【期中专项】专项07 综合探究与选填压轴（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专项07 综合探究与选填压轴 目 录 考点01 等腰三角形结合全等三角形多问综合探究 考点02 代数与几何融合多问压轴综合 考点03 正确结论与个数问题 考点04 阴影部分问题 考点05 无刻度尺作图 考点01　等腰三角形结合全等三角形多问综合探究 难度层级：拓展　|　知识点：等腰+全等多问探究 1．如图1，已知沿直线翻折得到；如图2，在射线上取点E，连接、；如图3，在射线上取点F，连接、，依此规律，第8个图形中全等三角形的对数是（ ） A. 32 B. 36 C. 40 D. 42 2．如图，在正方形网格中，三个顶点A，B，C都在格点上，在网格中画出与全等的格点三角形（除外），则满足条件的格点三角形的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 15 3．现有一块如图所示的草地，经测量，，米，米，米，点E是边的中点．小狗汪汪从点B出发以2米/秒的速度沿向点C运动，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D运动．当妞妞的速度为________米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 4．如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、． （1）的度数为________（用含的式子表示）； （2）探究：当的度数为________时，是等腰三角形． 5．【问题初探】 （1）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，， ①与全等吗？为什么？ ②过点作交于点，若，求的度数． 【问题解决】 （2）如图，某农场内有一处形状为的生态实践园（周围空地可利用），为观赏小路，点在边上，连接，，，为了满足游客的种植要求，现计划在的延长线上找一点，使得，连接，将区域规划为瓜果种植区，是的角平分线，在点处设置自助工具房，点在边上，连接，，已知米，米，求观赏小路的长．（小路的宽度以及自助工具房的大小均忽略不计） 6．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是______． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是______． A. B. C. D. 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，是的中线，交于，交于，且．求证：． A. B. C. D. 考点02　代数与几何融合多问压轴综合 难度层级：拓展　|　知识点：代数与几何融合 7．已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8．已知一等腰三角形的腰长为7，底边长为8，底角为a．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（ ） A. 三条边长分别是7、7、8 B. 两个角是a，它们的夹边为8 C. 两条边长分别为7、8，它们的夹角为α D. 两条边长是7，一个角是α 9．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是________． 10．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是________． 11．已知关于的方程组 （1）若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为，求整数的值． 12．已知关于、的二元一次方程组． （1）若方程组的解、互为相反数．求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 考点03　正确结论与个数问题 难度层级：提升　|　知识点：正确结论个数/真假判断 13．下列命题：①无理数包括正无理数、0和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④实数和数轴上的点一一对应；⑤的算术平方根是7，其中真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 14．下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示．其中真命题的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15．有下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 16．下列命题： ①两直线平行，同旁内角相等； ②实数与数轴上的点一一对应； ③是无理数； ④三角形的一个外角大于任何一个内角． 其中，不是真命题的是________．（把你认为正确结论的序号都填上） 17．下列四个命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有________．（填序号） 18．命题：绝对值相等的两个数相等． （1）请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； （2）判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 19．先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假： （1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； （2）等边三角形的每个角都等于； （3）全等三角形的对应角相等； （4）如果，那么． 20．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 考点04　阴影部分问题 难度层级：提升　|　知识点：阴影面积/割补转化 21．如图，在中，斜边的长为，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 22．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如左图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按右图的方式放置在最大正方形内．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 23．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 9 24．如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（ ） A. B. C. D. 25．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是________． 26．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为________． 27．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状． （1）添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． （2）当，时，求空白部分的面积． 28．如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 考点05　无刻度尺作图 难度层级：提升　|　知识点：无刻度直尺作图/格点作图 29．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是（ ） A. B. C. D. 30．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 31．如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点A、B在格点上，在格点取一点C，使得△ABC的面积等于1的点个数有________个． 32．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出________个． 33．线段的端点，在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可）． （1）在图①中找出的中点，并在图①中标出，________． （2）在图②中找出点，画，使，________． 34．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图： （1）过点画的平行线； （2）过点画的垂线，垂足为； （3）过点画的垂线，交于点，则线段______的长度是点到直线的距离． 35．如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出边的高； （2）在图2中作出的垂心． 36．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）过点作的垂线段； （2）过点作的平行线． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项07 综合探究与选填压轴 目 录 考点01 等腰三角形结合全等三角形多问综合探究 考点02 代数与几何融合多问压轴综合 考点03 正确结论与个数问题 考点04 阴影部分问题 考点05 无刻度尺作图 考点01　等腰三角形结合全等三角形多问综合探究 难度层级：拓展　|　知识点：等腰+全等多问探究 1．如图1，已知沿直线翻折得到；如图2，在射线上取点E，连接、；如图3，在射线上取点F，连接、，依此规律，第8个图形中全等三角形的对数是（ ） A. 32 B. 36 C. 40 D. 42 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴． 在和中，， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵． ∴， 在中，， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 所以：第个图形中全等三角形的对数是. 2．如图，在正方形网格中，三个顶点A，B，C都在格点上，在网格中画出与全等的格点三角形（除外），则满足条件的格点三角形的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 15 【答案】D 【分析】每个的长方形中能画出4个与全等的三角形，只要判断在的正方形网格中能找出多少个的长方形即可． 【详解】解：在每个的长方形中能画出4个与全等的三角形，且在的正方形网格中能找出4个的长方形， ∴能有16个，减去本身， ∴一共有15个． 3．现有一块如图所示的草地，经测量，，米，米，米，点E是边的中点．小狗汪汪从点B出发以2米/秒的速度沿向点C运动，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D运动．当妞妞的速度为________米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设汪汪运动的时间为t秒，分两种情况进行讨论：①当米，时，；②当米，时，，利用全等三角形的性质列方程，求出的值和的长，即可求出妞妞的速度． 【详解】解：设汪汪运动的时间为t秒，则米，米， ， ①当米，时，， ，解得：， 米， 此时，妞妞的运动速度为（米/秒）； ②当米，时，， ，解得：， 此时，妞妞的运动速度为（米/秒）； 故答案为：2或． 4．如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、． （1）的度数为________（用含的式子表示）； （2）探究：当的度数为________时，是等腰三角形． 【答案】① ② 或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用． （1）先证是等边三角形得到，根据，，即可得出答案； （2）先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； （2）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又由（1）可知， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为：（1），（2）或或． 5．【问题初探】 （1）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，， ①与全等吗？为什么？ ②过点作交于点，若，求的度数． 【问题解决】 （2）如图，某农场内有一处形状为的生态实践园（周围空地可利用），为观赏小路，点在边上，连接，，，为了满足游客的种植要求，现计划在的延长线上找一点，使得，连接，将区域规划为瓜果种植区，是的角平分线，在点处设置自助工具房，点在边上，连接，，已知米，米，求观赏小路的长．（小路的宽度以及自助工具房的大小均忽略不计） 【答案】（1）解：①全等，理由如下：在与中 ， ∴； ② （2）观赏小路的长为140米. 【分析】（1）①利用，即可得证；②证明，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可； （2）证明，得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，进而推出，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【小问详解】解：①略； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 答：观赏小路的长为140米. 6．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是______． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是______． A. B. C. D. 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，是的中线，交于，交于，且．求证：． A. B. C. D. 【答案】（1）B （2）C （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， 即． 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【小问详解】解：在和中 ， ， 故选：B； 【小问详解】解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选：C． 【小问详解】略 考点02　代数与几何融合多问压轴综合 难度层级：拓展　|　知识点：代数与几何融合 7．已知关于x，y的方程组的解都是正数，，，则p的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：解方程组得， ∵方程组的解都是正数， ∴， 解得， ∵，即， ∴ ， 则， ∴， ∴． 8．已知一等腰三角形的腰长为7，底边长为8，底角为a．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（ ） A. 三条边长分别是7、7、8 B. 两个角是a，它们的夹边为8 C. 两条边长分别为7、8，它们的夹角为α D. 两条边长是7，一个角是α 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的定义，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．结合等腰三角形的定义，判断三角形是否全等，即可得到答案． 【详解】解：A、两个三角形三边分别相等，可利用“”证明全等，不符合题意； B、两个三角形的两个角及其夹边分别相等，可利用“”证明全等，不符合题意； C、两个三角形的两条边及其夹角分别相等，可利用“”证明全等，不符合题意； D、两个三角形两条边相等，但一对相等的角不是夹角，不能证明全等，符合题意； 故选：D． 9．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．先用代入消元法解方程得出、，然后再列不等式求解即可． 【详解】解：， 由②得：③， 将③代入①得： ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 10．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 11．已知关于的方程组 （1）若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解为，求整数的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先由加减消元法求出方程组的解，再由题意列不等式组求解即可； （2）由不等式的解集，判断出，解不等式后，在（1）的条件下得到，求出整数即可． 【小问详解】解：关于的方程组， 由①②得， 由①②得， 该方程组的解满足为正数，为负数， ，则的取值范围； 【小问详解】解：由可得， 不等式的解为， ，即 ， ， 则满足要求的整数为． 12．已知关于、的二元一次方程组． （1）若方程组的解、互为相反数．求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【小问详解】解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； 【小问详解】 得：，即， ， ， 解得：． 考点03　正确结论与个数问题 难度层级：提升　|　知识点：正确结论个数/真假判断 13．下列命题：①无理数包括正无理数、0和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④实数和数轴上的点一一对应；⑤的算术平方根是7，其中真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】根据无理数分类 、平行公理 、点到直线的距离概念 、实数与数轴的关系 、算术平方根的概念逐个判断命题真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：① 0是有理数，不属于无理数，无理数仅包括正无理数和负无理数，∴①是假命题； ② 根据平行公理，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴②是真命题； ③ 点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，并非垂线段本身，∴③是假命题； ④ 根据实数的性质，实数和数轴上的点一一对应，∴④是真命题； ⑤ ∵，7的算术平方根是，不是7，∴⑤是假命题； 综上，真命题共有2个． 14．下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示．其中真命题的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】根据平行公理、垂线的性质、同位角的性质、实数与数轴的关系，逐个判断命题真假即可得到答案． 【详解】解：①由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是真命题； ②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是真命题； ③只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，故③是假命题； ④实数与数轴上的点一一对应，所有实数都可以用数轴上的点表示，故④是真命题； 综上，真命题共有3个． 15．有下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②只有两直线平行时，内错角才相等，命题缺少前提条件，故②是假命题； ③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，故③是假命题； ④只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，则不存在这样的直线，命题缺少前提条件，故④是假命题； 综上，真命题只有个． 16．下列命题： ①两直线平行，同旁内角相等； ②实数与数轴上的点一一对应； ③是无理数； ④三角形的一个外角大于任何一个内角． 其中，不是真命题的是________．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了判断命题的真假、平行线的性质、实数与数轴、三角形外角的性质，根据平行线的性质、实数与数轴、无理数的定义、三角形外角的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，不是真命题， ②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，是真命题； ③是有理数，故原说法错误，不是真命题， ④三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原说法错误，不是真命题， 综上所述，不是真命题的是①③④， 故答案为：①③④． 17．下列四个命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；选项正确，符合题意； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；选项错误，不符合题意； ③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；选项正确，符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．选项错误，不符合题意； 故答案为：①③ 18．命题：绝对值相等的两个数相等． （1）请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； （2）判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 （2）是假命题，反例：，但 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可． 【小问详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． 【小问详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 19．先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假： （1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； （2）等边三角形的每个角都等于； （3）全等三角形的对应角相等； （4）如果，那么． 【答案】（1）条件：一个三角形是直角三角形，结论：它的两个锐角互余， 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 该逆命题是真命题． （2）条件：一个三角形是等边三角形，结论：它的每个角都等于， 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于，那么这个三角形是等边三角形． 该逆命题是真命题． （3）条件：两个三角形是全等三角形．结论：它们的对应角相等． 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形． 该逆命题是假命题． （4）条件：，结论：， 逆命题：如果，那么， 该逆命题是真命题． 【分析】先根据命题的定义写出条件和结论，再把条件和结论互换，得出逆命题，最后判断命题真假即可． 【小问详解】∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为， ∴第三个角为，该三角形是直角三角形． 【小问详解】∵三角形三个角均为，即三个角都相等， ∴该三角形是等边三角形． 【小问详解】反例：边长为和边长为的两个等边三角形，对应角均为，但边长不相等，不全等． 【小问详解】根据立方根的唯一性，任意实数的立方根都唯一确定， ∴由可以直接推出． 20．如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 【答案】情况一：取①③④为题设，②为结论；情况二：取①②④为题设，③为结论． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现的情况都考虑到，证明全等三角形的方法有：、、、，本题共有四种情况，、、、均可以作为命题的结论，当或作结论时，其余三个条件的位置关系是不能证明三角形全等，所以不能得到真命题，只有把、作为结论时，得到的是真命题． 【详解】情况一、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ； 情况二、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ． 考点04　阴影部分问题 难度层级：提升　|　知识点：阴影面积/割补转化 21．如图，在中，斜边的长为，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先根据等腰直角三角形的性质，用斜边长表示出三个阴影三角形的面积，再利用勾股定理将阴影部分面积转化为与有关的式子，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵在 中，， ∴， ∵， ∴． 22．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如左图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按右图的方式放置在最大正方形内．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是树立数形结合思想，知道大正方形面积等于两个小正方形面积和，通过面积和差得出阴影部分面积等于重叠部分面积．根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，再利用面积和差可以得出阴影部分面积等于重叠部分面积． 【详解】解：由图可知，阴影部分面积大正方形面积两个小正方形面积重叠部分面积，根据勾股定理可知，大正方形面积等于两个小正方形面积和，右图中，重叠部分为一个长方形， ∴阴影部分面积重叠部分面积， ∵重叠部分的长为，宽为， ∴阴影部分面积重叠部分面积， 故选：． 23．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等腰三角形的性质即勾股定理得出，，再在中由勾股定理得出，最后根据阴影部分面积为进行求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴阴影部分面积为： ， 故选：C． 24．如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】通过分析正方形的边长与三角形边长的关系，利用平行线间距离相等将阴影部分的面积用表示，再结合勾股定理判断各选项是否为定值． 【详解】解：∵ 以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别为、、， ∴ ，，， ∵ 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵ 点为以为边的正方形上与点相邻的顶点， ∴ ，且， 又∵ ， ∴ ， ∴ 点B到直线的距离等于， ∴ ， ∵ 的面积为定值， ∴ 为定值， ∵ ， ∴ 为定值． 25．如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成．若一直角三角形的直角边和斜边的长分别为12，13，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积是. 26．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为________． 【答案】64 【分析】此题考查了勾股定理，熟知勾股定理和正方形的面积公式即可解答．由勾股定理求出正方形的边长，再由正方形的面积公式解答． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 故答案为；64． 27．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状． （1）添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． （2）当，时，求空白部分的面积． 【答案】（1），， （2） 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【小问详解】解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： ， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：即； 故答案为：，，，； 【小问详解】解：根据题意得：空白部分的面积为 ， 当，时，原式． 28．如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】． 【分析】本题考查勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，首先根据勾股定理求得边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 【详解】解：如图，中，，，， 由勾股定理知，， ∴， 故． 考点05　无刻度尺作图 难度层级：提升　|　知识点：无刻度直尺作图/格点作图 29．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下： 则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下： 则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下： 则直线m即为所求作的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下： 则直线m、n即为所求作的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出： 故此选项符合题意． 30．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】可以以和为公共边画出4个，不可以，故可求出结果． 【详解】解：如图所示． 31．如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点A、B在格点上，在格点取一点C，使得△ABC的面积等于1的点个数有________个． 【答案】6 【分析】本题考查格点作图，三角形的面积，根据三角形的面积公式，作出点C即可求解． 【详解】解：如图，点、、、、、就是所求的点， ∵， ∴点C个数共有6个， 故答案为：6． 32．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出________个． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法：三边分别对应相等的两个三角形全等，再依次确定第三个顶点即可． 【详解】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个． 故答案为：5． 33．线段的端点，在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可）． （1）在图①中找出的中点，并在图①中标出，________． （2）在图②中找出点，画，使，________． 【答案】① ② 【详解】解：（1）略 （2）图略 ，，， ，， 是直角三角形，， ． 34．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图： （1）过点画的平行线； （2）过点画的垂线，垂足为； （3）过点画的垂线，交于点，则线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】（1）如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）如图，直线即为所求． ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． 【分析】①根据平行线的定义画出图形； ②根据垂线的定义画出图形； ③根据垂线的定义以及题目要求画出图形． 【小问详解】略 【小问详解】略 【小问详解】略 35．如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出边的高； （2）在图2中作出的垂心． 【答案】（1）如图所示，为所作； （2）如图所示，点为所作； 【分析】（1）利用网格的特征，取格点，连接并延长交于点即可； （2）同理（1）作出边的垂线，交边的垂线于点，点即为垂心． 【小问详解】 略 【小问详解】 略 36．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）过点作的垂线段； （2）过点作的平行线． 【答案】（1）连接，即为所求作的垂线段． （2）如图，即为所求作的平行线． 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【小问详解】如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． 【小问详解】如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项07 综合探究与选填压轴 目 录 考点01 等腰三角形结合全等三角形多问综合探究 考点02 代数与几何融合多问压轴综合 考点03 正确结论与个数问题 考点04 阴影部分问题 考点05 无刻度尺作图 考点01　等腰三角形结合全等三角形多问综合探究 难度层级：拓展　|　知识点：等腰+全等多问探究 1．B 2．D 3．2或 4．① ② 或或 5．（1）解：①全等，理由如下：在与中 ， ∴； ② （2）观赏小路的长为140米. 6．（1）B （2）C （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， 即． 考点02　代数与几何融合多问压轴综合 难度层级：拓展　|　知识点：代数与几何融合 7．D 8．D 9． 10． 11．（1） （2） 12．（1） （2） 考点03　正确结论与个数问题 难度层级：提升　|　知识点：正确结论个数/真假判断 13．C 14．C 15．B 16．①③④ 17．①③ 18．（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 （2）是假命题，反例：，但 19．（1）条件：一个三角形是直角三角形，结论：它的两个锐角互余， 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 该逆命题是真命题． （2）条件：一个三角形是等边三角形，结论：它的每个角都等于， 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于，那么这个三角形是等边三角形． 该逆命题是真命题． （3）条件：两个三角形是全等三角形．结论：它们的对应角相等． 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形． 该逆命题是假命题． （4）条件：，结论：， 逆命题：如果，那么， 该逆命题是真命题． 20．情况一：取①③④为题设，②为结论；情况二：取①②④为题设，③为结论． 考点04　阴影部分问题 难度层级：提升　|　知识点：阴影面积/割补转化 21．D 22．C 23．C 24．B 25． 26．64 27．（1），， （2） 28．． 考点05　无刻度尺作图 难度层级：提升　|　知识点：无刻度直尺作图/格点作图 29．D 30．D 31．6 32．5 33．① ② 34．（1）如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）如图，直线即为所求． ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． 35．（1）如图所示，为所作； （2）如图所示，点为所作； 36．（1）连接，即为所求作的垂线段． （2）如图，即为所求作的平行线． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $