第08讲 函数性质的综合应用期中复习讲义（2大知识点+8大题型归纳+测试）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第08讲 函数性质的综合应用 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点1、单调性与最大（小）值 3 知识点2、奇偶性 4 03 题型精讲 6 题型一：由单调性求参数范围 6 题型二：函数值比较 7 题型三：由奇偶性求参数 9 题型四：中值模型 10 题型五：函数最大值与最小值问题 11 题型六：利用性质解函数不等式 13 题型七：单调性与奇偶性综合问题 15 题型八：新定义问题 18 04 过关测试 25 知识点1、单调性与最大（小）值 （1）增函数 设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. （2）减函数 设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数 如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. 如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下： ①设值：设，且 ； ②作差： ； ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； ④判断符号，得出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称M是函数的最大值. ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称是函数的最小值. 知识点2、奇偶性 （1）偶函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 关于偶函数有下面的结论： ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立； ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 关于奇函数有下面的结论： ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立； ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 题型一：由单调性求参数范围 【典例1】（2026·高一·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析充分性： 若，则函数， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，充分性成立； 分析必要性： 为开口向下的二次函数， 对称轴为直线， 若函数在上单调递减， 则，因此必要性不成立. 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 【变式1-1】（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 【变式1-2】（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 【变式1-3】（2026·高一·重庆·期中）若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，当时，， 又函数在上是单调递增函数，则，即； 当，， 由函数在上单调递增可知，，解得， 综上所述，， 故选：B. 题型二：函数值比较 【典例2】（2026·高一·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 【变式2-1】（2026·高一·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B 【变式2-2】（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 【变式2-3】（2026·高一·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 题型三：由奇偶性求参数 【典例3】（2026·高一·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 【变式3-1】（2026·高一·贵州铜仁·期中）已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是定义域为的偶函数， ，解得：，，. 故选：A. 【变式3-2】（2026·高一·安徽·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】因是定义域上的奇函数， 所以，得， 经验证时，是奇函数，故. 故选：C 【变式3-3】（2026·高一·河南信阳·期中）已知函数是偶函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】由是偶函数，则， 满足二次函数的对称轴， 故选：B 题型四：中值模型 【典例4】已知函数且，则的值为________. 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以 . 【变式4-1】（2026·高一·四川南充·期中）若（其中a，b，c为常数），若，则______. 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 【变式4-2】已知，则________. 【答案】 【解析】设， 则为奇函数， 则， 所以. 所以， 所以. 【变式4-3】（2026·高一·安徽阜阳·期中）已知函数，则的值为___________. 【答案】/ 【解析】由函数，令，可得， 又由函数，可得， 所以函数为奇函数，所以，即， 则 . 故答案为：. 题型五：函数最大值与最小值问题 【典例5】（2026·高一·上海·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则____________. 【答案】4 【解析】， 令， 则，则函数为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 所以，， 则. 故答案为：4. 【变式5-1】（2026·高一·吉林长春·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】 【解析】 令，则， ∴为上的奇函数， ，即， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】（2026·高一·海南·期中）已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则__________. 【答案】4 【解析】.因为是定义在上的奇函数，所以，故关于对称，所以4. 故答案为：4. 【变式5-3】（2026·高一·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为______. 【答案】4048 【解析】令得，所以， 令得，所以， 令，则，， 因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数， 所以，即，所以. 故答案为：4048 题型六：利用性质解函数不等式 【典例6】（2026·高一·贵州·期中）若函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 根据偶函数对称性可知，在上单调递减， 因为，则， 故时，，，； 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【变式6-1】（2026·高一·福建南平·期中）已知定义域为的奇函数，，且对，总有成立，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】构造，且的定义域为， 且，可知为偶函数， 因为对，且，都有成立， 则，可得，即， 可知函数在上单调递增，可得函数在上单调递减， 由，可得， 对于不等式，显然， 当时，则，可得，符合题意； 当时，则，可得，不符合题意； 当时，则，可得，不符合题意； 当时，则，可得，符合题意； 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高一·四川成都·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】因为为定义在上的偶函数，且上单调递增，且， 则当或时，， 所以不等式等价于， 等价于或， 因此或 解得 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式6-3】（2026·高一·安徽滁州·期中）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集为____. 【答案】 【解析】因为函数在上为奇函数， 所以，. 又，即 所以， 所以解得. 所以. 由与在定义域上单调递增，得在定义域上单调递增. 由不等式，得， 所以解得. 即不等式的解集为. 故答案为：. 题型七：单调性与奇偶性综合问题 【典例7】（2026·高一·全国·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 【解析】（1） 由已知 是定义在 上的奇函数， 可得 ， 又 ，所以 ， 所以的解析式为，. （2）设 ，易知 ，，，. 则 则，所以在上单调递增. 又是定义在上的奇函数， 由 可得 所以解得 ， 故原不等式的解集为 . 【变式7-1】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 【解析】（1）由题意得方程组：，  即， 解得：，. （2）由（1）得，函数在上单调递增. 证明：设，则，   因为，所以，，，   所以，即，   所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上是递增函数，最大值为. 由命题“存在，使得成立”为真命题，得  ， 所以，所以得，所以实数的最大值为. 【变式7-2】（2026·高一·安徽阜阳·期中）已知函数对任意实数、恒有，且当时，，又. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数并求函数在区间上的最大值; (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）取，则，解得， 取，则， 所以，对任意恒成立，则为奇函数. （2）任取、且， 则，则， 所以，，故为上的减函数； 则在区间上的最大值为， 因为，则， 故在上的最大值为. （3）因为为奇函数，且， 整理原式得， 即 可得，而在上是减函数， 所以即恒成立， ①当时，则有，解得，不合乎题意； ②当时，则有，解得. 故的取值范围为. 【变式7-3】（2026·高一·湖南·期中）函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 【解析】（1）由且，得， 解得， 所以的解析式为. （2）任取且， 则 ， 由，得，且，， 则 ，因此，即，所以在上为增函数. （3）因为，， 故函数是定义在上的奇函数，且在上为增函数， 不等式， 因此 ，解得， 所以原不等式的解集为. 题型八：新定义问题 【典例8】（25-26高一下·上海闵行·期中）已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 【解析】（1）已知，，则，， 解得或， 故. （2）已知是偶函数，故对任意，， 由题知任取，都有，故对任意，， 取，得 ①； 取，得，即， 整理得，令，则，代入得 ②， 结合①②可得对任意，，故是以为周期的周期函数，得证. （3）假设在上不是增函数，则存在， 取，而，由定义知， 而为偶函数，故，故，可知， 而，故，根据题干定义可知，故，与假设矛盾，因此假设不成立， 故在上是增函数. 【变式8-1】（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． (1)当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； (2)若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 【解析】（1）①当 ， 时，. 令 ，即 ，整理得 . 即 ，解得 或 . 所以函数 的不动点为 和 . ② 的图象开口向上，对称轴为 ， 所以 在 上的最大值在区间端点处取得， 即 为 与 中较大者. . 当 ，即 时，，. 当 ，即 时，，. 所以 时 ， 时 . （2）令 ，得 ，， 是该方程的两个不等实根. 由韦达定理得 . 因为 ，，所以 . 所以 ，解得 . 令 ，由 得 ，且 . 则 . 设 ，任取 ，则 . 因为 ，，所以 . 所以 在 上单调递增. 又 ，，所以 ，即 . 检验：此时 ，即 ，又 ， 所以 ，方程有两个不等实根，符合题意. 所以实数 的取值范围是 . 【变式8-2】（26-27高一上·全国·期中）设函数的定义域为．对于任意正实数，定义集合，． (1)若，对任意给定正实数，求集合； (2)若 ，对任意给定正实数，集合，求实数a的值； (3)设函数满足：对于任意正实数，，均有． （ⅰ）若，且，，证明：对于任意，有； （ⅱ）若对于任意正实数，，还有，且，均为非空集合，证明：存在唯一的实数，使得或． 【解析】（1） 依题意，， 因此，对于任意， ； （2）依题意， ， 又集合，，即 ，故 ； (3)（ⅰ）依题意，，所以， 因为对任意都成立，所以取， 则有，即①， 同理，因为对任意都成立，所以取， 则有，即②， 由①②得， 取，所以，所以. （ⅱ）定义， 于是，对每个，均有． 又因为， 所以，所以由（ⅰ）可知，若，且，对于任意，有， 下面证明中只有一个元素， 任取，所以对每个，有，即有． 假设中存在两个不同的元素，，不妨设， 所以对任意，． 则对任意和，有． 因此．③ 任取．由③，对于任意整数，均有． 由（ⅰ）知，， 对每个整数都成立．这些区间的并集为整个，故． 此时，矛盾，所以中不可能有两个不同的元素． 又因为，故存在唯一实数，使得， 下面证明或， 因为，所以， 所以不可能同时包含小于的点和大于的点，否则由（ⅰ）知，有，矛盾 若中存在大于的元素，则． 于是每个小于的实数均属于． 若还存在某个且，则因为，必有． 任取，则，并且． 由（ⅰ）知，必有，与矛盾． 因此每个都属于，从而． 同理，若中存在小于的元素，则． 【变式8-3】（26-27高一上·全国·期中）俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. (1)函数，，，求，的偏差以及偏差点； (2)函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； (3)证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 【解析】（1）记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； （2）设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. （3）法1：要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证， 即证，设， 则，，，所以， 即，当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有，即（1），（2）， （3），由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3，令. 当，，其最大值只会在区间端点处产生，则， 表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数 1， 从而此时，取等号时； 当，，则其最大值可能在时产生， 从而，表示到数轴上数字距离的最大值. 为使该最大值最小，则应取三者中最大，最小两数所对应两点中点处所对应的数. 若，则，则此时， 当且仅当时取等号； 若，且，即时，，因，由双勾函数性质 可得，则，取等号时； 当时，注意到，则此时. 综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线. 1．（2026·高一·河北·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知在上单调递减，且， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 综上，的区间为，的区间为， 由得同号， 则或，解得或， 所以的解集为. 2．（2026·高一·宁夏陕西·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时， 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定义在上的奇函数满足，可得， 当时，，当时，， 可得时，；时，， 则等价为 或 ，解得或， 即所求解集为 3．（2026·高一·宁夏陕西·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增，又， 则等价于 或 ，解得：或， 不等式的解集是. 4．（2026·高一·江西·期中）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】任取，且，则， 所以，且， 因为当时，，所以，所以， 所以，所以在上单调递减； 因为，所以，， 所以， 所以 ，解得， 因此不等式的解集为. 5．（2026·高一·广西·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于是定义在上的偶函数，故, 那么，又，在上单调递增， 所以在上单调递减，， 即，同理的解集为或； 由，得 或 ， 即 或， 解得 或，所以不等式的解集是. 6．（2026·高一·江西·期中）设奇函数在递减，且，则的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是奇函数，所以 ，又奇函数在递减， 所以函数在和上递减， 又因为，所以， 所以时，， 时，， 所以的解为. 7．（2026·高一·四川·期中）已知函数的图象如下，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义域为， 令，则，即，解得， 所以函数的定义域为， 由题可知在上单调递减， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性原则：同增异减，可得的单调递增区间为. 8．（2026·高一·四川·期中）已知定义域为的奇函数满足，在单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是上的奇函数， 所以，又因为函数在单调递增， 所以函数是上的增函数， 在中，令， 则有 ， 由， 所以， 所以， 所以， 解得或， 即. 9．（多选题）（2026·高一·河北·期中）若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】∵在R上为奇函数，∴． ∵ ，∴，∴，故A正确； ，故B正确； 当时， ，故C错误． 当时，无意义，故D错误． 10．（多选题）（2026·高一·浙江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，的值域为，且．则下列说法正确的是（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集是 【答案】ACD 【解析】令，，得， 又，所以，故选项A正确； 令，得， 所以，当时，， 得，此时， 所以的值域为，故选项B错误； ，有，， 所以 ， 即，所以在上单调递增，故选项C正确； 若，又，则， 由题可知， 又在上单调递增，得， 由函数在上单调递增，所以，故选项D正确． 11．（多选题）（2026·高一·广西·期中）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【解析】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 12．（2026·高一·江苏·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【解析】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得， 因为偶函数，所以，又， 得，即①， 又为奇函数，所以，又， 得②， 将①代入②得，， ，解得. 13．（2026·高一·北京·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】由图可知在上，的解集为， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上，的解集为， 所以不等式的解集为. 14．（2026·高一·北京·期中）已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则下列说法正确的有_____________ ①．    ②． ③．是奇函数    ④．不可能是一次函数 【答案】①②④ 【解析】①：在中，令， ，解得，因此本选项说法正确； ②：在中，令， ，解得， 因为，， 所以，又因为在上单调， 所以在上单调递增，所以，因此本选项说法正确； ③：在中，令， ， 解得，所以函数不是上的奇函数，因此本选项说法不正确； ④：由上可知：， 假设是一次函数，设， 因为，所以有， 当时，，这与矛盾，假设不成立，所以不可能是一次函数，因此本选项说法正确. 15．（2026·高一·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性． 【解析】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则，则， 又，为奇函数，满足题意， 所以； （2）取任意，且， 则. 因为，所以， 因为，所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增． 16．（2026·高一·辽宁·期中）已知函数对任意实数，都有，且当时，. (1)证明：函数在上是增函数； (2)已知命题：对任意实数且，不等式恒成立.若命题是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）设，即， 因为当时，，所以， 由题意可知，即， 所以函数在上是增函数； （2）由题意可知，当时，得. 再令，代入得，即，所以函数在上是奇函数. 则， 同理，， 则原不等式为， 因为函数在上是增函数，即， 则对任意实数且，不等式恒成立， 等价于对任意实数且，不等式恒成立. 因为，当且仅当，即时取等号. 即得，从而恒成立，解得. 所以实数的取值范围为. 17．（2026·高一·湖北·期中）函数对任意的都有，并且当时， (1)判断函数是否为奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，解不等式 ； 【解析】（1）令 可得 ，而奇函数在原点处的函数值必须为 ，故 不可能是奇函数. （2）任取 ，且 ，则 . 由题设，，于是 . 因为 ，由题意得 ，所以 ，即 . 所以 在 上是增函数. （3）令 ，则 ，解得 . 于是 . 因为 在 上是增函数，所以 ，即 ，因式分解得 . 解得 ，所以不等式的解集为 . 18．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数，，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）将代入得， 得，解得． （2）由（1）知，故，在区间上，任取，且， 则． 因为，且，，所以，，， 故，即． 由单调性定义，函数在上单调递增． （3）因为，所以,所以为奇函数， 等价于， 由（2）知在上单调递增， ，解得或， 的取值范围为． 19．（2026·高一·广西·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 【解析】（1）当时，不等式为，即，解得， 则不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以的最小值为2． （3）由，则，即， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 函数性质的综合应用 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点1、单调性与最大（小）值 3 知识点2、奇偶性 4 03 题型精讲 6 题型一：由单调性求参数范围 6 题型二：函数值比较 6 题型三：由奇偶性求参数 7 题型四：中值模型 7 题型五：函数最大值与最小值问题 8 题型六：利用性质解函数不等式 8 题型七：单调性与奇偶性综合问题 8 题型八：新定义问题 9 04 过关测试 12 知识点1、单调性与最大（小）值 （1）增函数 设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. （2）减函数 设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数 如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. 如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下： ①设值：设，且 ； ②作差： ； ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； ④判断符号，得出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称M是函数的最大值. ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称是函数的最小值. 知识点2、奇偶性 （1）偶函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 关于偶函数有下面的结论： ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立； ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 关于奇函数有下面的结论： ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立； ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 题型一：由单调性求参数范围 【典例1】（2026·高一·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026·高一·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·重庆·期中）若函数在上是单调递增函数，则的取值集合是（    ）. A． B． C． D． 题型二：函数值比较 【典例2】（2026·高一·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型三：由奇偶性求参数 【典例3】（2026·高一·辽宁·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·贵州铜仁·期中）已知是定义域为的偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·安徽·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【变式3-3】（2026·高一·河南信阳·期中）已知函数是偶函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型四：中值模型 【典例4】已知函数且，则的值为________. 【变式4-1】（2026·高一·四川南充·期中）若（其中a，b，c为常数），若，则______. 【变式4-2】已知，则________. 【变式4-3】（2026·高一·安徽阜阳·期中）已知函数，则的值为___________. 题型五：函数最大值与最小值问题 【典例5】（2026·高一·上海·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则____________. 【变式5-1】（2026·高一·吉林长春·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【变式5-2】（2026·高一·海南·期中）已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则__________. 【变式5-3】（2026·高一·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为______. 题型六：利用性质解函数不等式 【典例6】（2026·高一·贵州·期中）若函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为______． 【变式6-1】（2026·高一·福建南平·期中）已知定义域为的奇函数，，且对，总有成立，则不等式的解集为________． 【变式6-2】（2026·高一·四川成都·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【变式6-3】（2026·高一·安徽滁州·期中）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集为____. 题型七：单调性与奇偶性综合问题 【典例7】（2026·高一·全国·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)解不等式：． 【变式7-1】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知函数满足，且. (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值； 【变式7-2】（2026·高一·安徽阜阳·期中）已知函数对任意实数、恒有，且当时，，又. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数并求函数在区间上的最大值; (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式7-3】（2026·高一·湖南·期中）函数，满足. (1)求的解析式； (2)证明：在上为增函数； (3)解不等式：. 题型八：新定义问题 【典例8】（25-26高一下·上海闵行·期中）已知定义域为的函数为偶函数，它的图像是连续的曲线．任取，定义． (1)已知，求； (2)若任取，都有，求证：函数，为周期函数； (3)若任取，只要存在、且，都有．试判断函数在上的单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），并证明你的结论． 【变式8-1】（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． (1)当，时， ①求函数的不动点； ②记为函数在上的最大值求； (2)若的两个不动点为，，且，当时，求实数的取值范围． 【变式8-2】（26-27高一上·全国·期中）设函数的定义域为．对于任意正实数，定义集合，． (1)若，对任意给定正实数，求集合； (2)若 ，对任意给定正实数，集合，求实数a的值； (3)设函数满足：对于任意正实数，，均有． （ⅰ）若，且，，证明：对于任意，有； （ⅱ）若对于任意正实数，，还有，且，均为非空集合，证明：存在唯一的实数，使得或． 【变式8-3】（26-27高一上·全国·期中）俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. (1)函数，，，求，的偏差以及偏差点； (2)函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； (3)证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 1．（2026·高一·河北·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·宁夏陕西·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时， 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·宁夏陕西·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·江西·期中）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广西·期中）设是定义在上的偶函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·江西·期中）设奇函数在递减，且，则的解为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·四川·期中）已知函数的图象如下，则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·四川·期中）已知定义域为的奇函数满足，在单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·河北·期中）若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·浙江·期中）已知定义在上的函数满足，当时，的值域为，且．则下列说法正确的是（ ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．的解集是 11．（多选题）（2026·高一·广西·期中）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 12．（2026·高一·江苏·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 13．（2026·高一·北京·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 14．（2026·高一·北京·期中）已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则下列说法正确的有_____________ ①．    ②． ③．是奇函数    ④．不可能是一次函数 15．（2026·高一·全国·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性． 16．（2026·高一·辽宁·期中）已知函数对任意实数，都有，且当时，. (1)证明：函数在上是增函数； (2)已知命题：对任意实数且，不等式恒成立.若命题是真命题，求实数的取值范围. 17．（2026·高一·湖北·期中）函数对任意的都有，并且当时， (1)判断函数是否为奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，解不等式 ； 18．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数，，且． (1)求的值； (2)用定义法证明函数在上的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围． 19．（2026·高一·广西·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $