精品解析：安徽合肥市五十中学东校2026-2027学年上学期九年级期中教学质量监测数学试题卷

合肥市五十中学东校九年级期中教学质量监测 数学试题卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项，的右边为分式，不符合二次函数的定义，不符合题意； B选项，未说明，不符合二次函数的定义，不符合题意； C选项，，不符合二次函数的定义，不符合题意； D选项，，符合二次函数的定义，符合题意． 2. 下列函数中y的值随x值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数看一次项系数的正负，反比例函数只在每个象限内讨论增减，二次函数要结合对称轴分区间判断增减，进而选出的值随值的增大而减小的函数. 【详解】解：是反比例函数，，在每个象限内随的增大而增大，且函数图象不连续，不满足题意. 是二次函数，开口向上，对称轴为轴，当时随的增大而减小，当时随的增大而增大，不满足题意. 是一次函数，一次项系数为，随的增大而减小，满足题意. 是一次函数，一次项系数为，随的增大而增大，不满足题意. 3. 下列四条线段a，b，c，d中，不是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】若四条线段a，b，c，d成比例，即，则．通过计算每组线段中与的值，对比是否相等来判断是否成比例． 【详解】解：A、∵，，∴四条线段成比例，不符合题意； B、∵，，∴四条线段成比例，不符合题意； C、∵，，，∴四条线段不成比例，符合题意； D、∵，，∴四条线段成比例，不符合题意． 4. 抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移特征解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，得， 再向上平移4个单位，得． 5. 已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是, 故选：C． 6. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，对四个选项中的条件进行逐一分析，判断是否满足相似条件 【详解】解：A、，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、，且夹角均为，两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似，不符合题意； C、仅有一组角为相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 7. 已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中． 根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，从而得出答案． 【详解】解：∵点C把线段黄金分割，且， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中线性质得出为中位线，进而得到，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可判断选项A；证明可得，进而得到，再代入即可判断选项B；利用相似三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式可判断选项C；先说明，再利用面积的和差即可判断D选项． 【详解】解：∵是的中线， ∴D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，即，即选项A错误，符合题意； ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵，的，边上的高相等 ∴，即，故选项C正确，不符合题意； ∵，公共边上的高相等， ∴， ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意． 9. 如图，两个正方形、拼放于直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，已知的面积为，则正方形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形边长，利用面积割补法及反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， 点，在反比例函数图像上， ， 且，，， ， ， ， ，即（负值舍去）， ，即， 解得：（负值舍去）， 正方形的面积为． 10. 如图，在中，，，，是边上的高，点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理和面积法求出的长，证明得出与的数量关系，利用列出函数解析式，根据一次函数性质判断图象．  【详解】解：， ， 是边上的高， ， ， 在中，， ； ， ， ， ， ， ， ， ， 过点分别作、于点、， 则，， ∴，， ，， ，其中， 是的一次函数，且随的增大而减小， 故选项A符合题意． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，，则，的比例中项线段为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据比例中项的定义列方程求解，注意线段长度为正数，需舍去负解． 【详解】解：设线段，的比例中项为， ∴， 解得或， ∵线段的长度为正数， ∴舍去， 因此，的比例中项线段为． 12. 抛物线与x轴交点个数_______．（①1个；②2个；③0个；填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】抛物线与x轴的交点个数等价于对应一元二次方程的实数根个数，可通过计算判别式的取值判断． 【详解】解：令，则， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根， ∴抛物线与x轴的交点个数为0． 13. 函数的图象的顶点在直线上，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的顶点坐标，再根据顶点在已知直线上的条件，将顶点坐标代入直线解析式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于二次函数，其中，， ∴ 顶点的横坐标为， 将代入二次函数解析式，得顶点的纵坐标为， ∴ 二次函数的顶点坐标为， ∵ 该顶点在直线上， ∴ 顶点坐标满足直线的解析式，将，代入直线方程得， ， 化简得， 解得． 14. 如图，中，，分别是、上的点，连接并延长交的延长线于． （1）若，，则_______． （2）连接，作射线与交于，则在（1）的条件下_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点作平行线，先证求出线段比例，再证，进而求出的值； （2）过点作平行线，先证得到与的关系，再证，从而求出的值． 【详解】解：（1）过点作交于点， ， ，， ， , ， 设，， 则， ， ，即， 又，即， ， ， ，， ， ， 将代入，得：； （2）过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， 由（1）知， ， ， 结合（1）中设， 得：且， ， ，， ， ， 将，代入，得：． 三、解答题（共9大题，满分90分） 15. 已知，且，求的值． 【答案】22 【解析】 【分析】设，，，确定，计算即可，本题考查了比的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解:∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 16. 已知与成反比例函数关系，且当时，．求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法解答即可； （2）直接把自变量的值代入解析式，求出函数值即可． 【小问1详解】 解：与成反比例， 设， 当时，， ， ， ， 即． 【小问2详解】 解：把代入得 ． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以A为位似中心，位似比为1：3，画一个格点，使它与位似； （2）在图②中画一个格点，使它与相似（不全等）； （3）在图③中的线段AB上画一个点P，使． 【答案】（1）如图①，即为所求； （2）如图②，即为所求； （3）如图③，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图相似变换、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）取格点，，，连接，则，所以与位似，并且； （2）取格点，，，连接，，，则，，故，且不全等； （3）取格点D，E，连接，交于点P，由，得，由，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知二次函数，自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … 根据表格，回答下列问题： （1）则满足方程的解是_____，m的值为_______； （2）求出该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求列表）； （3）当时，直接写出x的取值范围为________． 【答案】（1），；5 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由表可得，当，或时，，从而可得方程的解；根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出m的值； （2）运用待定系数法求出该二次函数的表达式，运用描点法画出函数图象； （3）时自变量x的取值范围为函数图象在x轴下方对应的自变量的取值范围，根据函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：由表可得，当，或时，， ∴方程的解是，． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴和时的函数值相等，即． 【小问2详解】 解：由表格可得，当时，；当时，；当时，， ∴，解得， ∴该二次函数的表达式为． 图象略 【小问3详解】 解：由表格与图象可得，该二次函数与x轴交于点，， 所以当时，x的取值范围为． 19. 已知：如图，，依次连接，，，，任作一条直线，使，设l分别交，，，于点． （1）若，，求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ，． ∴ ，． ∴ ． ∴ ． 【解析】 【分析】（1）由得到，根据平行线推出，利用相似比代入算出． （2）先由证，推导出，再由、得到两组相似三角形，得到与相等，从而证明． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 【小问2详解】 略． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出满足的解集为__________； （3）求的面积． 【答案】（1）； ； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数的解析式可求出k的值，也就求出了反比例函数的解析式，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，得到点A的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）找出直线在反比例函数图象的上方的自变量x的取值即可求解； （3）先求出直线与y轴的交点坐标，从而y轴把分成两个三角形，结合点A、B的横坐标分别求出两个三角形的面积，相加即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数​的图象过点， ∴​，即， ∴反比例函数的解析式为：​． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即． ∵一次函数过、， ∴ ​  解得， ∴一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵不等式， ∴，​ ∵，， ∴由图象可知，不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：如图，记直线与y轴的交点为D， ∵， 令，解得， ∴， 即．  ∴． 21. 已知，，，四个点，抛物线经过其中三个点． （1）点A在抛物线上吗？为什么？ （2）求a与k的值． 【答案】（1）点A不在抛物线上． 理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴若在抛物线上，则点A是抛物线顶点． ∵， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点， ∴抛物线上所有点的纵坐标不大于1． ∵、的纵坐标均为， ∴B、D均不在抛物线上，此时抛物线最多经过A、C两个点，与“经过三个点”矛盾， ∴点A不在抛物线上． （2），． 【解析】 【分析】（1）先说明抛物线的对称轴为直线，若在抛物线上，则A是抛物线顶点，再根据二次函数的性质并结合已知条件中的点发现矛盾即可解答； （2）由题意可知：点，，在抛物线上，再运用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：点A不在抛物线上，则点，，在抛物线上， 则， 解得：． 22. 已知：如图，在中，，于为直角边的中点，过作直线交的延长线于． （1）若，，求长； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴，， ∵为直角边的中点， ∴， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，记得根据面积法得出，带入数值即可求出，再根据勾股定理可得的长． （2）先证明，得出，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再根据等边对等角和对顶角相等，得出，即可证明，得出， 即可证明． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 又∵，， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，对顶角相等的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 已知抛物线的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标小4． （1）求a的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求h的最小值； （ii）若，且，，求h的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出两抛物线的顶点横坐标，即可； （2）（i）根据题意可得，，从而得到，再把，代入，然后利用二次函数的性质解答即可； （ii）把，代入，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点横坐标为，抛物线的顶点横坐标为， ∵抛物线的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标小4， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：（i）由（1）得：，则， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴当时，h取得最小值，最小值为； （ii）由（i）得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， ∵，， ∴， ∴，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市五十中学东校九年级期中教学质量监测 数学试题卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中y的值随x值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四条线段a，b，c，d中，不是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，两个正方形、拼放于直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，已知的面积为，则正方形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，在中，，，，是边上的高，点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知线段，，则，的比例中项线段为__________． 12. 抛物线与x轴交点个数_______．（①1个；②2个；③0个；填序号） 13. 函数的图象的顶点在直线上，则m的值是_______． 14. 如图，中，，分别是、上的点，连接并延长交的延长线于． （1）若，，则_______． （2）连接，作射线与交于，则在（1）的条件下_______． 三、解答题（共9大题，满分90分） 15. 已知，且，求的值． 16. 已知与成反比例函数关系，且当时，．求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以A为位似中心，位似比为1：3，画一个格点，使它与位似； （2）在图②中画一个格点，使它与相似（不全等）； （3）在图③中的线段AB上画一个点P，使． 18. 已知二次函数，自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … 根据表格，回答下列问题： （1）则满足方程的解是_____，m的值为_______； （2）求出该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求列表）； （3）当时，直接写出x的取值范围为________． 19. 已知：如图，，依次连接，，，，任作一条直线，使，设l分别交，，，于点． （1）若，，求的值； （2）求证：． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出满足的解集为__________； （3）求的面积． 21. 已知，，，四个点，抛物线经过其中三个点． （1）点A在抛物线上吗？为什么？ （2）求a与k的值． 22. 已知：如图，在中，，于为直角边的中点，过作直线交的延长线于． （1）若，，求长； （2）求证：． 23. 已知抛物线的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标小4． （1）求a的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求h的最小值； （ii）若，且，，求h的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $