专题04 二次函数与面积综合问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级下册

专题04 二次函数与面积综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型01 割补法求面积 题型02 铅锤法求面积 题型03 平行线转化法求面积 题型04 面积转化技巧 题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积 题型06 面积比问题 题型07 与面积有关的定值问题 题型08 与面积有关的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题为二次函数与面积综合问题，所有题型依托平面内点的坐标进行求解，解题贯穿两条核心原则：一是图像上点的坐标满足二次函数解析式；二是把图形面积问题转化为坐标的代数运算，算出结果后带回原题检验，判断点是否在抛物线上、是否符合图像范围。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、割补法求面积 例1（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上的一点，若点的横坐标为，则的面积为______． 题型归纳 1. 特征：坐标系内抛物线上点构成不规则多边形，无法直接计算图形面积。 2. 方法：将图形分割成多个简单三角形，或是补成矩形等规则图形，用整体减去外围多余图形面积。 3. 易错提醒：分割或补图时边界判断出错，计算时遗漏部分小图形面积。 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 类型二、铅锤法求面积 例2（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 题型归纳 1. 特征：坐标系中三角形顶点含抛物线上动点，存在倾斜底边，需要求解三角形面积。 2. 方法：确定水平宽，过抛物线上动点作竖直线段作为铅锤高，利用水平宽与铅锤高计算三角形面积。 3. 易错提醒：混淆水平宽和铅锤高；动点位置改变，铅锤高表达式会变化，不能直接套用同一个式子。 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？ (3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 2（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知抛物线经过点和点，点C为抛物线与y轴的交点， (1)求抛物线的解析式； (2)求出点C坐标，的面积； (3)若点E为直线上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值；是否轴存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由． 类型三、平行线转化法求面积 例3（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是______． 题型归纳 1. 特征：在抛物线上寻找动点，使三角形面积保持固定不变。 2. 方法：依据同底等高三角形面积相等，作已知底边的平行线，平行线与抛物线的交点即为所求动点。 3. 易错提醒：一条平行线常会产生两个交点，容易漏解；需要验证直线和抛物线存在交点。 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、面积转化技巧 例4（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 题型归纳 1. 特征：图形重叠、结构复杂，不方便直接列式计算面积。 2. 方法：使用等积变换，把复杂图形面积转化为简单三角形面积；借助坐标对称、平移完成面积转换。 3. 易错提醒：转化前后图形面积不一定相等，必须确认等积关系，不能随意替换图形。 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 2．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，若使最大，求点的坐标和此时的最大面积； (3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 类型五、将要求的四边形面积转化为三角形面积 例5（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为______．    题型归纳 1. 特征：由抛物线上点构成四边形，直接计算面积比较繁琐。 2. 方法：连接四边形对角线，将四边形拆分为两个三角形，分别求出面积后再做加减运算。 3. 易错提醒：注意区分凸四边形与凹四边形，凹四边形拆分后是面积相减，不是单纯相加。 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积． (3)设点横坐标为，当______时，有最大值，的最大值为______． 2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点C，N是第三象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点是抛物线的顶点时，求四边形的面积； (3)求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 类型六、面积比问题 例6（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为________． 题型归纳 1. 特征：两个图形存在固定面积比值，根据比值求抛物线上动点坐标。 2. 方法：分别写出两个图形面积的坐标表达式，按照面积比例列出方程，求解动点坐标。 3. 易错提醒：面积比不能直接等同于线段比；存在多组解，需要结合图像取舍。 1．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且过点，连接． （1）点A的坐标为_____； （2）若点是直线下方抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标为_____． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 类型七、与面积有关的定值问题 例7（2025年中考数学二次函数压轴题专题练习16定值问题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． 若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； 若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 题型归纳 1. 特征：动点在抛物线上移动，但对应图形面积始终不变，求或者证明面积定值。 2. 方法：设出动点坐标，写出面积表达式，化简后变量抵消，得到固定数值。 3. 易错提醒：代数化简计算出现运算错误；忽略动点本身的取值范围限制。 1．（2024·安徽池州·三模）如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)若点P是第一象限抛物线上一点． （ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标； （ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（2021·广东韶关·二模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 类型八、与面积有关的存在性问题 例8（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． ①若点是该抛物线的对称轴上的一动点，如图1，求的最小值和此时点的坐标； ②如图2，若抛物线的顶点为，点是位于轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型归纳 1. 特征：探究抛物线上是否存在点，使图形面积等于给定数值。 2. 方法：假设满足条件的点存在，设动点坐标，写出面积表达式，列方程求解，检验解是否符合图像范围。 3. 易错提醒：解方程会得到多组解，忘记舍去不在抛物线上或是超出取值范围的解。 1．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，且与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出点的坐标；如果不存在．请说明理由． 2．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，已知抛物线，顶点为点，与轴交于点B、A，与轴交于点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 2．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 3．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标． 4．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：过原点． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点． ①若，，则抛物线的解析式为________；的面积为________； ②已知在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置的使得的面积相同，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数与面积综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型01 割补法求面积 题型02 铅锤法求面积 题型03 平行线转化法求面积 题型04 面积转化技巧 题型05 将要求的四边形面积转化为三角形面积 题型06 面积比问题 题型07 与面积有关的定值问题 题型08 与面积有关的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题为二次函数与面积综合问题，所有题型依托平面内点的坐标进行求解，解题贯穿两条核心原则：一是图像上点的坐标满足二次函数解析式；二是把图形面积问题转化为坐标的代数运算，算出结果后带回原题检验，判断点是否在抛物线上、是否符合图像范围。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、割补法求面积 例1（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上的一点，若点的横坐标为，则的面积为______． 【答案】4 【分析】求出三点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，过点作轴交于点，求出点的坐标，算出线段的长，利用求解． 【详解】解：对于， 令，则，故， 令，则，故， 令，可得， 解得或，故， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 则对， 令，则，故， ∴ ∴ ． 题型归纳 1. 特征：坐标系内抛物线上点构成不规则多边形，无法直接计算图形面积。 2. 方法：将图形分割成多个简单三角形，或是补成矩形等规则图形，用整体减去外围多余图形面积。 3. 易错提醒：分割或补图时边界判断出错，计算时遗漏部分小图形面积。 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点在第一象限，是抛物线上的一个动点，点的坐标为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，，，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数中面积的最值问题，得到关于点D横坐标的二次函数解析式是解题的关键． （1）将代入，求出a的值即可； （2）连接，设点D的坐标为，根据得出关于m的二次函数解析式，化为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，    在二次函数中，令，得， 解得，， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点D的坐标为， 则 ， 当时，的面积最大， 此时点D的坐标为． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法可得抛物线的解析式，将抛物线的解析式化成顶点式可得其顶点坐标； （2）过点作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，先求出的长，再根据的面积等于建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点的坐标为． （2）解：如图，过点作轴，交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积取得最大值， 此时， ∴点的坐标为． 类型二、铅锤法求面积 例2（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 题型归纳 1. 特征：坐标系中三角形顶点含抛物线上动点，存在倾斜底边，需要求解三角形面积。 2. 方法：确定水平宽，过抛物线上动点作竖直线段作为铅锤高，利用水平宽与铅锤高计算三角形面积。 3. 易错提醒：混淆水平宽和铅锤高；动点位置改变，铅锤高表达式会变化，不能直接套用同一个式子。 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？ (3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时，的面积的最大值为； （3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为， 的最大值为； 2（25-26九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知抛物线经过点和点，点C为抛物线与y轴的交点， (1)求抛物线的解析式； (2)求出点C坐标，的面积； (3)若点E为直线上方抛物线上的一点，请求出面积的最大值；是否轴存在这样的点，使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点D的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的面积为6 (3)面积得最大值为；或或或 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）将代入求出，然后根据三角形面积公式求出的面积； （3）过点E作轴，交于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，设点E的坐标为，则点F的坐标为，进而可得出的长度，利用三角形的面积公式可得出，配方后利用二次函数的性质即可求出面积的最大值；分、、三种情况考虑，根据等腰三角形的性质结合两点间的距离公式，即可得出关于m的一元二次（或一元一次）方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）将、代入， 得：，解得：， 抛物线的解析式为； （2）∵ ∴当时， ∴； ∵，， ∴ ∴的面积； （3）过点E作轴，交BC于点F，如图1所示． 当时，， 点C的坐标为． 设直线BC的解析式为， 将、代入，得： ，解得：， 直线的解析式为． 设点E的坐标为，则点F的坐标为， ， ， 当时，面积取最大值，最大值为； ∴， ∵， ∴，， 为等腰三角形分三种情况： 当时，即， ∴， 解得：，（舍去）， 点D的坐标为； 当时，即 ∴ 解得：， 点D的坐标为； 当时，即 ∴ 解得：，， 点D的坐标为或 综上所述：当点D的坐标为或或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）求出点C的坐标；（3）利用三角形的面积找出关于n的函数关系式；分、、三种情况考虑． 类型三、平行线转化法求面积 例3（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左边），点是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接，相交于点，连接．若与的面积相等，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特点．连接，根据面积关系证得，求得直线的表达式，联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，， 如图，连接， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， 设直线的表达式为，则， 解得：， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把代入得：， ∴直线的表达式为， 联立得， 解得：（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标是； 故答案为：． 题型归纳 1. 特征：在抛物线上寻找动点，使三角形面积保持固定不变。 2. 方法：依据同底等高三角形面积相等，作已知底边的平行线，平行线与抛物线的交点即为所求动点。 3. 易错提醒：一条平行线常会产生两个交点，容易漏解；需要验证直线和抛物线存在交点。 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与轴交点的相关知识，判断出点是如何得到的是解决本题的关键． 把抛物线的顶点代入可得抛物线的解析式，取，求得对应的的值，即可求得点的坐标，进而求得直线的解析式，根据的面积与的面积相等可得点是过点与平行的直线与二次函数的交点，判断出过点与平行的直线，与二次函数联立可得点的坐标． 【详解】解：过点作的平行线，如图所示， 二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为， 二次函数的解析式为：， 当时，， 解得：，， 点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把点A和点代入， 可得 解得， 直线的解析式为：， 的面积与的面积相等， 点是过点与平行的直线与二次函数的交点 点， 点是过点与平行的直线解析式为：， 解得，或 点的坐标为或． 故答案为：或． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 类型四、面积转化技巧 例4（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】（1）分别令，，解方程，即可得到抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）观察图象，根据抛物线和直线的位置关系即可得解； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，以及根据（1）中结论得到的面积，设，根据点位于轴左侧和右侧，分两种情况讨论，过点作轴交直线于点，则，，根据割补法求的面积，得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得， ∴， 令，则，解得，， ∴，； （2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； （3）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， 取，， 故； 综上，或． 题型归纳 1. 特征：图形重叠、结构复杂，不方便直接列式计算面积。 2. 方法：使用等积变换，把复杂图形面积转化为简单三角形面积；借助坐标对称、平移完成面积转换。 3. 易错提醒：转化前后图形面积不一定相等，必须确认等积关系，不能随意替换图形。 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）抛物线（）与轴分别交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，若点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)如图2，点，点为第二象限内抛物线上一动点，连接交于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当点在轴上方，点；当点在轴下方，点 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题． （1）根据题意先求得，进而可得，根据对称性可得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）当点M在x轴上方，设交轴于点，证明得出，待定系数法求得直线的解析式，联立抛物线解析式求得的坐标；当点M在x轴下方，同理可得的解析式为，再联立抛物线解析式求得的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，根据得出，进而设，解方程得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，则 ∴ ∵ ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 将，代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：如图，当点M在x轴上方，设交轴于点， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴，则 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点 当点M在x轴下方，同理可得的解析式为 联立 解得：或 ∴ （3）解：如图过点作轴于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） 当时， ∴ 2．（25-26九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，若使最大，求点的坐标和此时的最大面积； (3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为，最大面积为； (3)点的坐标为、、、． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）待定系数法即可求解； （）过作轴于点，交于点，求出直线解析式为，设，则，所以，然后通过得，再由二次函数的性质即可求解； （）分为当点绕着点顺时针旋转得到点时，如 图，过点作轴于点，过点作轴于点，则，证明，所以，，由点在直线：上，设点，则，，则，，所以，然后代入方程即可求解；当点绕着点逆时针旋转得到点时，同理即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线与轴交于点、两点，设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设直线解析式为，把、代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， 由 ， 当时，有最大值，此时， ∴点的坐标为，最大面积为； （3）解：当点绕着点顺时针旋转得到点时，如 图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在直线：上， 设点，则，， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴或， 当点绕着点逆时针旋转得到点时，如 图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在直线：上， 设点，则，， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为、、、． 类型五、将要求的四边形面积转化为三角形面积 例5（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为______．    【答案】 【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出所在直线的解析式，设，根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形的面积． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点； ，，； 容易求出所在直线的解析式为； 设， ， ； ； ；，； ； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 题型归纳 1. 特征：由抛物线上点构成四边形，直接计算面积比较繁琐。 2. 方法：连接四边形对角线，将四边形拆分为两个三角形，分别求出面积后再做加减运算。 3. 易错提醒：注意区分凸四边形与凹四边形，凹四边形拆分后是面积相减，不是单纯相加。 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积． (3)设点横坐标为，当______时，有最大值，的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）由（1）可知对称轴为直线，则可确定点，点的坐标，利用分割法可求四边形的面积； （3）用表示，利用函数性质求最大值． 【详解】（1）解：抛物线经过点，点， 解得 抛物线的函数解析式为； （2）解：， ， 轴， ， ，， 点，点， ，， ； （3）解：把代入函数解析式得， 解得，， 是抛物线上第一象限内的点， ， 根据函数解析式知，， ，， ， ， 当时，有最大值． 2．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点C，N是第三象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点是抛物线的顶点时，求四边形的面积； (3)求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，根据四边形的面积等于，即可求解； （3）连接，设点的坐标为，根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点和点 ∴把点和点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴ 若点是抛物线的顶点时，则抛物线 ∴顶点坐标 ，则， 如图；连接 ∴四边形的面积 （3）解：∵，， ∴ 设点的坐标为 ，则，， 如图；连接 ∴四边形的面积 ∵ ∴当时，四边形的面积最大，最大值是， 此时 ∴点的坐标为. 类型六、面积比问题 例6（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 利用待定系数法求得抛物线的表达式为，过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，则，推导出、为定值；求得的函数表达式为，推导出，当时，的长最大，的值最小，进而求得点D的坐标即可． 【详解】解：∵抛物线过点，代入抛物线得： ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 当时，；当时，解得或6， ∴； 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 如图：过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，即， ∵和等高， ∴， ∵轴， ∴，代入直线的函数表达式得： ，解得：， ∴， ∴为定值． ∴要使的值最小，则的长最大． 设直线的函数表达式为，，则， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴， ∴当时，的长最大，的值最小，此时点D的坐标为． 故答案为：． 题型归纳 1. 特征：两个图形存在固定面积比值，根据比值求抛物线上动点坐标。 2. 方法：分别写出两个图形面积的坐标表达式，按照面积比例列出方程，求解动点坐标。 3. 易错提醒：面积比不能直接等同于线段比；存在多组解，需要结合图像取舍。 1．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点，那么与的面积比值是_____． 【答案】4 【分析】首先利用待定系数法求得抛物线解析式为，进而确定点坐标，即可求得的面积；再确定点坐标，利用待定系数法解得直线、、的解析式，联立直线解析式和直线解析式，求解即可确定点坐标，过点作于点，易得，然后解得的面积，然后求解即可． 【详解】解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 当时，可得，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点D， ∴可令，可得， 解得，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线解析式和直线解析式， 可得，解得， ∴， 如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、求二次函数解析式、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且过点，连接． （1）点A的坐标为_____； （2）若点是直线下方抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与面积的综合等知识点知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先将点代入求得b的值，进而确定函数解析式，再令，求得m的值即可解答； （2）用待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点， ∴，解得：， ∴， 令，则， ∴． 故答案为：． （2）∵ ∴，对称轴为， 设直线的解析式为， 把B、A坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E； 在中，令，可得，则； ∴， ∴的面积为； ∵， ∴， 如图：设， ∵点P在下方时，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 类型七、与面积有关的定值问题 例7（2025年中考数学二次函数压轴题专题练习16定值问题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． 若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； 若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1)； (2) 证明：点与点重合，则点的坐标这， 解方程， 得：，， 可得点的坐标为，点的坐标为， 点为中点， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组 ， 可得： 或， 点在直线上，点，，三点共线； 是定值，值为． 【分析】 把点、代入，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； 解方程求出点的坐标，根据点为中点，得到点的坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，点是直线与抛物线的交点，所以点，，三点共线； 设点的坐标为，点的坐标为，把直线、的解析式表示出来，解方程组求出点的坐标为，根据一元二次方程根与系数的关系可得点是直线上的动点，所以到，的距离是变化的，到的距离是定值，可得的面积为定值． 【详解】（1） 解：将点、代入， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为； （2） 略 解：设点的坐标为，点的坐标为， 点，，三点共线， 设直线的解析式， 解方程组， 整理得：， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线解析式为，直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ，， ， 又的值不确定， 点在直线上运动， P到轴的距离为定值， 直线，交于点， 无论点，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线， ，，中必存在面积为定值的三角形， 到，的距离是变化的，到的距离是定值， 如图下所示， 的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是利用数形结合的思想在坐标系中画出图形． 题型归纳 1. 特征：动点在抛物线上移动，但对应图形面积始终不变，求或者证明面积定值。 2. 方法：设出动点坐标，写出面积表达式，化简后变量抵消，得到固定数值。 3. 易错提醒：代数化简计算出现运算错误；忽略动点本身的取值范围限制。 1．（2024·安徽池州·三模）如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)若点P是第一象限抛物线上一点． （ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标； （ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）或；（ⅱ）是，8 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点，点， ∴可设抛物线对应的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∴，； （2）解：设． （ⅰ）如图，过点P作轴交于点Q．    设直线解析式为 反，，代入得 ，解得： ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∴， 整理，得，解得，， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或； （ⅱ）为定值． 设直线AP的解析式为，代入，， 得解得 ∴直线的解析式为． ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入，得， ∴点F的坐标为， ∴． 设直线的解析式为， 代入，， 得解得 ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， 即为定值，该定值为8． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解板式、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积等知识．此题属二次函数综合题目—面积问题，在坐标系中，银题关键是掌握求三边均不与坐标轴平行的三角形面积的方法．方法一：“宽高法”．．方法二：“割补法”．． 2．（2021·广东韶关·二模）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与图形，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形的综合，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）把点和点的坐标代入抛物线的解析式即可； （2）分别过点，作轴，轴，与交于点，，利用铅垂法分别表示的面积和的面积，再求比值即可； （3）过点作于点，作，过点作交于点，利用等腰三角形的性质，先求出时，直线的解析式，利用求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为：， ∴， 当时，， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ， 直线过点，则， 解得，， 直线， 如图1，分别过点，作轴，轴，与交于点，， ， ， ∵ 过点作轴与直线交于点， ∴， ，， ， ∴当时，， ，， ， 的值是一个定值，这个定值为； （3）解：如图2，过点作于点，交轴于点，作，过点作交于点， ， ，点是的中点， ，，设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线， ，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线， 联立， 解得， ， ∵点是的中点， ∴由中点坐标公式可得，， ∴， ∴， ， 设直线的解析式为， ， 解得，， ， 直线的表达式为：， 联立， 解得， ． 类型八、与面积有关的存在性问题 例8（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． ①若点是该抛物线的对称轴上的一动点，如图1，求的最小值和此时点的坐标； ②如图2，若抛物线的顶点为，点是位于轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的最小值，此时点的坐标为；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）将点和代入，得到方程组，解方程组即可； （2）①连接，交对称轴于点，连接，此时，的值最小，由抛物线解析式可以求得、的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再把代入即可求解； ②设点的坐标为，则，可计算出，则，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，，解得或， ∵点在点的左侧， ∴点，点； 当时，， ∴点． ①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，点关于抛物线对称轴对称， ∴连接交直线于点，如图，此时的值最小， 设直线的表达式为，根据题意得，解得， ∴直线的表达式为， ∴的最小值，此时点的坐标为； ②存在点使． ∵抛物线的顶点坐标为，由①知抛物线的对称轴与直线的交点为， ∴， ∵点是位于轴上方的抛物线上一点，， ∴， 设点的坐标为， ∴，整理得，解得或， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论是解题的关键． 题型归纳 1. 特征：探究抛物线上是否存在点，使图形面积等于给定数值。 2. 方法：假设满足条件的点存在，设动点坐标，写出面积表达式，列方程求解，检验解是否符合图像范围。 3. 易错提醒：解方程会得到多组解，忘记舍去不在抛物线上或是超出取值范围的解。 1．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，且与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出点的坐标；如果不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或或 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法可进行求解； （2）设，由题意易得，则有或，然后分别代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入二次函数得： ， 解得， 此二次函数的表达式为； （2）解：存在，理由如下： 设，则根据题意， 得，， 解得或， 当时，，即，解得，即； 当时，，解得， 则，． 综上，点的坐标为或或． 2．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，已知抛物线，顶点为点，与轴交于点B、A，与轴交于点． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)，， (2)3 (3)存在， 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把把代入，求解即可； （2）根据（1）中坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，计算三角形面积即可； （3）过点作轴于点，交于点，设，根据（2）中计算三角形面积的方法求解． 【详解】（1）解：把代入， 即， 解得，， ，， 把代入， 解得， ． （2）， ， 由（1）知，，， 设的解析式为，将，代入， 得， 解得，， 故的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， 故点的横坐标为1， 将代入直线得， ， ， ，，， ， 的面积为3． （3）点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点， 过点作轴于点，交于点， 设， 点的横坐标为， ，即， ， 根据（2）的计算方法得， ， ， ， 解得（舍），， ， 存在点，使得与的面积相等． 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M．使周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在该抛物线上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求出点A，C的坐标，再运用待定系数法利用交点式求出抛物线函数关系式； （2）由于的长度保持不变，所以当最小时，周长最小，应用轴对称性质可知，连接交对称轴于点M，由三角形三边的关系可知此时周长最小，运用待定系数法求出直线的函数关系式，把代入，即可求得点M的坐标； （3）设点P的坐标为，由，可得：，再分两种情况：当点P在x轴上方时或当点P在x轴下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设抛物线的函数表达式为（）． 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知：点B和点C的坐标分别为和， ∴的长度保持不变， ∴当最小时，周长最小， ∵抛物线的对称轴为，且点A，B关于对称轴对称， 故连接AC交对称轴于点M， 由三角形三边的关系可知此时周长最小， 设直线的函数关系式为（）， 把代入直线的函数关系式，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴所求点M的坐标为； （3）解：存在，设点P的坐标为， ∵， ∴， ①当点P在x轴上方时， 则， 解得：， ∴或； ②当点P在x轴下方时， 则， 解得：， ∴或； 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析，二次函数的图象和性质，轴对称性质，二次函数与面积综合，分类讨论，是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数过点，若A、B是二次函数与x轴的交点（A在B的左边），点P是该二次函数图象上的动点并且位于x轴上方，设点P的横坐标为m，求m为何值时，面积最大，并求最大面积． 【答案】(1)的值为 (2)当时，的面积最大，最大面积为 【分析】（1）利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称求出对称轴，结合对称轴公式推导与的比值； （2）先代入已知点坐标结合第一问结论求二次函数解析式，再将的面积最大值转化为点纵坐标的最大值，利用二次函数顶点性质求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 整理得； （2）解：∵二次函数过点，且由（1）知， ∴将代入解析式得， 把代入上式，得， 解得， ∴， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得，， ∵、是二次函数与轴交点，且在的左边， ∴，， ∴， 设点的横坐标为， ∵点在二次函数图象上且位于轴上方， ∴，且，中边上的高为点的纵坐标， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 综上所述，当时，的面积最大，最大面积为． 2．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点D的坐标为 (2)线段的长为，当时，四边形为平行四边形 (3)的面积最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． （3）解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为或 【分析】（1）将代入求解即可； （2）当时，求出，得出，利用，即可求出直线解析式； （3）设，则 ， 得出，利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ，   解得， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，， ， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：设，则， ， 的面积为， ， 解得：，， ∵轴于点， 当的面积为时，点的横坐标为或． 4．（25-26九年级上·云南临沧·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：过原点． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点． ①若，，则抛物线的解析式为________；的面积为________； ②已知在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置的使得的面积相同，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；3；② 【分析】（1）根据抛物线G经过原点得到，从而抛物线G的解析式为，即可得到顶点坐标； （2）①当时，抛物线解析式为，根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得抛物线解析式为．当时，点P的坐标为，分别把代入抛物线G与抛物线的解析式，可得点M，N的坐标，即可求出的面积． ②根据平移得到抛物线的解析式为，从而得到点，．当时，，进而有．当时，，对称轴为，要使存在两个不同位置的使得的面积相同，则点需在对称轴的右边，即．同理可讨论当时a的取值．当时，点A，P在x轴的负半轴，，当给定a的值时，当点P向点A运动中，逐渐增大，也逐渐增大，的面积逐渐增大，故不存在两个不同位置的使得的面积相同．综上所述即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线：过原点， ∴， ∴抛物线G的解析式为， ∴顶点坐标为 （2）解：①当时，抛物线解析式为， ∵抛物线向右平移3个单位，得到抛物线， ∴抛物线解析式为，即． 当时，点P的坐标为， 如图1，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点， 把代入抛物线，得， 把代入抛物线，得， ∴，， ∴，， ∴． ②∵将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为，即． 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点， ∴，， 当时，． ∵点从点O运动到点， ∴，， ∴． 当，即时，， 其对称轴为， 在时，不可能存在两个不同位置的使得的面积相同， 当，即时，， 其对称轴为， 要使存在两个不同位置的使得的面积相同， 则点需在对称轴的右边，即． ∴的取值范围为． 当时，点在x轴的负半轴， ∵点从点O运动到点， ∴点P也在x轴的负半轴， ∵抛物线向右平移3个单位，得到抛物线， ∴由图象可得，在y轴的左侧，抛物线G在抛物线的上方， ∴ ∴当给定a的值时，随着t的减小而增大， 即当点P向点A运动中，逐渐增大，也逐渐增大， 由，可得的面积逐渐增大， ∴不存在两个不同位置的使得的面积相同． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，函数图象的平移，三角形的面积等，综合运用相关知识，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $