概率专项训练-2027届高三数学一轮复习

概率综合测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（    ） 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 A． B． C． D． 4．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（    ） A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立 C． D． 5．已知随机变量的概率分布如下： 2 3 5 若，则（    ） A． B． C． D． 6．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，则教师不站在两端，且甲、乙相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 7．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学､艺术､哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记“得到的点数为奇数”为事件，记“得到的点数不大于4”为事件，记“得到的点数为质数”为事件，则下列说法正确的是（    ）    A．事件与互斥 B． C．事件与相互独立 D． 8．已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 二、多选题（每题6分，共18分） 9．下列说法正确的有（    ） A．若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数为 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，设，则 10．一批袋装食盐标准质量为，随机抽取100袋食盐，规定误差的绝对值不超过就认为合格．假设误差服从正态分布，样本误差的均值为0，方差为4．则下列结论正确的是（   ）（参考数据：若则 A．抽取的100袋食盐的均值为 B．抽取的100袋食盐的标准差为4 C．这批袋装食盐的合格率约为 D．这批袋装食盐的质量在区间的约占 11．已知离散型随机变量的分布列如表所示，若离散型随机变量满足，则（   ） 1 2 3 4 0.5 0.3 0.1 A． B． C． D． 三、填空题（每题5分，共15分） 12．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，则的一个可能的值为______． 13．如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的，，的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 __. 14．甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为________． 四、解答题（共77分） 15．点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过90分钟常规赛和30分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法.在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出1人进行1次罚球作为1轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球.点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢5次点球作为5轮罚球，前5轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满5轮，就已能分出胜负时，裁判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满5轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段：第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某1轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的方取得胜利.现有甲､乙两队（每支队伍各11名球员）已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第1轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的21名球员在点球时罚进球的概率均为. (1)求第3轮罚球结束时甲队获胜的概率； (2)已知甲､乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲､乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望. 16．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 (1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； (2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； (3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明） 17．美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国两大股市．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“抄底”．若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）． (1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一只股票的概率； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率； (3)由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋回暖．若某人某天按上一交易日的收盘价20元／股买入1000股某只股票，且预计当天收盘时，该只股票涨停（比上一交易日的收盘价上涨）的概率0.5，持平的概率为0.2，否则将下跌，求此人当天获利的数学期望（不考虑交易税）． 18．随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用 四种功能的情况统计如下: 功能种数 性别 0 种 1 种 2 种 3 种 4 种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用 3 种功能的人中，统计使用的人次如下: 功能 人次 37 40 35 38 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率. (1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用功能的人数为人，求的分布列和期望； (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为，试比较期望的估计值的大小 (结论不要求证明). 19．某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率； (3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择： 方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元； 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由， 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《概率综合测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C C B B AB ACD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据已知分析得到不同抽签顺序下甲胜出的概率，法一：应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；法二：利用二项分布，利用二项分布期望求法求甲胜出的概率均值，即可得. 【详解】由题意，抽签顺序有6种可能，分别为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，各情况出现概率为， 对于甲乙丙、甲丙乙两种情况，此时甲胜出的概率为， 对于乙甲丙、丙甲乙两种情况，此时甲胜出的概率为， 对于乙丙甲、丙乙甲两种情况，此时甲胜出的概率为， 法一：甲胜出的概率为； 法二：无论哪种情况甲胜出的概率为，故甲胜出服从，则甲胜出的概率均值为. 故选：A 2．D 【分析】先利用正态分布的对称性求的关系，进而利用基本不等式求最小值. 【详解】由，得正态曲线关于对称. 因为， 所以，得. 又， 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为6. 故选：D 3．A 【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，共有4根算筹， 当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17； 当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66； 当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71； 当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80； 其中质数有13、17、31、71， 所以取到的数字为质数的概率为， 故选：A 4．B 【分析】根据对立事件的概念判断A,应用独立事件概率积公式判断B,应用古典概型计算判断C,D. 【详解】第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确； ， 抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果： ，共36个，它们等可能， 事件AB所含的结果有：，共8个， 则有，即事件A与事件B相互独立，B正确； 显然，，C，D都错误. 故选：B. 5．C 【分析】先利用离散型随机变量所有概率和为1求出，再结合期望公式求出，最后代入方差公式计算结果. 【详解】由题意可得，解得， 又，所以，即，即，得， 所以. 6．C 【分析】利用捆绑法和特殊元素优先的原则，先求满足条件的方法种数，再根据古典概型，即可求解. 【详解】教师和4名学生站成一排一共有种方法， 将甲和乙看成一个元素，有种方法，这样就有4个不同的元素，教师不站两端，则教师有2种方法，其余3个元素有种方法，则满足条件的站法有种， 所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率. 故选：C 7．B 【分析】利用古典概型来计算各事件概率，利用独立事件的定义，利用对立事件概念即可判断各选项. 【详解】对于A，事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为，显然得到点数为时， 事件B与事件C同时发生，所以事件与不互斥，故A错误； 对于B，事件A为“得到的点数为奇数”， 事件B为“得到的点数不大于4”， 故得到点数为，表示事件发生，即，故B正确； 对于C，由事件A为“得到的点数为奇数”，则， 事件C为“得到的点数为质数”， 则， 而得到点数为，表示事件发生，即， 此时，所以事件与事件不相互独立，故C错误； 对于D，而得到点数为，表示事件发生，即， 所以，故D错误， 故选：B. 8．B 【分析】用贝叶斯公式求解，先明确患病、未患病、阳性三类事件的基础概率与条件阳性概率，算出患病且阳性的分子、全体阳性人群的分母，两者相除得到阳性前提下真实患病的概率． 【详解】设事件为“实际患病”，事件为“检测结果呈阳性”， ，，，， 所以． 9．AB 【分析】根据平均数的计算公式判断A，根据正态分布曲线的性质判断B，根据二项分布均值和方差的计算公式和方差的性质判断CD. 【详解】若样本数据，，，的平均数为，则， 所以数据，，，，的平均数为，A正确； 若随机变量，则正态分布曲线关于直线对称， 因为，所以，B正确； 若随机变量，则 ，C错误； 若随机变量， ， 又，则 ，D错误． 故选：AB 10．ACD 【分析】根据平均数、方差、标准差、正态分布的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，设袋食盐的质量为（），设， 依题意可知： 样本误差的均值为0，即 ，所以， 所以抽取的100袋食盐的均值为，A选项正确. 对于B，样本误差的方差为4， 所以抽取的100袋食盐的方差为4，标准差为，所以B选项错误. 对于C，依题意，规定“规定误差的绝对值不超过就认为合格”， 根据， 可知这批袋装食盐的合格率约为，C选项正确. 对于D，， ， 所以这批袋装食盐的质量在区间的约占，D选项正确. 故选：ACD 11．ABD 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，结合期望、方差的定义及性质求解. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 12．（答案不唯一，在内均可） 【分析】根据随机事件定义以及事件的基本关系，利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且，； 当A，B互斥时，，当事件B包含事件A时，； 所以可得， 即， 因此的一个可能的值为. 故答案为：（答案不唯一，在内均可） 13．/0.2025 【分析】利用组合计数问题求出小明和小华各自到达目的地的试验含有的基本事件种数，再求出小明、小华、小齐三人能相遇的事件含有的基本事件数即得解. 【详解】小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种， 因此小明和小华各自到达目的地的试验有个基本事件， 小明经过到达目的地的不同路径有，小华经过到达目的地的不同路径有， 因此小明、小华、小齐三人能相遇的事件有个基本事件， 所以小明、小华、小齐三人能相遇的概率为. 故答案为： 14．/0.6 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行两局为事件，根据条件概率公式分别求解、的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行两局为事件， ， ， 故． 故答案为：． 15．(1) (2)分布列： 1 3 5 7 数学期望为 【分析】（1）根据第一阶段的规则，当甲队前3轮进3球时，无论后两轮甲队是否进球均可确定甲队累计进球数多，则甲队胜； （2）首先求出第二阶段每一轮的所有结果的概率，包括：甲队进球且乙队未进球、甲乙两队均进球、甲乙两队均未进球，根据题意知第二阶段的前3轮罚球甲､乙两队的进球数相等，第4轮罚球为甲队进球､乙队未进球，则可分析出X的可能取值，然后求解其条件概率，进而求得分布列及数学期望. 【详解】（1）第3轮罚球结束时甲队获胜，则甲队前3轮进3球，乙队前3轮未进球， 所以第3轮罚球结束时甲队获胜的概率为. （2）甲､乙两队的点球大战已经进入第二阶段，每一轮罚球甲队进球､乙队未进球的概率为，甲､乙两队均进球的概率为，甲､乙两队均未进球的概率为. 设事件为“第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜”，则第二阶段的前3轮罚球甲､乙两队的进球数相等，第4轮罚球为甲队进球､乙队未进球， 所以. 由题意得的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为 1 3 5 7 所以. 16．(1) (2) 0 1 2 3 P (3) 【分析】（1）根据新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即可. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出随机变量对应的概率即可得到分布列，然后利用数学期望公式求解即可； （3）根据表格中数据，计算样本数据的平均数，再利用方差公式求出样本方差，然后直接判断即可. 【详解】（1）由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3，门店4， 所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率 （2）12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3，分别是：门店4，门店5，门店7， 从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，的所有可能取值为：0，1，2，3 所以， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 求的分布列和数学期望 ； （3）新能源汽车销售量的样本平均数 新能源汽车销售量的样本方差 燃油汽车销售量的样本平均数 燃油汽车销售量的样本方差 所以 17．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）古典概型概率公式求解即可； （2）解法1：分恰好有两人买到同一只股票和三人恰好买到同一只股票两种情况求解即可；解法2：根据对立事件的关系求解即可； （3）先求出其分布列，再求期望即可. 【详解】（1）三人恰好买到同一只股票的概率． （2）解法1：三人中恰好有两人买到同一只股票的概率． 由（1）知，三人恰好买到同一只股票的概率， 所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率 ． 解法2：． （3）每股当天获利钱数的分布列为： 2 0 0.5 0.2 0.3 所以，1000股在当天交易中获利钱数的数学期望为． 18．(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 (3) 【分析】（1）结合古典概型概率公式，用缩小样本空间法求解概率即可； （2）求出使用三种功能时使用功能的概率，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解； （3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出，再比较大小即可. 【详解】（1）至少使用两种功能的学生数为，恰好使用三种功能的学生数为， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率. （2）抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为，其中使用功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用功能的概率大约为， 由已知的可能取值为，且， ，， ，. 的分布列为 0 1 2 3 . （3）由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则的可能取值为，，， ，，. 所以； 的可能取值为，，， ，，. 所以，故. 19．(1) (2) (3)设将甲、乙两种型号芯片应用于A型、B型手机时，该科技公司损失为y（万元）， ， 所以当时，； 当时，； 当时，， 综上，当临界值时，选择方案二； 当临界值时，选择方案一和方案二均可； 当临界值时，选择方案一． 【分析】（1）根据平均数公式，即可求解； （2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解； （3）根据频率分布直方图，计算损失费用与的关系式，即可比较后，判断选择的方案. 【详解】（1）由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为： . （2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为A和B，来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和， 从中任取两件，样本空间可记为 共包含15个样本点， 记事件E：指标在和各1件，则共包含3个样本点， 所以． （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $