精品解析：甘肃兰州市第二十七中学2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试卷

兰州市第二十七中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，，那么为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题，，是存在量词命题， 其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以为，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，集合或， 集合， 则. 3. 已知集合，如果，那么实数的取值为（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求参数取值，需要检验元素的互异性． 【详解】因为，则或，解得或； 当时，，不符合集合元素的互异性； 当时，，故实数的取值为． 4. 已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图象关于原点对称可知，该函数是奇函数， 对于A，，是奇函数， 令，得， 而图象上当时，，所以不满足图象，故A错误； 对于C，，是偶函数，故C错误； 对于D，，是偶函数，故D错误； 对于B，，是奇函数， 故 的解析式可能为. 5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】函数相同当且仅当定义域以及对应法则都相同，由此逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，没有意义，有意义，这表明两个函数的定义域不同，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为全体实数，故B错误； 对于C，，的定义域为，且，，定义域，对应法则都一样，故C正确； 对于D，，，所以它们的对应法则不一样，故D错误. 故选：C. 6. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的自变量需满足： ，解得且， 所以函数的定义域为. 7. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义一一求解即可得到答案. 【详解】选项A，，定义域为，， 是偶函数且在区间上单调递增，故选项A正确； 选项B，，定义域为，， ，不是偶函数，故选项B不正确； 选项C，，定义域为，不关于原点对称， 不是偶函数，故选项C不正确； 选项D，，定义域为，， ，不是偶函数，故选项D不正确. 故选：A. 8. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数 的定义域为 ， ①，，定义域为 ，成立； ②， 的定义域为 ， 即，恒成立， 需满足，解得， 综上可知. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对部分分．） 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式性质判断AB，取特殊值判断CD. 【详解】因为，所以，所以，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 取，则，故C错误； 取，则，故D错误. 故选：AB 10. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，函数 的最小值为 C. 若 ，，，则 D. 若实数 ， 满足 ，，，则 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，若，特值验证；选项B， 凑形，验证等号不成立；选项C，，构造基本不等式；选项D，构造 ，利用1的妙用，构造基本不等式. 【详解】选项A，若，，A错误； 选项B，因为，所以，， 当且仅当 时取等号，而，最小值取不到，B错误； 选项C，，，， 则 ，当且仅当，即时取等号，又，故当时取最小值4，C正确； 选项D， ，，，， 当且仅当时取最小值2，D正确. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的单调递增区间为和 C. 当时， D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由奇函数在处有定义，可得，可判断A；由的函数的解析式，结合奇函数的定义可得时的函数解析式，可判断C；判断时的的单调性，可得时的的单调性，不等式等价为且，且，结合，解不等式可判断D；由的图象与的图象特点，结合单调性可判断B. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，可得，故A错误； 对于C，当时， ，设，则，， 又，所以时，，故C正确； 对于D，由时， ，可得， 又和在递增，可得在递增， 由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且， 所以等价为 或 ， 解得或，故D正确； 对于B，因为在和上递增，且， 由的图象可看做的图象位于x轴上方的图象不变， 将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到， 所以的递增区间为，，故B正确. 故选：BCD. 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 不等式的解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】或， 故答案为： 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 14. 若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是__________________ 【答案】 【解析】 【分析】由可得单调递增，则每一段函数都单调递增，且在分界点处也单调递增，即，解得范围即可 【详解】根据题意，任意实数，都有成立，则单调递增，故分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增，即，则，即 【点睛】本题考查由不等式判断单调性，分段函数单调性问题，此类问题需注意不仅要使每一段函数单调递增，且分界点处也要单调递增． 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案. 【小问1详解】 ，因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 因为是成立的必要不充分条件，所以⫋， 当时，，得 当时，． 解得 ， 所以实数的取值范围是 16. 根据所给条件，分别求下列函数的解析式： （1）已知函数，求的解析式； （2）函数满足，求函数的解析式； （3）若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式． 【答案】（1）​ （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）令，将已知关系写为关于的表达式． （2）用代替，构造关于、的方程组消元即可． （3）利用奇函数在原点的函数值及，求出时的解析式，再分段表示． 【小问1详解】 令，则， 所以， 即． 【小问2详解】 由题意得①， 以代替，得②． 将①的两倍与②相加，得，所以． 【小问3详解】 因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 所以． 所以． 17. 已知一元二次函数 ． （1）当 时，求 的值域； （2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）将解析式配方，比较顶点及区间两端点处的函数值，确定值域． （2）利用二次函数的单调性，将给定区间包含于其递增区间转化为对的限制． 【小问1详解】 ，配方得，因为，所以当时，取得最小值； 又在上单调递减，在上单调递增，且，，所以的最大值为21，值域为． 【小问2详解】 由第（1）问的配方结果可知，在上单调递减，在上单调递增，故题设等价于， 即，解得，即实数的取值范围为． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）在上单调递增． 证明：设，则 ． 因为，所以，，即； 又，所以，即． 所以在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，以及奇函数满足，建立等式计算参数的值； （2）根据单调性的定义证明单调性，利用作差法比较的大小； （3）利用奇函数以及单调性解不等式，需要注意定义域． 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，即． 又，所以． 此时，满足，符合题意． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为为奇函数，所以． 又在上单调递增，所以，，且， 即，，且， 所以，即实数的取值范围为． 19. 设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）题目转化为不等式有实数解，考虑，，三种情况，计算得到答案. （2）题目转化为，，考虑函数在上递增，计算最小值得到答案. 【小问1详解】 有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则； 当时，取，则成立，满足有实数解； 当时，二次函数的图象开口向下，要有解， 当且仅当，，从而得. 综上所述：，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 不等式对于实数时恒成立，即， 显然，函数在上递增， 从而得，即，解得，所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第二十七中学 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，，那么为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，如果，那么实数的取值为（　　） A. B. C. 或 D. 4. 已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（　　） A. B. C. D. 5. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 7. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对部分分．） 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列与基本不等式有关的命题中正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，函数 的最小值为 C. 若 ，，，则 D. 若实数 ， 满足 ，，，则 的最小值为 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的单调递增区间为和 C. 当时， D. 的解集为 三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12. 不等式的解集为______ 13. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 14. 若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是__________________ 四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设集合，集合． （1）若，求和 （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 根据所给条件，分别求下列函数的解析式： （1）已知函数，求的解析式； （2）函数满足，求函数的解析式； （3）若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式． 17. 已知一元二次函数 ． （1）当 时，求 的值域； （2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围． 19. 设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $