4.5.2用二分法求方程的近似解（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.5函数的应用（二） 4.5.2用二分法求方程的近似解 学 习 目 标 1 2 3 理解二分法的原理，掌握用二分法求方程近似解的步骤，会借助函数零点存在定理判断零点所在区间. 经历二分法探究、区间不断缩窄的过程，体会逼近思想与程序化算法思想，提升逻辑推理能力. 感受无限逼近的数学思想，体会近似求解在实际中的价值，养成严谨求实的数学思维习惯. 新课引入 新课引入 情境1：在生活中，我们经常遇到“精准定位未知量”的问题：例如一台电器发生故障，故障点在一条总长的线路上，如何最快找到故障位置？ 最高效的方法不是逐段排查，而是先检测线路中点，判断故障在左半段还是右半段， 再对故障所在区间继续取中点排查，不断缩小范围，最终锁定故障点。 这种“取中点、分区间、缩范围”的排查思路，就是二分法的生活原型。对此，你能得到什么启发吗？ 探究一：二分法 新知探究 问题1：我们已经知道，函数在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？ 一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。为了方便,可以通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围. 探究一：二分法 新知探究 对于在区间上连续不断且的函数 ，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 取中点 注：只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点． 探究一：二分法 新知探究 f (x)= ln x ＋2x－6 ∵f(2)<0， f(3)>0，∴x0∈(2，3) ∵f(2.5)<0， f(3)>0，∴x0∈(2.5，3) ∵f(2.5)<0， f(2.75)>0，∴x0∈(2.5，2.75) ∵f(2.5)<0， f(2.625)>0，∴x0∈(2.5，2.625) ∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.5，2.5625) ∵f(2.53125)<0， f(2.5625)>0，∴x0∈(2.53125，2.5625) 问题2：请你试着用二分法求方程在区间(2, 3)内近似解(精确度0.1) 探究一：二分法 新知探究 问题2：请你试着用二分法求方程在区间(2, 3)内近似解(精确度0.1) 2 3 2.5 2.75 2.65 2.5625 零点所在区间 (2，3) (2.5，3) (2.5，2.75) (2.5，2.625) (2.5，2.5625) (2.53125，2.5625) (2.53125，2.546875) (2.53125，2.5390625) 中点的值 2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625 中点函数近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001 为了方便，可以把区间端点作为零点的近似值 达到0.1精度要求的解为2.5或2.5625 即时训练 辨析1.图象如下的函数能用二分法求零点近似值的是( ) D B A C 【答案】： 辨析2.在用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是(　　) A．　 B． C． D． 【答案】：D 二分法求函数零点的步骤 技巧点拨 典例精讲 例2：借助信息技术，用二分法求方程 函数的近似解（精确度为0.1） 【分析】定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间. 解：原方程即,令,信息技术画出的图象（如右图），并列出它的值表： 观察图或表，可知，说明该函数在区间（1，2）内存在零点. 取区间（1，2）的中点，用信息技术算得 0 -6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 142 8 273 典例精讲 例2：借助信息技术，用二分法求方程 函数的近似解（精确度为0.1） 【分析】定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间. 因为，所以 再取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以 同理可得，， 由于 所以，原方程的近似解可取为1.375 即时训练 题型1 二分法概念的理解 1、已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（　　） A. 4，4 B. 3，4 C. 5，4 D. 4，3 【答案】：D 2、下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） 、 、 C、 、 【答案】：C 即时训练 题型1 二分法概念的理解 3、下列函数中，能用二分法求函数零点的有（　　） A、 B、 C、 D、 【答案】：ACD 4、若函数零点，但不能用二分法求出该零点，则的值为 ． 【答案】： 即时训练 题型2 利用二分法求函数零点的近似值 1、已知函数的部分函数值如表所示： 那么的一个零点的近似值(精确度为0.07)为(　　) 、0.55 、0.57 、0.65 、0.70 1 0.632 0.5 －0.107 0.75 0.278 0.625 0.090 0.562 5 －0.007 【答案】：B 用二分法求函数零点近似值的关注点 技巧点拨 即时训练 题型2 利用二分法求函数零点的近似值 2、用二分法求方程的一个正实数近似解.（精确度为0.1） 解：令 ， 经计算， ， ， ， 所以函数在内存在零点， 即方程在内有解. 取（0，1）的中点0.5，经计算 ， 又 ，所以方程在内有解. 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： 即时训练 题型2 利用二分法求函数零点的近似值 2、用二分法求方程的一个正实数近似解.（精确度为0.1） (0，1) (0.5，1) (0.5，0.75) (0.625，0.75) (0.6875，0.75) 中点 0.5 0.75 0.625 0.687 5 ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1 ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1 ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1 ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1 由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解. 即时训练 题型3 二分法的实际应用 1、一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域（精确到100 m范围内）？ 解：如图，工人师傅首先从中点 检测，用随身带 的话机向两端测试，发现 段正常，可见故障在段；再从线段的中点检测，发现段正常，可见故障在段；再从段的中点检测；…，由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过次检测，所剩线路的长度为 m，则有 ≤100，即，又26＝64，27＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域. 课堂小结 感谢聆听!