精品解析：甘肃定西市渭源县第二中学2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试题

定西市渭源二中2026-2027学年第一学期期中考试试题 高一 数学 一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 4. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 满足对定义域内任意实数 ，都有 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每题6分，共18分） 9. 设全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知、、均为实数，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 11. 已知函数定义域为，若存在闭区间，使在内单调，且在上的值域为，则称区间为的和谐区间，下列结论正确的有（ ） A. 在上存在和谐区间 B. 在上存在和谐区间 C. 在上存在和谐区间 D. 在上存在和谐区间 三．填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 命题：“，”的否定是________________________________． 13. 不等式 的解集为________． 14. 若奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______． 四．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 16. 已知集合，集合． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式． 18. 已知函数满足，且． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并证明； 19. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的取值范围； （3）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定西市渭源二中2026-2027学年第一学期期中考试试题 高一 数学 一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】对于充分性：由二次根式性质得， 则，化简得， 即，得到，故充分性成立， 对于必要性：令，满足， 不满足，故必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由基本不等式可得， 当时等号成立，因此的最小值为9． 4. 已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接求解函数值即可. 【详解】因为，所以． 5. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数图象关于轴对称，将不等式转化为，解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递增， 所以，解得. 6. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，所以. 7. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析函数和的取值情况，从而判断，再结合得到，从而,结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有，且,所以. 又，解得，则. 当时，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 8. 已知函数 满足对定义域内任意实数 ，都有 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由条件判断分段函数整体单调递减，分别保证两段各自递减，再满足左段在处的函数值大于等于右段的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】由条件知 在 上单调递减． 当 时， 的对称轴为 ， 需 ，即 ； 当 时，需 ，即 ； 又 ，即 ． 综上 ， 则实数 的取值范围为． 二．多选题（每题6分，共18分） 9. 设全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】ABC 【解析】 【详解】已知全集，集合，集合， 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，由A选项知，则其在实数集上的补集或，故C正确； 对于D选项，根据德·摩根定律，，由B选项知，其补集为或，故D错误. 10. 已知、、均为实数，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A利用不等式性质，两边同除以正数判断大小；选项B用作差法分析符号，结合反例排除；选项C通过换元构造基本不等式形式求最大值；选项D用“乘法”展开后结合基本不等式求最小值． 【详解】对于A，由，得，所以，，即，A正确； 对于B，， 当时，差的符号还取决于与的大小， 例如，，则，B错误； 对于C，令，则， 当且仅当时，即时，等号成立，C正确； 对于D，由，，得，， ， 当且仅当，即当时，等号成立，D正确． 11. 已知函数定义域为，若存在闭区间，使在内单调，且在上的值域为，则称区间为的和谐区间，下列结论正确的有（ ） A. 在上存在和谐区间 B. 在上存在和谐区间 C. 在上存在和谐区间 D. 在上存在和谐区间 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐项假设是和谐区间，先由单调性写出值域，再与对应端点比较，即可判断A、B、C，将D化为方程有解问题，结合推出矛盾即可判断. 【详解】对于A，在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在和谐区间，A符合题意. 对于B，在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在和谐区间，B符合题意. 对于C，在上单调递增，取， 则该区间上的值域为，存在和谐区间，C符合题意； 对于D，在上单调递减， 若是和谐区间，则该区间上的值域为， 故、，两式相减化简得. 则，解得，而,矛盾， 故在上不存在和谐区间，D不符合题意. 三．填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 命题：“，”的否定是________________________________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题的规则，替换量词并否定结论即可得到结果. 【详解】根据含量词命题的否定的改写规则，先将量词“”替换为“”，再将“”改为“”， 得到命题“”的否定为“”. 13. 不等式 的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式的对应方程， 的两根为， 由于二次函数开口向上，函数值小于等于零的部分位于两根之间， 因此解集为. 14. 若奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义得出，并将化简为，最后利用单调性解不等式即可. 【详解】因为为奇函数，，所以，， 故， 因为在上为增函数，所以在上为增函数， 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原不等式的解集为． 四．解答题（本大题有5小题，共77分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 15. 已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据是的子集可得为方程的根，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合题设分、中只有1个元素、中有2个元素讨论求解即可. 【小问1详解】 ， 因为是的子集，所以为方程的根， 则，解得. 【小问2详解】 由，是的子集， 当时，，解得，此时满足题意； 当中只有1个元素时，，解得， 此时，满足题意； 当中有2个元素时，由（1）知，，此时. 综上所述，实数的取值范围为或. 16. 已知集合，集合． （1）求集合； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过移项通分将分式不等式转化为整式不等式，结合分母不为零的条件求解集合； （2）先化简绝对值不等式得到集合，再根据充分非必要条件的逻辑关系，将问题转化为是的真子集，列不等式求解的取值范围。  【小问1详解】 对不等式进行移项，得， 通分整理得，不等式等价于， 由，可得解集为，结合分母不为零的条件， 因此集合. 【小问2详解】 由，可得，因此.显然不是空集， 因为“”是“”的充分非必要条件， 因此集合是集合的真子集， ① 集合的左端点不大于集合的左端点，即，得； ② 集合的右端点不小于集合的右端点，即， 得. 因为区间长度为，区间长度为4，故两端等号不能同时成立， 综上，实数的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） ； （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】 （1）利用一元二次不等式解集与对应二次方程根的关系，结合韦达定理求解参数； （2） 先对函数因式分解，再根据的符号及与的大小关系分类讨论求解不等式. 【小问1详解】 由不等式的解集为，可知，且是方程的两个实根， 根据韦达定理，两根之积满足，解得，经检验符合题意. 【小问2详解】 对因式分解得，不等式即， 分情况讨论： ① 当时，不等式等价于，由于，故解集为； ② 当时，不等式化为，解得，即解集为； ③ 当时，不等式等价于： （i）若即，不等式为，对任意恒成立，故解集为； （ii）若即，解得或，即解集为； （iii）若即，解得或，即解集为. 综上可知：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 已知函数满足，且． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并证明； 【答案】（1）， （2）由（1）得，函数在上单调递增，证明如下： 设，则，   因为，所以，，，   所以，即，   所以函数在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列方程组求解即可； （2）由（1）得到函数的解析式，利用函数单调性定义证明即可． 【小问1详解】 已知函数满足，且， 得方程组：，  即，解得：，. 【小问2详解】 略. 19. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的取值范围； （3）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据幂函数系数为 1 的定义求解m的取值，再结合函数的单调性验证取舍，最终得到函数解析式； （2）先判断的奇偶性与正半轴单调性，利用偶函数性质将函数不等式转化为自变量绝对值的大小关系，平方后解二次不等式得到解集； （3）将 “任意，都存在” 的双量词问题转化为最值关系，利用关于的一次函数单调性求出右侧表达式的最大值，解二次不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递减， 可得，解得或， 当时，，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，不合题意， 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以． 【小问2详解】 由知，定义域为，为偶函数且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 【小问3详解】 由（1）知， 因为对，都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $