专题01 二次函数的图象与性质的十二类含参问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级下册
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内容正文：
专题01 二次函数的图像与性质的十二类含参问题
目 录
通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移
题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基
题型01 根据二次函数的定义求参数
题型02 根据二次函数开口方向求参数
题型03 根据二次函数的增减性求参数取值范围
题型04 根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
题型05 二次函数中含参数的图象与性质
题型06 函数图象的综合判断
题型07 二次函数的图象与各项系数的关系
题型08 二次函数的代数最值含参问题
题型09 抛物线与直线交点问题
题型10 整点问题
题型11 与二次函数图形变化有关的含参问题
题型12 二次函数的图象与性质含参问题综合
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移
二次函数含参数问题是初中数学核心重难点，全部题型围绕函数定义、图象开口与增减性、图象与系数关系、交点与最值、图象变换五大核心展开。解题贯穿两条底线原则： 一是二次函数二次项系数不为 0；二是自变量在取值范围内讨论函数性质，含交点问题需验证判别式△，所有参数结果最后都要合规检验。
题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基
例1．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解．
【详解】解：∵函数是关于的二次函数，
∴且，
解得．
题型归纳
1. 特征：二次项系数含参数，给定条件判断是否为二次函数，求参数取值。
2. 方法：为二次函数：只需要二次项系数不等于 0，自变量最高次数为 2，无其他限制。
3. 易错提醒：容易漏掉二次项系数不能为 0 这个前提，只考虑次数条件。
1．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴将，代入解析式得，
即，
解得．
故答案为：1．
2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限．
【答案】一
【分析】本题考查了根据二次函数的定义求参数，根据二次函数的定义，指数部分必须为2且系数不为零，解出k的值，再代入一次函数解析式，分析其图像所经过的象限．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
∴一次函数为，
∵， ，
图像经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
3．（2025九年级·全国·专题练习）已知．
（1）当的值为________时，是的正比例函数．
（2）当的值为_________时，是的二次函数．
（3）当的值为________时，是的反比例函数．
【答案】 1
【分析】本次考查了正比例函数，二次函数以及反比例函数的定义，掌握相关定义是解题的关键；
（1）根据正比例函数的定义求解；
（2）根据二次函数的定义求解；
（3）根据反比例函数的定义求解．
【详解】解：（1）根据题意，得
由①，得且，
由②，得，
．
故当的值为1时，是的正比例函数．
（2）根据题意，得
由①，得且．
由②，得．
故当的值为时，是的二次函数．
（3）根据题意，得
由①，得且．
由②，得，
．
故当的值为时，是的反比例函数．
类型二、根据二次函数开口方向求参数
例2．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__．
【答案】2
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键．
根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数的正负决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定．由于两抛物线开口方向和大小相同，故二次项系数相等．
【详解】解：∵抛物线 与抛物线 的开口方向和开口大小相同，
∴．
故答案为 ：2．
题型归纳
1. 特征：二次项系数含参数，给定条件判断是否为二次函数，求参数取值。
2. 方法：为二次函数：只需要二次项系数不等于 0，自变量最高次数为 2，无其他限制。
3. 易错提醒：容易漏掉二次项系数不能为 0 这个前提，只考虑次数条件。
1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（ ）
A． B．1 C． D．2或
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象性质．将代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a的值．
【详解】解：∵过，
∴，
又∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
故选：C．
2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上.
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴ ，
∴.
故答案为：.
3．（23-24九年级上·福建龙岩·开学考试）若二次函数的图象开口向上，则______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，根据二次函数的定义可得，再根据二次函数的图象开口向上可得，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，，
解得，
故答案为：．
类型三、根据二次函数的增减性求参数取值范围
例3（23-24九年级上·重庆江北·期中）二次函数当时，随的增大而增大，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出该函数对称轴，由可知该函数开口向上，则在对称轴右侧随的增大而增大，进而即可解答；
【详解】解：该函数对称轴为：
由可知该函数开口向上，则在对称轴右侧随的增大而增大，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键．
题型归纳
1. 特征：给出自变量区间和增减变化情况，求含参二次函数里参数的取值范围。
2. 方法：先确定对称轴，结合开口方向，判断对称轴与给定区间的位置关系，列出对应不等式。
3. 易错提醒：分类讨论不完整，忽略对称轴落在区间左侧、区间内部、区间右侧多种情况。
1．（2026·江苏南通·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______．
【答案】（答案不唯一，任意负数均可）
【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值．
【详解】解：二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
二次函数图象开口向下，
，
（答案不唯一）．
2．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）写一个实数______，使二次函数，当时，随的增大而减小．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，进而求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
，
解得，
故答案为：（答案不唯一）．
3．（24-25八年级下·北京·期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是_______（写出一个符合要求的值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，随着的增大而减小，可得的取值范围．
【详解】解：二次函数，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线
当时，随的增大而减小，
∵当时，随的增大而减小，
∴
∴的值可以是
故答案为：（答案不唯一）．
类型四、根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
例4（21-22九年级上·广西河池·期末）当时，函数的函数值随的增大而减小，的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据二次函数的解析式判定函数图象的开口方向，和顶点坐标，从而确定单调区间即可．
【详解】∵函数的二次项系数为2＞0，
∴该二次函数的开口方向向上，
又∵函数的顶点坐标为（-m，1），
∴该二次函数图象x＜-m时，函数值y随着x的增大而减小，
∵当x＜-1时，函数值y随着x的增大而减小，
∴-m≥-1，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型归纳
1. 特征：已知抛物线经过哪些象限，结合图象特征，求参数取值范围。
2. 方法：结合开口方向、对称轴位置、抛物线与 y 轴交点，联立多个条件列不等式组求解。
3. 易错提醒：只看单一条件，缺少多个图象特征综合验证，漏掉隐藏限制条件。
1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数的图象顶点坐标是，那么一次函的图象不经过第______象限．
【答案】二
【分析】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点坐标求得m、n的数值．
根据题意得出，，进一步利用一次函数的性质得出答案即可．
【详解】解：∵的图象的顶点坐标是，
∴，
∴一次函数，
∴图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
2．（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第_______象限．
【答案】三与四
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到二次函数的顶点坐标为，根据平移后新抛物线的顶点坐标在轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限．
【详解】解：二次函数不经过第三象限，
抛物线顶点坐标为，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口向上，
平移后新抛物线的顶点坐标在轴上，
新抛物线不可能经过第三、四象限，
故答案为：三与四．
3．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第________象限
【答案】一、二
【分析】本题考查了反比例函数于二次函数的图象和性质．由反比例函数图像位于第一、三象限得出，再分析二次函数的图像特征，由于，抛物线开口向上且顶点在轴正半轴，值恒为正，从而判断图像经过的象限．
【详解】解：反比例函数（）的图像位于第一、三象限，
．
对于函数，
，
二次项系数为正，抛物线开口向上，
且常数项，当时，，顶点在，
，即值恒为正．
当时，，图像经过第一象限；
当时，，图像经过第二象限；
当时，，图像在轴正半轴．
综上，图像经过第一、二象限．
故答案为：一、二．
类型五、二次函数中含参数的图象与性质
例5（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线有最高点，则抛物线开口向下，故二次项系数小于零，即，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴，
∴，
故答案为：．
题型归纳
1. 特征：解析式带有参数，研究参数变化时抛物线的顶点、定点、对称轴等图象性质。
2. 方法：区分参数变化时的不变量与变化量，优先锁定定点、固定对称轴这类不变特征分析图象。
3. 易错提醒：分不清哪些量随参数改变，盲目画图，忽略恒过定点这类隐藏结论。
1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图是函数的图象，则图象与y轴的交点坐标为___________；若直线与函数图象有2个交点，则m的取值范围是__．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画出函数的图象是解题的关键．求得函数的图象与坐标轴的交点，然后根据图象即可求得符合题意的交点坐标；根据函数与直线的图象之间的位置关系即可求出m的取值范围．
【详解】解：令，即，
解得，，
函数与x轴的交点坐标为，，
令，则，
图象与y轴的交点坐标为，
作出的图象，如图所示，
当直线经过点时与函数的图象只有一个交点，
当直线经过点时与函数的图象有三个交点，
联立，
消去y后可得：，
令，可得，
解得，
即时，直线与函数的图象只有3个交点，
观察图象，当或时，直线与函数的图象有2个交点．
故答案为：或．
2．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，将抛物线向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则m的取值范围为_______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移问题，抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，通过计算抛物线顶点与线段有公共点时的最小值和抛物线经过点时的最大值，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，
如图，当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有公共点，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得：；
将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段有公共点，如图，
，
抛物线经过点时，抛物线最后与线段有公共点，如图：
，
把点坐标代入函数得，
解得：，
当时，抛物线与线段没有公共点，
综上所述，平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为，
故答案为：．
3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则方程没有实数根时，的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
根据二次函数的最大值判断即可．
【详解】解：∵的最大值是2，
则方程，即没有实数根时，．
故答案为： ．
类型六、函数图象的综合判断
例6（2025·宁夏银川·三模）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，正确地识别图形是解题的关键；根据反比例函数的图象在一三象限，一次函数图象与轴的交点，二次函数的图象的对称轴位置，列不等式组，解不等式组即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，
解得，
的取值范围是
故答案为：
题型归纳
1. 特征：同一个参数同时出现在二次函数和一次函数解析式中，选出符合条件的图象组合。
2. 方法：从其中一个图象读出参数范围，再代入检验另一个函数图象是否匹配。
3. 易错提醒：两个函数参数要保持一致，容易单独分析图象，忽略参数共用的约束。
1．（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴抛物线与没有交点，
∵抛物线的顶点坐标是，
∴．
故答案为：．
2．（23-24九年级下·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题．
根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案．
【详解】解：把代入得到，
解得，
把代入得到，
解得，
方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知，
∴
故答案为：
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______．
【答案】或
【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或，
故答案为：或．
类型七、二次函数的图象与各项系数的关系
例7（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论：
①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________．
【答案】①②③④
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论．
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，即异号，
．
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，故①正确；
②当时，图象在轴下方，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，
，即，由②知，
，
，
，故③正确；
④对称轴为直线，
与关于对称轴对称，
当时，，
当时，，故④正确；
⑤抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，取最大值，
，
，
，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是①②③④．
题型归纳
1. 特征：给出抛物线图象，判断系数、系数组合代数式的正负或者大小关系。
2. 方法：开口判断二次项系数，对称轴判断一次项系数，y 轴交点判断常数项，代入特殊 x 值判断代数式。 3. 易错提醒：不会使用左同右异，特殊点代入容易计算出错，判别式和交点个数对应关系混淆。
1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______．
【答案】4个
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的增减性、二次函数的最值以及特殊点的函数值应用，熟练掌握二次函数图象与系数的关系及利用图象分析函数性质的方法是解题的关键．
先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判断、、的符号及相关关系，再逐一分析四个结论：抛物线的对称性和增减性判断与的大小；根据、、的符号判断的符号；利用函数最大值的性质推导不等式；结合特殊点的函数值和、的关系判断的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴．
∵对称轴为直线，即，
∴．
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴．
①∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为．
∵当时，随的增大而减小，且，
∴，故①正确．
②∵，，，
∴，故②正确．
③∵当时，函数取得最大值，
∴，
∴，即，故③正确．
④∵当时，，且，即，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；②；③；④若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的序号________．
【答案】①②④⑤
【分析】本题考查了二次函数的性质、根的判别式、由函数图像判断式子的正负，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据二次函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：二次函数的开口方向向下，
，
对称轴，则，即，
，
当时，，由图象可知函数与轴交点在轴正半轴，
，
，
，故①正确；
二次函数图象与轴交于，对称轴为，根据二次函数的对称性可知，二次函数与轴的另一个交点的坐标为，
当时，代入二次函数，得，
故②正确；
③二次函数过点，
，
又，代入，
得，
即,
则，
∴，故③错误；
④二次函数开口向下，对称轴为，
∴当时，有最大值，
对于任意不等于1的实数，，
∴恒成立，故④正确；
将方程，
整理为，
，
，
，
即无论取何值，方程均有两个不相等的实数根，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论：
①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，即可得出的符号，即可判断①，根据时，，即可判断②，根据时，即可判断③，根据时，，即可判断④，根据抛物线开口向下，时，的值最大，即可判断⑤．
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，故①正确；
②当时，，故，故②正确；
③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误；
④由对称知，当时，函数值小于，，且，
即，代入得，得，故④正确；
⑤当时，的值最大．此时，，
而当时， ，
所以，
故，即，故⑤错误．
故①②④正确．
故答案为：①②④．
类型八、二次函数的代数最值含参问题
例8（25-26九年级上·四川南充·期末）已知抛物线，当时，函数的最大值为____________．
【答案】
【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向与给定的自变量取值范围，比较区间端点的函数值即可得到最大值
【详解】解：∵，
∴二次项系数为，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处取得函数最小值，
∵自变量取值范围为，
∴计算区间端点的函数值：
当时，，
当时，，
∴该区间内函数的最大值为．
题型归纳
1. 特征：自变量给定取值区间，函数含参数，求最值或者由最值反求参数范围。
2. 方法：对比对称轴与自变量区间的相对位置，分情况讨论，在顶点或者区间端点处取到最值。
3. 易错提醒：直接使用顶点求最值，没有判断顶点横坐标是否在题目给定的自变量区间之内。
1（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是关键．先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，函数在处有最大值，
∵二次函数在时有最大值16，
∴，
∴；
当时，则离对称轴越远函数值越大，
∵二次函数在时有最大值16，
∴当时，，
∴，
∴；
综上所述，或．
故答案为：或2．
2（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，分类讨论是解题的关键．
二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，根据参数的取值范围分类讨论顶点是否在区间内，利用二次函数的性质求最值，由最值差为4建立方程求解．
【详解】解：二次函数可化为，开口向下，顶点为，
∵，，
（1）当时，顶点在内，最大值，
最小值在端点处：当时，，
当时，，
①当时，，最小值，
差为，
解得：，（舍去）；
②当时，，最小值，
差为，无解；
（2）当时，顶点不在内，函数y在上随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
差为，
故无解，
综上，满足条件，
故答案为：．
3（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____．
【答案】或2
【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，根据函数的顶点以及函数的性质分类讨论即可．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴是直线，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
当即时，
则时，随的增大而增大，的最大值是3，
当时，．
．
或（舍去）．
当时，即，
的最大值是4，不符合题意，
当时，
则时，随的增大而减小，的最大值是3，
当时，．
．
（舍去）或．
综上所述，故的值为或2．
故答案为：或2．
类型九、抛物线与直线交点问题
例9（25-26九年级上·江苏连云港·周测）函数的图象与轴有且只有一个交点，那么的值为______．
【答案】0或或
【分析】本题考查了函数图象与x轴的交点问题．
由于a的取值不确定，需分和两种情况讨论：当时，函数为一次函数，与x轴有一个交点；当时，函数为二次函数，利用判别式为零求解．
【详解】解：，
当时，函数为，是一次函数，与x轴有一个交点，符合条件．
当时，函数为二次函数，对于，
．
令，得，
解得．
故a的值为0或或．
故答案为：0或或．
题型归纳
1. 特征：抛物线和直线解析式含有参数，根据交点个数或者交点特征求参数。
2. 方法：联立两个函数解析式，转化为一元二次方程，利用方程根的情况判断交点。
3. 易错提醒：联立之后忘记检验二次项系数不为 0，求参数取值范围漏掉判别式检验。
1（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，当抛物线经过时，求得，当抛物线经过时，求得，当顶点在线段上时，求得，根据有交点，即可求解．
【详解】解：点，的坐标分别是，，
线段轴，
当抛物线经过时，
，
当抛物线经过时，
，
解得，
当顶点在线段上时，
，
解得，
抛物线与线段有交点，且开口大小和方向都已确定，
，
故答案为．
2．（2025·河南信阳·三模）若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为_______．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别是进行求解．联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，根据，列出方程，解方程求出的值，即可求解．
【详解】解：由，得：，
整理得：，
∵两个函数与的图象有且只有一个交点，
∴，
即，
解得：，．
故答案为：或．
3．（25-26九年级上·全国·周测）若一元二次方程有两个相等的实数根，则抛物线与x轴的交点个数为_________．
【答案】1
【分析】本题主要考查二次函数图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式，由题意可根据一元二次方程根的判别式得，然后根据二次函数的图像与系数的关系可求解．
【详解】解：解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
所以二次函数与轴有一个交点；
故答案为：1．
类型十、整点问题
例10（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为．如果区域内恰有5个整点，结合函数图象，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴及顶点坐标，轴对称图形的概念．在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为，把点代入抛物线G的解析式可求得抛物线的表达式；结合抛物线图象分情况讨论求出其取值范围即可．
【详解】解：抛物线G的对称轴为，
与轴的交点坐标；
在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为，
把点代入抛物线G的解析式得，
抛物线的表达式为，与轴的交点坐标；
当时，如图1，
抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，
∴．解得：，
所以可得：；
当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点．
经过点时，，
解得：，
经过点时，，
解得：，
∴，
故如果区域W内恰有5个整点，则或．
故答案为：或．
题型归纳
1. 特征：抛物线图象在指定范围内，图象上或者区域内存在整点，据此求参数取值。
2. 方法：先锁定 x 的整数取值，结合图象边界列出不等式，保证横纵坐标均为整数。
3. 易错提醒：边界等号取舍出错，漏掉区间端点的整数检验，没有画图辅助判断范围。
1．（2025·上海杨浦·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称之为：整点，已知双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点有4个，那么的取值范围是___________．
【答案】
【分析】 本题考查二次函数与反比例函数的综合问题，结合图象利用二次函数与反比例函数的交点是解决本题的关键；利用图象可得满足题意的k的临界值，进而求解．
【详解】解：抛物线与x轴所围成的区域内整点的个数是7个，坐标分别为：，，，，，，，
要使双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点只有4个，
结合图象可得：当双曲线恰好经过点时，k取临界值3，当双曲线恰好经过点时，k取临界值2，
∴的取值范围为．
故答案为：．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：都是“整点”．抛物线与轴交于点两点，若该抛物线在之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查了本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像开口，对称轴直线的计算，图像中整点坐标等知识，数形结合分析思想是解题的关键．根据题意可得抛物线的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴直线为，则点在区域内，当抛物线经过点时，结合图形找出整点；当抛物线经过点时，结合图形找出整点，结合题意即可求解．
【详解】解：抛物线，
∴，
∴抛物线的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴直线为，
设抛物线在之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）为，
∴点在区域内，
∵该抛物线在之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，
∴当抛物线经过点时，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为，
如图所示，
令时，，
解得，，
∴此时区域内的整点有：，共七个整点，符合题意；
∵的值越大，二次函数图象开口越小，的值越小，二次函数图像开口越大，
∴；
∴当抛物线经过点时，
∴，
解得，，
∴此时区域内的整点有：，共9个整点，不符合题意；
∴；
综上所述，的取值范围是，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．若抛物线（a为整数，且）与x轴的公共点中有整点，则整点的坐标为______．
【答案】或或
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与x轴的公共点问题，学会利用公式法解一元二次方程是解题的关键．令，则，解方程得，，再由是整数且为整数，进而得到是6的因数且是奇数，得到或，解方程求出的值，即可解答．
【详解】解：为整数，
，
令，则，
，
，
，，
由题意得，是整数，为整数，
是6的因数，且是奇数，
或，
（舍去）或或或，
或或，
综上所述，整点的坐标为或或．
故答案为：或或．
类型十一、与二次函数图形变化有关的含参问题
例11（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）（1）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________．
（2）对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是________．
【答案】 /
【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
（1）先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围．
（2）由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解．
【详解】解：（1）将抛物线向下平移k个单位长度得，
∵与x轴有公共点，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
（2）由抛物线与轴都有公共点可得：，即，
∴，
设，则，
要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可，
∴，即的最小值为，
∴；
故答案为．
题型归纳
1. 特征：抛物线经过平移、翻折或者旋转变换，解析式带参数，求参数或者新解析式。
2. 方法：优先使用顶点式，抓住顶点位置变化，同步判断开口方向变化。
3. 易错提醒：平移规则记反，左加右减容易混淆，翻折旋转时忽略开口方向改变。
1．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与共有3个不同的交点，则n的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的综合应用，先求出点A、B的坐标，进而求出平移规则，求出的解析式，求出直线与抛物线只有一个交点时的值，以及直线过点时的值，即可得出结果．
【详解】解：当时，
解得，
∴，
∴将向右平移个单位长度得，
∵，
∴抛物线的解析式为，
当直线与抛物线只有一个交点时，令，
即，
根据相切可知方程有两个相等的解，即，
解得，
当过点时，即：，
解得，
结合图象可知：直线与、共有3个不同的交点时，；
故答案为：．
2．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，先求出抛物线的对称轴，再根据平移方式可得抛物线的对称轴，根据可得抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此结合列式求解即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
∴抛物线图象上的点离直线越远，函数值越小，
∵点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则_________
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律总结归纳出旋转后的解析式为，进而求出抛物线的解析式，再把P代入，求出n的值即可．
【详解】解：∵一段抛物线与x轴交于点O，，
∴图象与x轴交点坐标为：，
∵将绕点旋转得，交x轴于点，
∴；
∴的解析式为，
∵将绕点旋转得，交x轴于点；
∴；
∴的解析式为，
∴的解析式为，
∴的解析式为，
当时，．
故答案为：．
类型十二、二次函数的图象与性质含参问题综合
例12（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知抛物线（m是常数且）．
(1)若抛物线有最低点，求的取值范围；
(2)若抛物线与抛物线的形状相同、开口方向也相同，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，
（1）根据抛物线有最低点，二次项的系数大于0，即，求解即可获得答案；
（2）根据题意可列方程，求解即可得到结论．
【详解】（1）解：∵抛物线有最低点，
∴二次项的系数大于0，即，
解得；
（2）∵抛物线与抛物线的形状相同、开口方向也相同，
∴，解得．
题型归纳
1. 特征：一道题目融合多个考点，综合考查含参二次函数图象、性质、最值、交点等内容。
2. 方法：分步拆解条件，先确定开口与对称轴，再分类讨论区间、交点，最后检验参数。
3. 易错提醒：多条件容易遗漏，缺少分类讨论，最后不检验参数是否满足全部题干条件。
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线．
(1)该函数的图象与轴的公共点的个数是 ；
(2)当时，试说明；
(3)若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
证明：∵，
∴对称轴，
∴；
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系．熟悉二次函数的图象与性质，根据二次函数和一元二次方程的关系判断与轴的交点的情况，根据的取值范围分情况讨论，是解题的关键．
（1）把两点坐标代入函数式，用含的代数式分别表示、，再令，得到关于的一元二次方程，计算判别式，即可得；
（2）根据二次函数的对称轴公式计算即可；
（3）根据，代入用含的代数式分别表示、的函数解析式得到，根据对称轴公式得到，根据的不同取值范围分情况讨论，即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：,
化简，得：，
令，则有，
则，
∴函数的像与轴的公共点的个数为；
故答案为：；
（2）略
（3）解：根据，得二次函数的表达式为，
把点、分别代入表达式，得，，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
当且时，即且，
解得且，
∴解为；
当时，即，
解得，
∴的取值范围是或．
2．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为．
(1)点坐标为___________，点坐标为___________；
(2)当满足时，的取值范围是___________；
(3)若关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，的取值范围是___________．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）令，解一元二次方程得到点坐标；再将抛物线化为顶点式即可得到点坐标；
（2）由（1）中得到的、，作出的函数图象，数形结合求解即可得到答案；
（3）理解题意，将方程解的情况转化为图象交点问题，数形结合求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点（点在点的左边），
令，得，
则，
或，
则点坐标为；
，
点坐标为；
故答案为：，；
（2）解：由（1）知抛物线与轴交于点，点坐标为，则当时，作出这个范围的图象，如图所示：
的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，是指直线与抛物线有两个不同的交点，且交点的横坐标是负值，如图所示：
当直线过抛物线顶点时，直线与抛物线有且只有一个交点，
当直线过抛物线与轴交点时，直线与抛物线有两个交点，且交点的横坐标是一个负值和，
当时，直线与抛物线有两个交点，且交点的横坐标是一个负值和一个正值，
∴结合图象可知：关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及抛物线与坐标轴的交点、将一般式化为顶点式求顶点坐标、有图象求抛物线函数值的取值范围、函数图象交点情况与方程解关系等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，．二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点．
(1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标；
(2)连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)；顶点坐标为
(2)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质及平移性质，还涉及二次函数图象与线段的交点问题，关键是利用待定系数法求解析式，结合平移规律得到新解析式，再通过分析“顶点落在线段上”“图象经过线段端点”两种情况确定参数范围．
（1）已知二次函数图象与轴的两个交点、，将两点坐标代入函数解析式，构建二元一次方程组，求解得到、的值；再将解析式配方化为顶点式即可．
（2）根据平移规律，抛物线向上平移个单位后的解析式为；分两种情况讨论交点：①平移后抛物线的顶点落在线段上，此时顶点纵坐标等于5，求；②平移后抛物线经过线段的端点、，分别代入端点坐标求，再结合“有一个公共点”的条件筛选范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于，两点，
∴将、代入得：，解得，
∴二次函数解析式为，
∴顶点坐标为；
（2）解：二次函数向上平移个单位，平移后解析式为，其顶点坐标为．
①如图，当平移后抛物线的顶点落在线段上时，
顶点纵坐标，解得，
此时抛物线与线段有一个公共点；
②如图，当平移后抛物线经过点时，
将、代入平移后解析式，得，解得，
此时抛物线与线段有两个公共点，不符合条件；
③如图，当平移后抛物线经过点时，
将、代入平移后解析式，得，解得，
此时抛物线与线段只有一个公共点．
当时，平移后抛物线与线段仅在范围内有一个公共点，符合条件．
综上，的取值范围是或．
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数．该二次函数图象与轴有且只有个交点，
(1)求的值．
(2)若点在抛物线上，且到轴的距离小于，求的取值范围．
(3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当线段的长度随的增大而减少时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数的顶点坐标、二次函数的最值与单调性以及函数交点与方程求解．
（1）由二次函数与轴有且只有一个交点，判别式为零，即可求解的值；
（2）由得抛物线方程，根据点到轴距离小于确定范围，即可求出的取值范围；
（3）由垂线与抛物线和直线的交点得、坐标，由在下方得范围，长度函数为二次函数，根据其单调性即可确定范围．
【详解】（1）解：二次函数与轴有且只有一个交点，
其判别式，
可得，
，
；
（2）由（1）知，故抛物线，
点到y轴距离小于2，
，即，
对于，开口向上，
当时，有最小值，此时，
当时，有最大值，此时，
取值范围为；
（3）解：垂线与抛物线交于点， 与直线交于点，
点在点下方，
，
即，
，
，
长度，
为二次函数，开口向下，对称轴，
当时，随增大而减少，
又，
取值范围为．
3．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与不等式的关系，正确掌握相关性质是解题的关键．
（1）令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标，令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标；
（2）根据当时，即二次函数图象在轴上方的部分，即可写出的取值范围；
（3）将，联立，根据一元二次方程有两个不相等的实数根时即可求解．
【详解】（1）解：令，即，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标分别为，；
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或．
（3）解：由得，，即，
∵直线与二次函数有两个公共点，
∴，
解得，
∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是．
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专题01 二次函数的图像与性质的十二类含参问题
目 录
通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移
题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基
题型01 根据二次函数的定义求参数
题型02 根据二次函数开口方向求参数
题型03 根据二次函数的增减性求参数取值范围
题型04 根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
题型05 二次函数中含参数的图象与性质
题型06 函数图象的综合判断
题型07 二次函数的图象与各项系数的关系
题型08 二次函数的代数最值含参问题
题型09 抛物线与直线交点问题
题型10 整点问题
题型11 与二次函数图形变化有关的含参问题
题型12 二次函数的图象与性质含参问题综合
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移
二次函数含参数问题是初中数学核心重难点，全部题型围绕函数定义、图象开口与增减性、图象与系数关系、交点与最值、图象变换五大核心展开。解题贯穿两条底线原则： 一是二次函数二次项系数不为 0；二是自变量在取值范围内讨论函数性质，含交点问题需验证判别式△，所有参数结果最后都要合规检验。
题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基
例1．（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______．
题型归纳
1. 特征：二次项系数含参数，给定条件判断是否为二次函数，求参数取值。
2. 方法：为二次函数：只需要二次项系数不等于 0，自变量最高次数为 2，无其他限制。
3. 易错提醒：容易漏掉二次项系数不能为 0 这个前提，只考虑次数条件。
1．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________．
2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）若函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第__________象限．
3．（2025九年级·全国·专题练习）已知．
（1）当的值为________时，是的正比例函数．
（2）当的值为_________时，是的二次函数．
（3）当的值为________时，是的反比例函数．
类型二、根据二次函数开口方向求参数
例2．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__．
题型归纳
1. 特征：二次项系数含参数，给定条件判断是否为二次函数，求参数取值。
2. 方法：为二次函数：只需要二次项系数不等于 0，自变量最高次数为 2，无其他限制。
3. 易错提醒：容易漏掉二次项系数不能为 0 这个前提，只考虑次数条件。
1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（ ）
A． B．1 C． D．2或
2．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________．
3．（23-24九年级上·福建龙岩·开学考试）若二次函数的图象开口向上，则______．
类型三、根据二次函数的增减性求参数取值范围
例3（23-24九年级上·重庆江北·期中）二次函数当时，随的增大而增大，则的取值范围是______．
题型归纳
1. 特征：给出自变量区间和增减变化情况，求含参二次函数里参数的取值范围。
2. 方法：先确定对称轴，结合开口方向，判断对称轴与给定区间的位置关系，列出对应不等式。
3. 易错提醒：分类讨论不完整，忽略对称轴落在区间左侧、区间内部、区间右侧多种情况。
1．（2026·江苏南通·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______．
2．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）写一个实数______，使二次函数，当时，随的增大而减小．
3．（24-25八年级下·北京·期中）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是_______（写出一个符合要求的值即可）．
类型四、根据二次函数图象经过象限求参数取值范围
例4（21-22九年级上·广西河池·期末）当时，函数的函数值随的增大而减小，的取值范围是__________．
题型归纳
1. 特征：已知抛物线经过哪些象限，结合图象特征，求参数取值范围。
2. 方法：结合开口方向、对称轴位置、抛物线与 y 轴交点，联立多个条件列不等式组求解。
3. 易错提醒：只看单一条件，缺少多个图象特征综合验证，漏掉隐藏限制条件。
1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数的图象顶点坐标是，那么一次函的图象不经过第______象限．
2．（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第_______象限．
3．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第________象限
类型五、二次函数中含参数的图象与性质
例5（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是___________．
题型归纳
1. 特征：解析式带有参数，研究参数变化时抛物线的顶点、定点、对称轴等图象性质。
2. 方法：区分参数变化时的不变量与变化量，优先锁定定点、固定对称轴这类不变特征分析图象。
3. 易错提醒：分不清哪些量随参数改变，盲目画图，忽略恒过定点这类隐藏结论。
1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图是函数的图象，则图象与y轴的交点坐标为___________；若直线与函数图象有2个交点，则m的取值范围是__．
2．（2025九年级上·河南信阳·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，将抛物线向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则m的取值范围为_______．
3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则方程没有实数根时，的取值范围是_____________．
类型六、函数图象的综合判断
例6（2025·宁夏银川·三模）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ．
题型归纳
1. 特征：同一个参数同时出现在二次函数和一次函数解析式中，选出符合条件的图象组合。
2. 方法：从其中一个图象读出参数范围，再代入检验另一个函数图象是否匹配。
3. 易错提醒：两个函数参数要保持一致，容易单独分析图象，忽略参数共用的约束。
1．（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______．
2．（23-24九年级下·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____．
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______．
类型七、二次函数的图象与各项系数的关系
例7（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论：
①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________．
题型归纳
1. 特征：给出抛物线图象，判断系数、系数组合代数式的正负或者大小关系。
2. 方法：开口判断二次项系数，对称轴判断一次项系数，y 轴交点判断常数项，代入特殊 x 值判断代数式。 3. 易错提醒：不会使用左同右异，特殊点代入容易计算出错，判别式和交点个数对应关系混淆。
1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；②；③；④若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的序号________．
3．（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论：
①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______．
类型八、二次函数的代数最值含参问题
例8（25-26九年级上·四川南充·期末）已知抛物线，当时，函数的最大值为____________．
题型归纳
1. 特征：自变量给定取值区间，函数含参数，求最值或者由最值反求参数范围。
2. 方法：对比对称轴与自变量区间的相对位置，分情况讨论，在顶点或者区间端点处取到最值。
3. 易错提醒：直接使用顶点求最值，没有判断顶点横坐标是否在题目给定的自变量区间之内。
1（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数（为不等于0的常数）在时有最大值16，则的值为___________．
2（25-26九年级上·山东济宁·期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则的值为__________．
3（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____．
类型九、抛物线与直线交点问题
例9（25-26九年级上·江苏连云港·周测）函数的图象与轴有且只有一个交点，那么的值为______．
题型归纳
1. 特征：抛物线和直线解析式含有参数，根据交点个数或者交点特征求参数。
2. 方法：联立两个函数解析式，转化为一元二次方程，利用方程根的情况判断交点。
3. 易错提醒：联立之后忘记检验二次项系数不为 0，求参数取值范围漏掉判别式检验。
1（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为___________．
2．（2025·河南信阳·三模）若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为_______．
3．（25-26九年级上·全国·周测）若一元二次方程有两个相等的实数根，则抛物线与x轴的交点个数为_________．
类型十、整点问题
例10（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为．如果区域内恰有5个整点，结合函数图象，则的取值范围是______．
题型归纳
1. 特征：抛物线图象在指定范围内，图象上或者区域内存在整点，据此求参数取值。
2. 方法：先锁定 x 的整数取值，结合图象边界列出不等式，保证横纵坐标均为整数。
3. 易错提醒：边界等号取舍出错，漏掉区间端点的整数检验，没有画图辅助判断范围。
1．（2025·上海杨浦·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称之为：整点，已知双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点有4个，那么的取值范围是___________．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：都是“整点”．抛物线与轴交于点两点，若该抛物线在之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是________．
3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．若抛物线（a为整数，且）与x轴的公共点中有整点，则整点的坐标为______．
类型十一、与二次函数图形变化有关的含参问题
例11（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）（1）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________．
（2）对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是________．
题型归纳
1. 特征：抛物线经过平移、翻折或者旋转变换，解析式带参数，求参数或者新解析式。
2. 方法：优先使用顶点式，抓住顶点位置变化，同步判断开口方向变化。
3. 易错提醒：平移规则记反，左加右减容易混淆，翻折旋转时忽略开口方向改变。
1．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与共有3个不同的交点，则n的取值范围是______．
2．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为___________．
3．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则_________
类型十二、二次函数的图象与性质含参问题综合
例12（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知抛物线（m是常数且）．
(1)若抛物线有最低点，求的取值范围；
(2)若抛物线与抛物线的形状相同、开口方向也相同，求的值．
题型归纳
1. 特征：一道题目融合多个考点，综合考查含参二次函数图象、性质、最值、交点等内容。
2. 方法：分步拆解条件，先确定开口与对称轴，再分类讨论区间、交点，最后检验参数。
3. 易错提醒：多条件容易遗漏，缺少分类讨论，最后不检验参数是否满足全部题干条件。
1．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线．
(1)该函数的图象与轴的公共点的个数是 ；
(2)当时，试说明；
(3)若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
2．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为．
(1)点坐标为___________，点坐标为___________；
(2)当满足时，的取值范围是___________；
(3)若关于的一元二次方程有两个不相等的负实数根，的取值范围是___________．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，．二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点．
(1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标；
(2)连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，求的取值范围．
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数．该二次函数图象与轴有且只有个交点，(1)求的值．
(2)若点在抛物线上，且到轴的距离小于，求的取值范围．
(3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方．当线段的长度随的增大而减少时，求的取值范围．
3．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围．
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