安徽六安市叶集区2026-2027学年九年级数学第一学期检测试题

2026-2027第一学期学业水平检测期中联考 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有且只有一个选项正确） 1．（4分）若和是方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形 3．（4分）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．（4分）若关于x的方程有一个根是1，则m的值为（ ） A．3 B．1 C． D． 5．（4分）方程的根是（ ） A． B． C． D．， 6．（4分）如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A． B． C． D． 7．（4分）如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．（4分）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 9．（4分）二次函数的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值时，x的取值范围是（ ） x 0 1 2 y 0 3 4 3 A． B．或 C． D．或 10．（4分）已知函数，，当时，，则（ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12．（4分）如图，已知的半径为1，点P是外一点，且．若是的切线，T为切点，连结，则________________． 13．（4分）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有x名学生，可列方程_________________． 14．（4分）如图，，，可以看作是由绕点O顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是___________． 15．（4分）设、是的两条弦，．若的半径为13，，，则与之间的距离为___________． 16．（4分）如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F．点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为_______________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程）． 17．（6分）解方程：． 18．（10分）先化简，再求值：，其中． 19．（10分）如图，C是上一点，点P在直径的延长线上，的半径为6，，．求证：是的切线． 20．（10分）某市交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 21．（10分）如图，点D为等边的边的中点，．将绕A点逆时针旋转． （1）尺规作图：作出旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在题1所作图形中，连接D点与它的对应点，并求出它的长度． 22．（10分）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接． （1）若，则的度数为_________； （2）若，，求的长． 23．（10分）其小组准备合作制作出一个水流装置下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一和任务二． 24．（10分）如图，点C为外接圆上的一动点（点C不在弧上，且不与点B，D重合），． （1）求证：是该外接圆的直径； （2）连结，试探究，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）若关于直线的对称图形为，连接，直接写出，，三者之间满足的等量关系． 25．（10分）在平面直角坐标系中，点，已知抛物线（m是常数）的顶点为P． （1）当抛物线经过点A时， ①求顶点P的坐标； ②设直线l：与抛物线交于B、C两点，抛物线上的点M的横坐标为，过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q．若，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围． （2）无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当时，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与试题解析 一 选择题（共10小题） 题号 6 910 答案 D C B C D 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题有且只有一个选项正确） 1.解：由根与系数的关系，x1+x2=3,x1x2=-4, 所以x1+X2-x1x2=3-(4)=7。 故选：C. 2.解：等边三角形、正五边形只是轴对称图形：平行四边形只是中心对称图形： 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选：D 3.解：解析：抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”。y=x2向右平移2个单位得 y=(x-2),再向上平移3个单位得y=(x-2)2+3。 故选：B。 4.解：根据题意关于x的方程2x2-x+m=0的一个根是1. 把x=1代入方程得到2-1+m=0,解得m=-1.故选：C. 5.解：(x-1)2=0, ∴x-1=0,则x1=x=1,故选：B. 6.解：：∠BOC=78°.∠BAC=B0C, ∴∠BAC=2×78=39°.故选：C 7.解：由旋转得，AC=CE=5,DE=AB=2,∠ACE=90° 在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE=VAC2+CE=5V2, ∴.AD=AE-DE=5V2-2.故选：D. 8.解析：因为d=4<r=5,所以直线1与⊙0相交。 故选：A. 第1页（共11页） 9.解：，抛物线经过点(0,3)，(2.3)， ∴.抛物线的对称轴为直线=1. ∴.抛物线的顶点坐标为(1,4)，抛物线开口向下， ,抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1,0)， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)， ∴.当-1<x<3时，y>0.故选：C 10.解：联立n=m2+n2=r+n（m>0)并解得x=0或1， :m>0,故抛物线开口向上，则0<x<1时，<y2 p<x<q时，y1<2·.0sp<qs1,.0<q-p1.故选：D. 二.填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11.解：点（-2,3)关于原点对称的点的坐标为(2，-3). 故答案为：(2，-3). 12.解：PT是⊙0的切线，T为切点， .OT⊥PT,在Rt△OPT中，OT=1,OP=2, ∴PT=V0P2-0T=V22-1z=V3.故：PT=V3. 故答案为：V3. 13.解：设全班共有x名同学，则每名同学需发(x-1)条祝福短信， 根据题意得：x(x-1)=2450. 故答案为：x(x-1)=2450. 14.解：由条件可知∠A=65°， 由旋转性质可知OA=OA, ∴.∠A=∠OAA=65, ∴.∠A0A'=180°-65°-65=50°，.旋转角a的大小是50°， 故答案为：50°. 15.解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD,交AB于F,连接OA、OC, 由垂径定理可知AF=AB=×24=12,CE=CD=号×10=5， 在Rt△CE0中，OE=VOC2-CEZ=V132-5Z=12: 同理，0F=V0A2-AF=V132-122=5,故EF=0E-0F=12-5=7: 第2页（共11页） ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD,交AB于F,连接OA、OC, 同（一)可得0E=12,OF=5,EF=0E+0F=12+5=17: 故答案为：17或7. 40 E 0 (一) (仁) 16.解：过G作GMLAC于M,连接AG,如图所示： y个 x D GO⊥AB,,∴.OA=OB,'G(0,3),.OG=3, 在Rt△AGO中，.'AG=6,OG=3, ∴.0A=VAG2-G0=3V3, ∴∠GA0=30°，AB=2A0=6V3. .∠AG0=60°， .GC=GA=6, ∴.∠GCA=∠GAC. ,∠AGO=∠GCA+∠GAC, .∠GCA=∠GAC=30°. ∴4C=20A=6V3.MG=CG=3. ,∠AFC=90°， ∴点F在以AC为直径的⊙M上， MF=竖=3V3. 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM-MG=3V3-3, 第3页（共11页） 故答案为：3V3-3. 三、解答题（本大题有9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程）. 17.解：x2-2x-15=0. (x+3)(x-5)=0. ,x+3=0或x-5=0. .x1=-3,2=5. 18.解：原式=+1-2÷+1x- x+1 2(x+1) =-1.2 x+1x-1 = 当x=V2-1时， 原式==员=2 19.证明：如图，连接OC、BC, ,PB=4,PC=8.⊙0的半径为6， ..OP=OB+BP=6+4=10.OC=OB=6. .0p2=102=100.0C2+PC2=62+82=100. ∴.Oc24Pc2=op2, ∴.∠0CP=90°. ∴.oC⊥PC, PC是⊙O的切线. 20.解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 依题意，得：500(1+x)2=720 解得：x1=0.2=20%,2=-2.2（不合题意，舍去). 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%. 21.解：(1)如图，△ACE为所作： 第4页（共11页） D (2)点D为等边△ABC的边BC的中点， AD⊥BD,BD=1, ∴.AD=V22-12=V3. ,△ABD绕A点逆时针旋转60°得到△ACE, ∴.AD=AE,∠DAE=60°. .△ADE为等边三角形， ∴DE=AD=V3 22.解：(1)如图1，连接AD C 图1 :∠BAC=90°，∠ABC=20, ∴.∠ACB=70°. .AC=AD. ,∠ADC=∠ACB=70°， 故答案为：70： (2)如图2，过点A作AF⊥CD,垂足为F 图2 ,∠BAC=90°.AC=3,AB=4, 第5页（共11页) ..BC=VAC2+AB2=V32+42=5. 又AF,BC=ACAB. 六A加-号 5 cF=32-(号)2= ,AC=AD,AF⊥CD, ∴cD=2CF=号 23.解：任务一、 ,AB∥x轴，AB=5cm,点B为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：x=5. -0=5 .b=-10a. 把点M(15,0)代入抛物线y=a2+bx+15得： 15a+b+1=0 把b=-10a代入15a+b+1=0得： 15a-10a+1=0. 解得：a=- .b=2. 水流抛物线的函数表达式为：归-专242x+15. 任务二、 圆柱形水杯最左端到点0的距离是15-4=11， 当x=11时.y=-号×1242×11+15=12.8. 10<12.8. 水流能流到圆柱形水杯内. 24.（1)证明：AB=AB. ∴.∠ACB=∠ADB=45°. ,∠ABD=45°， 第6页（共11页） ∴.∠BAD=90. ∴BD是该外接圆的直径： (2)解：V2AC=CD+BC: 证明：在CD的延长线上截取DE=BC,连接EA, , 图1 ∠ABD=∠ADB, ..AB=AD ,∠ADE+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC=180, ∴.∠ABC=∠ADE. 在△ABC与△ADE中， (AB=AD ∠ABC=∠ADE, BC=DE ∴.△ABC≌△ADE(SAS), ∴.∠BAC=∠DAE. ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD. ∴.∠BAD=∠CAE=90. .AD=AD. ∴.∠ACD=∠ABD=45°， ∴，△CAE是等腰直角三角形 由勾股定理得：CE2=AC2+AE2, ∴V2AC=CE, ..2AC CD DE CD +BC; (3)解：B+2A=D.理由如下： 第7页（共11页） 过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A.MF与AF交于点F,连接BF, DM,如图2. M B 图2 由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45, ∴.∠FMA=45. ∴.△AMF是等腰直角三角形. ∴AM=AF, 由勾股定理得：MF2=Af+AF2, ∴MF=V2AM, ,∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB, ∴.∠FAB=∠MAD, 在△ABF与△ADM中， (AF=AM ∠FAB=∠MAD, AB=AD ∴.△ABF≌△ADM(SAS). ..BF=DM. 在Rt△BMF中，由勾股定理得：BP+MF2=BF2. .∴.BMP+2AP=DMP. 25.解：（1)①在平面直角坐标系中，点A(1.0),已知抛物线y=x2+x-2m(m是常数) 的顶点为P,当抛物线经过点A时，将点A的坐标代入得： 1+m-2m=0, 解得：m=1. 第8页（共11页） 抛物线的表达式为y=x2+x-2, y=x2+x-2=(x+)2-} ∴顶点P的坐标为(-，一： ②函数图象如图1. 联立得： y=3x+1 ly=x2+x-2" 解得， 1=-1或2=3 y1=-2y2=10 B(-1.-2).C(3,10). 故M的横坐标为n（-1≤≤3)时，图象对应的是BC之间的部分，如图1. M y 图1 设点M(m,n2+n-2).点2(n3+1). ∴.d=QM=3+1-2-t2=-n2+2t3=-(n-1)2+4,∴.函数的对称轴为：n=1. 当d随n的增大而减少，21，：-1s3..1≤3： (2)y=x2+mx-2m=x+m2-m2-2m,P(-m,-m2-2m) 该抛物线y=x2+r-2m=2+m(x-2)经过定点H,当x=2时，得：y=4, ∴.点H(2.4).A（1.0), AM-/(2-1+(4-0-Vi7.tana-4 点P存在在AH左右两侧的情况： ①当点P在AH右侧时，如图2左侧图， 第9页（共11页） H R -M 0 图2 过点M作MR⊥AH于点R,∠AHP=45°，tana=4, 设：RM=4r=RH,则AR=x, 则AH=AR+RH=5x=V7,解得：x=四 则AM=V7x=号则点M(号，0)： 设直线mM的表达式为y=a+b, 把H2.4).M(号，0代入y=+b.得： 5 2k+b=4 侣&+b=0解 =一3 22 b= “直线mM的表达式为y=-x+号 5 将点P的坐标代入上式并整理得：3m2434+88=0.解得：m=-4或-号 当m=-4时，点P的坐标为(2,4)与点H重合，故舍去，则m=-号 ②当点P在AH左侧时，如图3， y 女 0 'R 图3 同理可得：点M(-普，0).则直线M的表达式为y=x+兰 第10页（共11页) 将点P的坐标代入上式并整理得：5m2+34nt56=0, 解得：m=4(不合题意，舍去)或m=-普综上所述，m的值为-号或-兰 3 第11页（共11页）