【期中专项】专项04 勾股定理及综合应用（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专项04 勾股定理及综合应用 目 录 考点01 勾股定理及其证明与应用 考点02 勾股树与半圆问题 考点03 勾股定理与全等三角形综合 考点04 等腰三角形与勾股定理的新定义 考点01　勾股定理及其证明与应用 难度层级：基础—提升　|　知识点：勾股定理计算/证明/实际应用 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，小正方形的面积为36，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式变形．根据题意设大正方形边长为，由题意表示出，继而利用勾股定理可得本题答案． 【详解】解：设大正方形边长为， ∵小正方形的面积为36， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ） A. 49 B. 36 C. 25 D. 9 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a， ∵大正方形的面积是169， ∴， ∵直角三角形的长直角边是12， ∴， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积． 故选：A． 3．赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（ ） A. 转化思想 B. 数形结合思想 C. 方程思想 D. 函数思想 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：题中根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 4．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 5．荡秋千是中国古代发明的体育娱乐运动．小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么立柱的高度为________． 【答案】5.8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理，求出绳索的长是解题关键．设绳索的长度为，则，，进而得出，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到立柱的高度． 【详解】解：设绳索的长度为， 则，， ， ， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 即立柱的高度为， 故答案为：5.8． 6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【小问详解】解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； 【小问详解】如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 7．操作与探究 （1）图1是由有5个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形，并在大正方形内部标注出五部分的序号； （2）如图，如果设（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理． 【答案】（1）如图即为拼接成的大正方形； （2）证明：大正方形的面积， 又因为大正方形的面积， 所以； 【分析】此题考查了利用网格拼图与勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积的关系证明勾股定理是解答此题的关键． （1）根据网格用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，即可完成拼图； （2）利用大正方形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理得到勾股定理． 【小问详解】略 【小问详解】略 考点02　勾股树与半圆问题 难度层级：提升　|　知识点：勾股树/以三边为边的图形面积 8．如图，在中，，分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为和．在中，，分别以，为边向外作两个正方形，面积分别记为和．若，，则的值为（ ） A. 16 B. 9 C. 4 D. 3 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出、及之间的关系是解答此题的关键．先根据勾股定理得出，可得，从而得出，再由，可得，求得，由勾股定理得出，再求解即可． 【详解】解：中，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 故选：B． 9．与都是直角三角形，其中与是直角，如下图所示．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为S、、、，（ ） A. 1 B. C. 10 D. 【答案】A 【分析】根据题意可得，求出S、、、，结合勾股定理，可得到与S，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点O为的中点，即， 由勾股定理得： ， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ∴． 10．如图所示，以的三边为直径的半圆面积分别为、、，面积是S，则它们之间的关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分别用和表示出，然后根据即可得出的关系； 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，，， ∴，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 11．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 12．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为________．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：． 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理的几何意义以及三角形面积，利用勾股定理和面积的关系得到，结合已知条件解得，继而求得阴影部分的面积． 【详解】解：， ， 即， ， ， 即， 解得：， 则阴影部分的面积：． 14．阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：由图可知：大正方形的面积， ∴， ∴， （2）； （3），理由如下： 由图可知：， ， ∵ ， ∴． 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理与图形的面积，等边三角形的性质： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得证； （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，分别求出，利用勾股定理进行判断即可； （3）用两种方法表示出整个图形的面积，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，则：； 对于③：， ∴； 对于④：， ∴ 对于⑤：如图，过点作，则：， ∴， ∴， 同理：， ∴； 故面积关系满足的有3个； （3）略 15．阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 【答案】（1）3 （2）解：，理由如下： 如图④， ， ． ∵由勾股定理得， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）如图①，，可得；如图②，，故得．如图③，如图，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得 ； （2）如图④，，可证得． 【小问详解】解：如图①，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图②，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图③，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I， 中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得， ∴； 故图①②③中面积关系满足的有3个． 【小问详解】略 考点03　勾股定理与全等三角形综合 难度层级：提升—拓展　|　知识点：勾股定理与全等综合/平方关系 16．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 17．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 18．如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了勾股定理三角形，全等的判定和性质，三角形三边关系，①过点作于点，根据平行线间的距离相等可得，得出，根据中，为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，判断③，④． 【详解】解：①过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 19．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． （1）例如，如图1，与都是等腰三角形，，，且，则________（________）； （2）类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； （3）拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】（1）， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3），理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问详解】解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， 【小问详解】略 【小问详解】略 20．在学习等腰直角三角形的过程中，小邓同学遇到了一个问题：在等腰直角中，，，点D为线段上任意一点，试说明，，之间的数量关系．小邓的思路是：首先过点C作的垂线，再构造与全等的三角形，从而转化，，使问题得到解决．请根据小邓的思路完成下面的作图与填空： 尺规作图：过点C作的垂线，在上方的直线上截取，连接，（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论） 证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵ ∴ ① ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ③ ∵ ∴ ∴ 在中，， 在中，， ④ 又∵ ∴ ∴ 【答案】 【分析】根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质得到，，进一步证明，得到，，从而证明，利用勾股定理分别表示出，，从证明结论． 【详解】解：证明：∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 在中，，， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用辅助线构造全等三角形，利用勾股定理得出线段平方关系． 21．定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； （2）如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； （3）如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 【答案】（1） （2）线段的长为或 （3）证明：如图，过点作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点是线段的勾股分割点． 【分析】（1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【小问详解】解：∵点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，， ∴， 故答案为：； 【小问详解】解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， 则， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或； 【小问详解】略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 22．如图，，垂足为． 图1 图2 （1）求证：；（图1） （2）求的度数；（图1） （3）如图2，延长到点，使，连接．求证：；并猜想的关系． 【答案】（1）证明：， ，， ， 在和中， ， ； （2） （3）； 证明：， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 又， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据题意和题目中的条件可以找出的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，结合勾股定理即可得出的关系． 【小问详解】略 【小问详解】解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ； 【小问详解】略 23．如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接 （1）求证：； （2）请你判断线段之间的关系？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ， ， ∵， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，旨在考查学生的逻辑推理能力． （1）根据等腰直角三角形的性质，推出，即可证明全等； （2）由（1）可得，进一步可推出，利用勾股定理即可求解． 【小问详解】略 【小问详解】略 考点04　等腰三角形与勾股定理的新定义 难度层级：拓展　|　知识点：新定义/勾股逆定理拓展 24．的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负性、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0是解题的关键．由等式可分别得到关于a、b、c的等式，然后得到a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵，且， ∴为等腰直角三角形． 故选：A． 25．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由非负数的性质可得各部分的值为零，求出边长后判断三角形的形状． 本题考查了实数的非负性，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：由， 得，，， 故，， 故， ∴三角形为等腰三角形， 又，， 故， ∴三角形为直角三角形， 故等腰直角三角形． 故选：D． 26．如图所示的是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上，线段交于点O，则的度数为________． 【答案】##45度 【分析】取格点E，连接，，则，进而得出，利用勾股定理及其逆定理可证是等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，连接，，则， ， 由勾股定理得：，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，利用格点构造平行线是解题的关键． 27．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则符合条件的点有________个． 【答案】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角的底边；②为等腰直角其中的一条腰；分别找出符合题意的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论：①为等腰直角的底边时，符合条件的点有， ，共个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有 ， ， ，，共个， 综上可得：符合条件的点有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三角形的判定和性质、分情况探寻是解本题的关键． 28．阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习（勾股定理）一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数． 关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是（九章算术）． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； （2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数． 【答案】（1） （2）证明：∵， 又∵，且， ∴， ∴， ∴是中的最大数， ， 是一组勾股数． 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论． 【小问详解】解：把代入，，中， 得，，， 这组勾股数为； 【小问详解】略 29．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点． 先利用勾股定理求出的三条边长，可得__________，_________，_________．从而可得三边数量关系为_____________，根据_____________，可以证明是直角． 图1 （1）小明发现图2中是直角，请在图1补全他的思路； （2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明是直角． 【答案】（1），勾股定理的逆定理 （2）见解析 【分析】（1）由勾股定理可求出CB、AC的长度，可得出，根据勾股定理的逆定理，即可得出∠ABC是直角； （2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，可证明△ADB≌△BEC，得出∠ABD=∠BCE，即可推出∠ABC是直角． 【小问详解】∵， ， ， ∴，根据勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：，勾股定理的逆定理； 【小问详解】过A点作于D，过C作于E， 由图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵D，B，E三点共线， ∴， ∴， ∴是直角， 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项04勾股定理及综合应用 目录 考点01勾股定理及其证明与应用 考点02勾股树与半圆问题 考点03勾股定理与全等三角形综合 考点04等腰三角形与勾股定理的新定义 考点01勾股定理及其证明与应用 难度层级：基础一提升|知识点：勾股定理计算/证明/实际应用 1.A 2.A 3.B 4.25 5.5.8 6.(1)16.5米(2)7米 7.(1)如图即为拼接成的大正方形： a ⑤ ② ① ③ (2)证明：大正方形的面积=4×二ab+b-a=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2, 又因为大正方形的面积=c, 所以a2+b2=c2: 考点02勾股树与半圆问题 难度层级：提升【知识点：勾股树/以三边为边的图形面积 8.B 9.A 10.C 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.25π 12.a-b 13.3 14.(1)证明：由图可知：大正方形的面积=a+b2=4×二ab+c3, ∴.a2+2ab+b2=2ab+c2, ∴.a2+b2=c2, (2)3; (3)S1+S2=S3,理由如下： +2 s+s,吉xla+b-c+s a2+b2=c2, ∴.S1+S2=S3 15.(1)3(2)解：S1+S2=S3,理由如下： 如图④， S2 S 6 S3 图④ *号9助 。πa2+ πb21 2 2 8 8 ab+哈a+b.c 8 .由勾股定理得a2+b2=c2, .a2+b2-c2=0, ab. ∴.S1+S2=S3 考点03勾股定理与全等三角形综合 难度层级：提升一拓展「知识点：勾股定理与全等综合/平方关系 216 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.A 17.D 18.①②③④ 19.(1)ACE,SAS(2)证明：，∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, AB=AC 在△BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△BAD≌△CAE(SAS), ∴BD=CE; (3)BD+CD2=2AD2,理由如下： 连接CE,如图所示： :∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,∠B=∠ACB=45°，DE=2AD, ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ∴.∠B=∠ACE=45°，BD=CE, ∴.∠DCE=90°， 在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD+CE2=DE2, ∴.BD2+CD2=2AD2. 20.2AD2=BD2+CD2 21.1)13(2)线段BN的长为29。 度cm3)证明：如图，过点A作AD⊥AB,且AD三 连接DE, C 图3 则∠DAB=90°， .'∠BCA=90°，AC=BC, ∴.∠BAC=∠B=45°， 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DAC=90°-∠BAC=45°， ,AD=BF,∠DAC=∠B=45°，AC=BC, ∴.△ADC≌△BFC(SAS), ∴.CD=CF,∠ACD=∠BCF, ∴.∠ACD+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BCA=90°， 即∠DCF=90°， .∠ECF=45°， ∴.∠ECD=∠DCF-∠ECF=90°-45°=45°， ∴.∠ECD=∠FCE, CD=CF,CE=CE, .△EDC≌△EFC(SAS), ∴.ED=EF, 在Rt△EDA中，由勾股定理得：AD+AE2=DE2, ..BE2+AE2=EE2, ∴点E,F是线段AB的勾股分割点。 22.(1)证明：.·∠BAD=∠CAE=90°， .∴.∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， .∴.∠BAC=∠DAE, 在△BAC和△DAE中， AB-AD ∠BAC=∠DAE 、AC=AE ∴.△ABC≌△ADE(SAS): (2)∠FAE=135°(3)BD2=CD2+DE2: 证明：.AF⊥BG, ∴.∠AFG=∠AFB=90, 在△AFB和△AFG中， BF=GF ∠AFB=∠AFG, AF=AF ∴.△AFB≌△AFG(SAS), ∴.AB=AG,∠ABF=∠G, .△BAC≌△DAE, ∴.AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED, ∴.AG=AD,∠ABF=∠CDA, .∠G=∠CDA, 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△CGA和△CDA中， ∠GCA=∠DCA ∠CGA=∠CDA, AG=AD .∴.△CGA≌△CDA AAS, ∴.CG=CD, 在Rt△BCD中，BD=CD+BC2, 又.△ABC≌△ADE, ∴.BC=DE, .'BD2=CD2+D E2. 23.(1)证明：，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， .∴.AC=BC,CD=EC,∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACB-∠ACD=∠DCE=∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE, 在△CEA与△CDB中， AC=BC ∠ACE=∠BCD, EC=CD ∴.△CEA≌△CDB SAS: (2)解：BD+AD=DE2,理由如下： :△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠B=∠BAC=45 由(1)得△CEA≌△CDB ∴.∠EAC=∠B=45°，AE=BD, ,∴.∠EAD=∠EAC+∠BAC=45°+45°=90°， ∴.AE2+AD2=DE2, AE=BD, ∴.BD+AD2=DE2 考点04等腰三角形与勾股定理的新定义 难度层级：拓展「知识点：新定义/勾股逆定理拓展 24.A 25.D 26.45°#45度 27.6 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.(1)12,35,37(2)证明：，m2+1>m2-1, 又，m2+1-2m=m-1,且m>1, ∴.m-12>0, .m2+1>2m, ∴m+1是m2-1,2m,m2+1中的最大数， m2-1+2m2=m4-2m2+1+4m2=m4+2m2+1=m2+1, .m2-1,2m,m2+1是一组勾股数. 29.(1)V10,V10,2√5，AB+BC2=AC2,勾股定理的逆定理(2)见解析 616 专项04 勾股定理及综合应用 目 录 考点01 勾股定理及其证明与应用 考点02 勾股树与半圆问题 考点03 勾股定理与全等三角形综合 考点04 等腰三角形与勾股定理的新定义 考点01　勾股定理及其证明与应用 难度层级：基础—提升　|　知识点：勾股定理计算/证明/实际应用 1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，小正方形的面积为36，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. 8 D. 6 2．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ） A. 49 B. 36 C. 25 D. 9 3．赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（ ） A. 转化思想 B. 数形结合思想 C. 方程思想 D. 函数思想 4．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 5．荡秋千是中国古代发明的体育娱乐运动．小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为，此时秋千踏板离地面的垂直高度，那么立柱的高度为________． 6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 7．操作与探究 （1）图1是由有5个边长为1的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成五部分后可拼接成一个面积为5的大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形，并在大正方形内部标注出五部分的序号； （2）如图，如果设（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，斜边为c．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理． 考点02　勾股树与半圆问题 难度层级：提升　|　知识点：勾股树/以三边为边的图形面积 8．如图，在中，，分别以，为直径向外作两个半圆，面积分别记为和．在中，，分别以，为边向外作两个正方形，面积分别记为和．若，，则的值为（ ） A. 16 B. 9 C. 4 D. 3 9．与都是直角三角形，其中与是直角，如下图所示．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为S、、、，（ ） A. 1 B. C. 10 D. 10．如图所示，以的三边为直径的半圆面积分别为、、，面积是S，则它们之间的关系正确的为（ ） A. B. C. D. 11．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 12．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为________．（用含a，b的代数式表示） 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为________． 14．阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 15．阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 考点03　勾股定理与全等三角形综合 难度层级：提升—拓展　|　知识点：勾股定理与全等综合/平方关系 16．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 17．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 18．如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是________． 19．我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． （1）例如，如图1，与都是等腰三角形，，，且，则________（________）； （2）类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； （3）拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 20．在学习等腰直角三角形的过程中，小邓同学遇到了一个问题：在等腰直角中，，，点D为线段上任意一点，试说明，，之间的数量关系．小邓的思路是：首先过点C作的垂线，再构造与全等的三角形，从而转化，，使问题得到解决．请根据小邓的思路完成下面的作图与填空： 尺规作图：过点C作的垂线，在上方的直线上截取，连接，（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论） 证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵ ∴ ① ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ③ ∵ ∴ ∴ 在中，， 在中，， ④ 又∵ ∴ ∴ 21．定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； （2）如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； （3）如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 22．如图，，垂足为． 图1 图2 （1）求证：；（图1） （2）求的度数；（图1） （3）如图2，延长到点，使，连接．求证：；并猜想的关系． 23．如图，在等腰中，，点D是上一点，作等腰，且，连接 （1）求证：； （2）请你判断线段之间的关系？并说明理由． 考点04　等腰三角形与勾股定理的新定义 难度层级：拓展　|　知识点：新定义/勾股逆定理拓展 24．的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 25．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 26．如图所示的是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上，线段交于点O，则的度数为________． 27．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则符合条件的点有________个． 28．阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习（勾股定理）一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数． 关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3，4，5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是（九章算术）． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数； （2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数． 29．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点． 先利用勾股定理求出的三条边长，可得__________，_________，_________．从而可得三边数量关系为_____________，根据_____________，可以证明是直角． 图1 （1）小明发现图2中是直角，请在图1补全他的思路； （2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明是直角． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $