【期中专项】专项02 三角形与全等三角形证明（含模型）（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项02三角形与全等三角形证明（含模型) 目录 考点01命题与定理 考点02三角形的角平分线、中线和高 考点03三角形E边关系 考点04三角形内角和与外角性质 考点05全等三角形的判定与性质 考点06角平分线与线段垂直平分线的性质 考点07倍长中线辅助线模型 考点08截长补短辅助线模型 考点01命题与定理 难度层级：基础知识，点：命题/真假/逆命题/反例 1.A 2.D 3.①两个数的绝对值相等②这两个数互为相反数 4.如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 5.(1)此命题的条件是a=b,结论是a=b(2)假命题，比如：-2=2，但-2≠2，所以若a=b ,则a=b不一定成立. 6.[证明]两直线平行，同位角相等：∠A:内错角相等，两直线平行[延伸]是真命题，证明如下： 将题设“AB‖CD”与结论“BC‖AD调换后，为真命题，证明过程如下： .BC‖AD(已知)， ∴.∠ABE=∠A（两直线平行，内错角相等)， ∠A=∠C(己知)， ∴.∠ABE=∠C(等量代换)， .ABCD(同位角相等，两直线平行)， 故将题设“AB‖CD与结论“BC‖AD”调换后，为真命题. 考点02三角形的角平分线、中线和高 难度层级：基础「知识点：三角形的三线/重心/垂心 7.B 8.A 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.③④#④③ 10.①CH②ABC 11.∠ECD=15°. 12.(1)BC=8(2)∠C=70° 考点03三角形三边关系 难度层级：基础|知识点：构成三角形的条件/第三边范围 13.C 14.D 15.0<a<10 16.2<X<8 17.(1)14<c<22:（2)AB=6,AC=6,BC=2. 18.(1)3<x<11(2)4或7 考点04三角形内角和与外角性质 难度层级：基础一提升|知识点：内角和/外角性质 19.D 20.C 21.45#45度 22.15拼15度 23.45#45度 24.(1)65°，65°；(2)证明：∠ACB=90°，CD是高， .∴.∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°， .∴.∠B=∠ACD, .AE是角平分线， .∴.∠CAF=∠DAF, '.∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B, ∴.∠CEF=∠CFE; (3)450.1a 2 25.(1)见解析(2)36° 考点05全等三角形的判定与性质 难度层级：提升知识，点：全等判定(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)与性质 26.B 27.C 28.B 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.30#30度 30.AB=AC 31.全等三角形对应边上的高相等，理由如下： 己知：如图，在△ABC和△DEF中，AG⊥BC,DH⊥EF,且△ABC≌△DEF,求证： AG=DH 证明：，△ABC≌△DEF, ∴.AB=DE,∠B=∠E, .AG⊥BC,DH⊥EF, ∴.∠AGB=∠DHE=90°， 在△ABG和△DEH中， ∠B=∠E ∠AGB=∠DHE, AB=DE .△ABG≌△DEH AAS, ..AG=DH. 32.①EC;BC;CE②HL③BCE④互余⑤90 33.如图，AD即为所求. B D' 求证：AD=AD, 证明：，△ABC≌△ABC, AB=AB,∠B=∠B,BC=BC, .AD、AD分别是对应边BC、BC的中线， .BD=BG,BD'-BC,WBD=BD, 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABD≌△A BD SAS. ∴.AD=AD. 考点06角平分线与线段垂直平分线的性质 难度层级：基础一提升|知识点：角平分线性质/垂直平分线性质 34.B 35.B 36.A 37.到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 38.30 39.115°#115度 40.(1)见解析(2)见解析 考点07倍长中线辅助线模型 难度层级：提升一拓展「知识点：倍长中线模型 41.B 42.B 43.30 44.(1)1<AD<5 (2)AC BM,AC=BM (3)EF=2AD 45.(1)2<AD<8;(2)证明：如图，延长AE至点F,使得EF=AE,连接DF,则 AF=EF+AE=2AE. D E B 图2 E是BD中点， ∴.DE=BE, 在△EDF和△EBA中， DE=BE ∠DEF=∠BEA.∴.△EDF≌△EBA(SAS). EF=EA .∴.DF=AB=CD,∠B=∠EDF,∠F=∠EAB, .'∠CDA=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+∠EDF,∠BDA=∠BAD ∴.∠ADC=∠ADF, 在△AFD和△ACD中， 4/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD=DF ∠ADC=∠ADF∴.△AFD≌△ACD(SAS). AD-AD ∴AC=AF, ∴.AC=2AE; (3)解：EF=2AD,EF⊥AD. 理由：如图3，延长DA交EF于点P,延长AD到M,使得DM=AD,连接BM. E M 图3 由(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS)】 ∴.BM=AC,∠M=∠CAD .∵AC=AF, .∴.BM=AF, .∠M=∠CAD, ∴.AC‖BM, ∴.∠BAC+∠ABM=180°， .AE⊥AB,AF⊥AC, ∴.∠BAE=∠FAC=90, ∴.∠BAC+∠EAF=180°， ∴.∠ABM=∠EAF, 在△ABM和△EAF中， AB=EA ∠ABM=∠EAF.∴△ABM≌△EAF(SAS), BM=AF ∴.AM=EF,∠BAM=∠E, .AD=DM, .∴.AM=2AD, ∴.EF=2AD, .∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE, 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠APE=∠BAE=90°， ∴.EF⊥AD 考点08 截长补短辅助线模型 难度层级：提升一拓展」知识点：截长补短/线段和差 46.(1)方法一：证明：如图： :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠EAD, 在△ABD和△AED中， AB=AE ∠BAD=∠EAD, AD=AD ∴.△ABD≌△AED SAS, ∴BD=ED,∠B=∠AED, .∠B=2∠C, ∴.∠AED=2∠C. :∠AED是△EDC的外角， .∴∠AED=∠C+∠EDC, .∴2∠C=∠C+∠EDC, .∴.∠EDC=∠C. ∴.ED=EC, 又，BD=ED, ∴BD=EC, .AC=AE+EC,且AE=AB, ∴.AC=AB+BD: AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠CAD 在△AED和△ACD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD, AD=AD .∴.△AED≌△ACD|SAS, .∠E=∠C, 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC是△BED的外角， ∴.∠ABC=∠E+∠BDE, 又，∠ABC=2∠C, ∴.2∠C=∠E+∠BDE 将∠E=∠C代入，得2∠C=∠C+∠BDE, ∴∠BDE=∠C, ∴∠BDE=∠E, ∴BE=BD, AE=AB+BE, ∴.AE=AB+BD. 又，AE=AC, ∴.AB+BD=AC: (2)证明：在DC上截取DE=BD,连接AE,如图： .AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADE=90°， 在△ABD和△AED中， BD=ED ∠ADB=∠ADE, AD=AD ∴△ABD≌△AED SAS, ∴.AB=AE,∠B=∠AED, .∠B=2∠C, ∴.∠AED=2∠C. 又.∠AED是△AEC的外角， .∴∠AED=∠C+∠EAC, ∴.2∠C=∠C+∠EAC, ∴.∠EAC=ㄥC. ∴.AE=EC, 又AB=AE, ∴AB=EC .BC=BD+DE+EC,EDE=BD,EC=AB, .BC=BD+BD+AB=2BD+AB 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 47.证明：.∠B=60°， ∴.∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°， .'AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, .∠OAC=∠OAB=∠BAC,∠OCA=∠OCB=∠ACB 2 :.∠OAC+∠OCA=号∠BAC+号∠ACB=∠BAC+∠ACB=60°， .∴.∠A0C=120°， .∴.∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60°， 如图，在AC上截取AF=AE,连接OF, A E D B 在△AOE和△AOF中， AE=AF ∠OAE=∠OAF, AO=AO .∴.△AOE≌△AOF SAS, ∴.∠AOE=∠AOF=60°， ∴.∠C0F=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°， .∠COD=60°， ∴.∠COD=∠COF, 在△COD和△COF中， ∠OCD=∠OCF CO=CO ∠COD=ㄥCOF .∴.△COD≌△COF ASA, ∴.CD=CF, .AF=AE, .∴.AF+CF=AE+CD=AC 48.(1)∠AOE=60°(2)见解析 8/8 专项02 三角形与全等三角形证明（含模型） 目 录 考点01 命题与定理 考点02 三角形的角平分线、中线和高 考点03 三角形三边关系 考点04 三角形内角和与外角性质 考点05 全等三角形的判定与性质 考点06 角平分线与线段垂直平分线的性质 考点07 倍长中线辅助线模型 考点08 截长补短辅助线模型 考点01　命题与定理 难度层级：基础　|　知识点：命题/真假/逆命题/反例 1．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 2．判断命题“对任意实数，都有”是假命题，只需要举出反例，反例中的可以是（ ） A. B. C. D. 3．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是________，结论是________． 4．命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是________． 5．命题：若，则． （1）写出此命题的条件与结论； （2）判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 6．【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 考点02　三角形的角平分线、中线和高 难度层级：基础　|　知识点：三角形的三线/重心/垂心 7．在中，下列说法：①角平分线把分成相等的两部分；②中线将线段分成相等的两部分；③高把分成面积相等的两个三角形；④若边与边长度相等，则线段等于线段．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8．下列说法正确的有（ ） ①三角形的三条高在三角形内部； ②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形； ④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9．如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 ________． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 10．如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H， （1）的高线是________； （2）是三角形________的角平分线． 11．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 12．如图，中，是的中线，是的角平分线，是的高． （1）若的面积为8，，求的长； （2）若，求的度数 考点03　三角形三边关系 难度层级：基础　|　知识点：构成三角形的条件/第三边范围 13．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. D. 或 14．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 15．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为________． 16．三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是________． 17．（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？ （2）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求△ABC各边长． 18．已知，的三边长为4，7，x． （1）求x的取值范围； （2）当为等腰三角形时，求x的值． 考点04　三角形内角和与外角性质 难度层级：基础—提升　|　知识点：内角和/外角性质 19．如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 20．如图，已知分别是的内角和外角平分线，则图中与互余的角有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 21．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则________． 22．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点，的角平分线与的平分线交于，若，则的度数为________ 23．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为D，延长与外角的平分线交于点F．若，则________． 24．【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 25．如图，在中，，的角平分线与外角的角平分线交于点D． （1）求证：； （2）若，求的度数． 考点05　全等三角形的判定与性质 难度层级：提升　|　知识点：全等判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）与性质 26．下列各组条件中，能判定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 27．如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 28．如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 都不是 29．如图，，则的度数为________． 30．如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：________． 31．全等三角形对应边上的高相等吗？如果相等，请写出已知、求证和证明过程． 32．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，，是上一点，且，． 求证：． 证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴（判定依据，用字母表示： ）； ∴ ， ∴， ∴，（直角三角形的两个锐角 ） ∴ °， ∴， ∴． 33．求证：全等三角形对应边上的中线相等． （要求：根据给出的和，在上用尺规作出边上的中线，不写作法，保留作图痕迹，并据此补充求证和证明过程．） 已知：如图，，、分别是对应边、的中线 求证：_____ 证明： 考点06　角平分线与线段垂直平分线的性质 难度层级：基础—提升　|　知识点：角平分线性质/垂直平分线性质 34．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 35．如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（ ） A. 为两角平分线的交点 B. 为的平分线与的垂直平分线的交点 C. 为两边上的高的交点 D. 为两边的垂直平分线的交点 36．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（ ） A. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 以上均不正确 37．请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：________ 38．如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则________ 度． 39．如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是________． 40．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 考点07　倍长中线辅助线模型 难度层级：提升—拓展　|　知识点：倍长中线模型 41．如图，于点，于点，点是中点，若，则的长是（ ） A. 10 B. 12 C. D. 9 42．如图，在中，，D是的中点，则的长是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 前三个答案都不对 43．如图中，点为的中点，，，，则的面积是________． 44．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围： （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 45．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） （2）由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； （3）如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 考点08　截长补短辅助线模型 难度层级：提升—拓展　|　知识点：截长补短/线段和差 46．“截长补短”是一个汉语成语，也是一种几何证明中常用的辅助线添加方法．在几何问题中，“截长”是指在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段，构造全等三角形等条件来解题．例如，已知线段较长，较短，要证明一些和这两条线段相关的结论时，可以在上截取．“补短”与之相反，是将较短的线段延长，使延长后的长度等于较长的线段，然后利用全等或其他几何关系来求解问题，比如延长，使． （1）【理解运用】在中，，平分交于点．求证：． 方法一：如图1，在上截取，使，连接． 方法二：如图2，延长至点，使，连接． 选择一种方法证明（写出证明过程）． 选择方法 ． （2）【拓展运用】如图3，在中，，垂足为，，求证：． 47．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：． 48．如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 三角形与全等三角形证明（含模型） 目 录 考点01 命题与定理 考点02 三角形的角平分线、中线和高 考点03 三角形三边关系 考点04 三角形内角和与外角性质 考点05 全等三角形的判定与性质 考点06 角平分线与线段垂直平分线的性质 考点07 倍长中线辅助线模型 考点08 截长补短辅助线模型 考点01　命题与定理 难度层级：基础　|　知识点：命题/真假/逆命题/反例 1．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了举反例判断命题，理解题意是解题的关键．根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，可以举反例． 【详解】A．当时，满足条件，不满足结论，故该选项可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； B．当时，不满足条件，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； C． 当时，不满足条件，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； D． 当时，满足满足条件，满足结论，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； 故选：A． 2．判断命题“对任意实数，都有”是假命题，只需要举出反例，反例中的可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据平方的性质解答即可． 【详解】解：A、当时，，不能说明”是假命题，故该选项不符合题意； B、当时，，不能说明”是假命题，故该选项不符合题意； C、当时，，不能说明”是假命题，故该选项不符合题意； D、当时，，不能说明”是假命题，故该选项符合题意； 故选：D． 3．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是________，结论是________． 【答案】① 两个数的绝对值相等 ② 这两个数互为相反数 【分析】本题考查命题的改写，将命题改写成如果，那么的性质，如果后面是条件，那么后面是结论，作答即可． 【详解】解：原命题可写为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数， ∴命题的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数， 故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数． 4．命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是________． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【分析】本题考查了命题的逆命题，找出原命题的条件和结论是解题的关键．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 5．命题：若，则． （1）写出此命题的条件与结论； （2）判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】（1）此命题的条件是，结论是 （2）假命题，比如：，但，所以若，则不一定成立． 【分析】本题主要考查命题、真假命题及举反例，熟练掌握命题、真假命题及举反例的相关概念是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可知该命题是假命题，然后可进行举反例说明． 【小问详解】解：由命题：若，则可知：该命题的条件是，结论是； 【小问详解】略 6．【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 【答案】[证明]两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行[延伸]是真命题，证明如下： 将题设“”与结论“”调换后，为真命题，证明过程如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故将题设“”与结论“”调换后，为真命题． 【分析】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解答此题的关键． [证明]直接根据平行线的判定及性质即可得到答案； [延伸]将题设与结论调换后，为真命题，直接根据平行线的判定及性质进行证明即可； 【详解】[感知]略 [延伸]略 考点02　三角形的角平分线、中线和高 难度层级：基础　|　知识点：三角形的三线/重心/垂心 7．在中，下列说法：①角平分线把分成相等的两部分；②中线将线段分成相等的两部分；③高把分成面积相等的两个三角形；④若边与边长度相等，则线段等于线段．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】本题主要考了三角形的高，中线，角平分线．根据三角形的高，中线，角平分线，逐项判断即可求解． 【详解】解：角平分线把分成相等的两部分，故①正确； 中线将线段分成相等的两部分，故②正确； 高把分成两个三角形的面积不一定相等，故③错误； ④若边与边长度相等，则线段等于线段，故④正确． 故选：B 8．下列说法正确的有（ ） ①三角形的三条高在三角形内部； ②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形； ④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高线、角平分线、中线，根据三角形高线、角平分线和中线的定义和特点进行判断即可． 【详解】解：锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故①错误； 三角形的角平分线是线段，而不是射线，故②错误； 由三角形的中线分得的两个三角形等底同高，故分得的两个三角形的面积相等，故③正确； 三角形的三条角平分线和三条中线都在三角形的内部，故④错误； 综上分析可知，正确的有1个． 故选：A． 9．如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 ________． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】③④##④③ 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义．由三角形的角平分线、中线、高的定义，即可判断． 【详解】解：①，是的角平分线，故①错误，不符合题意； ②是中点，是边上的中线，故②错误，不符合题意； ③，是边上的高，故③正确，符合题意； ③，，是的角子分线和高，故④正确，符合题意． ∴以上判断正确的有③④． 故答案为：③④． 10．如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H， （1）的高线是________； （2）是三角形________的角平分线． 【答案】① ② 【分析】根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，分别判断即可． 【详解】解：∵于点H， ∴的高线是； ∵， ∴是三角形的角平分线， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、高线，关键是掌握相应的定义． 11．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查的是与角平分线相关的三角形的内角和问题，三角形的高的含义，先求解，再结合角平分线可得，由三角形高的含义可得，再进一步可得答案． 【详解】解：在中， ， 又，， ． 平分， ． 是的高， ． ． ． 12．如图，中，是的中线，是的角平分线，是的高． （1）若的面积为8，，求的长； （2）若，求的度数 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理及三角形的外角性质是解此题的关键． （1）由三角形面积公式可得，可求得，最后可求得； （2）先求得，由是的角平分线可得，最后可得结果． 【小问详解】解： 由题意可得：， 即， ∴， 又为的中线， ∴； 【小问详解】解：∵是的高，， ∴， ， 又是的角平分线， ∴， ∴． 考点03　三角形三边关系 难度层级：基础　|　知识点：构成三角形的条件/第三边范围 13．等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图， 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：， ∴或1， ①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理； 所以，该等腰三角形的腰长为， 故选：C． 14．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 【答案】D 【分析】由等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，分别从若2cm为腰长，5cm为底边长与若2cm为底边长，5cm为腰长去分析求解即可求得答案． 【详解】若2cm为腰长，5cm为底边长， ∵2+2=4＜5，不能组成三角形， ∴不合题意，舍去； 若2cm为底边长，5cm为腰长， 则此三角形的周长为：2+5+5=12cm． 故选D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用． 15．等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为________． 【答案】 【分析】由已知条件腰长是5，底边长为，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案． 【详解】解：根据三边关系可知：， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系的运用．列出不等式，通过解不等式求解是正确解答本题的关键． 16．三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得：，即：． 故答案为：． 17．（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？ （2）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求△ABC各边长． 【答案】（1）14<c<22；（2）AB=6，AC=6，BC=2． 【分析】（1）根据三角形三边关系，先求出三角形第三边长的范围，即可求出周长范围． （2）根据三角形中线的定义可得，从而可得再根据的周长是14，，以及，可得进行计算即可解答． 【详解】解：（1）设第三边长为x，根据三角形的三边关系得 ∴三角形的周长C的取值范围为： （2）如图所示： ∵BD是AC边上的中线， ∵△ABD比△BCD周长长4cm， 的周长是14， 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 18．已知，的三边长为4，7，x． （1）求x的取值范围； （2）当为等腰三角形时，求x的值． 【答案】（1） （2）4或7 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系的应用： （1）根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可； （2）分腰长为4，腰长为7两种情况求解即可． 【小问详解】解：∵的三边长为4，7，x， ∴， ∴； 【小问详解】解：当腰长为4时，则，此时符合； 当腰长为7时，则，此时符合； 综上所述，x的值为4或7． 考点04　三角形内角和与外角性质 难度层级：基础—提升　|　知识点：内角和/外角性质 19．如图，在中，和的外角平分线相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得到，则，由平角的定义可得，则，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵和的外角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 20．如图，已知分别是的内角和外角平分线，则图中与互余的角有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形的外角，根据角平分线平分角结合平角的定义，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵分别是的内角和外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余的角有，共2个； 故选C． 21．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则________． 【答案】##45度 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义．根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得到，计算即可． 【详解】解：是的平分线， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， 是的外角， ， 故答案为：． 22．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点，的角平分线与的平分线交于，若，则的度数为________ 【答案】##15度 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据角平分线的定义可得，然后整理得到，同理可得． 【详解】由三角形的外角性质得，， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 23．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为D，延长与外角的平分线交于点F．若，则________． 【答案】##45度 【分析】利用三角形的内角和定理，角平分线的定义，高的性质求解即可. 【详解】解： 平分 平分, 【点睛】利用三角形的内角和定理，角平分线的定义，高的性质求解即可，解题的关键是熟练掌握基本知识。 24．【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）证明：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ； （3） 【分析】（1）先求得，， ，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （3）先求解，结合角平分线可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1），是高，， ，， 是角平分线， ， ，， 故答案为：，； （2）略 （3）∵， ， 为的角平分线， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 25．如图，在中，，的角平分线与外角的角平分线交于点D． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理和平角的概念得到，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的概念得到，最后根据平行线的判定定理求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到，然后根据角平分线的概念得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【小问详解】∵， ∴ ∵， ∴ ∴； 【小问详解】∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的概念，平行线的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 考点05　全等三角形的判定与性质 难度层级：提升　|　知识点：全等判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）与性质 26．下列各组条件中，能判定的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判定即可． 【详解】解：、两边及一边的对角相等，不能判定，该选项不符合题意； 、两角及其中一角的对边对应相等，符合判定方法，能判定，该选项符合题意； 、是的夹角，是的夹角，不能判定，该选项不符合题意； 、是和的夹边，是和的夹边，不能判定，该选项不符合题意． 27．如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】全等三角形的判定定理有，据此逐个判断即可． 【详解】解：A．符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； D．由可得，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意． 28．如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 都不是 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 29．如图，，则的度数为________． 【答案】##度 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后结合图形利用角的和差关系得出． 【详解】解： ， ． 30．如图，在中，于点，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：________． 【答案】 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴当时，根据“”可判定. 31．全等三角形对应边上的高相等吗？如果相等，请写出已知、求证和证明过程． 【答案】全等三角形对应边上的高相等，理由如下： 已知：如图，在和中，，，且，求证： 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；根据题意画出图形，然后再写出已知、求证，进而根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】略 32．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，，是上一点，且，． 求证：． 证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴（判定依据，用字母表示： ）； ∴ ， ∴， ∴，（直角三角形的两个锐角 ） ∴ °， ∴， ∴． 【答案】① ② ③ ④ 互余 ⑤ 【分析】根据等角对等边可得，再结合已知论证两直角三角形全等，从而得到，最后通过等量代换得到结论． 【详解】证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂直的定义、等腰三角形的性质，关键是斜边直角边定理的应用． 33．求证：全等三角形对应边上的中线相等． （要求：根据给出的和，在上用尺规作出边上的中线，不写作法，保留作图痕迹，并据此补充求证和证明过程．） 已知：如图，，、分别是对应边、的中线 求证：_____ 证明： 【答案】如图，即为所求． 求证：， 证明：∵， ∴，，， ∵、分别是对应边、的中线， ∴，即， ∴． ∴． 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先作线段的垂直平分线交于，连接，根据全等三角形的性质，利用即可证明，进而得到结论． 【详解】略 考点06　角平分线与线段垂直平分线的性质 难度层级：基础—提升　|　知识点：角平分线性质/垂直平分线性质 34．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】B 【分析】如图，过点作于E点，于F点，则，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分． 【详解】解：如图，过点作于E点，于F点， ∵两把长方形直尺完全相同， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 35．如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且．下列确定点的方法正确的是（ ） A. 为两角平分线的交点 B. 为的平分线与的垂直平分线的交点 C. 为两边上的高的交点 D. 为两边的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的判定：到角两边的距离相等的点在角平分线上；到线段端点距离相等的点在垂直平分线上，据此即可作答． 【详解】解：点到的两边的距离相等， 在的平分线上． ， 在的垂直平分线上． 即为的平分线与的垂直平分线的交点． 故选：B． 36．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（ ） A. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】A 【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 37．请写出“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理：________ 【答案】到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了逆定理的概念，熟练掌握逆定理的概念是解决本题的关键． 逆定理是通过将原定理的条件和结论互换得到的，即“如果点到线段两端的距离相等，那么点在线段的垂直平分线上”． 【详解】解：原定理表述为“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”， 其逆命题表述为“到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 38．如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则________ 度． 【答案】30 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质， 先根据“等边对等角”求出，再根据线段垂直平分线的性质得，然后结合“等边对等角”求出，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 39．如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是________． 【答案】##115度 【分析】此题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识．由角平分线的定义得到，垂直平分线段于点D，则，，由直角三角形两锐角互余得到，由邻补角即可得到的度数． 【详解】解：∵的平分线交于点E，， ∴， ∵垂直平分线段于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 40．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【小问详解】证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； 【小问详解】证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 考点07　倍长中线辅助线模型 难度层级：提升—拓展　|　知识点：倍长中线模型 41．如图，于点，于点，点是中点，若，则的长是（ ） A. 10 B. 12 C. D. 9 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于，利用得出，从而得到，再用全等三角形的判定定理证出，利用全等三角形的性质得到和的长，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长交于， ， ， ， ， 点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在中，， ． 故选：B． 42．如图，在中，，D是的中点，则的长是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 前三个答案都不对 【答案】B 【分析】延长到点E，使得，连接，过E作于点F，由D为的中点，得，则，，再由运用勾股定理计算即可. 【详解】延长到点E，使得，连接，过E作于点F， ∵D为的中点， ∴， 又∵， ∴， 则，， ∴， 则， ∴， 则， 在中 ， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，解题的关键是构造全等三角形. 43．如图中，点为的中点，，，，则的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理逆定理等知识；延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积． 【详解】解：如图，延长至，使，连接CE， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为： 44．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围： （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． 【小问详解】解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问详解】解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； 【小问详解】解：； 延长使得，连接，如图， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 45．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． （1）如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ；（直接填结果，不用写出求解过程） （2）由第（1）问的方法得到启发，如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，试说明：； （3）如图3，．点D为的中点，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长至点F，使得，连接，则． ∵E是中点， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴． ∴， ∴； （3）解：． 理由：如图3，延长交于点P，延长到M，使得，连接． 由（1）可知， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，则，根据全等三角形的判定和性质得出，，继续利用全等三角形的判定和性质即可证明； （3）延长交于点P，延长到M，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可． 【小问详解】解：如图：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 故答案为：； 【小问详解】略 【小问详解】略 考点08　截长补短辅助线模型 难度层级：提升—拓展　|　知识点：截长补短/线段和差 46．“截长补短”是一个汉语成语，也是一种几何证明中常用的辅助线添加方法．在几何问题中，“截长”是指在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段，构造全等三角形等条件来解题．例如，已知线段较长，较短，要证明一些和这两条线段相关的结论时，可以在上截取．“补短”与之相反，是将较短的线段延长，使延长后的长度等于较长的线段，然后利用全等或其他几何关系来求解问题，比如延长，使． （1）【理解运用】在中，，平分交于点．求证：． 方法一：如图1，在上截取，使，连接． 方法二：如图2，延长至点，使，连接． 选择一种方法证明（写出证明过程）． 选择方法 ． （2）【拓展运用】如图3，在中，，垂足为，，求证：． 【答案】（1）方法一：证明：如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，且， ∴； 方法二：证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴． 将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∵，且，， ∴． 【分析】（1）截长法在上截取，结合角平分线条件由证，再利用倍角与外角性质推，代换得证；补短法延长使，同理证全等与等腰，通过线段和代换完成证明； （2）在上截取，由，通过可证，得到、；再结合与三角形外角性质，推导，将拆分为，经等量代换后完成证明． 【小问详解】略 【小问详解】略 47．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：． 【答案】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 48．如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【小问详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； 【小问详解】证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $