第4讲：幂函数期中复习讲义（考点梳理+七大题型+高分演练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第4讲：幂函数 题型一、幂函数的概念、参数问题 2 题型二：幂函数的基本性质 3 题型三、幂函数的图象及应用 4 题型四、根据幂函数单调性比较大小 6 题型五：幂函数的奇偶性问题 7 题型六：幂函数的值域问题 8 题型七：幂函数性质的综合问题 10 知识点一：幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 题型一、幂函数的概念、参数问题 【例1】．（26-27高一上·四川成都·期中）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，所以. 【变式1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 【变式2】．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知幂函数是定义域上的偶函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由条件得，解得或. 当时，是上的偶函数，符合题意； 当时，是上的奇函数，不符合题意，所以， 故选：B. 题型二：幂函数的基本性质 【例2】．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】C 【详解】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确； 因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增， 根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图象和性质，可得，则有， 解得，选项D正确； 故选：C 【变式1】．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【详解】设幂函数，由的图象经过点，得，解得， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，，所以的值域为，B正确； 对于C，，且定义域为，所以是偶函数，C正确； 对于D，由幂函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：D 【变式2】．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知幂函数的图像过点，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】B 【详解】设，代入点可得，所以， 所以， 对于A：函数的定义域为，所以A错误； 对于B：因为，所以在内单调递减，B正确； 对于C：因为的定义域为，所以不是偶函数，C错误； 对于D：因为的定义域为，所以不是奇函数，D错误， 故选：B 题型三、幂函数的图象及应用 【例3】．（25-26高一上·天津西青·期中）以下四个命题结论正确的是（   ） A．幂函数与幂函数的图象均过点，点 B．当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限 C．时的幂函数在其定义域内是减函数 D．当，，时，幂函数在上为增函数 【答案】D 【详解】对于A，幂函数的图象不过点，A错误； 对于B，幂函数的图象不经过第三象限，B错误； 对于C，幂函数在定义域内不单调，C错误； 对于D，幂函数在上单调递增，D正确. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·河北保定·期中）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知，所以， 根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确. 故选：B 题型四、根据幂函数单调性比较大小 【例4】．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为. 因为,所以为偶函数,故. 当时,幂函数单调递减,即在上单调递减. 又,. 因为,所以,即,所以. 【变式1】．（23-24高一上·福建厦门·期中）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上单调递增，且，所以，即， 因为在上单调递减，且，所以，即，所以. 【变式2】．（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意，因为，所以， 因为在上单调递增，所以. 题型五：幂函数的奇偶性问题 【例5】．（25-26高一上·上海·期中）下列函数中其图像关于轴成轴对称，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. 其定义域为R，关于原点对称，又， 则是偶函数，图象关于y轴对称，又，所以在上递增， 由偶函数的性质得在上递减，故错误； B. 其定义域为，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数， 图象不关于y轴对称，故错误； C. 定义域为，关于原点对称，又，则是偶函数， 图象关于y轴对称，又，所以在上递减， 由偶函数的性质得在上递增，故正确； D.其定义域为，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故错误； 故选：C 【变式1】．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，其定义域为，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数，满足题意. 所以. 故选：B 【变式2】．（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【详解】设，依题意，解得，所以， 则的定义域为，且， 所以为偶函数，且在上单调递增. 故选：A 题型六：幂函数的值域问题 【例6】．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，得或．当时，，当时，． 又在单调递增，， 在上的值域为在上的值域为， 因为函数时，总存在使得， 是的子集， ，即． 故选：B． 【变式1】．（24-25高三上·福建·阶段检测）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A 【变式2】．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意的，都有， 所以函数为奇函数， 又，所以， 当时，满足①不满足②， 当时，满足①和②， 当时，不满足①和②， 所以幂函数为， 又函数在区间上是增函数， 故在上单调递增， 所以， 即函数在上的值域为， 故选：A. 题型七：幂函数性质的综合问题 【例7】．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【详解】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即， 所以，实数a的取值范围为. （3）由（1）可得，而即为，故. 若，则即不等式解集为， 若，则即不等式解集为. 综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 【变式1】．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 【变式2】．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·期中）幂函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，需要被开方数非负且分母不为 . 故该函数的定义域为 . 2．（26-27高一上·全国·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递增，则，即； 由在上递增，则，即. 所以. 3．（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 4．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数定义求得，然后由指数函数的性质求得定点坐标. 【详解】由题意可知，∴， ∴，令，即，， ∴函数图象过定点. 故选：C. 5．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）“幂函数在上是减函数”是“”的一个（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性求解或，再根据必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由幂函数的定义得，解得或，此时，； 所以当幂函数在上是减函数时，或，充分性不成立； 当时，在上是减函数，必要性成立； 所以幂函数在上是减函数”是“”的一个必要不充分条件. 故选： 6．（25-26高一上·河北唐山·期中）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数， 因为在上单调递增，且， 由对勾函数的性质可知函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 综上可得函数是奇函数，且在单调递增． 故选：A． 7．（24-25高一上·青海·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，求得的值.结合函数的图象关于原点对称，确定的值. 代入不等式求解，可得实数的取值范围. 【详解】由题可知，，即，解得，或. 若，则，图象关于y轴对称； 若，则，图象关于原点对称. 所以. 由，即化简得 所以实数的取值范围为. 故选：C. 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为，不合题意； 当时，，定义域为，合题意． 所以，即，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为． 二、多选题 9．（26-27高一上·广东茂名·期中）已知幂函数的图象经过点，则（　　） A．为奇函数 B．在定义域上为减函数 C．的值域为R D．当时， 【答案】AD 【详解】设，将代入得：，解得，故， AC选项，的定义域为，值域为， 且，奇函数，A正确，C错误； B选项，在上单调递减，但不能在整个定义域上单调递减，B错； D选项，， 故， 因为，所以， 故，D正确 10．（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 11．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】BD 【详解】选项A：设幂函数，由于过点，代入可得， 解得，则，故A错误； 选项B：令，解得，此时， 所以图象必过定点，故B正确； 选项C：令，为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，在R上单调递减， 由复合函数单调性”同增异减”的原则，可得的单调增区间是，故C错误； 选项D：由题意， 则， 所以，即，故D正确. 12．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 13．（26-27高一上·湖北·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为______． 【答案】 【详解】因为函数是幂函数，其系数等于， 因此 ，整理得，解得或. 当时，， 该函数是定义域为的奇函数，图象关于原点对称，符合题意； 当时，， 该函数是定义域为的偶函数，图象关于轴对称，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 14．（26-27高一上·辽宁·期中）写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【详解】令，因为， 所以是偶函数，满足② ； 任取，且， 则 ， 即，所以在上单调递减，满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 15．（26-27高一上·全国·期中）已知幂函数在定义域上单调递减，若，则实数的取值范围为____． 【答案】 【详解】幂函数在定义域上单调递减， 若， 则且且， 得且且， 可得． 16．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 【答案】2 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，可知为奇函数，则，可得， 又因为，即，可得， 则，即， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为2. 四、解答题 17．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 【详解】（1）由题意得，，得，则； (2)是偶函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 所以是偶函数； (3)在区间上单调递增，证明如下： ， 任取，且，则，， 则， 即， 则在区间上单调递增. 18．（25-26高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． （2）①，则， 所以． ②由①可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 19．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知幂函数在单调递增，. (1)求函数的解析式； (2)若，求的值； (3)求关于的不等式解集(其中). 【详解】（1）由题意可得，或， 又因为在上单调递增， ，， 所以. （2）由（1）知， 则， ∴. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得或，即不等式的解集为或， 当时，解得，即不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 20．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知幂函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)若，求的值； (3)已知，若对于任意的，都存在，使得 成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为是幂函数,所以其系数为,即,解得或. 当时,指数,此时,在上单调递减,与题设不符,舍去. 当时,指数,此时,在上单调递增,符合题意. 所以. （2）由（1）知,所以题设等式为,其中. 又,所以或. 这两个值都能取到:由得,即或,二者均为正数,取时,取时. 所以的值为或. （3）在上单调递增,所以的最大值为,最小值为. 对固定的,存在使,等价于. 于是问题化为对任意都成立,即在上恒成立. 的图象开口向上,它在上的最大值必在端点处取得,故只需且. 由恒成立;由,解得. 所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲：幂函数 题型一、幂函数的概念、参数问题 2 题型二：幂函数的基本性质 2 题型三、幂函数的图象及应用 3 题型四、根据幂函数单调性比较大小 4 题型五：幂函数的奇偶性问题 4 题型六：幂函数的值域问题 4 题型七：幂函数性质的综合问题 5 知识点一：幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 题型一、幂函数的概念、参数问题 【例1】．（26-27高一上·四川成都·期中）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【变式2】．（24-25高一上·重庆渝中·期中）已知幂函数是定义域上的偶函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 题型二：幂函数的基本性质 【例2】．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【变式1】．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 【变式2】．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知幂函数的图像过点，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 题型三、幂函数的图象及应用 【例3】．（25-26高一上·天津西青·期中）以下四个命题结论正确的是（   ） A．幂函数与幂函数的图象均过点，点 B．当，，，时，幂函数的图象经过第一、三象限 C．时的幂函数在其定义域内是减函数 D．当，，时，幂函数在上为增函数 【变式1】．（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·河北保定·期中）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型四、根据幂函数单调性比较大小 【例4】．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一上·福建厦门·期中）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 题型五：幂函数的奇偶性问题 【例5】．（25-26高一上·上海·期中）下列函数中其图像关于轴成轴对称，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·浙江绍兴·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，则（   ） A． B． C．0 D．2 【变式2】．（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知幂函数的图象经过点，则是（   ） A．偶函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递减 C．奇函数，且在上单调递增 D．奇函数，且在上单调递减 题型六：幂函数的值域问题 【例6】．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高三上·福建·阶段检测）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 题型七：幂函数性质的综合问题 【例7】．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【变式1】．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【变式2】．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·期中）幂函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）“幂函数在上是减函数”是“”的一个（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·河北唐山·期中）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 7．（24-25高一上·青海·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏苏州·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高一上·广东茂名·期中）已知幂函数的图象经过点，则（　　） A．为奇函数 B．在定义域上为减函数 C．的值域为R D．当时， 10．（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 11．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列结论中正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．函数的图象必过定点 C．函数的单调增区间是 D．若幂函数，则对任意，都有 12．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 三、填空题 13．（26-27高一上·湖北·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则实数的值为______． 14．（26-27高一上·辽宁·期中）写出一个同时满足条件①②③的幂函数_____. 条件：①定义域为；②是偶函数；③在上单调递减. 15．（26-27高一上·全国·期中）已知幂函数在定义域上单调递减，若，则实数的取值范围为____． 16．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 四、解答题 17．（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 18．（25-26高一上·河北承德·期中）已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·福建莆田·期中）已知幂函数在单调递增，. (1)求函数的解析式； (2)若，求的值； (3)求关于的不等式解集(其中). 20．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知幂函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)若，求的值； (3)已知，若对于任意的，都存在，使得 成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $