精品解析：2025年山东省淄博市张店区九年级中考一模数学试题

2024-2025学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列几何体中，该几何体的三视图都相同的是（ ） A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，解题的关键是准确掌握常见几何体主视图、左视图、俯视图的形状并进行判断． 分别分析每个选项中几何体的主视图、左视图、俯视图的形状，找出三视图都相同的几何体． 【详解】A、三棱柱主视图是一个矩形，中间可能有一条竖线（表示三棱柱的棱）．左视图是一个矩形．俯视图是一个三角形．三视图不相同，所以A选项错误； B、圆锥主视图是一个等腰三角形．左视图是一个等腰三角形．俯视图是一个圆及圆心（表示圆锥的底面和顶点的投影）．三视图不相同，所以B选项错误； C、圆柱主视图是一个矩形．左视图是一个矩形．俯视图是一个圆．三视图不相同，所以C选项错误； D、球无论从哪个方向看，球的主视图、左视图、俯视图都是大小相同的圆，即三视图都相同，所以D选项正确． 故选：D． 2. 下列各式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数，有理数的乘方，化简二次根式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用绝对值的性质，相反数，有理数的乘方，化简二次根式等知识逐项判断即可． 【详解】解：A． ，等式不成立，故该选项不符合题意； B． ，等式成立，故该选项符合题意； C． ，等式不成立，故该选项不符合题意； D． ，等式不成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 2025年春节假期，是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年．镇江各大旅游景区、文博场馆、商业街区人流如潮，文旅市场呈现出“年味浓、人气旺、消费热”的繁荣景象．综合各方数据测算，2025年春节期间，镇江全市接待游客约7120000人次．数据7120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：C． 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 学校要求学生每天坚持体育锻炼．吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 平均数为73分钟 B. 众数为88分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为25平方分钟 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平均数、众数、中位数、方差．分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断． 【详解】解：平均数为（分钟）， 7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟， 在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟， 方差为： ， 观察四个选项，选项A正确，符合题意，选项B、C、D错误，不符合同意． 故选：A． 6. 如图，是一个高为的容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键．根据容器形状，匀速注水，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐增大；接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大，但速度逐渐减小，因此选项符合题意． 故选：． 7. 如图，在中，，以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例，，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，由题意得垂直平分，得到，求出，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 由题意得垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，7完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运x可以完成后一半任务，则根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设单独采用机械装运可以完成后一半任务，由题意列出分式方程即可求解． 详解】解：根据题意，得， 化简得， 故选：A． 9. 对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，圆的基本特点，根据题意可得都在上，由，可得点B只能在C、D这两个位置，同理点A只能在，这两个位置，进而确定或，再确定对应情形下旋转的角度即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的半径为1， ∴都在上， 如图， ∵， ∴劣弧（不包括端点）上的任意一点到点P的距离都小于1，优弧（不包括端点）上任意一点到点P的距离大于1， ∴点B只能在C、D这两个位置， 同理可得点A只能在，这两个位置， ∴或， 当时，此时旋转角度为180度，符合题意， 当，此时点A旋转到其对应点时的旋转角度大于90度，点B旋转到其对应点时的旋转角为90度，不符合题意， ∴， 故选：B． 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是延长线上一动点，连接交于点P，将绕点O逆时针旋转得到，连接，，．若，，，则等于（ ） A. 27 B. C. 54 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于点，过点作于点，过点作于点，取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得，，再证出，根据相似三角形的性质可得，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，，然后解直角三角形可得的长和的值，从而可得的长，最后根据旋转的性质、等边三角形的判定与性质可得，，解直角三角形可得的长，利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、旋转的性质、菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 如图，已知，，则的度数为______度． 【答案】127 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行，得到，利用平行线的性质，得到，结合，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：127． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由得到当时，函数的值最小，最小值为，当时，函数值最大，最大值为，得到，即可得到答案． 【详解】解：， 当时，函数的值最小，最小值为， ， 当时，函数值最大，最大值为， 的取值范围为， 故答案为：． 14. 如图，在直径为6中，点E，F在半圆上，C是直径上一点，连接．若满足，且，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，延长交于，连接交于，连接，，先由得到点关于直径对称，垂直平分，由，得到，那么，得到，，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长交于，连接交于，连接，， ∵，， ∴， ∴点关于直径对称， ∴，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直径为6的， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点， ∵， ∴点在矩形上，且在第一象限内， ∴横坐标为， 把代入得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，连接，，使，． （1）上面是小明和小颖两位同学的对话，请选择其中一位同学的说法，并证明； （2）在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）选择小明同学的说法，见解析 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质证明即可； （2）根据直角三角形的性质，平行四边形的性质和面积公式解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：选择小明同学的说法，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； 解：选择小颖同学的说法，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 18. 已知关于的二元一次方程组． （1）若，求的值； （2）若均为非负数，求的取值范围； （3）已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值，的最小值 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求出，得到，求解即可； （2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案； （3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值． 【小问1详解】 解：关于的二元一次方程组， 将①＋②，得， ， ， ； 【小问2详解】 解：解关于的二元一次方程组，得 均为非负数， ，且， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：， ， ∵， 随着的增大而增大， ， 的最大值，的最小值． 19. 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对该校七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）素进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图①、②两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 度，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共800名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【答案】（1）80，162，见解析 （2）280人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键． （）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数所占的百分比，即可得出答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案； 【小问1详解】 解：该校此次调查共抽取了（名）． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为， 组中八年级的学生人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：（人） 答：估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约280人； 【小问3详解】 解：将七年级的2名同学分别记为，将八年级的2名同学分别记为，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有：，，，，，，，，共8种， 所以，恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为． 20. 如图，直线与双曲线相交于点A，B（点A在第一象限，点B在第三象限），与x轴相交于点C，过点A作轴于点D，连接并延长交该双曲线于点E，连接，已知． （1）请直接写出该双曲线的表达式； （2）求的面积； （3）请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，根据反比例函数与一次函数的交点求一元一次不等式的解集， （1），先标注图形，可得，再设点的坐标，可表示，然后根据三角形的面积相等得出方程，求出解即可； （2），求出直线的关系式，进而求出点E得知坐标，再作轴，交于点G，可得，然后联立函数关系式求出点B的坐标，最后根据得出答案； （3），根据交点坐标，结合直线在双曲线上方的部分得出答案即可. 【小问1详解】 解：先标注图形， 当时，， ∴点； 当时，， ∴， 即. 设点的坐标为，则， ∴， 即， 解得（舍去）或， ∴点，. 将点代入反比例函数的关系式，得， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为. 将两个关系式联立，得， 解得（舍去）， ∴点. 过点E作轴，交于点G， 当时，， ∴点， ∴. 将直线和反比例函数关系式联立，得， 解得（舍去）， ∴点. ∴； 【小问3详解】 解：当或时，. 21. 解答 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车． 素材2 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材3 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元． 问题解决 任务1 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材3，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车售价． 【答案】任务1：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%；任务2：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，根据题意得到，进而问题可求解． 【详解】解：任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量让利于顾客， ∴． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 22. 综合与实践： 【实践操作】 （1）如图，将矩形对折，使与重合，得到折痕，展开后再一次折叠，使点落在上的点处，并使得折痕经过点，得到折痕． 【问题提出】 （2）在（）的条件下，已知，，求的长． 【问题探究】 （3）如图，在（）的条件下，若点是射线上的一个动点，将沿翻折，得，连接．设，在点从点出发沿射线方向运动的过程中，当取得最大值时，解决下列问题： 求的长； 直接写出的长． 【问题拓展】 （4）如图，在（）的条件下，延长至点，使，连接．问在点从点出发沿射线方向运动的过程中，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】[问题提出]（）；[问题探究]（）；或；[问题拓展]（）存在，或 【解析】 【分析】[问题提出] 由（）得：，则，根据三角函数得，由折叠性质得，故有，然后由线段和差即可求解； [问题探究] 由题意得点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，则当直线与圆相切，即时，取最大值，然后由勾股定理得； 分当在上方时和当在下方时，过作交延长线于点，两种情况分析即可； [问题拓展]分当与重合时和当时，然后由三角函数即可求解． 【详解】解：[问题提出]（）由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； [问题探究]（）∵点是射线上的一个动点，沿翻折，得， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， ∵， ∴当直线与圆相切，即时，取最大值， ∴由勾股定理得：； 当在上方时，如上图， ∵沿翻折，得， ∴，， 由（）得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在下方时，过作交延长线于点， 由上得，， ∴， ∵沿翻折，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴； [问题拓展]（）存在，理由， 如图，当与重合时， 此时， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 如图，当时， ∴， 综上可知：的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，切线的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标； （3）如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． 请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； 过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点P的坐标为； （3），点在新抛物线上；存在，． 【解析】 【分析】（）由，得出点的坐标为，点的坐标为，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，得出，故有，然后由面积可得， 将代入抛物线中，得，（舍去），从而求解； （）由二次函数的平移和二次函数的性质即可求解； 设直线的表达式为，然后将新抛物线的表达式与直线的表达式为联立和将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立，求出点，点，分别过点，作轴于点，轴于点，证明，则，所以，解得，，再由点在直线的左侧，点在轴的右侧，则，最后代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线：， ∴顶点的坐标为， 当时，， 解得，， ∴与轴的交点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，， 代入中，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴直线与轴的交点的坐标为， ∴，， ∴， 根据等底等高的三角形的面积相等得， ∴， ∵， ∴， ∴的边上的高与的边上的高的比， ∴， 将代入抛物线中，得，（舍去）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线， ∴新抛物线的表达式：， 当时，， ∴点在新抛物线上； 存在，理由如下： ∵直线过点， ∴设直线的表达式为， 将新抛物线的表达式：与直线的表达式为联立， 得 解得（舍去），， ∴点坐标为， 将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立， 得， 解得（舍去），， 所以，点坐标， 如图，分别过点，作轴于点，轴于点， ∵的内切圆的圆心在直线上， ∴直线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点在直线的左侧，点在轴的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，内切圆等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列几何体中，该几何体三视图都相同的是（ ） A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 2. 下列各式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节假期，是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年．镇江各大旅游景区、文博场馆、商业街区人流如潮，文旅市场呈现出“年味浓、人气旺、消费热”的繁荣景象．综合各方数据测算，2025年春节期间，镇江全市接待游客约7120000人次．数据7120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 学校要求学生每天坚持体育锻炼．吴亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统计图，下列关于吴亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ） A. 平均数为73分钟 B. 众数为88分钟 C. 中位数为67分钟 D. 方差为25平方分钟 6. 如图，是一个高为容器，现向该容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度与注水量关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A B. C. D. 8. 某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，7完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运x可以完成后一半任务，则根据题意，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C D. 9. 对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是延长线上一动点，连接交于点P，将绕点O逆时针旋转得到，连接，，．若，，，则等于（ ） A. 27 B. C. 54 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 因式分解：a3－a=______． 12. 如图，已知，，则的度数为______度． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围为______． 14. 如图，在直径为6的中，点E，F在半圆上，C是直径上一点，连接．若满足，且，则弦的长为______． 15. 如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为______． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，连接，，使，． （1）上面是小明和小颖两位同学的对话，请选择其中一位同学的说法，并证明； （2）在（1）的条件下，若，，求平行四边形的面积． 18. 已知关于的二元一次方程组． （1）若，求的值； （2）若均为非负数，求的取值范围； （3）已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 19. 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对该校七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）素进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图①、②两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为 度，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共800名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 20. 如图，直线与双曲线相交于点A，B（点A在第一象限，点B在第三象限），与x轴相交于点C，过点A作轴于点D，连接并延长交该双曲线于点E，连接，已知． （1）请直接写出该双曲线的表达式； （2）求的面积； （3）请直接写出关于x不等式的解集． 21. 解答 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车． 素材2 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材3 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元． 问题解决 任务1 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材3，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 22. 综合与实践： 【实践操作】 （1）如图，将矩形对折，使与重合，得到折痕，展开后再一次折叠，使点落在上的点处，并使得折痕经过点，得到折痕． 【问题提出】 （2）在（）的条件下，已知，，求的长． 【问题探究】 （3）如图，在（）的条件下，若点是射线上的一个动点，将沿翻折，得，连接．设，在点从点出发沿射线方向运动的过程中，当取得最大值时，解决下列问题： 求的长； 直接写出的长． 【问题拓展】 （4）如图，在（）的条件下，延长至点，使，连接．问在点从点出发沿射线方向运动的过程中，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 23. 如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标； （3）如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． 请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； 过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$