【期中专项】专项03 等腰、等边三角形与分类讨论（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专项03 等腰、等边三角形与分类讨论 目 录 考点01 等腰三角形的性质与判定 考点02 等边三角形的性质 考点03 等腰三角形边、角的多情况分类讨论 考点01　等腰三角形的性质与判定 难度层级：提升　|　知识点：等腰三角形性质/判定/三线合一 1．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（ ） A. 是等腰三角形 B. 垂直平分 C. 与周长相等 D. 直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质即可作出判断． 【详解】解：由线段垂直平分线的性质得，即是等腰三角形，选项A正确； 两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，选项B正确； 两个图形关于直线对称，则这两个图形重合，所以这两个三角形周长相等，选项C正确； 直线、直线的交点一定在对称轴上，选项D错误． 2．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 3．如图，在中，，，平分，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； 又∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，，， ∴是等腰三角形； 在中，，， ∴是等腰三角形； ∴共有3个等腰三角形． 4．已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 能构成三角形， 周长为， 故答案为． 5．等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是________ ． 【答案】4 【分析】根据为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当边长为的边为腰长时， 底边长为， 此时三角形三边长为， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ②当边长为的边为底边长时， 腰长为， 此时三角形三边长为， 满足三角形任意两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 6．一个等腰三角形的两边长分别为，则它的周长为________． 【答案】或 【分析】分腰长为和腰长为两种情况，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵， ∴满足三角形三边关系，可构成三角形， ∴周长为； ②当腰长为时，三角形三边长为，，， ∵， ∴满足三角形三边关系，可构成三角形， ∴周长为， 综上所述，该等腰三角形的周长为或． 7．已知等腰中，． （1）若，求和的度数； （2）若其中一个内角为，求其他两个内角的度数． 【答案】（1） （2）其余两个内角的度数为或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求角即可； （2）分顶角为和底角为讨论求解即可． 【小问详解】解：在等腰中，，， ； 【小问详解】解：若， 则 若， ； 综上，其余两个内角的度数为或． 8．若等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，求这个三角形的周长． 【答案】或. 【分析】分两种情况结合构成三角形的条件，进行讨论求解即可. 【详解】解：当腰长为时，则底边长为，，能构成三角形，此时三角形的周长为； 当底边长为时，则腰长为，，能构成三角形，此时三角形的周长为； 综上：这个三角形的周长为或. 考点02　等边三角形的性质 难度层级：基础　|　知识点：等边三角形的性质与判定 9．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等边对等角，掌握等边三角形的定义是解题关键．根据选项所给条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，为等边三角形，不符合题意； B、，若不是的中点时，则不是等边三角形，符合题意； C、，为等边三角形，不符合题意； D、，则，为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 10．下列说法中正确的是（ ） A. 三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一” D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高、中线、角平分线的位置关系、全等三角形的判定、等腰三角形的性质及等边三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据三角形的高、中线、角平分线的位置关系、全等三角形的判定、等腰三角形的性质及等边三角形的判定，逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A：钝角三角形的高可能位于三角形外部，不一定都在内部，则A错误； 选项B：面积相等的两个三角形不一定全等，例如底和高不同但面积相等的三角形，则B错误； 选项C：等腰三角形的“三线合一”仅指底边上的中线、高线和顶角的角平分线互相重合，并非所有中线、高线、角平分线都重合，则C错误； 选项D：有一个角是的等腰三角形，其余两个角也必为，因此是等边三角形，则D正确， 故选：D． 11．对于等边三角形的判定，下列说法不正确的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形； B. 两个角是60°的三角形是等边三角形； C. 三条高都相等的三角形是等边三角形； D. 三条线段相等的三角形是等边三角形； 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 三个角都相等的三角形是等边三角形，不符合题意； B. 两个角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意； C. 三条高都相等的三角形不一定是等边三角形，符合题意； D. 三条边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意； 故选：C：故选 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 12．等边三角形各角都是________°．三个角相等的三角形是________，有一个角是的________三角形是等边三角形． 【答案】① 60 ② 等边三角形 ③ 等腰 【分析】本题考查了等边三角形的定义，掌握等边三角形的定义是解题的关键． 根据等边三角形的定义解答即可． 【详解】等边三角形各角都是． 三个角相等的三角形是等边三角形， 有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 13．如图，在等边三角形的边各取一点D，E，连接交于点F，使，若，则长度为________． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可以得出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，证明是解决本题的关键． 14．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． （1）写出确定点的操作过程． （2）以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 【答案】（1）解：如图，过点D，作，交于E； （2）证明：∵等腰中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴是等边三角形． 【分析】（1）过点D，作交于； （2）先证明是等边三角形，根据平行线的性质得即可证得是等边三角形． 【小问详解】略 【小问详解】略 15．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形． 【答案】（1）证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB， ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）， ∴∠CBE=∠DBE， ∵BD=BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BF⊥CD，CF=DF， ∴BE垂直平分CD； （2）证明：∵∠BED=60°，∠EDB=90°， ∴∠DBE=30°， ∵BD=BC，BE垂直平分CD， ∴∠CBE=∠DBE=30°， ∴∠CBD=60°， ∴△CBD是等边三角形． 【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据BD=BC，BE垂直平分CD，可得∠CBE=∠DBE=30°，进而可以证明结论． 【小问详解】略 【小问详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质与等边三角形的判定是解决本题的关键． 16．（1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ． ， ， ， ，（等角对等边） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）根据推理过程即可补全； （2）由题意得：，推出即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 考点03　等腰三角形边、角的多情况分类讨论 难度层级：提升—拓展　|　知识点：等腰三角形边角分类讨论 17．有一块直角三角形的花圃，量得两直角边长分别为6m，8m，现要将花圃扩充成等腰三角形苗圃，扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形花圃的周长是（ ）m A. B. 32 C. 40 D. 【答案】ABD 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理求出斜边的长，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：，由题意，分三种情况： ①如图1，当时， ∵， ∴， ∴的周长． ②如图2，当时， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． ③如图3，当为底时，设，则， 由勾股定理得：， 解得，， ∴的周长为：． 故选：ABD． 18．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可． 【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线， ∴当P在l上时满足PA=PB， 作BC的中垂线交l于，满足； 作BP=BC与l交于、两点，满足，； 作CP=BC与l交于、两点，满足，； 满足题意的点P共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键． 19．题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可． 【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个， 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； ∴，，满足题意； 当时，存在满足条件的点只有一个； ∴； 当，存在满足条件的点只有个； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当时，存在满足条件的有三个点； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当时，不存在满足条件的点， ∴甲、丙答案合在一起才完整， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形． 20．在中，，，在直线 或直线上取一点 P，使得是等腰三角形，则符合条件的点 P有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】B 【分析】分三种情况讨论，结合点P在直线或直线上的位置进行判断即可． 【详解】解：如图， 所以，符合是等腰三角形的点的个数有6个． 21．如图，在中，，，在直线上找一点P，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为 ________． 【答案】或或4 【分析】先根据勾股定理求得，再分为三种情况，结合图形和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ①如图，当时， ∴， ∴； ②如图，当时， ∴， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∴点C为中点， ∴， 综上，的长为或或4． 22．如图，在中，点D，E分别在边，上，与交于点O，给出下列三个条件：①；②；③． （1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有成立的情形）； （2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程． 【答案】（1）①②或①③ （2）见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等等知识，利用三角形全等得出角相等，线段相等进而证出结论是常用的方法． （1）根据三角形全等的判定得出答案； （2）由等腰三角形的性质，得出，又，得到，进而证出． 【小问详解】解：由①②或①③可以判定是等腰三角形； 【小问详解】解：由①②判定是等腰三角形，理由如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． ①③判定是等腰三角形，理由如下： ， ， 又， ， 即：， ， 即是等腰三角形． 23．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 【答案】（1）选择李欣的思路证明：作的平分线，交于，在上截取，连接． 平分， ， 在和中， ， ， ， 是△的外角， ， ； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接， 平分， ， ，， ， ， 是△的外角， ， ； 选择王皓的思路： 证明：作于，在上截取，连接， ，， ， ， 是△的外角， ， ； （2）A （3） （4）在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而可得结论； （3）根据大边对大角求解即可； （4）将一个命题的题设和结论互换即得到原命题的逆命题，据此解答即可. 【详解】解：（1）略 （2）在一个三角形中，大边对大角， 如果最大边所对的角是锐角，那么其他边所对的角都比这个最大边所对的角小， 三个角都是锐角， 故此三角形就是锐角三角形． 故选：A； （3）在△中，， ； 故答案为：； （4）这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 故答案为：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，逆定理，三角形外角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 24．课本再现： （1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则_____，所以_____．（填“”、“”或“”） （2）实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，反过来，等角所对的边也相等． 那么不相邻的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：”．并作出了辅助线：作的平分线．在上截取．连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． （3）从上面的过程可以看出，利用轴对称的特点，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．这是几何中研究不等问题时常用的方法，类似的，应用这种方法，我们可以说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．”请你根据上述的结论判断下列说法中正确为_________ ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，，那么 ④在中，如果，那么 【答案】（1）； （2）证明：∵是的平分线 ∴ ∵， 在和中 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）②③④ 【分析】（1）根据三角形外角的定义即可判断； （2）先证明，再由外角定义即可证得； （3）根据题干可判断①②，根据三角形内角和定理可求的度数，再根据等角对等边即可判断③，若时，作，根据三角形三边关系可证． 【小问详解】解：由三角形外角的定义可知， ， 故答案为：； 【小问详解】解； 【小问详解】解：∵在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大， ∴如果，则，故①错误． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是锐角三角形，故②正确． ∵，， ∴ ∴，故③正确． 如下图： 若时，作 ∴， ∵， ∴，即， 同理可得， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角的性质，三角形三边关系的应用以及等角对等边，全等三角形的判定和性质等知识．掌握三角形相关知识是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 等腰、等边三角形与分类讨论 目 录 考点01 等腰三角形的性质与判定 考点02 等边三角形的性质 考点03 等腰三角形边、角的多情况分类讨论 考点01　等腰三角形的性质与判定 难度层级：提升　|　知识点：等腰三角形性质/判定/三线合一 1．D 2．D 3．C 4． 5．4 6．或 7．（1） （2）其余两个内角的度数为或 8．或. 考点02　等边三角形的性质 难度层级：基础　|　知识点：等边三角形的性质与判定 9．B 10．D 11．C 12．① 60 ② 等边三角形 ③ 等腰 13．3 14．（1）解：如图，过点D，作，交于E； （2）证明：∵等腰中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴是等边三角形． 15．（1）证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB， ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）， ∴∠CBE=∠DBE， ∵BD=BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BF⊥CD，CF=DF， ∴BE垂直平分CD； （2）证明：∵∠BED=60°，∠EDB=90°， ∴∠DBE=30°， ∵BD=BC，BE垂直平分CD， ∴∠CBE=∠DBE=30°， ∴∠CBD=60°， ∴△CBD是等边三角形． 16．（1）证明：是等边三角形， ． ， ， ， ，（等角对等边） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 考点03　等腰三角形边、角的多情况分类讨论 难度层级：提升—拓展　|　知识点：等腰三角形边角分类讨论 17．ABD 18．D 19．B 20．B 21．或或4 22．（1）①②或①③ （2）见解析 23．（1）选择李欣的思路证明：作的平分线，交于，在上截取，连接． 平分， ， 在和中， ， ， ， 是△的外角， ， ； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接， 平分， ， ，， ， ， 是△的外角， ， ； 选择王皓的思路： 证明：作于，在上截取，连接， ，， ， ， 是△的外角， ， ； （2）A （3） （4）在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大 24．（1）； （2）证明：∵是的平分线 ∴ ∵， 在和中 ∴， ∵， ∴， ∴； （3）②③④ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 等腰、等边三角形与分类讨论 目 录 考点01 等腰三角形的性质与判定 考点02 等边三角形的性质 考点03 等腰三角形边、角的多情况分类讨论 考点01　等腰三角形的性质与判定 难度层级：提升　|　知识点：等腰三角形性质/判定/三线合一 1．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（ ） A. 是等腰三角形 B. 垂直平分 C. 与周长相等 D. 直线、的交点不一定在上 2．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 等腰三角形的“三线合一” 3．如图，在中，，，平分，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是________． 5．等腰三角形的周长为，若一条边长为，则等腰三角形的底边长是________ ． 6．一个等腰三角形的两边长分别为，则它的周长为________． 7．已知等腰中，． （1）若，求和的度数； （2）若其中一个内角为，求其他两个内角的度数． 8．若等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，求这个三角形的周长． 考点02　等边三角形的性质 难度层级：基础　|　知识点：等边三角形的性质与判定 9．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（ ） A. B. C. D. 10．下列说法中正确的是（ ） A. 三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一” D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 11．对于等边三角形的判定，下列说法不正确的是（ ） A. 三个角都相等的三角形是等边三角形； B. 两个角是60°的三角形是等边三角形； C. 三条高都相等的三角形是等边三角形； D. 三条线段相等的三角形是等边三角形； 12．等边三角形各角都是________°．三个角相等的三角形是________，有一个角是的________三角形是等边三角形． 13．如图，在等边三角形的边各取一点D，E，连接交于点F，使，若，则长度为________． 14．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形． （1）写出确定点的操作过程． （2）以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形． 15．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形． 16．（1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 考点03　等腰三角形边、角的多情况分类讨论 难度层级：提升—拓展　|　知识点：等腰三角形边角分类讨论 17．有一块直角三角形的花圃，量得两直角边长分别为6m，8m，现要将花圃扩充成等腰三角形苗圃，扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形花圃的周长是（ ）m A. B. 32 C. 40 D. 18．如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 19．题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 20．在中，，，在直线 或直线上取一点 P，使得是等腰三角形，则符合条件的点 P有（ ） A. 4个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 21．如图，在中，，，在直线上找一点P，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为 ________． 22．如图，在中，点D，E分别在边，上，与交于点O，给出下列三个条件：①；②；③． （1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有成立的情形）； （2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程． 23．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 24．课本再现： （1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，是的外角，则_____，所以_____．（填“”、“”或“”） （2）实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等，反过来，等角所对的边也相等． 那么不相邻的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在中，，求证：”．并作出了辅助线：作的平分线．在上截取．连接．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． （3）从上面的过程可以看出，利用轴对称的特点，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．这是几何中研究不等问题时常用的方法，类似的，应用这种方法，我们可以说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．”请你根据上述的结论判断下列说法中正确为_________ ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，，那么 ④在中，如果，那么 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $