【期中专项】专项06 最值与动态几何（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专项06 最值与动态几何 目 录 考点01 将军饮马变式最值 考点02 动点几何与特殊三角形分类讨论 考点03 直角三角形存在性与斜边中线动态探究 考点04 勾股定理中的动点求 t 考点01　将军饮马变式最值 难度层级：提升—拓展　|　知识点：将军饮马/轴对称最值 1．D 2．B 3．6 4．18 5．分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 6．（1） （2） 7．（1）作图如下： （2）①12②， 8．（1）①，②三角形任意两边之和大于第三边 （2）解：如图所示，点C，D即为所确定的点． 此时步道总长度最短，为的长． （3）解：为等腰直角三角形，理由如下：如图，连接， 由对称可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形. 考点02　动点几何与特殊三角形分类讨论 难度层级：拓展　|　知识点：动点与等腰/直角三角形分类 9．C 10．C 11．① ② 12．45°或67.5°或75°或90° 13．（1）3cm （2）t=1或 （3）t=或2或 14．的值为8或5或 考点03　直角三角形存在性与斜边中线动态探究 难度层级：拓展　|　知识点：直角三角形存在性/斜边中线 15．C 16．A 17．2或 18．## 19．## 20．（1）证明：∵，E是中点 ∴， ∴是的等腰分割线 （2）或 考点04　勾股定理中的动点求 t 难度层级：提升—拓展　|　知识点：勾股定理中的动点求时间 21．D 22．B 23．或4 24． 25． 26．（1） （2） （3） （4）t的值为或或 27．（1） （2）秒 （3）秒或秒或秒 28．（1），；②， （2） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 最值与动态几何 目 录 考点01 将军饮马变式最值 考点02 动点几何与特殊三角形分类讨论 考点03 直角三角形存在性与斜边中线动态探究 考点04 勾股定理中的动点求 t 考点01　将军饮马变式最值 难度层级：提升—拓展　|　知识点：将军饮马/轴对称最值 1．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别是点、点， ，，，． ，． 是等边三角形，故①正确． 由轴对称可知，，， ，故②正确． 由轴对称可知，，， ，． ， ． ． 平分，故③正确． ，， ． ， ． ，故④正确． 2．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 3．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为 ________． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质． 由轴对称的性质可得垂直平分，进而得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上， 垂直平分， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上， 垂直平分， ， ． 故答案为：6 4．如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于________厘米． 【答案】18 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质得到相等的边与角是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，从而求出是等边三角形，，从而得解． 【详解】解：∵、分别是关于、的对称点， ， ， ， ， 是等边三角形， 厘米， 故的周长厘米， 故答案为：18． 5．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【答案】分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题： （1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论； （2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 【详解】略 6．已知点P在内．如图1，点P关于射线的对称点是G，点P关于射线的对称点是H，连接． （1）若，求的度数； （2）如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么，，那么； （2）作点P关于的对称点和，连接、、、．那么的周长最小值即为的长，易得为等边三角形，那么，所以． 【小问详解】解：∵点P关于射线的对称点是G， ∴． ∵点P关于射线的对称点是H， ∴． ∵， ∴； 【小问详解】解：作点P关于的对称点和，连接、、、． ∴，，，，，． ∵的周长最小值为6，， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 7．“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】（1）作图如下： （2）①12②， 【分析】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点A关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【小问详解】略 【小问详解】①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； 故答案为：12； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ∵是上的中线，即， ， 点在射线上运动（）， 作点A关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时点E和点重合，， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 8．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，下面我们运用数学模型解决最短路径问题． 最短路径问题 提出问题 如图1，牧民从A地出发．到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 理解模型 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接A．与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 应用模型 如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处、才能使所建的步道总长度最短？ 迁移延伸 如图5，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E，F． （1）任务一：证明：如图3，在直线l上另取任一点．连接，，． 根据轴对称性质，得， ①， ∴， ∵(② ） ∴，即路径最短． （2）任务二：请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线．（要求：保留画图痕迹，写出结论） （3）任务三：连接，．若，判定的形状，并说明理由． 【答案】（1）①，②三角形任意两边之和大于第三边 （2）解：如图所示，点C，D即为所确定的点． 此时步道总长度最短，为的长． （3）解：为等腰直角三角形，理由如下：如图，连接， 由对称可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形. 【分析】（1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别作点A关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）根据对称性得到，，即可得出结论. 【小问详解】略 【小问详解】略 【小问详解】略 考点02　动点几何与特殊三角形分类讨论 难度层级：拓展　|　知识点：动点与等腰/直角三角形分类 9．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 10．如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 11．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有________个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有________个． 【答案】① ② 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下： 当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为：． 12．如图，已知点P是射线上一动点（点P不与点B重合），，，则当________时，以A，O，B三点中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】45°或67.5°或75°或90° 【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：分为以下5种情况： ①OA=OP， ∵∠AOB=45°，OA=OP， ∴∠OAP=∠OPA=×（180°-45°）=67.5°； ②OA=AP， ∵∠AOB=45°，OA=AP， ∴∠APO=∠AOB=45°， ∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-45°=90°； ③AB=AP， ∵∠ABM=60°，AB=AP， ∴∠APO=∠ABM=60°， ∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°； ④AB=BP， ∵∠ABM=60°，AB=BP， ∴∠BAP=∠APO=×（180°-60°）=60°， ∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°； ⑤AP=BP， ∵∠ABM=60°，AP=BP， ∴∠ABM=∠PAB=60°， ∴∠APO=180°-60°-60°=60°， ∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°； ⑥当AP=OP时， ∴∠AOP=∠OAP=45°； 所以当∠OAP=45°或67.5°或75°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形， 故答案为：45°或67.5°或75°或90°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解此题的关键． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】（1）3cm （2）t=1或 （3）t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【小问详解】解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； 【小问详解】解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； 【小问详解】解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 14．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】的值为8或5或 【分析】当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：． ①当时， ， ， ， ， ； ②当时， ； ③当时， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ，即， ． 综上所述，的值为8或5或． 考点03　直角三角形存在性与斜边中线动态探究 难度层级：拓展　|　知识点：直角三角形存在性/斜边中线 15．如图，将一直角三角形纸片沿斜边中线l剪开，得到和，下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．由是直角三角形斜边上的中线可得，进而得到，根据三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】解：是直角三角形斜边上的中线， ， ， ， ， 是的外角， ， 故A、B、D正确，不符合题意， 故选：C． 16．如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（ ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． 利用等腰三角形的三线合一以及直角三角形斜边中线定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴， ∴平分的面积， 故①正确； ②∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确； ③∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴，， ∴， ∵分别为两腰的中点， ∴， ∴， 故③正确； 综上，正确的有①②③， 故选：A． 17．如果直角三角形的三边长为4，3，x，则斜边中线的长是________． 【答案】2或 【分析】分两种情况讨论：①为斜边；②为斜边，利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可得到答案． 【详解】解：①当为斜边时，， 斜边中线的长为2； ②当为斜边时，， 斜边中线的长为， 综上可知，斜边中线的长是2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握直角三角形的相关性质是解题关键． 18．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为________． 【答案】## 【分析】取中点，连接，根据直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，由即可得出结果． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 19．如图，中，，，，点为斜边上一点，且，以为边、点为直角顶点作，点为的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】## 【分析】作线段的垂直平分线，交于点，交于点，证明，且，连接，证明点在直线上，从而化的最短距离为垂线段最短计算即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 连接， ∵是的中点，， ∴， ∴点在直线上， ∴时，最短，根据垂线段最短,得到的 ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形的判定，垂线段最短原理，准确确定点的位置，选择垂线段最短原理是解题的关键． 20．［背景］除了高线、角平分线、中线这三条三角形中的主要特殊线段，三角形中还有很多线段值得我们研究．“等腰分割线”的定义如下：把一个三角形分成两个等腰三角形的线段称为这个三角形的等腰分割线． ［问题］如图，在中，，D是上一点（C，D不重合），且，点E是的中点，连结． （1）求证：是的等腰分割线． （2）若是的等腰分割线，写出和存在的数量关系． 【答案】（1）证明：∵，E是中点 ∴， ∴是的等腰分割线 （2）或 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，理解新定义是解本题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再根据是的等腰分割线，分或，再结合三角形的内角和定理即可得到结论． 【小问详解】略 【小问详解】∵， ∴， ∴ ∵是的等腰分割线， ∴是等腰三角形 ∴或， 当时， 当时 ， ∴， ∵， ∴． 考点04　勾股定理中的动点求 t 难度层级：提升—拓展　|　知识点：勾股定理中的动点求时间 21．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 10 B. C. 12 D. 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，勾股定理，根据垂线段最短，确定是的最小值解决问题的关键． 作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 22．如图，是等边三角形，点是线段上的动点，过点作于，延长交的延长线于点，有以下结论：①；②；③；④过点作于，动点在运动过程中，的值始终不变．其中正确的结论个数有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、角直角三角形的性质、三角形内角和定理的应用及三角形外角的性质，勾股定理，熟知以上知识点是正确解答此题的关键． 由是等边三角形，可得，进而得，可判断①正确；由三角形外角的性质及等腰三角形的判定可判断②正确；假设，则可得出点D是中点，与点是线段上的动点矛盾，可判断③不正确；用勾股定理得出，，即可得出，可判断④正确；从而可得答案． 【详解】解：①是等边三角形， ， ， ， ， ， 故①正确； ②， ， ， 故②正确； ③若，则， ， 此时，点D是中点， 点是线段上的动点， 故③不正确； ④过点作于，如图， ， ， ， 中，， 即， ，同理可得，， 即动点在运动过程中，的值始终不变． 故④正确； 综上所述，正确的说法有3个， 故答案为：B． 23．如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接．设点D运动时间为t秒．当是以为腰的等腰三角形时，则________秒． 【答案】或4 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．先根据勾股定理求出，再分、两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 当时，， 则， ，即， 解得：， 由勾股定理得：， ； 当时， ，， ， 由勾股定理得：， ，，， ， ， ； 综上所述，是等腰三角形时，的值为或4， 故答案为：或4． 24．如图，在三角形中，，，点在边上，，，是上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质，确定动点何位置时，使的值最小是解题的关键． 作点C关于的对称点，连接交于P，连接．此时的值最小．由，，得到，连接，证明，根据勾股定理即可求得即可求解． 【详解】解：作点C关于的对称点，连接交于P，连接．如图， 此时的值最小． ，， ， ∵，， ∴ 连接， ∵点C关于的对称点， ∴，， ∴ 根据勾股定理可得． 即的最小值为． 故答案为：． 25．如图，已知在中，，，，，点为射线上的动点，则的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键在于找出的最大值情况． 将线段沿射线翻折，得到线段，连接，，由轴对称性质可知，，进而得到，结合，三角形三边关系，推出当三点共线时，的最大值为，最后结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将线段沿射线翻折，得到线段，连接，， ，，，， 由轴对称性质可知，， ， ， ， 当三点共线时，的最大值为， ， 的最大值为； 故答案为：． 26．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动，设点P运动时间为t秒（）． （1）求的长； （2）用含t的代数式表示______； （3）当是直角三角形时，求t的值； （4）直接写出是等腰三角形时t的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）t的值为或或 【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的性质与判定，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求的长； （2）利用题中条件可得，从而； （3）当是直角三角形时，由，均为锐角得出，由面积法可求得，再利用勾股定理求解； （4）分三种情况：；；；利用勾股定理和等腰三角形的性质与判定求解． 【小问详解】，，， ， 的长为10． 【小问详解】由题知，，． 故答案为： 【小问详解】由题易知，，均为锐角， 当是直角三角形时，，有， 由得， 由勾股定理得， 由解得， 当是直角三角形时，t的值为． 【小问详解】当时，过点C作于点D，如图1， 则，， 由勾股定理得，， ， 即， 解得； 当时，，解得； 当时，如图2， ， ， 又，， ， ， ， ， 即，解得； 综上可知，是等腰三角形时，t的值为或或． 27．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求的值； （2）从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ （3）当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 【答案】（1） （2）秒 （3）秒或秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用. （1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得； ②当时 (如图)，则 易求得； ③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出. 【小问详解】出发2秒后，，． 所以． 因为，根据勾股定理，． 【小问详解】设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． 此时，． 当时，，解得秒． 【小问详解】①当时 (图)， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ②当时 (如图)， 则， ∴秒； ③当时 (如图)， 过点作于点， 则 所以， 故， 所以 秒， 由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形. 28．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ① ； ． ②____________的线段和． （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【答案】（1），；②， （2） 【分析】本题考查勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握轴对称问题的解决方法． （1）①根据勾股定理可得答案； ②根据图形可得答案； （2）作关于直线的对称点，连接，连接交于，可得，，根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短，再用勾股定理可得答案． 【小问详解】解：①∵边长为的正方形，设，则， 由勾股定理可得，，， 故答案为：，； ②，， ， 故答案为：，； 【小问详解】作关于直线的对称点，连接，连接交于，如图： 由，关于直线对称可得，， ， 根据两点之间线段最短可知，当与重合时，最短， ， ， ， 当时，的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项06 最值与动态几何 目 录 考点01 将军饮马变式最值 考点02 动点几何与特殊三角形分类讨论 考点03 直角三角形存在性与斜边中线动态探究 考点04 勾股定理中的动点求 t 考点01　将军饮马变式最值 难度层级：提升—拓展　|　知识点：将军饮马/轴对称最值 1．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 2．如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 3．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为 ________． 4．如图，已知点P在的内部，点P关于、的对称点分别为、，如果，厘米，那么的周长等于________厘米． 5．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 6．已知点P在内．如图1，点P关于射线的对称点是G，点P关于射线的对称点是H，连接． （1）若，求的度数； （2）如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 7．“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 8．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，下面我们运用数学模型解决最短路径问题． 最短路径问题 提出问题 如图1，牧民从A地出发．到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 理解模型 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接A．与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 应用模型 如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处、才能使所建的步道总长度最短？ 迁移延伸 如图5，已知点O是内的一点，M，N分别是点O关于、的对称点，连接，与、分别相交于点E，F． （1）任务一：证明：如图3，在直线l上另取任一点．连接，，． 根据轴对称性质，得， ①， ∴， ∵(② ） ∴，即路径最短． （2）任务二：请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线．（要求：保留画图痕迹，写出结论） （3）任务三：连接，．若，判定的形状，并说明理由． 考点02　动点几何与特殊三角形分类讨论 难度层级：拓展　|　知识点：动点与等腰/直角三角形分类 9．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10．如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 11．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有________个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有________个． 12．如图，已知点P是射线上一动点（点P不与点B重合），，，则当________时，以A，O，B三点中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 14．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，求的值． 考点03　直角三角形存在性与斜边中线动态探究 难度层级：拓展　|　知识点：直角三角形存在性/斜边中线 15．如图，将一直角三角形纸片沿斜边中线l剪开，得到和，下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 16．如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（ ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 17．如果直角三角形的三边长为4，3，x，则斜边中线的长是________． 18．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为________． 19．如图，中，，，，点为斜边上一点，且，以为边、点为直角顶点作，点为的中点，连接，则的最小值为________． 20．［背景］除了高线、角平分线、中线这三条三角形中的主要特殊线段，三角形中还有很多线段值得我们研究．“等腰分割线”的定义如下：把一个三角形分成两个等腰三角形的线段称为这个三角形的等腰分割线． ［问题］如图，在中，，D是上一点（C，D不重合），且，点E是的中点，连结． （1）求证：是的等腰分割线． （2）若是的等腰分割线，写出和存在的数量关系． 考点04　勾股定理中的动点求 t 难度层级：提升—拓展　|　知识点：勾股定理中的动点求时间 21．如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 10 B. C. 12 D. 22．如图，是等边三角形，点是线段上的动点，过点作于，延长交的延长线于点，有以下结论：①；②；③；④过点作于，动点在运动过程中，的值始终不变．其中正确的结论个数有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 23．如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接．设点D运动时间为t秒．当是以为腰的等腰三角形时，则________秒． 24．如图，在三角形中，，，点在边上，，，是上的动点，则的最小值为________． 25．如图，已知在中，，，，，点为射线上的动点，则的最大值为________． 26．如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B运动，设点P运动时间为t秒（）． （1）求的长； （2）用含t的代数式表示______； （3）当是直角三角形时，求t的值； （4）直接写出是等腰三角形时t的值． 27．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求的值； （2）从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ （3）当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 28．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则． ① ； ． ②____________的线段和． （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $