15 2026年淄博市张店区学业水平第一次模拟试题-【中考321】2027年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东专版）

15 2026年淄博市张店区学业水平第一次模拟试题 (时间：120分钟总分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1在二-7，一3，-2这四个数中，最小的无理数是 号 B.-327 C.-3 D.-√2 2.米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器。如图，图1是一种无盖米斗，其 示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图为 20 正面 图1 图2 中四留孩CNA 《丙午年》邮票 第2题图 第3题图 第4题图 3.2026年，农历丙午年，也是马年。中国邮政于2026年1月5日发行如图所示的《丙午年》特种邮票 1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔 腾”的团结力量。此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为() A.2668×104 B.2.668×10 C.2.668×108 D.0.2668×108 4.如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD,将ABCD沿EF折叠，A,D两点分别与A',D'两点对应。若 ∠1=∠2，则∠AEF的度数为 A.55 B.60° C.65 D.70° 5.4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时 间，并进行了统计，根据调查结果制作了如图的统计图，则在本次调查的这组数据中，众数和中位数 分别是 () A.8,8 B.8,8.5 C.9,8.5 D.9,9 人数 18 ----------17---------- 642 ---15-------- 81 8 9 10时间h B 第5题图 第6题图 6.如图，四边形AOBC的顶点A,B,C在⊙0上，点E在BC的延长线上。若∠ACE=68°，则∠AOB的度 数为 A.112° B.126 C.136° D.158 -113 7.小颖同学早晨出门跑步时，离家的距离y(单位：米)与时间x(单位：分钟)之间大致的函数图象如图所 示。若用点A表示小颖家的位置，则小颖跑步的路线有可能是 () 匹 元 0 第7题图 第8题图 8.《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著。该著作记载了“买椽多少”问 题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”。大意如下：现请人代买一 批椽，这批椽的价钱为6210文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好 等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽 有x株，则符合题意的方程是 （) A. 210 =3(x-1) B.6210 C.6210 3x D.6210-3 x-1 =3(x-1) x-1 9.爱思考的小明同学在学习了“反比例函数”与“二次函数”之后，利用数学绘图软件探究了函数y= (k,a,b是常数)的图象，小明在输入k=5及a,6的一组值后得到如图所示的函数图象，则下列 ax2+bx 关于小明输入的α，b的值，判断正确的是 A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b<0 D.a<0,b>0 B A 0 第9题图 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=1与直线l2:x=2相交于点A,以点P(m,1)为圆心，m(m>0)为 半径的⊙P交直线L1于B,C两点（点C在点B右边），连接OC,交⊙P于点D,在x轴上方的直线L2上 取点Q,连接OQ,DQ。现有以下结论： ①0C2+AC2的最小值是3； ②DQ的最小值是： ③0Q+DQ的最小值是V65-1 2； ④当0Q+DQ取得最小值时，m的值恰好为65+1 16。 其中正确的结论有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 -114- 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。不需写出解答过程） 2 1.写出使分式x一3有意义的x的-个值： 12.因式分解：x2+2x+1= 13.如图，已知点A(-3,2),B(1,-2),连接AB,将线段AB平移得到线段CD。若点B的对应点是D(5,0), 则点A的对应点C的坐标是 D B 第13题图 第14题图 14.如图，在△ABC中，∠ABC=105°，AC=√3+1，将△ABC绕，点C顺时针旋转90°得到△FEC(点A的对 应点是点F),连接AF,BE,并延长BE交AF于点D,则AD的长为 15.在平面直角坐标系中，对于点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1-y2=2(x1-x2),则称点A和点B互为“和谐 点”。已知C是以点0为圆心，1为半径的⊙0上的一点，若反比例函数y=的图象上存在点C的 和谐点D,则k的取值范围是 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1607分先，再求版小司小44 其中x=3。 -115 17.(8分)如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD,取边BC的中点E,连接DE并延长交AB的延长线于点F。 (1)求证：△CED≌△BEF; (2)如图2，连接AE,当AE=3,DE=4,AD=5时，求四边形ABCD的面积。 D D B 图1 图2 18.(8分)已知二次函数y=x2+4x-6。 (1)利用配方法将y=x2+4x-6化成y=a(x-h)2+k的形式，并直接写出该二次函数的顶点坐标和对 称轴； (2)如果在该二次函数的图象上有两点A(m,y1),B(m+1,y2),其中y1+y2=5,求m的值。 —116- 19.(9分)为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文体育观念，营造 浓厚体育氛围，强健学生体魄，砥砺学生意志。该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位： h)进行统计，按照每周锻炼时间分成四组，A:0≤x<3;B:3≤x<6;C:6≤x<9;D:9≤x≤12，并绘制了 如图1、图2两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 并补全条形统计图； (2)若该校八年级共800名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选 2名参赛，请用列表法或画树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率。 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 抽取学生每周锻炼时间的扇形统计图 人数 20 口七年级 18 口八年级 1 14 10 D 8642 B 0 D组别 图1 图2 20.(10分)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=(>0)的图象相交 于A(2,m),B两点，过点A作AC⊥x轴于点C,连接BC。 (1)求该反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标； 3 (2)若点D在该反比例函数的图象上，当S△cn=4SaMc时，求点D的坐标； (3)请直接写出关于x的不等式2x>的解集。 117- 21.(9分)图1是某地某河段上的斜拉桥。该地某校九年级一数学实践小组计划运用所学知识，测量该 斜拉桥桥面上桥塔的高度，该数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，制定了如下方案： C37 450CXD B 图1 图2 【数据采集】 如图2，EF是水平的斜拉桥桥面，A是竖直桥塔顶部一点，AB即为桥塔的高度。无人机在桥塔上方点 C处时，测得桥塔顶部A处的俯角∠ACD=37°，底部B处的俯角∠BCD=59°，无人机沿水平方向由点 C向前飞行56米到达点D处，在D处测得A处的俯角∠ADC=45°，已知图中各点均在同一竖直平 面内。 【数据应用】 请根据以上数据求桥塔AB的高度。（结果精确到1米，参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52， tan59°≈1.66，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) -118 22.（12分)小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究。如图1，在菱形ABCD和等 腰三角形CEF(CF=EF)中，∠ABC=2a,∠ECF=,连接AE,取AE的中点M,并连接DM,FM。 【初步探究】 (1)小强发现：如图2，当=45时，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一周，线段DM与FM之 间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系； 【再次探究】 (2)小强又发现：如图3，当aα=30°时，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一周，线段DM与FM 之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强 给予证明； 【深入探究】 (3)小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形CEF绕点C逆时针旋转一周，线段DM与FM之间仍 始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系（其中的数量关 系用含α的式子表示)。 2a 人60 D 图1 图2 图3 -119 23.（12分)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过边长为4的等边三角形A0B 的三个顶点，已知等边三角形AOB的边OB在x轴的正半轴上，P,Q分别是边OB,AB上的动点，且AQ =20P,连接PQ。 (1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； (2)如图2，C是x轴上方二次函数y=ax2+bx+c的图象上的一个动点，连接CP,CQ。当0P=1时， △CPQ的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 图3，在等边三角形A0B的边O4上取中点D.连接DP。DP+3PQ的值是否存在最小 在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由。 B 图1 图2 图3 —120一证=9.46A6=29=3vB。 6 AB=6,.在Rt△FAB中，BF=√AF2-AB2=9。 ∴.CF=BF-BC=5。 :∠EAF=∠CAB, ∴.∠EAF-LCAE=LCAB-∠CAE。 .∴.∠FAC=∠EAB 又.AFAC AEAB△FAC一△EAB, 器0E2c265.5g 2√/13 13 ②如图，在AB上取一点G,使得BG=3AB,连接DG 与HG。 GAB. 3 BE.. BG BH 1 BA BE 3 又，∠GBH=∠ABE,.△BGH∽△BAE。 GH BH 1 ·ABBE3 AE=9,GH=3AB=3。 BC=3 AB=2,AG=AB-BG=4. .·四边形ABCD是矩形，.AD=BC=4。 .在Rt△DAG中，DG=√AD+AG2=4V2。 .DH≤DG+GH=4√2+3，即DH的最大值为42+3。 152026年淄博市张店区学业水平第一次模拟试题 答案速查 123 45 6 7 8 9 10 CC BBAC CB DA 1.C【考点】实数的大小比较。 善总结O0OO 要点巧记 比较实数大小的方法 1.作差比较法：a-b>0曰a>b;a-b=0曰a=b;a-b<0曰 a<b. 2.平方、立方比较法：a>b(a>0,b>0)曰a2>b2(a>0,b> 0);a>b曰a3>b。 11 3.倒数比较法：若。>6，ab>0,剥a<b。 b 4.作商比较法：>1，若a>0,则b>a;若a<0,则b<ao a 2.C【考点】三视图。 3.B【考点】科学记数法。 4.B【解析】由折叠可知，∠AEF=∠A'EF。 .AB∥CD,∴.∠1=∠AEF。 又.·∠1=∠2，.∴.∠AEF=∠A'EF=∠2。 ∠AEF-3×180=60 5.A【考点】众数+中位数。 .C【解析】如图，在优弧AB上取一点F,连接AF,BF。 :∠F+∠ACB=180°，∠ACE+∠ACB=180°， ,.∠F=∠ACE=68°. .∴.∠A0B=2∠F=136°。 7.C【考点】函数的图象。 8.B【考点】分式方程的实际应用。 会审题 题干：…这批椽的价钱为6210文①。如果每株椽的 运费是3文②，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰 好等于一株椽的价钱③… 提取信息：由②③，得一株椽的价格为3(x-1)文；结合 单价=总价÷教量，得6210=3(x-1）。 9.D【解析】小k=5>0,.当ax2+bx<0时，函数图象在x轴 的下方；当ax2+bx>0时，函数图象在x轴的上方。 设0=am2+bx,则对称轴为直线x=2a b b 根据函数图可得，当<0时，w<0,20>0,a<0,b>0。 10.A【解析】：直线l1:y=1与直线l2:x=2相交于点A, .点A的坐标为(2,1)。 圆心P(m,1),半径为m,且点C在点P的右侧， .点C的坐标为(2m,1)。 .在Rt△0BC中，0C2=(2m)2+12=4m2+1. 又.AC=12-2ml, .AC2=12-2m2=4m2-8m+4。 0C2+AC2=4m2+1+4m2-8m+4=8m2-8m+5 =8(a}+3. 8>0,当m=2时，0C+AC取得最小值，最小值是3。 故①正确； 如图1，连接BD。 :BC是⊙P的直径， .∠BDC=90°。 .∴.BD⊥OC。 .点D在以BC为直径的⊙O'上。 图1 过，点0作0T⊥2于点T,交⊙0'于点D,当T,Q两点重 合时，D0最小，此时D0=D1≥0T-0D=2-1=3 2=20 3 DQ的最小值是2。故②正确： 如图2，作点0(0,0)关于直线2的对称点0”(4,0)，则 0Q=0"Q。 y --0 0 图2 .0Q+DQ=0"Q+DQ。 D是⊙0'上的动点，.当点0'，D,Q,0”四点共线时， 0Q+DQ=0'0"-0D最小。 o0,》on .0'0"=√002+00m= 1 W(2 +4=V65 20 0Q+D0的最小值为65-1 2一。 故③正确； 当0Q+DQ取得最小值时，如图3，此时0C与0'0"的交 点D为⊙0'与⊙P的交点。 N 0 0 图3 …C(2m,1),.直线0C的表达式为y= 1 0,）,04,0, 1 直线0'0”的表达式为y=8x+2 1 1 联立 l-2m 4m 解得 m+4' 11 2 =-8+2 ym+4 D4m2） m+4'm+49 解得m= 1±√6⑤ 16 1+W65 .m>0,∴.m= 16。故④正确。 综上所述，正确的结论有4个。 11.5(答案不唯一)【考点】分式有意义的条件。 12.(x+1)2【考点】因式分解。 13.(1,4)【解析】小：点B的坐标为(1，-2)，且其平移后的 对应，点D的坐标为(5,0)，.5-1=4,0-(-2)=2。 又点A的坐标为(-3,2)，-3+4=1,2+2=4。 .点A的对应点C的坐标为(1,4)。 14.√6【解析】如图，作AL⊥BD于点L,FR⊥BD交BD的 延长线于点R, 则∠ALB=∠R=90°。 .AL∥FR。 ·将△ABC绕点C顺时针旋转 90°得到△FEC, .EF=AB,CE=BC,CF=AC=√3+1，∠FEC=∠ABC= 105°，∠ACF=∠BCE=90°。 .AF=√AC2+CF=√2AC=√2×(5+1)=√6+√2， ∠CBE=∠CEB=45°。 ·∠ABL=∠ABC-∠CBE=60°， .∠BAL=90°-∠ABL=30°。∴.AB=2BL。 .AL=√AB-BL=√(2BL)2-BL=√3BL. :∠FER=180°-∠CEB-∠FEC=30°， .∴.∠FER=∠BAL。 (LFER=∠BAL, 在△FER和△BAL中，{∠R=∠ALB, EF=AB, .△FER≌△BAL(AAS)。∴.FR=BL。 FR/∥AL,.△FDR∽△ADLO .DF_FR_BL=BL=⊥ ·ADAL AL5B3 .AD=3DF。 'AF=AD+DF=√3DF+DF=√6+√2， .DF=√2。∴.AD=√3XW2=√6。 5.。≤k<0或k>0【解析：A(),B(,2,y y2=2(x1-x2),.直线AB的表达式为y=2(x-x1)+y10 .点D在直线y=2x+b上。 如图，当>0时，直线y=2x+b与双曲线始终有交点， 反比例函数上始终存在，点C的和谐点D。 当k<0时，设直线y=2x+b与圆切点为M,直线与y轴的 交点为N。 .:tan∠MOW=2,OM=1, .MN=2。 .0N=√5。.直线y=2x+W5。 当2x+5=时，2x2+5x-k=0, 5 △=5+8k=0,解得k= 8 综上所述，k的取值范围是- 8≤k<0或>0。 5 16解：1-)-4=x+2-x.(x+2)2 】÷ x+2)x2+4x+4x+2(x+2)(x-2) 2x+22 x+2x-2x-2° 2 当x=3时，原式322。 17.(1)证明：：AB∥CD,∴.∠C=∠EBF,∠EDC=∠F。 49 E是边BC的中点，.CE=BE。 「∠EDC=∠F. 在△CED和△BEF中，{∠C=∠EBF, CE=BE, ∴.△CED≌△BEF(AAS)。 (2)解：由(1)可知，△CED≌△BEF, .DE=FE=4,SACED=SABEFO S圆边形ABCD=S四边形BED+S△BEr=S AADF。 在△AED中，AE=3,DE=4,AD=5, AE2+DE2=25,AD2=25,.AE2+DE2=AD2。 .△AED是直角三角形，且∠AED=90°，.AE⊥DF。 又.·DF=DE+FE=8, 2x8x3=12. Sam=2DF·AE .四边形ABCD的面积为12。 18.解：(1)y=x2+4x-6=x2+4x+4-4-6=(x+2)2-10, ..抛物线的顶点坐标为(-2，-10)，对称轴为直线x=-2。 (2)将点A和点B的坐标代入二次函数表达式，得 y1=m2+4m-6,y2=(m+1)2+4(m+1)-6=m2+6m-1。 y1+y2=5,.m2+4m-6+m2+6m-1=5, 解得m1=1,m2=-6。∴.m的值为1或-6。 19.解：(1)80162【解析】该校此次调查共抽取了(10+ 6)÷20%=80(名)学生。扇形统计图中“B”组对应的扇 形圆心角的度数为360° 16+20=162°。 80 “C”组八年级的人数为80-10-6-16-20-6-8-4=10。 补全条形统计图如图所示： 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 人数 20H 口七年级 18H 口八年级 16 14 12 10 P 6 0 A B C D组别 10+4 (2)800× =280(名)。 6+20+10+4 答：估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生 人数为280。 (3)将七年级的2名同学分别记为甲、乙，八年级的2名 同学分别记为丙、丁，列表如下： 甲 e 丙 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙)》 (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) 由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中七年 50 级和八年级各1名同学的结果有8种，.恰好选中七年 级和八年级各1名同学的概率为8=2 123。 20.解：(1)：正比例函数y=2x的图象与反比例函数y= k (k>0)的图象相交于A(2,m),B两点， .将A(2,m)代入y=2x中，得m=2×2=4。 .点A的坐标为(2,4)。 :.将A(2,4)代入y=中，得=2x4=8。 8 .该反比例函数的表达式为y=° 点B的坐标为(-2，-4)。 (2)A(2,4),B(-2,-4), :'SAABC= C(x,)4·(x,8）_4x[2-(-2)]=8。 3 2 2 ”点D在反比例函数y=8的图象上， 设点D的坐标为x 8 AC·1xDxa1yA·1xDxa4x|x-2 2 2 2 =2lxD-21。 3 SAACD=4S△Bc, 4 3 21x-21=4×8,解得xn=-1或5。 88 88 ∴.y=2= %p-1 =-8或yp== &p 5 点D的坐标为(-1,8)或5，》。 (3)x>2或-2<x<0。 3善总结 解题技巧 “坐标法”解决反比例函数问题 “坐标法”是解决反比例函数问题的一种“通法”，此种 方法的本质是“数形结合”，通过坐标系中的，点的坐标， 可以方便地进行各种计算和推理，解决与函数相关的 问题，解题步骤清晰，且通用性强。 设而不求：解题时通常不用求出该关健点的 坐标， 列式、消元、解方程即可得到答案← 第一步： 设出关键点的坐标，这个关键点通常 设坐标 是反比例函数图象上的点 第二步： 利用关键点的坐标，表示出所给的其 求坐标 他点的坐标，用含字母的式子表示 第三步： 结合已知条件（如线段长度、图形面 列式子 积等)，列出式子 第四步： 对第三步列出的式子进行整理、化简， 得答案 得出答案 21.解：如图，延长BA交CD于点M,则BM⊥CD。 设DM=x米，则CM=CD-DM=(56-x)米。 .:∠ADC=45°，∴.AM=DM=x米。 在Rt△ACM中，∠ACD=37°， C37.M45yD .tan37° 56-x° ..0.75≈ ,解得x=24。 56-x .AM=DM=24米。 公 .CM=56-24=32(米)。 在Rt△BCM中，∠BCD=59°， 32.1.66≈AB+24 tan590≈AB+24 32。·AB≈29米。 答：桥塔AB的高度约为29米。 22.解：(1)如图1，延长DM至点N,使MW=DM,连接NE并 延长交直线CD于点G,连接FN,DF。 .·M为AE的中点，.AM=EM。 (AM=EM, 在△ADM和△ENM中，{∠AMD=∠EMN, DM=NM. ∴.△ADM≌△ENM(SAS)。 .∴.AD=EN,∠ADM=∠ENM。 .AD∥EN。.∠ADC=∠EGC。 四边形ABCD为菱形，a=45°， .∴.AD=CD,∠ABC=2a=2×45°=90° 图1 .EN=CD,∠ADC=∠ABC=90°。 ∴.∠EGC=90°。 .·CF=EF,.∴.∠CEF=∠ECF=45°。 ∴.∠CFE=180°-∠CEF-∠ECF=90°。 .∴.∠CFE+∠EGC=90°+90°=180°。 .∴.∠FCG+∠FEG=180°。 '∠FEN+∠FEG=180°，.∠FEN=∠FCD。 「EN=CD, 在△ENF和△CDF中，{∠FEN=∠FCD, EF=CF. .∴.△ENF≌△CDF(SAS)。.∴.NF=DF,∠EFN=∠CFD。 ∴.∠DFN=∠EFN+∠EFD=∠CFD+∠EFD=∠EFC=90°。 ∴.△NFD为等腰直角三角形。 MN=DM.:.FM DM,FM=DM=2DN. (2)FM=3DM,FM L DM。证明如 如图2，延长DM至点N,使MW=DM,连接NE并延长交 直线CD于点G,连接FW,DF。 同理(1)可证△ADM≌△ENM(SAS), .∴.AD=EN,∠ADM=∠ENM。 N:5 ∴.AD∥EN。.∠ADC=∠EGC。 四边形ABCD为菱形，a=30°， 60° B .∴.AD=CD,∠ABC=2a=2×30°=60°。 图2 51 .∴.EN=CD,∠ADC=∠ABC=60°。 ∴.LEGC=60°。 ·CF=EF,∠CEF=∠ECF=30°。 .∠CFE=180°-∠CEF-∠ECF=120°。 .∠CFE+∠EGC=120°+60°=180°。 ∴.∠FCG+∠FEG=180°。 '∠FEN+LFEG=180°，.∠FEN=∠FCD。 EN=CD. 在△ENF和△CDF中，{∠FEN=∠FCD, EF=CF, .△ENF≌△CDF(SAS)。∴.NF=DF,∠EFN=∠CFD。 ∴.∠DFN=∠EFN+∠EFD=∠CFD+∠EFD=∠CFE =120°。 .△NFD是顶角为120°的等腰三角形。 ∠FDM=180-∠DFm =30°。 2 :DM=MN,.FM⊥DM。 tan L.FDM=FM 。FM=5DM an300=3 DM 3 (3)如图3，延长DM至点N,使MN=DM,连接NE并延 长交直线CD于点G,连接FN,DF。 同理(1)可证△ADM≌△ENM(SAS), ∴.AD=EN,∠ADM=∠ENM. .AD∥EN。 ∴.∠ADC=∠EGC N:5==E7 -c G 四边形ABCD为菱形，∠ABC=2a, .AD=CD,∠ADC=2a。 2a ∴.EN=CD,∠EGC=2a。 图3 ·CF=EF,∴.∠CEF=∠ECF=a。 ∴.∠CFE=180°-∠CEF-∠ECF=180°-2a. ∴.∠CFE+∠EGC=180°。∴.∠FCG+∠FEG=180°。 ·∠FEN+∠FEG=180°，∠FEN=∠FCD. EN=CD. 在△ENF和△CDF中，{∠FEN=∠FCD, EF=CF. .△ENF≌△CDF(SAS)。∴.NF=DF,∠EFN=∠CFD。 ,∴.∠DFN=LEFN+∠EFD=∠CFD+∠EFD=∠EFC= 180°-2。 .△DFN是顶角为180°-2a的等腰三角形。 ∠FDM=180-∠DF 2 =。 .DM=MN,∴.FM⊥DM。 .∴.tan∠FDM= DMtan。FM=tana·DM。 FM 23.解：(1)·△A0B是等边三角形，且0，B是抛物线与x轴 的交点，.A是二次函数y=ax2+bx+c的顶点。 ,·0B=0A=4,∠A0B=60°， 1=2,4m60.01=x4=23,B(4.0 .A(2,25)。∴.二次函数的表达式为y=a(x-2)2+25。 将B(4,0)代入，得a= √3 2 ·该二次函数的表达式为y= 3 ——222、3—2￥ 2W3x。 (2)如图1，过点C作CMy轴交PQ于点M。 设点C的坐标为m,- 28m .OP=1,AQ=20P, ∴点P的坐标为(1,0)，AQ=2。 在等边三角形A0B中，AB=4。 .BQ=AB-AQ=4-2=2。 图1 六xg=0B-c0s60°·B0=4-2×2=3, √3 yg=sim60°·BQ=2×2=5。 .点Q的坐标为(3，√3)。 设直线PQ的表达式为y=x+n。 将P(1,0),Q(3,3)代入， √3 0=k+n, k 2 得 解得 5=3k+n。 3 n=- 20 √3√3 、直线PQ的表达式为y2x 20 5√3 点M的坐标为m,2m2 SACPO=SAPCM+SACOM= CM·(xc-xp)CM·(xg-xc） 2 2 3 2m+2 ·(3-1) (ycyw)·(xgxp) 2 3 =-3（m-3)2+133 -2(m2)1 2<0当m=2时，S0最大，最大值为13,3 √ .3 (3)如图2，过点A作y轴平行线，过点Q作x轴平行线， 两直线交于点H。 L-G 图2 △A0B为等边三角形，.∠QAH=30°。 设OP=t,则AQ=20P=2t。 5: 0=240-14n=0=3 点A的坐标为(2,23)，.Q(2+t,23-√3t)。 D为OA的中点，.D(1,W3)。 过点P在P0下方作GPLP0,EG-0,连接60，则 DP+V 3PQ=DP+CP≥DG,当且仅当D,P,G三点共线时， Dpr0=c. 过点P作KL∥y轴，延长QH交L于点K,过点G作 GL⊥KL于点L,则∠K=∠L=∠GPQ=90°。 .∠KPQ=∠PGL=90°-∠GPL。.△GLP∽△PKQ。 GL LP GP 3 K邓KQPQ3 KQ=2+t-t=2,KP=23-√3t, -2P-0- 。c2,2. 0-2s2- 3 :DP+5p0的值存在最小值，最小值为2YI 3 30 善总结 模型串讲 一线三直角模型 模型说明（参照表中图示）： 一线：直角顶点B,C,D共线。 三直角：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°。 A D口T 图示 全等 模型 B C 点B,C,D共线，∠B=∠ACE=∠CDE= 条件 90°，AC=CE 结论 △ABC≌△CDE 图示 相似 模型 条件 点B,C,D共线，∠B=∠ACE=∠CDE= 90°，AC≠CE 结论 △ABC∽△CDE