25.1 认识二次函数 3大题型（分层作业练题型）数学新教材华东师大版九年级下册

分层作业 25.1 认识二次函数 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01二次函数的识别 题型02 列二次函数关系式 题型03 根据二次函数的定义求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01二次函数的识别 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【详解】解：A选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意； B选项的自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意； C选项是二次函数，符合题意； D选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意． 2. （26-27九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数的一次项系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】多项式的项、项数或次数、二次函数的识别 【详解】解：在二次函数中，一次项为，一次项系数是． 3. （26-27九年级上·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.64 【知识点】识别一次函数、二次函数的识别 【分析】先化简选项C的表达式，再结合二次函数的特征逐一判断各选项． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合； B选项含分式，不符合； C选项，是一次函数，不符合； D选项是二次函数，符合． 4. （26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【分析】先化简各选项的函数表达式，再结合二次函数的定义：形如（，为常数）的函数是二次函数，需满足等式可变形为用的整式表示，且的最高次数为2，最高次项系数不为0，一一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：的右边为分式，不是整式，不符合二次函数定义； B选项：化简得，是常数函数，不符合题意； C选项：未限定，不符合二次函数定义； D选项：化简得，符合二次函数定义． 5. （26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的一般形式（为常数，），对比给定函数即可得到对应系数． 【详解】解：二次函数，与一般形式对比可得 二次项系数， 一次项系数， 常数项． 题型02 列二次函数关系式 6．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】列二次函数关系式 【分析】已知某高新企业10月份的工业产值和12月份的产值，根据平均增长率公式建立关系式即可． 【详解】解：∵10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为， ∴11月份产值为，12月份产值为， 即． 故选A. 7. （26-27九年级上·全国·课后作业）把二次函数化成一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】先用完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，转化成二次函数一般形式． 【详解】解：． 8. （26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．设邀请x支球队参加比赛，共安排y场比赛，则y与x的函数关系式为_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】列二次函数关系式 【分析】结合单循环赛制的计数规则，消除重复统计的场次，建立总比赛场数与参赛球队数的对应关系． 【详解】解：∵ 赛制为单循环，每两队之间仅赛1场，参赛球队总数为支， ∴ 每支球队需与其余支球队各赛1场，所有球队累计统计的比赛场数为， ∵ 上述累计统计中，每场比赛会被对阵的两支球队各计数1次，存在重复， ∴ 实际总比赛场数需将累计计数除以2，消除重复部分， ∴ 与的函数关系式为． 9.（26-27九年级上·全国·课后作业）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数解析式、列二次函数关系式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据总销售额每件售价每星期销售量，分别得到涨价后的售价和销售量，即可列出函数关系式． 【详解】解：∵每件商品原售价为元，涨价元后，每件售价为元， ∵原每星期可卖出件，每涨价元少卖出件，涨价元后，每星期销售量为件， ∴总销售额等于售价乘以销售量，可得， 即． 10.（2026九年级上·全国·专题练习）把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． 写出与的函数关系式及自变量的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据题意可得另一个正方形的边长为，根据正方形面积计算公式列出对应的函数关系式即可，再根据正方形的边长大于0列出不等式求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：由题意另一个正方形的边长为， 故 ， ∵要围成两个正方形，且正方形的边长大于0， ∴， ∴． 题型03 根据二次函数的定义求参数 11. （26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：由二次函数定义得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 12. （26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为0， ∴，解得且， ∴的值不可能是或． 13. （26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 14. （26-27九年级上·天津·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则_________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数定义得到x的指数为2，结合开口向上得到二次项系数大于0，联立方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵ 是二次函数，且开口向上， ∴ ，且 解方程得或， 解不等式得， ∴ ． 15. （26-27九年级上·河南漯河·阶段检测）已知函数． (1)当为何值时，此函数是关于的二次函数？ (2)当为何值时，此函数是关于的一次函数？ (3)当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1) (2) (3)， 【难度】0.7 【知识点】求一元一次不等式的解集、正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数、根据二次函数的定义求参数 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得答案； （2）根据一次函数的定义，可得答案； （3）根据正比例函数的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 当时，此函数是关于的二次函数． （2）解：由题意，得且， 解得， 当时，此函数是关于的一次函数． （3）解：由题意，得且，， 解得，， 当，时，此函数是关于的正比例函数． B组 能力进阶 1. （26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求自变量的取值范围、列二次函数关系式、图形问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质求面积 【分析】根据题意可得，进而可得，再观察图形可得五边形的面积正方形的面积三角形的面积，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，， ∴ 解得， ∴x的取值范围为． 2. （25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 3. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据二次函数的定义求参数、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 4. （26-27九年级上·西藏日喀则·期中）若是二次函数则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2、二次项系数不为0两个条件，联立求解并排除系数为0的解即可． 【详解】解：∵二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0 ∴且 解关于的方程， 移项得， 因式分解得， 解得 或 ， 结合约束条件，即，舍去， ∴． 5. （26-27九年级上·全国·课后作业）若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴ 解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 6. （26-27九年级上·全国·课后作业）个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 【答案】 是 【难度】0.65 【知识点】列二次函数关系式、二次函数的识别 【分析】个人每人与其余人握手，每次握手被计算了2次，除以2得到总握手次数，再根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：∵个人参加聚会，每个人需要和除自身外的个人握手， ∴计算得到未去重的总握手次数为， ∵与握手和与握手是同一次握手，每次握手被计算了2次， ∴实际总握手次数， 整理得，符合二次函数的定义，因此它是二次函数． 7. （26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 【答案】(1)； (2)当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列二次函数关系式 【分析】，根据题意，直接运用矩形面积，即可得出与的函数表达式； 把代入中求出的表达式，解方程得出边长增加的长度． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则， 解得，（负值舍去）， 答：当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 8．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)顶点，当时，y随x增大而减小 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）根据二次函数的定义求解即可； （2）将函数变为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∴顶点为,开口向下， ∵， ∴当时，y随x增大而减小． 9. （26-27九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿斜边以每秒2个单位长度向终点运动．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设多边形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． (1)线段的长为__________（用含的代数式表示）； (2)当点恰好落在边上时，则的值为__________； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.55 【知识点】列二次函数关系式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据路程速度时间即可求解； （2）证明和都是等腰直角三角形，利用全等三角形和旋转的性质求解即可； （3）分点在内部（包括边上），在外部两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据路程速度时间可得：， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 当R在内部（包括边上），即时， ∴； 当R在外部，即时，如图： ∵， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， 综上所述，． C组 思维拔高 1．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的定义求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 2．（2026·安徽合肥·一模）若函数图象上存在点与点（其中 ，则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在点和，所以函数 称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数是“关联函数”，则k的值为_____． （2）若关于x的二次函数 是“关联函数”，则m的取值范围为_____． 【答案】 1 或 【难度】0.45 【知识点】求一次函数解析式、根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据“关联函数”的定义求解即可； （2）方法同（1）得，进而得m的取值范围． 【详解】解：（1）把点与点代入得 由得 ∵， ∴, ∴； （2） 把点与点代入 得： ， 由得， ， 即， 把③代入①得： ， 整理得： ， 由得， ∴ ∴ ∵， ∴， 又，代入可知： ， ∴ ∴m的取值范围为或． 3．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)5； (2)t的值为或 (3) 【难度】0.51 【知识点】列代数式、列二次函数关系式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形——动点问题 【分析】（1）在中由勾股定理算出；再根据动点速度与运动时间t，由得出； （2）分两种对应情况：当时，，列比例式求解；当时，，列比例式求解； （3）作辅助线，由证，通过比例式求出高；代入三角形面积公式化简，结合Q点到C点停止的条件，确定t的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由题意得，点P移动速度为，移动时间为t秒， ∴， ∴； （2）解：当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ ， 解得； 当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ 解得， 综上所述，当t的值为或时，与相似； （3）解：过点P作，垂足为H，如图： 则， ， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∴的面积 ， 由题意得，点Q从B移动到C停止，，速度为， ∴t的取值范围是． 拓展 链接中考 1．（2025·兰州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次函数的定义；一次函数的定义． 【分析】依据题意，当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，，作PG⊥CD于点G，求得CG＝PG＝x+1，利用•PG计算即可；当点P在AB上运动时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形ABCD中，AB＝2cm， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm， ∴，OC＝OAACcm． 当点P在OA上运动时，由题意得CQ＝x，CP＝OC+OPx， 作PG⊥CD于点G， ∵∠PCG＝45°， ∴，，是二次函数； 当点P在AB上运动时，由题意得CQ＝x， ∴是一次函数． 故选：D． 2. （2024·兰州·中考真题）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】解： A、y＝3x﹣1是一次函数，故A不符合题意； B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B不符合题意； C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C符合题意； D、y＝x2不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 3. （2025·浙江·中考真题）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为_______________ ． 【答案】x2 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积． 【详解】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°，即∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE ∴∠BAC＝∠DAE 又∵AB＝AD，∠ACB＝∠E＝90° ∴△ABC≌△ADE（AAS） ∴BC＝DE，AC＝AE， 设BC＝a，则DE＝a，DF＝AE＝AC＝4BC＝4a， CF＝AC﹣AF＝AC﹣DE＝3a， 在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2＝CD2，即（3a）2+（4a）2＝x2， 解得：a， ∴y＝S四边形ABCD＝S梯形ACDE（DE+AC）×DF （a+4a）×4a ＝10a2 x2． 4. （2024·安徽·中考真题）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝____________ ． 【答案】a（1+x）2 【难度】0.7 【知识点】根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式． 【详解】解：∵一月份新产品的研发资金为a元， 2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴2月份研发资金为， ∴三月份的研发资金为2． 故填空答案：2． 5.（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）②；（3）；（4）且 【难度】0.4 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、二次函数的识别、线段垂直平分线的性质、正方形性质理解 【分析】（）结合图形找出点的位置即可求解； （）根据点位置的分布即可判断； （）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解； （）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.1 认识二次函数 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01二次函数的识别 题型02 列二次函数关系式 题型03 根据二次函数的定义求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01二次函数的识别 1.C 2. C 3. D 4. D 5. 题型02 列二次函数关系式 6.A 7. B 8. 9. 10.解：由题意另一个正方形的边长为， 故 ， ∵要围成两个正方形，且正方形的边长大于0， ∴， ∴． 题型03 根据二次函数的定义求参数 11. A 12. D 13. 14. 15. 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 当时，此函数是关于的二次函数． （2）解：由题意，得且， 解得， 当时，此函数是关于的一次函数． （3）解：由题意，得且，， 解得，， 当，时，此函数是关于的正比例函数． B组 能力进阶 1. A 2. D 3. D 4. 5. 6. 是 7. 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则， 解得，（负值舍去）， 答：当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 8．【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∴顶点为,开口向下， ∵， ∴当时，y随x增大而减小． 9. 【详解】（1）解：根据路程速度时间可得：， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 当R在内部（包括边上），即时， ∴； 当R在外部，即时，如图： ∵， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， 综上所述，． C组 思维拔高 1． C 2.1， 或 3．【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由题意得，点P移动速度为，移动时间为t秒， ∴， ∴； （2）解：当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ ， 解得； 当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ 解得， 综上所述，当t的值为或时，与相似； （3）解：过点P作，垂足为H，如图： 则， ， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∴的面积 ， 由题意得，点Q从B移动到C停止，，速度为， ∴t的取值范围是． 拓展 链接中考 1.D 2. C 3. x2 4. a（1+x）2 5.【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.1 认识二次函数 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01二次函数的识别 题型02 列二次函数关系式 题型03 根据二次函数的定义求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01二次函数的识别 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2. （26-27九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数的一次项系数是（     ） A． B． C． D． 3. （26-27九年级上·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 4. （26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5. （26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 题型02 列二次函数关系式 6．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）合肥市某高新企业10月份的工业产值为亿元，平均每月产值的增长率为，则该企业12月份的产值关于的函数表达式是（     ） A． B． C． D． 7. （26-27九年级上·全国·课后作业）把二次函数化成一般形式为（     ） A． B． C． D． 8. （26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．设邀请x支球队参加比赛，共安排y场比赛，则y与x的函数关系式为_________． 9.（26-27九年级上·全国·课后作业）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的函数解析式为________________ 10.（2026九年级上·全国·专题练习）把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． 写出与的函数关系式及自变量的取值范围． 题型03 根据二次函数的定义求参数 11. （26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 12. （26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 13. （26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）若函数是二次函数，则___________________． 14. （26-27九年级上·天津·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则_________ 15. （26-27九年级上·河南漯河·阶段检测）已知函数． (1)当为何值时，此函数是关于的二次函数？ (2)当为何值时，此函数是关于的一次函数？ (3)当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ B组 能力进阶 1. （26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 2. （25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 3. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（  ） A． B． C． D． 4. （26-27九年级上·西藏日喀则·期中）若是二次函数则__________． 5. （26-27九年级上·全国·课后作业）若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 6. （26-27九年级上·全国·课后作业）个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 7. （26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 8．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 9. （26-27九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿斜边以每秒2个单位长度向终点运动．过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设多边形与重叠部分的面积为，点的运动时间为秒． (1)线段的长为__________（用含的代数式表示）； (2)当点恰好落在边上时，则的值为__________； (3)求与之间的函数关系式． C组 思维拔高 1．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 2．（2026·安徽合肥·一模）若函数图象上存在点与点（其中 ，则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在点和，所以函数 称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数是“关联函数”，则k的值为_____． （2）若关于x的二次函数 是“关联函数”，则m的取值范围为_____． 3．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 拓展 链接中考 1．（2025·兰州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y（cm2），则点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（　　） A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数 C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数 2. （2024·兰州·中考真题）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2 3. （2025·浙江·中考真题）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为_______________ ． 4. （2024·安徽·中考真题）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝____________ ． 5.（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $