精品解析：云南省下关第一中学初中部2026-2027学年上学期九年级数学期中数学试卷

下关一中初中部教育集团2026-2027学年上学期期中命题研讨 九年级数学试题卷 【考生注意】 1．本卷共三大题，27个小题．总分100分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡相应的位置作答，在试卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结束后请将答题卡交回． 一、选择题（本大题含15个小题，每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有一个根为2，则c的值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 2 4. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，，1 B. 2，3，1 C. 1，3，2 D. 1，，2 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 在每个象限内，y随x的增大而减小 D. 当时， 7. 已知两点在抛物线上，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 8. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 9. 反比例函数的图象如图所示，垂直x轴于点，如果的面积为2，那么的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如表所示，则下列说法正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向下 B. 当时， C. 这个函数的最大值是 D. 当时，随的增大而增大 11. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 13. 是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 14. 二次函数在上的最大值与最小值的差为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 15. 将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 该函数表达式为 B. 当时， C. 当面条的总长度不超过3200时， D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每题2分，共8分） 16. 若函数是反比例函数，则m=_________. 17. 抛物线的顶点坐标为_____． 18. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上______． 19. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，列方程得____________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 22. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长），矩形围栏的面积为时，三边分别长多少? 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 24. 2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 25. 为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 26. 阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 27. 已知抛物线经过点，与轴交于点，其顶点为．设是抛物线与轴交点的横坐标，． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下关一中初中部教育集团2026-2027学年上学期期中命题研讨 九年级数学试题卷 【考生注意】 1．本卷共三大题，27个小题．总分100分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡相应的位置作答，在试卷、草稿纸上答题无效． 3．考试结束后请将答题卡交回． 一、选择题（本大题含15个小题，每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程， 选项A：符合一元二次方程要求； 选项B：含两个未知数，不符合； 选项C：未限定二次项系数，不符合； 选项D：中未知数最高次数为1，不符合． 2. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为， 故选：D． 3. 已知关于的一元二次方程有一个根为2，则c的值为（ ） A. 7 B. 8 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴将代入方程得， 即， 解得． 4. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，，1 B. 2，3，1 C. 1，3，2 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 5. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【详解】解：该抛物线解析式为顶点式，故其对称轴为直线． 6. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 在每个象限内，y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数解析式得，结合图象性质与图象上点的坐标特征判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数为，， A选项：∵， ∴图象必经过点，结论正确； B选项：∵， ∴图象在第一、三象限，结论正确； C选项：∵， ∴在每个象限内，随的增大而减小，结论正确； D选项：当时，， ∵时，函数在第一象限，随的增大而减小， ∴，结论错误． 7. 已知两点在抛物线上，那么的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数定义与图象和轴交点个数的判别方法，列不等式求解． 【详解】解：由题意得，该函数是二次函数， ∴，即， ∵图象与轴有两个交点， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，且． 9. 反比例函数的图象如图所示，垂直x轴于点，如果的面积为2，那么的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数第一象限内的图象上， ∴设， ∵垂直x轴， ∴， ∴， 解得． 10. 已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如表所示，则下列说法正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向下 B. 当时， C. 这个函数的最大值是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵和时，的值均为， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵时， ∴抛物线开口向上．故A项错误；开口向上时函数有最小值，无最大值，故C项错误． 选项B：∵与关于对称轴对称，且时， ∴时，故B项错误． 选项D：∵开口向上，对称轴为直线， ∴时随的增大而增大， ∴时随的增大而增大，故D项正确． 11. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如果全组有名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．先求每名同学赠的标本，再求名同学赠的标本，而已知全组共互赠了件，故根据等量关系可得到方程． 【详解】解：设全组有名同学，则每名同学所赠的标本为件， 所以名同学共赠件， 所以，． 故选：B． 12. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由解析式可得：抛物线对称轴； A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾； B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意； C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾； D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾． 故选：B． 13. 是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：把代入，得， ． 14. 二次函数在上的最大值与最小值的差为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】通过配方确定二次函数的开口方向与对称轴，判断给定区间内的函数增减性，代入端点计算最值后作差． 【详解】解：将配方得， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵在对称轴左侧， ∴当时，有最大值，， 当时，有最小值，， ∴最大值与最小值的差为． 15. 将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 该函数表达式为 B. 当时， C. 当面条的总长度不超过3200时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，根据反比例函数的性质逐项判断. 【详解】解：设函数表达式为    图象过点     ，故 A 说法正确； 当  时，，故 B 说法正确； 当  时，，解得 ，故 C 说法错误； 当  时， 随  的增大而减小，且  ，故 D 说法正确.  二、填空题（本大题共4小题，每题2分，共8分） 16. 若函数是反比例函数，则m=_________. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，即y＝kx-1（k≠0），只需令2m＋1＝−1即可． 【详解】由反比例函数的概念可知，， 解得. 故答案为-1. 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，而有时也被写成xy=k或y=kx-1. 17. 抛物线的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数 (a，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 18. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为，再两边同加上一次项系数一半的平方解答即可． 【详解】解：， ， 转化为：． 19. 深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，列方程得____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据增长率的定义，第三天的下载量是首日下载量乘以(1+增长率)的平方． 【详解】解：设日平均增长率为x， 首日下载量为48万次，则第二天下载量为万次，第三天下载量为万次， 根据题意，第三天下载量为150万次，因此得方程． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） 方程无实数根 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： ，， 因为， 所以该方程无实数根． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：在一元二次方程中， ，， ∵ 对任意实数，， ∴ ，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根； （2） ． 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系表示两根和与两根积，代入已知等式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，， 将两式代入，得， 整理得， 解得． 22. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长），矩形围栏的面积为时，三边分别长多少? 【答案】三边长分别为 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）观察图象，直接写出不等式的解集为__________． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后代入求出；然后联立和求出或6，然后将代入即可得到； （2）找出图象中直线在反比例函数图象上方时x的范围即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴反比例函数的解析式为； 联立和得， 解得或6 ∴将代入得， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于、两点， ∴由图象得，当或时，直线在反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 24. 2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】（1） （2）机器人此次投篮有效 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 25. 为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当定价为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据销售利润的计算公式列出函数关系式． （2）通过二次函数的性质求出利润的最大值． 【小问1详解】 解：由题意可知，则，解得， ∵成本价为每千克元， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ∵，且， ∴当时，有最大值为， 即该产品销售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 26. 阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】（1）①③ （2） 或 （3） 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【小问1详解】 解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； 【小问2详解】 解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； 【小问3详解】 解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 27. 已知抛物线经过点，与轴交于点，其顶点为．设是抛物线与轴交点的横坐标，． （1）求的值； （2）求的面积； （3）求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入中，即可求得； （2）根据二次函数的图象和性质可知与轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴来表示顶点的横坐标，即可求的的面积； （3）根据表示的含义列等式，将两边平方推导高次幂的化简关系． 【小问1详解】 解：将点代入中， 得， 解得． 【小问2详解】 解：如图， 由（1）知抛物线的表达式为， 将代入中，得， 点， ， 顶点B的横坐标为， ， ． 【小问3详解】 解：是抛物线与轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $