精品解析：湖南长沙市长郡集团2026-2027学年八年级上学期期中联考数学试卷 （11月）

2026年秋季八年级期中限时检测试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共24个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ） A. 2，4，8 B. 3，6，8 C. 2，10，13 D. 5，5，10 6. 若，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 7. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 8. 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 中垂线的性质定理 C. 角平分线的性质定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 10. 如图，在中，，，，的平分线交于点D，点P，Q分别是，上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 下图中的所有三角形都是等腰三角形，其中，则（ ）． 12. 一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 13. 如图，在中，，，将沿方向向右平移，得到，交于M，则__________． 14. 若，，则________． 15. 如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 16. 如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______________． 三、解答题（本大题共包括8个小题，17小题16分，18、19小题各6分，20、21、22小题各8分，23、24小题各10分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（用简便运算）． 18. 先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）的面积是__________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，则点P的坐标是__________． 20. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 21. 如图，的顶点D在的边上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 23. 我们规定：若实数a与b的平方差等于63（即），则称实数对在平面直角坐标系中对应的点为“逐梦点”． （1）在点，，，中，是“逐梦点”的有__________；（填字母） （2）若点和都是“逐梦点”，且点M在第四象限内，求的值； （3）若点和点都是“逐梦点”，其中a，b均为正整数． （ⅰ）求所有满足条件的点P的坐标； （ⅱ）求的最小值． 24. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F，． （1）求的度数； （2）①猜想、与之间的数量关系，并加以证明； ②若，当最小时，求的长； （3）记四边形的面积为，的面积为，的面积为S，且满足，，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季八年级期中限时检测试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共24个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式的运算法则计算． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 3. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 4. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】解：根据题意，是符合题意的． 5. 下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（ ） A. 2，4，8 B. 3，6，8 C. 2，10，13 D. 5，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较短两条线段的和是否大于最长线段，逐一判断选项，选出符合条件的答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴A、C、D选项的线段均不能组成三角形， ∵， ∴B选项能组成三角形， 故答案为B． 6. 若，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可． 【详解】解：， ， ∵ ， ， ∴． 故选：A． 7. 游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】要使游戏公平，凳子到三个顶点的距离必须相等，保证三名同学到凳子的距离一致，获胜概率相同． 【详解】解：选项A，三角形三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此该交点到三个顶点的距离相等，选项符合题意； 选项B，三角形三条角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此该交点到三角形三边的距离相等，不满足到三个顶点距离相等的要求，选项不符合题意； 选项C，三角形三边中线的交点为重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，到三个顶点的距离不相等，选项不符合题意； 选项D，三角形三边上高的交点为垂心，无到三个顶点距离相等的性质，选项不符合题意． 8. 用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，结合作图得又因为，故，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得 ∵， ∴， ∴， 故选：A， 9. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 中垂线的性质定理 C. 角平分线的性质定理 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，的平分线交于点D，点P，Q分别是，上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，根据轴对称图形的性质及全等三角形的性质得点在边上，结合当时取最小值和等腰直角三角形的特征即可求解． 【详解】解：作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，如图： 则， ∵根据对称的性质知， ∴， 又∵是的平分线，点P在边上，点Q在直线上， ∴， ∴， ∴点在边上， ∴当时，线段最短， ∵，，， ∴当时，点是边的中点， ∴， ∴的最小值是3． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 下图中的所有三角形都是等腰三角形，其中，则（ ）． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图， 是等腰三角形，， ， 是等腰三角形， ， ． 12. 一个长方形的长为，宽为，若这个长方形的面积中不含x的一次项，则p的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式得到两个多项式的乘积，展开合并同类项后，利用不含一次项即一次项系数为，列方程求解． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形面积为， ∵面积中不含x的一次项， ∴x的一次项的系数为0，即，解得：． 13. 如图，在中，，，将沿方向向右平移，得到，交于M，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得是等边三角形，继而利用平移性质得到，易证是等边三角形，继而得到的长． 【详解】解：，， 是等边三角形． ，． ∵将沿方向向右平移，得到， 是等边三角形，，． ， ． 是等边三角形． ． 14. 若，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式进行变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 16. 如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，，点为的中点， ∴，， 设后，与全等，分两种情况： ①当时，则， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动， ∴的运动速度相等， ∴点的速度为； ②当时，则，， ∴， ∴点的运动速度为； 综上：点的运动速度为或. 三、解答题（本大题共包括8个小题，17小题16分，18、19小题各6分，20、21、22小题各8分，23、24小题各10分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（用简便运算）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 18. 先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2． 【答案】；-16 【解析】 【分析】原式中括号中利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）的面积是__________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为4，则点P的坐标是__________． 【答案】（1）如图所示，为求作的； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）依次找出点、、关于轴的对称点、、，顺次连接、、，可得； （2）用上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积减去底和高都是2的直角三角形、底为3，高为4的直角三角形的面积即可； （3）P为x轴上一点，若的面积为4，则的底为的长，高为点的纵坐标，依此列方程可求得点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：点， 的高为， ， ， 点， 当点在点左侧时，；当点在点右侧时，； 综上所述，点P的坐标是或． 20. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 【答案】（1）计划种植草坪的面积为 （2）种植草坪应投入的资金是243000元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键． （1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可； （2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解． 【小问1详解】 解：（1）两块空地总面积：， ， 栽花面积：， 草坪面积：． 【小问2详解】 ，，草坪价格为30元/， 应投入的资金元． 21. 如图，的顶点D在的边上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，理解题意，证明是解题关键． （1）根据证明，即可证明，进而得到； （2）根据得到，由，，且，即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵点D在上， ∴， ∵，且， ∴， ∴的度数是26°． 22. 如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用线段的垂直平分线的性质和等角对等边得出相等的线段，利用三角形的内角和定理求出角的度数，进而可得出等边三角形； （2）过点作，交于点，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，然后利用等腰三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， ∵是边的垂直平分线， 是直角三角形， 在中，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴ ∴在中，， ∴， 由（1）得， ∴是等腰三角形， 根据三线合一得，， ∴． 23. 我们规定：若实数a与b的平方差等于63（即），则称实数对在平面直角坐标系中对应的点为“逐梦点”． （1）在点，，，中，是“逐梦点”的有__________；（填字母） （2）若点和都是“逐梦点”，且点M在第四象限内，求的值； （3）若点和点都是“逐梦点”，其中a，b均为正整数． （ⅰ）求所有满足条件的点P的坐标； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1）A，B （2） （3）（ⅰ）满足条件的点的坐标为，，；（ⅱ）最小值为 【解析】 【分析】（1）根据逐梦点定义，验证各点横坐标平方与纵坐标平方的差是否为63即可判断； （2）先利用逐梦点定义和第四象限点的坐标特征求k，再结合平方差公式求，最后代入计算比值； （3）（ⅰ）将变形为，结合a，b为正整数的条件，分解63的正因数对并列方程组求解；（ⅱ）先根据逐梦点定义求出的值，再利用完全平方的非负性求代数式的最小值． 【小问1详解】 解：由题意得，点：，符合定义，是逐梦点； 点：，符合定义，是逐梦点； 点：，不符合定义，不是逐梦点； 点：，不符合定义，不是逐梦点． 综上所述，是“逐梦点”的有A，B； 【小问2详解】 解：点是“逐梦点”， ， ， ． 点M在第四象限， ， ． 点是“逐梦点”， ， ； 【小问3详解】 解：（ⅰ）点是“逐梦点”， ， ∴， 均为正整数， ，且均为正整数，． 为偶数， 与同奇偶． 的正因数对为，均为奇数，符合同奇偶的条件， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，满足条件的点P的坐标为； （ⅱ）点是“逐梦点”， ， ， ， ∴， ， ， ， ． 将代入，得． 的最小值为． 24. 如图，在中，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F，． （1）求的度数； （2）①猜想、与之间的数量关系，并加以证明； ②若，当最小时，求的长； （3）记四边形的面积为，的面积为，的面积为S，且满足，，请求出的面积． 【答案】（1） （2）①，证明如下： 如图，在上取点，使得，连接， 由（1）可知，， ， 平分，平分， ，， 又，， ， ， ， 又，， ， ， ； ②5 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义，得到，即可得解； （2）①在上取点，使得，连接，先证明，进而得出，再证明，得到，即可得证； ②当最小时，最小，此时，利用30度角所对的直角边等于斜边一半即可求解； （3）在上取点，使得，连接，由（2）可知，，，则，进而推出，再根据等量关系，求出，即可得解． 【小问1详解】 解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ②由①可知，， 当最小时，最小，此时， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，在上取点，使得，连接， 由（2）可知，，， ，， ， 的面积为， ， 四边形的面积为，的面积为S， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $