专题11 期中复习易错23类题型归纳（期中重难点复习）2026-2027学年人教版八年级上学期数学
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内容正文：
专题11 期中复习易错21类题型归纳
（考试范围：第13章 三角形~第15章 轴对称）
【新教材人教版八年级上册】
题型归纳
【题型1 三角形的角平分线、中线和高】 2
【题型2 三角形三边关系】 4
【题型3 三角形内角和定理】 4
【题型4 三角形的外角性质】 6
【题型5 全等三角形的性质】 9
【题型6 全等三角形的判定】 11
【题型7 全等三角形的判定与性质】 15
【题型8 角平分线的性质】 20
【题型9 线段垂直平分线的性质】 22
【题型10 等腰三角形的性质】 24
【题型11 等腰三角形的判定】 26
【题型12 等腰三角形的判定与性质】 29
【题型13 等边三角形的性质】 32
【题型14 等边三角形的判定与性质】 35
【题型15 直角三角形的性质】 37
【题型16 含30度角的直角三角形】 40
【题型17 作图—基本作图】 42
【题型18 轴对称的性质】 44
【题型19 轴对称图形】 46
【题型20 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 47
【题型21 作图-轴对称变换】 49
【题型1 三角形的角平分线、中线和高】
1．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a，最长的中线的长为m，最长的高线的长为h，则（ ）
A．a＞m＞h B．a＞h＞m C．m＞a＞h D．h＞m＞a
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，AC为最长的边，AE为最长的中线，AD为最长的高，则AC2＝AD2+DC2；AE2＝AD2+DE2；因为DC大于DE，所以AC＞AE＞AD，所以在三边各不相等的三角形中最长的边大于最长的中线大于最长的高．
此题答案a＞m＞h．
故选：A．
2．如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 △ABC ；以AE为角平分线的三角形是 △ABD ；以AF为高线的钝角三角形有 3 个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
【答案】（1）△ABC；△ABD；3；
（2）35°．
【解答】解：（1）以AD为中线的三角形是△ABC；
以AE为角平分线的三角形是△ABD；
以AF为高线的钝角三角形有△ABE、△ABD、△ADE共3个，
故答案为：△ABC；△ABD；3；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，
∴∠C＝90°﹣35°＝55°，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°．
3．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝xcm）
【答案】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
∵AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm．
【题型2 三角形三边关系】
4．如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA＝18m，PB＝16m，那么A、B之间的距离不可能是（ ）
A．18m B．26m C．30m D．34m
【答案】D
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：18﹣16＜AB＜16+18，
即2＜AB＜34，
∴A、B之间的距离不可能是34，
故选：D．
5．有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 3 个不同的三角形．
【答案】3
【解答】解：（1）当取4cm、7cm，8cm三条线段时，∵4+7＝11＞8，8﹣4＝4＜8，故能构成三角形；
（2）当取4cm、7cm、11cm三条线段时，∵4+7＝11＝11，故不能构成三角形；
（3）当取4cm、8cm、11cm三条线段时，∵4+8＝12＞11，11﹣4＝7＜8，故能构成三角形；
（4）当取7cm、8cm、11cm三条线段时，∵7+8＝15＞11，11﹣7＝4＜8，故能构成三角形．
故答案为：3．
【题型3 三角形内角和定理】
6．如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分线∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝60°，
又∵AD平分线∠BAC，
∴∠BAD＝30°，
又∵DE⊥AB，
∴Rt△ADE中，∠ADE＝60°，
故选：C．
7．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 20°或60° ．
【答案】20°或60°
【解答】解：如图所示，当∠BFD＝90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°；
如图，当∠BDF＝90°时，
同理可得∠BAD＝30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝50°，
∴∠BFD＝∠BCE＝50°，
∴∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝20°，
综上所述，∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
【答案】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝80°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAF∠BAC＝40°，
∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°；
（2）∵BE⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
由（1）可得∠EAF＝40°，
∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．
【题型4 三角形的外角性质】
9．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，则△ABC一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解答】证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1＝∠2，
∵AE∥BC，
∴∠1＝∠C，∠B＝∠2，
∴∠B＝∠C，即AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：C．
10．如图，△ABC中，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，∠ACE＝70°，∠B＝55°．求∠A的度数．
【答案】解：∵CE是∠ACD的角平分线，
∴∠ACD＝2∠ACE，
∵∠ACE＝70°，
∴∠ACD＝140°，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∵∠B＝55°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝140°﹣55°＝85°．
11．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P．
（1）试探索∠BPC与∠BAC的关系；
（2）若∠BPC＝40°，求∠CAP的度数．
【答案】（1），理由如下：
∵∠PCD＝∠PBC+∠BPC，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC，
∵PB，PC分别平分∠ABC，∠ACD，
∴∠PCD∠ACD，∠PBD∠ABC，
∵∠BPC＝∠PCD﹣∠PBD，
∴，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ACD﹣∠ABC＝∠BAC，
∴；
（2）50°．
【解答】解：（1），理由如下：
∵∠PCD＝∠PBC+∠BPC，
∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC，
∵PB，PC分别平分∠ABC，∠ACD，
∴∠PCD∠ACD，∠PBD∠ABC，
∵∠BPC＝∠PCD﹣∠PBD，
∴，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ACD﹣∠ABC＝∠BAC，
∴；
（2）如图，过点P作PQ⊥BD于点Q，PR⊥AC于点R，PM⊥BA交BA延长线于点M，
∵PB，PC分别是∠ABC，∠ACD的平分线，
∴PQ＝PM，PQ＝PR，
∴PR＝PM，
∴点P在∠CAM的平分线上，
即PA平分∠CAM，
由（1）得∠BAC＝2∠BPC＝80°，
∴∠CAM＝100°，
∴．
【题型5 全等三角形的性质】
12．如图，△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，若BO＝8，AO＝6，AB＝5，则CD的长为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，
∴AB＝CD、AO＝CO、BO＝DO，
∵AB＝5，
∴CD＝5，即CD的长为5．
故选：C．
13．如图，△ABC≌△DBE，若∠E＝100°，∠ACB＝ 100 °．
【答案】100．
【解答】解：由题意，∵△ABC≌△DBE，
∴∠ACB＝∠DEB．
∵∠E＝100°，
∴∠ACB＝100°．
故答案为：100．
14．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．
（1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长．
（2）求证：CE⊥AB．
【答案】（1）BD的长为3；
（2）证明过程见解答．
【解答】（1）解：∵△ABD≌△CFD，
∴AD＝CD＝7，
∵BC＝10，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣7＝3，
∴BD的长为3；
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
∴∠B+∠DCF＝90°，
∴∠CEB＝180°﹣（∠B+∠DCF）＝90°，
∴CE⊥AB．
【题型6 全等三角形的判定】
15．如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠B＝50°，∠C＝58°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则在甲、乙、丙三个三角形中，一定和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【解答】解：甲图满足SSA，不一定和△ABC全等，故甲不符合题意；
乙图满足ASA，一定和△ABC全等，故乙符合题意；
丙图满足AAS，一定和△ABC全等，故丙符合题意；
所以，在甲、乙、丙三个三角形中，一定和△ABC全等的是乙和丙，
故选：B．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥1于点F，当t＝ 1秒或秒或6秒 时，△PEC与△QFC全等．
【答案】1秒或秒或6秒．
【解答】解：①如图，点Q在BC上，点P在AC上时，
由题意得，AP＝t，BQ＝2t，
∵AC＝3cm，BC＝4cm，
∴CP＝3﹣t，CQ＝4﹣2t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠CFQ＝∠ACB＝90°，
∴∠CPE+∠PCE＝∠PCE+∠FCQ＝90°，
∴∠CPE＝∠FCQ，
当△PEC≌△CFQ时，
则PC＝CQ（全等三角形对应边相等），
即3﹣t＝4﹣2t，
∴t＝1；
②如图，当点P与点Q重合时，
由题意得，AP＝t，BQ＝2t，
∵AC＝3cm，BC＝4cm，
∴CP＝3﹣t，CQ＝2t﹣4，
当△PEC≌△QFC时，
则PC＝CQ（全等三角形对应边相等），
∴3﹣t＝2t﹣4，
∴3t＝7，
∴t；
③如图，当点Q与A重合时，
由题意得，AP＝t，
∵AC＝3cm，
∴CP＝t﹣3，CQ＝3，
∵∠QCF+∠CQF＝∠QCF+∠PCE＝90°，
∴∠CQF＝∠PCE，
当△PEC≌△CFQ时，
则PC＝CQ（全等三角形对应边相等），
即t﹣3＝3，
∴t＝6；
综上所述：当t＝1秒或秒或6秒时，△PEC与△QFC全等．
17．已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ；理由见解答过程；
（2）x＝1cm/s，t＝1s或x＝1.5s，t＝2s．
【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ．
理由如下：
∵t＝1s，点Q与点P的运动速度均为以1cm/s，
∴AP＝BQ＝1，
∵AB＝4cm，
∴PB＝3cm，
∴AC＝PB＝3cm，
又∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠CAP＝∠PBQ＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠CAP＝90°，
∴∠C+∠APC＝90°，
∴∠BPQ+∠APC＝90°，
∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，
∴PC⊥PQ．
（2）∵点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，
∴BQ＝xtcm，
∵点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，
∴AP＝tcm，则BP＝AB﹣AP＝（4﹣t）cm，
又∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：
①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，
∵AC＝3cm，
由AC＝BP，得：3＝4﹣t，
解得：t＝1，
由AP＝BQ，得：t＝xt，
解得：x＝1，
∴当x＝1cm/s，t＝1cm/s时，△ACP和△BPQ全等；
②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，
由于AC＝BD＝3，因此BQ＝AC＝3，此时点Q与点D重合，如图所示：
由AP＝BP，得：t＝4﹣t，
解得：t＝2，
由AC＝BQ，得：xt＝3，
将t＝2代入xt＝3，得x＝1.5．
∴当x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等．
综上所述：当x＝1cm/s，t＝1s或x＝1.5cm/s，t＝2s时，△ACP和△BPQ全等．
【题型7 全等三角形的判定与性质】
18．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若BF＝a，EF＝b，CE＝c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
【答案】C
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠C，∠CED＝∠AFB，AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝c，DE＝BF＝a，
∵EF＝b，
∴AD＝AF+DF＝c+（a﹣b）＝a﹣b+c．
故选：C．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D为三角形内部一点且∠BDC＝140°，点E为BC中点，连接AD，DE，作∠FDC＝∠EDC，且DF＝2DE，当∠ADB＝ 130°或90° 时，△DFC为直角三角形．
【答案】130°或90°
【解答】解：①当∠DFC＝90°时，如图，延长DE到点G，使DG＝2DE，连接CG、AF，
∵DF＝2DE，
∴∠DF＝DG，
在△DFC和△DGC中，
∴△DFC≌△DGC（SAS），
∴CG＝CF，∠DFC＝∠G＝90°，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BDE和△CGE中，
，
∴△BDE≌△CGE（SAS），
∴∠BDE＝∠G＝90°，∠DBE＝∠GCE，BD＝CG，
∴BD＝CF，
∵∠BDC＝140°，
∴∠EDC＝∠BDC﹣∠BDE＝50°＝∠FDC，
∴∠DCG＝∠DCF＝90°﹣50°＝40°，
∴∠FCG＝80°，
∵∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ABD+∠DBE＝40°，∠ACF+∠GCE＝40°，
∵∠DBE＝∠GCE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠BAD＝∠CAF，AD＝AF，
∴∠DAF＝∠BAC＝100°，
∴∠ADF＝40°，
∴∠ADB＝360°﹣∠BDC﹣∠FDC﹣ADF ＝360°﹣140°﹣50°﹣40°＝130°；
②当∠FDC＝90°时，如图，延长DE到点G，使DG＝2DE，连接CG、AF，
F
同①理可得∠ADF＝40°，
∴∠ADB＝360°﹣∠BDC﹣∠FDC﹣ADF＝360°﹣140°﹣90°﹣40°＝90°；
综上，∠ADB的度数为130°或90°，
故答案为：130°或90°．
20．在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，并与CD相交于点F．
（1）求证：△BDF≌△CDA；
（2）求证：．
【答案】（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠CEB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠FBD＝∠ACD，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA）．
（2）由（1）△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE，
∴CEBF．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝CD．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠CEB＝∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠FBD＝∠ACD，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA）．
（2）由（1）△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE，
∴CEBF．
【题型8 角平分线的性质】
21．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【解答】解：由题意，过点P作PE⊥OB，垂足为E，
∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC．
∵PC＝3，
∴PE＝3．
∴，
故选：B．
22．如图，如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD＝PE，若∠AOB＝40°，∠OPE＝ 60° ．
【答案】60°．
【解答】解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴OC平分∠AOB，
∴∠BOC∠AOB＝30°，
∵PE⊥OB，
∴∠OEP＝90°，
∴∠OPE＝90°﹣∠BOC＝60°，
故答案为：60°．
23．如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）若∠B＝40°，∠C＝76°，求∠EDA的度数．
（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求△ABC的面积．
【答案】（1）∠EDA的度数为58°；
（2）△ABC的面积为108．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB∠BAC＝32°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAB＝58°，
∴∠EDA的度数为58°；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝6，
∵AB＝20，AC＝16，
∴△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积
AC•DFAB•DE
16×620×6
＝48+60
＝108，
∴△ABC的面积为108．
【题型9 线段垂直平分线的性质】
24．如图，在△ABC中，BC＝36，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，连接AE，AF，则△AEF的周长为（ ）
A．36 B．18 C．32 D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∵BC＝36，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝BE+EF+FC
＝BC
＝36，
故选：A．
25．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠APB的度数为 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PC＝PB，
∴∠PAC＝∠PCA＝20°，∠PCB＝∠PBC＝30°，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠PCA+∠PCB+∠PAC+∠PBC+∠PAB+∠PBA＝180°，
∴∠PAB+∠PBA＝80°，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝100°，
故答案为：100°．
26．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
【答案】（1）BC的长为6cm；
（2）OA的长为5cm．
【解答】解：（1）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∵△ADE的周长为6cm，
∴AD+DE+AE＝6cm，
∴BD+DE+CE＝6cm，
∴BC＝6cm，
∴BC的长为6cm；
（2）如图：
∵OD是AB的垂直平分线，OE是AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∵△OBC的周长为16cm，
∴OB+OC+BC＝16cm，
∵BC＝6cm，
∴OB＝OC＝5cm，
∴OA的长为5cm．
【题型10 等腰三角形的性质】
27．如图，已知△ABC中，AC＝BC＝BD，AD＝DC，则∠ACD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．36° D．40°
【答案】C
【解答】解：设∠A＝x°，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝x°，
∵DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝x°，
∵∠CDB是△ACD的一个外角，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2x°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，
∵∠B+∠BCD+∠CDB＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠ACD＝36°，
故选：C．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BD于点E，点D在BC的延长线上，∠D＝60°，AD＝8，BD＝5，则BC的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵AE⊥BD，∠D＝60°，
∴∠DAE＝30°．
∴EDAD8＝4．
又∵BD＝5，
∴BE＝BD﹣ED＝5﹣4＝1．
又∵AB＝AC，AE⊥BD，
∴BC＝2BE＝2．
故答案为：2．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝40°，求∠BDC的度数．
【答案】75°．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴
＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD
＝40°+35°
＝75°．
【题型11 等腰三角形的判定】
30．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72°
C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，
∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，
对于选项A，当∠1＝2∠2时，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，
∴∠AED＝∠ADE，
故选项A能确定△ADE是等腰三角形；
对于选项B，当∠1+∠2＝72°时，
则∠1＝72°﹣∠2，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，
∴∠DAE＝∠AED，
故选项B能确定△ADE是等腰三角形；
对于选项C，当∠1+2∠2＝90°时，
则∠1＝90°﹣2∠2，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，
∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，
故选项C不能确定△ADE是等腰三角形；
对于选项D，当2∠1＝∠2+72°时，
则∠1∠2+36°，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（∠2+36°）＝72°∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（∠2+36°）﹣∠2＝72°∠2，
∴∠DAE＝∠ADE，
故选项D能确定△ADE是等腰三角形．
综上所述：选项C不能确定△ADE是等腰三角形．
故选：C．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C72°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴△ABC，△ABD，△BDC都是等腰三角形，
∴图中等腰三角形的个数是3，
故答案为：3．
32．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm．
依题意，得2x+2x+x＝18，
解得x．
∴2x．
∴三角形三边的长为cm、cm、cm．
（2）若腰长为4cm，则底边长为18﹣4﹣4＝10cm．
而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形．
若底边长为4cm，则腰长为（18﹣4）＝7cm．
此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．
【题型12 等腰三角形的判定与性质】
33．从长分别为3cm、3cm、5cm、5cm、6cm五根小杯中，选取三根围成不同的等腰三角形，这些等腰三角形的周长不可能是（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．16cm
【答案】B
【解答】解：根据三角形三边关系可知：3cm、3cm、6cm不能组成三角形．
∴3+3+6＝12 （厘米），
答：这些等腰三角形的周长不可能是12厘米．
故选：B．
34．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝ 4 ．
【答案】4
【解答】解：∵EC＝3EF＝6，
∴EF＝2，
∵CD平分∠ACB，BF平分∠ABC，
∴∠ACD＝∠DCB，∠ABF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EDC＝∠DCB，
∴∠ACD＝∠EDC，∠ABF＝∠DFB，
∴ED＝EC＝6，DB＝DF，
∴DF＝DB＝DE﹣EF＝6﹣2＝4，
故答案为：4．
35．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【答案】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【题型13 等边三角形的性质】
36．等边三角形ABC中，若点A（﹣2，0），B（4，0），则点C的坐标为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解答】解：如图：
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝6，BD＝3，
∴CD3，
∵点C可以在x轴的上方，也可以在x轴的下方，
∴C点坐标为（1，3）或（1，﹣3）．
故选：D．
37．已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 4或36 ．
【答案】4或36．
【解答】解：由题意可知，BM＝AN＝6，
①如图，当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，
∴ADAM＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝4．
②如图，当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D，
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，
∴ADAM＝8，
∴CD＝AD+AC＝18，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝36，
故答案为：4或36．
38．如图所示，点P是等边△ABC的BC边上一点，PM⊥AB，PN⊥AC，试猜想△AMN的周长L△AMN与四边形BMNC的周长L四边形BMNC有什么关系，并说明理由．
【答案】解：△AMN的周长与四边形BMNC的周长相等．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
又∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠BMP＝∠CNP＝90°，
∴∠BPM＝∠CPN＝30°，
∴BMBP，CNCP，
∴L△AMN＝AM+AN+MN
＝（AB﹣BM）+（AC﹣CN）+MN
＝（AB+AC）﹣（BM+CN）+MN
＝2BC（PB+PC）+MN
＝2BC﹣BC+MN
＝BC+MN；
L四边形BMNC＝BM+CN+BC+MN
（PB+PC）+BC+MN
BC+BC+MN
BC+MN；
∴L△AMN＝L四边形BMNC．
【题型14 等边三角形的判定与性质】
39．在下列结论中：
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．
故选：C．
40．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有 无数 个．
【答案】无数．
【解答】解：如图，在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP＝∠POF＝60°，
∵OP＝OE＝OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，
∴∠EPM＝∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON（ASA）．
∴PM＝PN，
∵∠MPN＝60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故答案为：无数．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．
（1）求证：AC⊥AB；
（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）△ABD的面积为16．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠CBA＝∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，
∴AC⊥AB；
（2）解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，
由题意得：AC＝AD＝CD＝8，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，
∴DEAD＝4，
∴△ABD的面积AB•DE8×4＝16，
∴△ABD的面积为16．
【题型15 直角三角形的性质】
42．如图为脊柱侧弯测量示意图，cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次体检中，若测得某人cobb角∠O＝45°，则图中与∠O相等的角的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：∵BD⊥OA，AC⊥OB，
∴∠ACO＝∠ACB＝∠BDO＝∠BDA＝90°，
∵∠O＝45°，
∴∠CAO＝90°﹣∠O＝45°，∠DBO＝90°﹣∠O＝45°，
∴∠APD＝90°﹣∠CAO＝45°，
∴∠APD＝∠BPC＝45°，
∴图中与∠O相等的角有：∠CAO，∠DBO，∠APD，∠BPC，共有4个，
故选：D．
43．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，此时∠CFD与∠DEB的和与∠FDE的数量关系为： ∠CFD+∠DEB＝2∠FDE ，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝ 30°或45° ．
【答案】∠CFD+∠DEB＝2∠FDE；30°或45°．
【解答】解：由题意，根据折叠可得，∠A＝∠FDE，
∵∠C＝90°，
∴∠CFD+∠CDF＝90°．
∵∠CDF+∠FDE+∠EDB＝180°，
∴∠CDF+∠A+∠EDB＝180°，
∴∠CDF+∠EDB＝180°﹣∠A．
∵∠DEB+∠B+∠EDB＝180°，
∴∠DEB+∠EDB＝180°﹣∠B．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠CFD+∠DEB
＝∠CFD+180°﹣∠B﹣（180°﹣∠A﹣∠CDF）
＝∠CFD+∠A+∠CDF﹣∠B，
∵∠CFD+∠CDF＝90°，
∴∠CFD+∠DEB
＝90°+∠A﹣∠B
＝90°+（90°﹣∠B）﹣∠B
＝180°﹣2∠B．
又∵∠FDE＝∠A＝90°﹣∠B，
∴∠CFD+∠DEB＝2∠FDE．
∵△CDF是等腰三角形，∠C＝90°，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°．
∵△BDE是等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①当BD＝BE时，∠BDE＝∠BED，
∵∠CDF＝45°，∠FDE＝∠A＝90°﹣∠B，
∴∠BDE＝180°﹣∠CDF﹣∠FDE＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠B）＝45°+∠B．
又∵，
∴，
∴∠B＝30°．
②当DE＝BE时，∠B＝∠BDE，
∴∠B＝45°+∠B，不成立．
③当BD＝DE时，∠B＝∠BED，∠BDE＝45°+∠B，
∴∠B+45°+∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝45°，但此时AC＝BC，符合AC≤BC．
综上，∠B＝30°或45°．
故答案为：∠CFD+∠DEB＝2∠FDE；30°或45°．
【题型16 含30度角的直角三角形】
44．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴ECDC，
∴CD＝2EC，
∵EC＝3，
∴CD＝2×3＝6．
故选：C．
45．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm，动点P从点A出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为vP＝2cm/s，动点Q从点B出发在BC边上沿B→C方向匀速运动，速度为vQ＝1cm/s当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 10或16 秒时，△PBQ为直角三角形．
【答案】10或16．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm，
∴BCAB＝20（cm），∠B＝90°﹣∠A＝60°，
由题意得：BQ＝tcm，AP＝2tcm，
∴BP＝AB﹣AP＝（40﹣2t）cm，
分两种情况：
当∠BQP＝90°时，如图：
∴∠BPQ＝90°﹣∠B＝30°，
∴BP＝2BQ，
∴40﹣2t＝2t，
解得：t＝10；
当∠BPQ＝90°时，如图：
∴∠BQP＝90°﹣∠B＝30°，
∴BQ＝2BP，
∴2＝2（40﹣2t），
解得：t＝16；
综上所述：当点P运动10或16秒时，△PBQ为直角三角形，
故答案为：10或16．
46．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若 OM＝5，求MN的长．
【答案】MN的长为2．
【解答】解：过点P作PC⊥MN，垂足为C，
∴∠PCO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPC＝90°﹣∠AOB＝30°，
∵OP＝12，
∴OCOP＝6，
∵OM＝5，
∴CM＝OC﹣OM＝6﹣5＝1，
∵PM＝PN，PC⊥MN，
∴MN＝2CM＝2，
∴MN的长为2．
【题型17 作图—基本作图】
47．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（ ）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣①
C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
【答案】C
【解答】解：根据作一个角等于已知角的过程可知：
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
故选：C．
48．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，求∠CMA的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝110°，
∴∠CAB＝70°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB∠CAB＝35°，
又∵AB∥CD，
∴∠CMA＝∠BAM＝35°．
【题型18 轴对称的性质】
49．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′，
∵∠C′＝30°，
∴∠C＝30°，
∵∠A＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
50．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点下列结论：①AM＝BM；②AP＝BN；③∠MAP＝∠MBP；④∠ANP＝∠BNM，其中说法错误的是 ② ．
【答案】②
【解答】解：如图，∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，
∴AM＝BM；AP＝BP；∠MAP＝∠MBP；∠ANP＝∠BNM，
∴说法错误的有AP＝BN，
故答案为：②．
51．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
【答案】解：（1）∵∠PAB＝15°，∠ABC＝45°，
∴∠APC＝15°+45°＝60°，
∵点C关于直线PA的对称点为D，
∴PD＝PC，AD＝AC，
∴△ADP≌△ACP，
∴∠APC＝∠APD＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣120°＝60°；
（2）直线BD，AH平行．理由：
∵BC＝3BP，
∴BPPCPD，
如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BDE为等腰三角形，
∴∠BEP＝60°，
∴∠BDE∠BEP＝30°，
∴∠DBP＝90°，即BD⊥BC．
又∵△APC的PC边上的高为AH，
∴AH⊥BC，
∴BD∥AH；
（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．
∵∠APC＝∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，
∴AH＝AF．
∵∠CBD＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠GBA＝∠CBA＝45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG＝AH，
∴AG＝AF，
∴点A在∠GDP的平分线上．
又∵∠BDP＝30°，
∴∠GDP＝150°，
∴∠ADP150°＝75°，
∴∠C＝∠ADP＝75°，
∴Rt△ACH中，∠CAH＝15°，
∴∠BAP＝∠CAH．
【题型19 轴对称图形】
52．围棋是中国古代称为“弈”的传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：B，C，D不是轴对称图形，A是轴对称图形，
故选：A．
53．学校为弘扬体育精神，计划开展一项图标赏析活动．下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
54．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品 书 ．
【答案】书
【解答】解：如图，
这个单词所指的物品是书．
故答案为：书．
【题型20 关于x轴、y轴对称的点的坐标】
55．点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（﹣5，4）
【答案】A
【解答】解：∵点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），
∴P（4，5），
∴点P关于y轴对称点N的坐标为：（﹣4，5）．
故选：A．
56．若点A（a，2）与B（3，b）关于x轴对称，则a﹣b＝ 5 ．
【答案】5
【解答】解：∵点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5，
故答案为：5．
57．已知点M（3a﹣2，6﹣a）在第一象限，解答下列问题：
（1）若点M到x轴和y轴的距离相等，求点M的坐标；
（2）若点N与点M关于x轴对称，点P与点M关于y轴对称，直接写出点N，点P的坐标．
【答案】（1）点M的坐标为（4，4）；
（2）点N的坐标为（3a﹣2，a﹣6）；点P的坐标为（2﹣3a，6﹣a）．
【解答】解：（1）由题意得：
3a﹣2＝6﹣a，
3a+a＝6+2，
4a＝8，
a＝2，
当a＝2时，3a﹣2＝4，6﹣a＝4，
∴点M的坐标为（4，4）；
（2）∵点N与点M关于x轴对称，
∴点N的坐标为（3a﹣2，a﹣6）；
∵点P与点M关于y轴对称，
∴点P的坐标为（2﹣3a，6﹣a）；
∴点N的坐标为（3a﹣2，a﹣6）；点P的坐标为（2﹣3a，6﹣a）．
【题型21 作图-轴对称变换】
58．如图，保持△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位
D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位
【答案】A
【解答】解：∵纵坐标乘以﹣1，
∴变化前后纵坐标互为相反数，
又∵横坐标不变，
∴所得三角形与原三角形关于x轴对称．
故选：A．
59．如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 9 ．
【答案】解：（1）如图所示；
（2）S△ABC＝4×52×43×31×5
＝20﹣4
＝9．
故答案为：9．
60．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出△ABC的面积 4 ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）4．
【解答】解：（1）∵A（0，1），B（2，0），C（4，3），
∴顺次连接，作图如下：
；
（2）∵A（0，1），B（2，0），C（4，3），
∴A、B、C关于x轴对称的点分别为A1（0，﹣1），B1（2，0），C1（4，﹣3），
∴顺次连接A1，B1，C1，作图如下：
；
（3）过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∴CE＝4，AE＝2，CD＝3，BD＝2，OB＝2，
∴S矩形CEOD＝4×3＝12，
∵，，，
∴S△ABC＝12﹣4﹣1﹣3＝4，
故答案为：4．
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专题11 期中复习易错21类题型归纳
（考试范围：第13章 三角形~第15章 轴对称）
【新教材人教版八年级上册】
题型归纳
【题型1 三角形的角平分线、中线和高】 2
【题型2 三角形三边关系】 3
【题型3 三角形内角和定理】 3
【题型4 三角形的外角性质】 4
【题型5 全等三角形的性质】 5
【题型6 全等三角形的判定】 6
【题型7 全等三角形的判定与性质】 7
【题型8 角平分线的性质】 8
【题型9 线段垂直平分线的性质】 9
【题型10 等腰三角形的性质】 10
【题型11 等腰三角形的判定】 11
【题型12 等腰三角形的判定与性质】 11
【题型13 等边三角形的性质】 12
【题型14 等边三角形的判定与性质】 13
【题型15 直角三角形的性质】 14
【题型16 含30度角的直角三角形】 15
【题型17 作图—基本作图】 15
【题型18 轴对称的性质】 16
【题型19 轴对称图形】 17
【题型20 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 18
【题型21 作图-轴对称变换】 18
【题型1 三角形的角平分线、中线和高】
一．三角形的角平分线、中线和高（共3小题）
1．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a，最长的中线的长为m，最长的高线的长为h，则（ ）
A．a＞m＞h B．a＞h＞m C．m＞a＞h D．h＞m＞a
2．如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．
（1）以AD为中线的三角形是 _________ ；以AE为角平分线的三角形是 _________ ；以AF为高线的钝角三角形有 _____ 个；
（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度数．
3．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝xcm）
【题型2 三角形三边关系】
4．如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得PA＝18m，PB＝16m，那么A、B之间的距离不可能是（ ）
A．18m B．26m C．30m D．34m
5．有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 _____ 个不同的三角形．
【题型3 三角形内角和定理】
6．如图，△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，AD平分线∠BAC．过点D作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．70°
7．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ____________ ．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求∠ADC的度数．
（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．
【题型4 三角形的外角性质】
9．如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，则△ABC一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
10．如图，△ABC中，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，∠ACE＝70°，∠B＝55°．求∠A的度数．
11．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P．
（1）试探索∠BPC与∠BAC的关系；
（2）若∠BPC＝40°，求∠CAP的度数．
【题型5 全等三角形的性质】
12．如图，△AOB≌△COD，A和C，B和D是对应顶点，若BO＝8，AO＝6，AB＝5，则CD的长为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．不能确定
13．如图，△ABC≌△DBE，若∠E＝100°，∠ACB＝________ °．
14．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．
（1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长．
（2）求证：CE⊥AB．
【题型6 全等三角形的判定】
15．如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠B＝50°，∠C＝58°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则在甲、乙、丙三个三角形中，一定和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥1于点F，当t＝____________________ 时，△PEC与△QFC全等．
17．已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【题型7 全等三角形的判定与性质】
18．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若BF＝a，EF＝b，CE＝c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D为三角形内部一点且∠BDC＝140°，点E为BC中点，连接AD，DE，作∠FDC＝∠EDC，且DF＝2DE，当∠ADB＝_____________ 时，△DFC为直角三角形．
20．在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，并与CD相交于点F．
（1）求证：△BDF≌△CDA；
（2）求证：．
【题型8 角平分线的性质】
21．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
22．如图，如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD＝PE，若∠AOB＝40°，∠OPE＝________ ．
23．如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）若∠B＝40°，∠C＝76°，求∠EDA的度数．
（2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求△ABC的面积．
【题型9 线段垂直平分线的性质】
24．如图，在△ABC中，BC＝36，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，连接AE，AF，则△AEF的周长为（ ）
A．36 B．18 C．32 D．不能确定
25．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠APB的度数为 _________ ．
26．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
【题型10 等腰三角形的性质】
27．如图，已知△ABC中，AC＝BC＝BD，AD＝DC，则∠ACD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．36° D．40°
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BD于点E，点D在BC的延长线上，∠D＝60°，AD＝8，BD＝5，则BC的长为_____ ．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝40°，求∠BDC的度数．
【题型11 等腰三角形的判定】
30．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72°
C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是 _____ ．
32．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
【题型12 等腰三角形的判定与性质】
33．从长分别为3cm、3cm、5cm、5cm、6cm五根小杯中，选取三根围成不同的等腰三角形，这些等腰三角形的周长不可能是（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．16cm
34．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝ _____ ．
35．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【题型13 等边三角形的性质】
36．等边三角形ABC中，若点A（﹣2，0），B（4，0），则点C的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
37．已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 _________ ．
38．如图所示，点P是等边△ABC的BC边上一点，PM⊥AB，PN⊥AC，试猜想△AMN的周长L△AMN与四边形BMNC的周长L四边形BMNC有什么关系，并说明理由．
【题型14 等边三角形的判定与性质】
39．在下列结论中：
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
40．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有_______ 个．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．
（1）求证：AC⊥AB；
（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．
【题型15 直角三角形的性质】
42．如图为脊柱侧弯测量示意图，cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次体检中，若测得某人cobb角∠O＝45°，则图中与∠O相等的角的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
43．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，此时∠CFD与∠DEB的和与∠FDE的数量关系为：____________________ ，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝____________ ．
【题型16 含30度角的直角三角形】
44．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
45．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm，动点P从点A出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为vP＝2cm/s，动点Q从点B出发在BC边上沿B→C方向匀速运动，速度为vQ＝1cm/s当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 __________ 秒时，△PBQ为直角三角形．
46．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若 OM＝5，求MN的长．
【题型17 作图—基本作图】
47．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（ ）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
48．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，求∠CMA的度数．
【题型18 轴对称的性质】
49．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
50．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点下列结论：①AM＝BM；②AP＝BN；③∠MAP＝∠MBP；④∠ANP＝∠BNM，其中说法错误的是 _____ ．
51．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点P为边BC上的一点，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH
（1）求∠BPD的大小；
（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；
（3）证明：∠BAP＝∠CAH．
【题型19 轴对称图形】
52．围棋是中国古代称为“弈”的传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
53．学校为弘扬体育精神，计划开展一项图标赏析活动．下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
54．如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品_____ ．
【题型20 关于x轴、y轴对称的点的坐标】
55．点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（﹣5，4）
56．若点A（a，2）与B（3，b）关于x轴对称，则a﹣b＝_____ ．
57．已知点M（3a﹣2，6﹣a）在第一象限，解答下列问题：
（1）若点M到x轴和y轴的距离相等，求点M的坐标；
（2）若点N与点M关于x轴对称，点P与点M关于y轴对称，直接写出点N，点P的坐标．
【题型21 作图-轴对称变换】
58．如图，保持△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标都乘﹣1，画出坐标变化后的三角形，则所得三角形与原三角形的关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位 D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位
59．如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是_____ ．
60．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）请画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出△ABC的面积_____ ．
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