第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．的展开中，的系数为__________． 【答案】 【详解】方法一：二项式定理 的展开式的通项公式为， 令，解得， 代入，得，因此的系数为． 方法二：完全平方公式展开 因为，所以的系数为． 2．已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率________________ 【答案】 【详解】由对立事件的概率基本性质可知，对任意事件A，其对立事件满足， 已知，所以. 3．若随机变量X服从正态分布，且，则________ 【答案】0.2 【详解】由题意得：，而，所以. 4．从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 【答案】 【详解】从中随机取两个不同的数有，，，，，，，，，，共种情况， 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 所以所求的概率为． 5．若 且 ，则 _____. 【答案】4 【详解】根据组合数的公式及性质： 对整数，有，， 将上述结果代入原方程得： ，化简得 ， 即 ，即，解得，满足且的条件， 故. 6．设、是两个相互独立事件，且，，则__________． 【答案】 【详解】， 因为、两个事件相互独立，则、相互独立，所以， 又，所以，所以. 7．某数学直播课的时长为2小时，但实际直播授课时间存在误差，已知数学直播课的实际时长服从的正态分布，误差超过半小时的可能性为，则 的值为__________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】由于数学直播课的实际时长服从的正态分布，设， 那么由误差超过半小时的可能性为，可知 ，即 ， 由正态分布曲线对称性可知 ,, 故. 8．有5位家长带3位儿童去爬山，8个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，且每名儿童的前后必须是家长，则不同的排列种数有________种． 【答案】2880 【详解】5位家长排成一排，共有种排法； 从4个空隙中选3个有种选法，把3位儿童放进3个空隙中有种； 9．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________． 【答案】 【详解】由题意可知：， 且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 依题意，可得， ， ，， ，， 所以. 10．已知随机变量，随机变量，正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】3 【详解】由题意，随机变量X的分布图象关于直线对称，随机变量Y的分布图象关于直线对称， 且随机变量X的分布图象与随机变量Y的分布图象形状相同，所以两图象关于直线，即对称， 因为正实数a，b满足，所以，解得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为3． 故答案为：3. 11．已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 【答案】 【详解】因为集合， 故集合的非空子集个数为个， 因为独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），所以所有可能的选取情况数种. 当中最大元素为1时： 是，此时可以是共7种情况， 当中最大元素为2时： 可以是，此时可以是共种情况。 当中最大元素为3时： 可以是，此时可以是，共种情况， 当中最大元素为4时： 可以是，此时没有满足条件的子集，共0种情况， 故满足条件的子集选取情况总数为 根据古典概型概率公式， 事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率, 故答案为：. 12．已知集合.将的子集中的元素按从小到大排列为.若对任意的，与的奇偶性相同，则称该子集是的“好子集”.规定空集也是“好子集”.记是的“好子集”的个数，则______. 【答案】89 【详解】集合的第个元素为（）： 当为奇数时，是奇数，故等于为奇数+1是偶数； 当为偶数时，是偶数，故等于偶数+1是奇数. 即集合中元素按“偶、奇、偶、奇……”交替排列： 第奇数个元素为偶数，第偶数个元素为奇数. 为严谨推导递推关系，我们引入两个辅助计数： ：前个元素中，元素个数为奇数的好子集的个数； ：前个元素中，元素个数为偶数的好子集的个数（空集元素个数为0，属于偶子集）. 显然好子集总数满足恒等式：. 我们在前个元素的基础上加入第个元素， 分“不选”和“选”两种情形讨论. 情形1：不选第个元素， 此时所有好子集就是前个元素的好子集， 因此：奇个数好子集数仍为，偶个数好子集数仍为， 情形2：选第个元素，设选中后，它在子集中是第个元素. 根据“好子集”定义，的奇偶性必须与的奇偶性相同. 由于子集按从小到大排列，为前n-1个元素中选中的个数加1， 因此：若要求为奇数，则前个元素需选出偶数个元素构成好子集； 若要求为偶数，则前个元素需选出奇数个元素构成好子集. 接下来按的奇偶性分别推导： （1）当为奇数时，此时是偶数，要求位置为偶数， 即前个元素需选出奇数个元素.因此选时，原来的奇子集加上后会变成偶子集， 不会新增奇子集.结合“不选”的情形，可得：， （2）当为偶数时，此时是奇数，要求位置为奇数， 即前个元素需选出偶数个元素.因此选时，原来的偶子集加上后会变成奇子集， 不会新增偶子集.结合“不选”的情形，可得：， 由，结合上述递推式分奇偶验证： 当为奇数时：，由于为奇数，则为偶数； 对偶数项有，代入得， 当为偶数时：， 由于为偶数，则为奇数； 对奇数项有，代入得. 综上，对任意，好子集总数都满足斐波那契型递推公式：. （空集）：只有空集1个好子集，故，，. （集合）：好子集只有空集，中元素2为偶数，位置1为奇数，奇偶性不同， 不是好子集，故，，. （集合）：好子集有：空集、（5是奇数，位置1是奇数，符合条件）， 故，验证递推：，公式成立. 根据递推公式依次计算： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】的展开式通项为， 若存在常数项则满足（r为非负整数），即是3的倍数； 的展开式通项为， 若存在常数项则满足（k为非负整数），即是2的倍数； 要使整个展开式不存在常数项，则既不能是2的倍数，也不能是3的倍数； 选项A：是3的倍数，第一个式子存在常数项，不符合要求； 选项B：是2的倍数，第二个式子存在常数项，不符合要求； 选项C：既不是2的倍数也不是3的倍数，两个式子均无常数项，符合要求； 选项D：既是2的倍数也是3的倍数，两个式子都存在常数项，不符合要求. 14．若随机变量，，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【详解】由题意可得， 又，所以，所以， 解得，所以， 又因为，所以， 又，所以. 15．已知为随机事件，且，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】说明了的发生与否与的发生与否无关， 即与相互独立，其等价于与相互独立， 而由事件独立性定义可知：当时，与相互独立，故为充要条件. 16．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）解不等式； （2）解方程. 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为.……（7分） （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为……（14分） 18．（14分）某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率. 【详解】（1）因为，所以. 平均值：……（7分） （2）抽取的3天中，“轻度超标日”有2天，记为a，b，“重度超标日”有1天，记为A， 样本空间， 设事件B为这2天都是“轻度超标日”，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以.……（14分） 19．（14分）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 ……（7分） （2），理由如下： ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.……（14分） 20．（18分）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求； (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)已知事件与，，，求的取值范围. 【详解】（1）由题可得，故， 则.……（5分） （2）由题可得， ， ， 即，故与也独立……（12分） （3）由题可得， ，即， 解得，综上.……（18分） 21．（18分）某盲盒店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为，其中，. (1)变量，求k的取值范围； (2)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (3)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户，现从顾客中随机选取一人，该顾客为幸运客户的概率为，求的最大值. 【详解】（1）由题意得，， 化简得， 因为，所以， 故的取值范围是.……（6分） （2）当时，，则.……（10分） （3）设事件“一次性购买个文创盲盒”， 事件“顾客为幸运客户”， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，, 又由题意得， 且, ，，两两互斥， 所以， 因此， 由（1）得，因此， 所以，， 设，因此， 令，得，取等号时.……（18分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合训练） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 0.2 4. 5. 4 6. 7. 8 . 2880 9. 10 . 3 11. 12. 89 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C A C B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）根据组合数公式，原不等式可化为.化简可得. 进一步变形为. 根据阶乘的性质，则. 约分后得到，解这个不等式得. 又因为且（组合数中的取值范围要求），即且， 综合可得或，故不等式解集为.……（7分） （2）原方程可化为，即， ∴，∴， ∴，解得或，经检验：是原方程的解. 故方程解集为……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）因为，所以. 平均值：……（7分） （2）抽取的3天中，“轻度超标日”有2天，记为a，b，“重度超标日”有1天，记为A， 样本空间， 设事件B为这2天都是“轻度超标日”，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 ……（7分） （2），理由如下： ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由题可得，故， 则.……（5分） （2）由题可得， ， ， 即，故与也独立……（12分） （3）由题可得， ，即， 解得，综上.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）由题意得，， 化简得， 因为，所以， 故的取值范围是.……（6分） （2）当时，，则.……（10分） （3）设事件“一次性购买个文创盲盒”， 事件“顾客为幸运客户”， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，, 又由题意得， 且, ，，两两互斥， 所以， 因此， 由（1）得，因此， 所以，， 设，因此， 令，得，取等号时.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．的展开中，的系数为__________． 2．已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率________________ 3．若随机变量X服从正态分布，且，则________ 4．从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 5．若 且 ，则 _____. 6．设、是两个相互独立事件，且，，则__________． 7．某数学直播课的时长为2小时，但实际直播授课时间存在误差，已知数学直播课的实际时长服从的正态分布，误差超过半小时的可能性为，则 的值为__________．（用含的代数式表示） 8．有5位家长带3位儿童去爬山，8个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，且每名儿童的前后必须是家长，则不同的排列种数有________种． 9．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为_____________． 10．已知随机变量，随机变量，正实数a，b满足，则的最小值为______． 11．已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 12．已知集合.将的子集中的元素按从小到大排列为.若对任意的，与的奇偶性相同，则称该子集是的“好子集”.规定空集也是“好子集”.记是的“好子集”的个数，则______. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．若随机变量，，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 15．已知为随机事件，且，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）（1）解不等式； （2）解方程. 18．（14分）某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率. 19．（14分）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 20．（18分）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求； (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)已知事件与，，，求的取值范围. 21．（18分）某盲盒店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为，其中，. (1)变量，求k的取值范围； (2)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (3)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户，现从顾客中随机选取一人，该顾客为幸运客户的概率为，求的最大值. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $