河南省南阳市豫西南部分高中2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：函数，导数，三角，平面向量，复数，数列，立体几何。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则sinα= A. B. C. D. 2．若复数z=(1+2i)(3-i)，则z在复平面内的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知正方体，则直线与所成的角的大小为 A. B. C. D. 4．设，则a,b,c的大小关系是 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 5．已知,sin，则cos(α+β)= A. B. C. D. 6．在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，若，则x+y= A. B. C. D.1 【高三数学 第1页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 7．已知定义域为R的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=x(1-x)，若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是 A. B. C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D. 8．已知直线mx+y-n=0(m<0)与曲线相切，则的最小值为 A.e B.2 C.1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列求导正确的是 A. B. C. 10．已知平面向量m,n满足：|m|=|n|=2,|m-n|=3，则下列说法正确的是 A. B. C.若4m+3n与xm+4n共线，则 D.若(m+2n)⊥(m-yn)，则y=-2 11．已知函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的图象关于点对称 B. C.若f(x)的图象和g(x)的图象交于，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等差数列中，，则 13．已知正四棱台的高为，则正四棱台的外接球的表面积为 14．已知函数，且a≠1,m∈R)，若存在a，对∀x∈[1,9],f(x)≥g(x)，则m的取值范围是 【高三数学 第2页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知函数，且f(0)=-1. （1）若，求α的值； （2）若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x）的图象，求g(x)的单调递增区间. 16.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥M-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AM⊥平面ABCD,N是线段DM上一点， 且BM/／平面ACN. （1）求证：N是DM的中点； （2）若AM=AD=2AB=2，求点M到平面ACN的距离. 17.（本小题满分15分） 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 （1）求cos C； （2）若c=4，求△ABC面积的取值范围. 【高三数学 第3页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 18.（本小题满分17分） 已知数列的前n项和为Sn，且 （1）证明：数列是等比数列； （2）记，求数列的前n项和 （3）是否存在互不相同的，使得成等差数列？如果存在，请求出r,s,t的值；如果不存在，请说明理由. 19.（本小题满分17分） 设函数，且 （1）求a,b的值； （2）若f(x)的极小值点为，求证：在上单调递减； （3）已知m>0，若对∀x∈(0,m),f(m+x)+f(m-x)>2f(m)，求实数m的最大值. 【高三数学 第4页（共4页）】 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B由三角函数定义，得sim。=5-5故选B 3+63 2.A因为x=(1+2i)(3-i)=3-i+6i一2=5+5i,所以复数之在复平面内对应的点为(5,5)，其位于第一象限.故 选A. 3.C连接BD,BC,由正方体ABCD-ABCD知BD∥BD,所以∠BDC或其补角即为直线BD1与CD所成的 角又△BCD是等边三角形，所以∠BDC=于，即直线BD,与CD所成的角的大小为子.故选C 4.A由对数函数的性质，得a=h3>1ne=1,0<b=log2<1log3=1,c=log青<log1=0,所以a>6>e故选A B由题设，得cmsa一2oscs9叶casg号D.sma+2sn6s9计sing元@.①+@，得2-2ois（a十月）=36所以 os(a十B)=克故选R 6.D由题意，得AC=A苏+AD,AM=号A+AD,市=-A店+AD,代人A花=xAi+y励，得A+AD= (分-)应+(+市，所以乞一1故选D x+y=1. x(1一x),x>0, 7.A由奇函数，得f(x) 0,x=0, 做出函数∫(x)的图象如图所示，因为g(x) x(1+x),x0, 有3个零点，所以直线y=m与函数f(x)的图象恰有3个交点，所以-<m<,即 实数m的取值范围是(-，)，故选A 8.C设函数y=（x-1)e和直线y=一mx+n切于点(xo,-m.n十n),((x一1)e)=ze,则 -m=x0e0, 由m<0知m>0,所以”=（十1）-1≥1，当且仅当=上，即m=1时取得等号，即 (x0-1)e0=-mzn+n, 册的最小值为1.故选C 9.AD由复合函数求导法则，得(e2r)'=e2r(2x)'=2e2,故A正确；(sinx)'=2sinx(sinx)'=2 sin xcos x=sin2x,故 B错误：(2x-5))y=5(2x-5)(22-5)/=10(2z-5),故C错误，(n(1-)'=己，1-x)'=马，放D正 确.故选AD. 10.BC由|m-nl=3,得m2-2m·n+f=9,即m-2mn+n?=9,所以m·n=-号，放A错误；m+n= √(m+n=√m+2m·n十7=√4-1中4=万，故B正确：因为m=n=2,m,n=-合，所以m,n不共线， 若m+3n与m十n共线，则m十n=A(m十3m).所以x=4,4=3双解得入=专x=9放C正确：若(m十2n)1 (m-ym),则(m十2n)·(m-yn)=0,即m2+(2-y)m·n-2ym2=0,所以4-2(2-y》-8y=0,解得y=号，故 D错误.故选BC. 1.ABD因为函数f(x+）-为奇函数，所以(-x+号)-3+f(2+x)-号=0，即f(x)+f1-x)=1,所 以数的图象美于点（分，号）树称，放A正确：g十g1-)=者+千者+汉年-， 4 4 g20z)+g(2z)++g(202)=[g(2d)+g号02)]++[s(282)+s(g8)]=1013放B正 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 10/1HN-G 确：由选项AB知∫(x)的图象与g()的图象都关于点(？，？)对称，由对称性知三（十）=7，放C错误；由选项 AB知对ViEN/)+f1-i)-1,gi+g1-）-1,所以登[fD+f1-D+g①+g1-D]-4054, 故D正确.故选ABD. 12.-6设等差数列{a,的公差为d,则d=02=-令，所以a=a+20d=4+20×(-之)=-6. 10 13.7g元连接ACA,G,设AC,AC的中点分别为E,E,正四棱台ABCD-ABCD,外接球的 E 球心为O,半径为R,由题意知O在直线EE上，OC=OC=R,如图所示，因为正四棱台ABCD- A1BCD的高为6，AB=3AB,=6,所以EC=3E1C1=3/2,EE=6,因为√OE+EC=R √E-0E)P+EC,所以√OE+8=√6-OE)+2,解得0E=号，所以R VOE于BC-,正四棱台ABCD-A,BCD的外接球的表面积为标R=7售 9元. 14.(-∞，-1]由对Vx∈[1,9]，f(x)≥g(x),得对Hx∈[1,9]，logx≥2log(2x-m-2),当a>1时，y=logx 单调递增，所以对Hx∈[1,9]，x≥(2x-m-2)2,且2x-m-2>0,即0<2.x-m-2≤J元，所以m≥2x-√(-2且m <2x-2对Vxc1,9]恒成立.令1=丘e[1.3],h0=2-丘-2=2r-1-2,则h1)=2r-1-2=2(-}）》 冬，所以h)在[1,3]上单调递增，h()m=I)=-1,h()m=h(3)=13,即(2x-左-2)m=-1, (2x一√元-2)mx=13,又(2x-2)mim=0,所以m≥13且m<0,无解；当0<a<1时，y=logx单调递减，所以对Hx∈ [1,9],a≤(2x-m-2)2,且2x-m-2>0,即/≤2x-m-2,所以m≤2x-√E-2且m<2x-2对Vx∈[1,9]恒 成立，又(2x一√元-2)mm=一1，且(2.x一2)m=0,所以m≤一1，即m的取值范围是(-c∞，一1]. 15.解：(1)因为f(0)=-1,所以f(0)=23sin0cos0-mcos20+1=-m+1=-1,解得m=2.…2分 f(x)=2/3sin xcos x-2cos x+1-/3sin 2x-cos 2z=2sin(2), …4分 因为∈(o,受)，所以2a-吾∈(-，)， 又f(a)=2sin(2a-否）=0，所以2a-吾=0，解得a=卺 …… …7分 (2)因为将函数f(x)的图象向左平移哥个单位长度后得到函数gx)的图象， 所以g(x)=2sim[2(x+音）-吾]=2sin(2x+0): 10分 令-受+22x+高<登+x,c.得一语+≤r<+xc乙 所以g(x)的单调递增区间为[一答+x,务十x](k∈Z.…. 13分 16.(1)证明：连接BD,交AC于点O,连接ON, 因为BM∥平面ACN,BMC平面BDM,平面BDM∩平面ACN=ON,所以BM∥ON.·3分 因为四边形ABCD是矩形，所以O为BD的中点， …4分 又BM∥ON,所以N是DM的中点. …6分 (2)解：方法一：因为四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD, M 因为AM⊥平面ABCD,AD,CDC平面ABCD,所以AD⊥AM,CD⊥AM, 因为CD⊥AD,CD⊥AM,AD∩AM=A,AD,AMC平面ADM,所以CD⊥平面ADM. 9分 因为AM=AD=2,AD⊥AM,N是DM的中点， A 所以AN=E,SawN=号Ssw=号×号×AM:AD=1, 所以V袋w=号58N·CD=号XIX1=子 3 12分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 10/1HN-G 因为四边形ABCD是矩形，AD=2AB=2,所以AC=√5. 因为CD⊥平面ADM,DMC平面ADM,所以DM⊥CD,又CD=1,DN=7DM=√2，所以CN=3, 因为A+CN=AC,所以ANLCN,Saew=号×AN.CN=子XEX5= 设点M到平面ACN的距离为A,则Va=专S2N·h=号×号XA=Vw=子，解得h=写 31 即点M到平面ACV的距离为写 …15分 方法二：因为AM⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以AM⊥AB,AM⊥AD, 本2 又四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD,以点A为原点，以AB,AD,AM所在直线分别 为x轴、y轴，之轴，建立空间直角坐标系如图所示. 由AM=AD=2AB=2,N是DM的中点，得A(0,0,0),C(1,2,0),M(0,0,2), N(0,l,1),…9分 . AC=(1,2,0),A下=(0,1,1)，设平面ACN的法向量为m=(x,y,),则 A D m·AC=0,mx+2y=0, 即〈 m.A衣=0，y叶x=0, 令x=2,得y=-1,2=1,所以m=(2,-1,1)是平面ACN 的一个法向量.… 12分 AM=(0,0,2),设点M到平面ACN的距离为h, 所以h=A立·mL、 12 15分 m √22+(-1)2+1下 9即点M到平面ACN的矩离为号 1r解：a图为品o()+号=2nAsC 所以sin Ceos(B-A)+号sinC=2 sin Bsin Asin C …3分 又C∈0，x),所以smC≠0，os(B-A)+是-2 sin Bsin A, 即cs Acos B+-sin Asin B+号=2 esin Asin B,所以cos(A+B)= 3 5 …5分 又A+B+C=x,所以cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)= 3 …7分 (2)由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcos C, 又c=4,c0sC-是，所以16=d+6-号a6 …9分 因为a2+≥2ab,当且仅当a=b时等号成立， 所以16+号a6=a2+≥2a6,即0<a620. 12分 因为csC是，Ce(0,x,所以smC厂osC-号 所以△ABC面积S=令anC-号b∈(0,8]， 即△ABC的面积的取值范围为(0,8].15分 18.(1)证明：在2S十4n=3am中，令n=1,得2S十4=3a,又S=a1,得a=4.… …1分 由2Sn十4n=3an,得2S,-1+4(n-1)=3am-1(n≥2)， 两式相减，得2(Sn-S-1)+4=3a,-3aw-1,即2am十4=3am一3a-1,an=3a-1十4(n≥2).…3分 所以a+2=3a,1+2)(m2≥2)，又a+2=6,所以么十是2 =3(n≥2)， 因此数列{a,十2}是首项为6，公比为3的等比数列. … …5分 (2)解：由(1)，得an+2=6·3"=2·3”,即an=2·3”-2. .…7分 6,4十2 a2品，-2823-（与）， 2·3m …9分 3w+1-3 所以工=（合-名）+（合-动）++(3）=号（合31）8”3令 …11分 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 10/1HN-G (3)解：由(2)知an=2·3”-2, 若存在互不相同的r,s,t∈N°，使得a,as,a成等差数列，则2a,=a,十a, 即4·3-4=2·3”-2+2·3-2，所以2·3=3”十3.… 13分 不妨设r<t,因为{3”}是递增数列，所以r<s<t, 在2·3=37十3两边同时除以3”，得2·3'=1十3，… 15分 因为r<s<t,r,s,t∈N,所以s-r,t-r∈N°，所以3'，3是3的倍数， 又1不是3的倍数，所以2·3是3的倍数，1十3不是3的倍数，即2·3=1+3不成立， 所以不存在互不相同的r,s,t∈N,使得ar,a,a:成等差数列. 17分 19.(1)解：因为f(x)=xlnx十a.x2+bx,所以f(x)=lnx+2a.x+b+1, …1分 致将1=了4得g松色移 a=-1, …3分 (2)证明：由(1)知，f(x)=xnx-x2+x,所以f(x)=lnx-2x+2. 令A)=f.则N0）-2=12(>0,当0<<时6h>0,A即f()单周递增，当x>时. h'(x)<0,h()即∫'(x)单调递减， 又了（日）=-2-是+8=-号<0f(日)=-1-是+2=1-2>0，（位）(0)所以了()在 (日)上有唯-零点a)=0h-2十2=0当0<K时)<0，单调递减，当<号 时，∫(x)>0,f(x)单调递增，所以x0是(x)唯一的极小值点.…5分 因为g(x)=f(m十x)-f(x-x),所以g'(x)=f(x0十x)+f(xn-x)=ln(x十x)-2(x十x)+2十 In(zo-x)-2(zo-x)+2=In(zo+)+In(zo-x)-420+4,................ …7分 -2x 令m)=g)e0,)m()十，。十)7)<0，g()在0，)上单调递诚 所以g(x)<g'(0)=2nxn-4xn+4=4(m-1)-4(m-1)=0, 所以g(x)=f(x十x)-f(xa一x)在(0，m)上单调递减.… …9分 (3)解：令n(x)=f(m十x)+f(m-x)-2f(m),则n(x)=f(m+x)-f'(m-x), 记f(,n"(x)分别是函数f(,n()的导函数，则(x)=f(m十x)+f(m-x),由(2)知，f()=是-2= 1-2延(x>0). x 显然(0)=(0）=0，i(0)=2(m）=2(-2）.… 11分 当m=2时，nx)=f(2+x)+f(分-x)-2f(分)，xe(0,2), -4=0, 十x十2 ……13分 所以1(x)在(0,7)上单调递增，1(x)>1(0)=0,所以n(x)在(0,2)上单调递增，n(x)>n(0)=0,即 f(m+x)十f(m-x)>2f(m)成立.… …14分 当m心专时()=广(m+)+f(m)=-2+-2=m,令()=0，得 m2-x2 √㎡-受（负值舍去）. 当xe(0,√m-受)时，(x)<0,1(x)单调递减，所以(x)<1(0)=0,即n(x)单调递减，所以n(x)<n(0) =0,即f(m十x)十f(m一x)<2f(m),与题意矛盾.… 16分 综上所述，实数m的最大值为2· … …17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 10/1HN-G