式； （2）先求出点C坐标，利用B、C两点求出直线解析式，由轴得到点和点横坐标相同，用抛物线上点M的纵坐标减去直线上点N的纵坐标，得到关于t的二次函数，对二次函数配方，结合自变量取值范围，求出线段的最大值； （3）构造点，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接，通过证明，利用等角转化结合分两种情况即可得到两个符合条件的P点． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 轴， ， ， ，， ，当且仅当时等号成立， 线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，， ，，， ， ， ，， 令，，，解得或， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 令， 整理得， 两边同时乘得， 解得或， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， ， ， 综上所述，点P的坐标为或． 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