4.5.2 用二分法求方程的近似解（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，涵盖二分法概念、适用条件及步骤，通过课前预习的诊断分析（判断正误、问答）衔接函数零点存在定理，为课中探究搭建学习支架。 其亮点是分层设计（课前预习-课中探究-课后习题），例1多选题辨析变号零点培养数学眼光，例2及变式严谨推理步骤发展数学思维，课后猜价格游戏体现数学语言的应用意识，助力学生提升逻辑推理和问题解决能力，教师可高效落实教学目标。

4.5 函数的应用（二） 1 4.5.2 用二分法求方程的近似解 2 探究点一 二分法的概念 探究点二 求方程的近似解 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.理解用二分法求方程的近似解，知道用二分法求方程近似解的原理 和步骤,能借助计算工具用二分法求方程的近似解. 2.了解二分法只能用于变号零点的求解，能解决与方程近似解有关的 问题. 4 知识点一 二分法 对于在区间上图象连续不断且_____________的函数 , 通过不断地把它的零点所在区间__________,使所得区间的两个端点 ______________,进而得到零点________的方法叫作二分法. 一分为二 逐步逼近零点 近似值 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）可以用二分法求函数 的零点.( ) √ [解析] 函数的零点是变号零点， 能用二分法求解. （2）函数 的零点可以用二分法来求.( ) × [解析] 是的零点，但不是变号零点， 不能用二分法求解零点. 课 前 预 习 6 2.用二分法求函数零点的适用条件是什么？ 解：的图象在区间上连续不断； . 课 前 预 习 7 知识点二 用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度,用二分法求函数零点 的近似值的一般步骤如下: （1）确定零点 的初始区间______.这一步的关键在于:①使区间长 度尽量小;,的值比较容易计算;, 异号. （2）求区间的______.利用公式 即可求解. 中点 课 前 预 习 8 给定精确度,用二分法求函数零点 的近似值的一般步骤如下: （3）计算 ,并进一步确定零点所在的区间. ①若_________（此时）,则 就是函数的零点; ②若（此时 ______）,则令 ;③若 （此时）,则令 .这一步的目的是缩小 零点所在的区间,也就是所谓的“二分”. （4）判断是否达到精确度若___________,则得到零点近似值 （或 ）；否则重复第（2）（3）（4）步. 课 前 预 习 9 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在 左侧区间内.( ) × [解析] 用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后, 零点既可以在左侧区间内,也可以在右侧区间内. 课 前 预 习 10 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）用二分法所求出的方程的解都是近似解.( ) × [解析] 用二分法所求出的方程的解不一定都是近似解. （3）精确度 就是近似值.( ) × [解析] 精确度 是对方程近似解的精确度要求. 课 前 预 习 11 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）用二分法求方程在区间 上的近似解时,经计算, ,, ,则方程的近似解可以为 （精确度为 ）.( ) √ [解析] 因为, 所以 或0.625可以作为方程 的近似解. 课 前 预 习 12 2.（1）用二分法求方程的近似解时,如何决定步骤的结束? 解：根据精确度的大小,当零点所在的区间的两个端点值差的绝对值 小于精确度 时,步骤结束. （2）你知道为什么当时，可将或 的值看成方程的近似 解吗？ 解：当时，因为方程根的真实值 ， 所以， 所以与方程根的真实值 的误差不超过精确度 ， 故可以作为方程的近似解.同理， 也可以作为方程的近似解. 课 前 预 习 13 探究点一 二分法的概念 例1（1）下列函数图象与 轴均有交点，且已知其解析式，则不能用 二分法求函数零点的是( ) A. B. C. D. √ 课 中 探 究 14 [解析] 根据函数零点存在定理可知，函数 的图象是一段连续不 断的曲线， 若在区间上满足， 则函数 在区间 上存在零点. 根据二分法的概念可知， C选项中的图象对应的函数在零点附近不满足 ， 所以不能用二分法求C选项对应函数的零点.故选C. 课 中 探 究 15 （2）（多选题）下列函数中，能用二分法求函数零点的有 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，C，D选项，在定义域内都连续且单调递增， 并且在零点两侧的函数值异号，故能用二分法求函数零点； 对于B选项，，， 当时， ，当时， ， 在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 16 变式（1）已知函数 的图象如图所示，则其 零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分 别为( ) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 [解析] 函数图象与 轴有4个交点,所以零点的个数为4. 左右函数值异号的零点有3个, 所以可以用二分法求解的零点的个数为3.故选D. √ 课 中 探 究 17 （2）（多选题）已知函数在区间 上有两个零点，且都可以 用二分法求得，其图象是连续不断的，若 ， ，则下列说法正确的是( ) A.函数的两个零点可以分别在区间和 内 B.函数的两个零点可以分别在区间和 内 C.函数的两个零点可以分别在区间和 内 D.函数的两个零点不可能同时在区间 内 √ √ √ 课 中 探 究 18 [解析] 因为函数在区间 上有两个零点，且都可以用二分法 求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号， 又，，所以， . 若，，可得， ， 即此时函数的两个零点分别在区间和 内，故B正确； 若，，则， ， 即此时函数的两个零点分别在区间和 内，故A正确； 综合以上两种情况，可知C错误，D正确.故选 . 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 判断一个函数能否用二分法求零点近似值的依据是其图象在零点附 近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近 似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. 课 中 探 究 20 探究点二 求方程的近似解 例2 [教材P146练习第1题] 借助信息技术,用二分法求函数 在区间 内零点的近似值 （精确度为 ）. 解：利用信息技术画出函数 的图象如图所示. 由题设可知, , 故. 又因为函数在 上单调递增, 所以函数在区间 内有一个零点. 课 中 探 究 21 下面用二分法求函数 在区间内的零点的近似值. 取区间 的中点,用信息技术算得 . 因为,所以. 再取区间 的中点,用信息技术算得 . 因为,所以 . 同理可得, . 由于, 所以函数 在区间 内零点的近似值可取为0.625. 课 中 探 究 变式1 [2026·西安高一期末]用二分法求方程 在 内的近似解时，令 ，并用计算器得 到如下数据： 1.00 1.25 1.375 1.50 则由表中的数据，可得方程 的一个近似解为 （精确度为 ）( ) A.1.125 B. C. D. √ 课 中 探 究 23 [解析] 设函数的一个零点为，因为， ， 所以，所以，区间长度为 ， 取区间的中点，，则 ， 所以，区间长度为， 取区间的中点 ，， 则，所以 ，区间长度为， 取区间的中点 ，则或 （即两个区间中必有一个满足区间端点的函数 值符号相异），此时区间长度为 ， 故方程的一个近似解为 ，故选B. 课 中 探 究 24 变式2 用二分法求方程在内的近似解（精确度为 ）. 参考数据： 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 的近似值 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 课 中 探 究 25 解：令，则在 上是增函数， ， ， 经计算可得下表， 区间 区间中点值 的值及符号 ， 方程在 内的近似解可以为1.375. 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 用二分法求方程的近似解的思路和方法: （1）根据函数的零点与相应方程解的关系,求函数的零点与求相应方 程的解是等价的,所以求方程<m></m>的近似解,可按照用二分法求函 数零点近似值的步骤求解. （2）对于求形如<m></m>的方程的近似解,可以通过移项化为求 函数<m></m>的零点的近似值,然后按照用二分法求函数 零点近似值的步骤求解. 课 中 探 究 27 课后习题 28 1.如图是函数的图象，它与 轴有4个不 同的交点，下列给出的四个区间中，存在不 能用二分法求的零点，则该零点所在的区间 是( ) A. B. C. D. [解析] 函数在区间 内的零点两侧函数值同号， 因此不能用二分法求该区间上函数的零点. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 2.用二分法求函数 零点的近似值时，可以取的初 始区间是( ) A. B. C. D. [解析] 在 上单调递增， 因为， ， ， ， 所以 ，根据函数零点存在定理知， 可以取的初始区间为 ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 3.用二分法研究函数 的零点时，通过计算得 ，，下一步应计算，则 ( ) A.0 B. C. D. [解析] 因为，，且函数 的图 象连续不断， 所以函数在区间 内有零点， 所以下一步应计算， .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 4.[2026·山东菏泽高一阶段练]已知函数 ，利用二 分法求函数在 内的零点的近似值，则使用两次二分法后， 零点所在的区间为( ) A. B. C. D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 [解析] 函数在 上单调递增， ， ，故函数的零点在 内； 取区间的中点，计算 ， 则函数的零点在内； 再取区间的中点 ，计算， 则函数的零点在 内.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 5.用二分法求函数 的一个正零点的近似值 （精确度为）时，依次计算得到如下数据: , ,, .关于下一步的说法 正确的是( ) A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求，应该接着计算 D.没有达到精确度的要求，应该接着计算 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 [解析] 由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小， ， 的区间长度为 ， 故没有达到精确度的要求，应该接着计算 的值.故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 6.（多选题）下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的 是( ) A. B. C. D. [解析] 易知选项A，B中的函数有零点，且可用二分法求零点的近似值； 对于选项C， ，该函数有零点， 但不能用二分法求零点的近似值； 对于选项D， ，该函数有零点， 但不能用二分法求零点的近似值.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 7.若函数在区间 内的一个零点的近似值用二 分法逐次计算列表如下： 那么方程 的一个近似解为______________________ （精确度为 ）. （答案不唯一） 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 [解析] 由表格中的数据，可得 ， 且， 所以方程 的一个近似解为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.若函数 有零点，但不能用二分法求其 零点，则实数 的值为_______. 2或 [解析] 由函数 有零点，但不能用二分法 求其零点，可知函数的图象在轴上方或下方（包括 轴）. 当，即时， ，能用二分法求零点，不 符合题意； 当，即时， 为二次函数， 而 有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数的图象与 轴有1个交点，即 有两个相等实根， 所以，解得或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 9.（13分）用二分法求方程在区间 内的近似解 （精确度为 ）. 参考数据： 1.125 1.25 1.375 1.5 的近似值 2.18 2.28 2.38 2.59 2.83 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 解：设函数，则在 上是增函数， 设方程的解为， ， ， ， ， ， . ，， . ， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 ， ， . ， 方程在区间内的近似解可以为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.若在用二分法寻找函数 零点的过 程中，依次确定了零点所在的区间为,, ，则实 数和 分别等于( ) A.1,2 B.1, C. ,2 D.2,3 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 [解析] ， 根据二分法的定义可知 解得 故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.（多选题）教材中用二分法求方程 的近似解时， 设函数 来研究，通过计算列出了它的对应值表 （函数值保留了两位小数） 1.25 1.375 1.422 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是( ) A. B.方程 有实数解 C.若精确度为 ，则近似解可取为1.375 D.若精确度为，则近似解可取为 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 [解析] 与都是 上的增函数， 是上的增函数，在 上至多有一个零点. 由表格中的数据可知，， 在 上有唯一零点，零点所在的区间为， ，A错误； 方程有实数解，B正确； ，， ，即若精确度为， 则近似解可取为，C正确； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 ， ， ， 即若精确度为，则近似解可取为，D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 12.[2025·漳州高一期末] 用二分法求函数 在区间 上零点的近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数 最少为___. 7 [解析] 区间 的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来 的一半，经过次操作后，区间长度变为， 因为 ，，所以 ， 即所需二分区间的次数最少为7. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 13.利用计算器列出自变量和对应的函数值如下表： 0 0. 5 1 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程有一个根位于区间（其中实数 在表格第 一行里的数据中取值）内，则 的值为__________. 或 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 [解析] 设，易知在 上单调递增， 由表格知，，所以 ， 所以函数的一个零点在内， 又方程的一个根位于 内， 所以当时，， 当 时，，故的值是或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 14.（15分）函数在区间 内是否有零点？ 若有零点，用二分法求零点的近似值（精确度为 ）；若没有零点， 说明理由.（参考数据：， ， ，， ， ，， ） 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 解：易得 是定义域内的增函数且图象连续不断. ， ， 函数在区间 内有且仅有一个零点. ∵ ， 函数的零点在 内. ∵ ， ∴函数的零点在 内. ∵ ， 函数的零点在内，又 ， 零点的近似值可以为1.625. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 15.（15分）某电视台有一档娱乐节目，主持人给选手在限定时间内 猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手，同时获 得一枚商标.某次节目中要猜一种品牌的手机的价格，手机价格 （单位：元）在 内，选手的报价及主持人的回答依次为： 1000元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元， 恭喜你，猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上 游戏报价过程体现了“逼近”与“二分法”的数学思想，你能设计出可 行的猜价方案来帮助选手猜价吗？ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 解：取价格区间 的中间数750，如果主持人说低了，就再 取的中间数875； 否则取另一个区间 的中间数. 若遇到小数，则取整数部分， 按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6 次就可以猜中价格. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 $