安徽宣城市宣州区2026-2027学年第一学期九年级第二次限时训练数学

2026—2027学年第一学期九年级第二次限时训练 数学试题 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列各数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．年月日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以亿元的国内票房正式收官，其全球总票房突破亿元，超越《头脑特工队》等好莱坞经典动画电影，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（ ） A． B． C． D． 6．如图，两条直线被三条平行线所截，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，铅球的出手点距地面米，出手后的运动路线是抛物线，出手后秒钟达到最大高度米，则铅球落地点的时间为（ ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（ ） A． B． C． D．（为实数） 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11．计算：________． 12．因式分解：________． 13．命题“如果，那么”的逆命题是________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点（其中）在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，连接． （1）________； （2）当四边形为正方形时，求线段的长为________． 三．（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15．先化简，再求值：，其中． 16．如图，在正方形网格上有一个． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）作的边上的高； （3）若网格上的最小正方形边长为，求的面积． 四．（本大题共2小题，每题8分，共16分） 17．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 18．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为． （1）求的值及点的坐标； （2）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 五．（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19．已知抛物线． （1）用配方法将化成的形式； （2）补全下方的表格： 抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 （3）结合图象回答： ①当________时，随的增大而减小； ②当满足________时，； ③当时，的取值范围是________． 20．小亮同学在探究比例的性质时发现：由比例式，可得，同时也成立，请根据这一规律解答问题： （1）【归纳】请将他发现的规律补充完整：已知，，，均不为，且，，若，则________，________； （2）【证明】已知，且，求证：； （3）【运用】请用上述规律，解分式方程． 六．（本题12分） 21．为了解九年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 甲校测试班级成绩统计图 乙校测试班级成绩统计图 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将甲校测试班级的成绩统计图补充完整； （2）补全下面的表格中的数据，则________，________； 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）根据测试结果，将对分及以上的学生分发“口语小天才”称号，若甲校九年级有学生人，根据以上信息，估计甲校九年级学生中有多少学生荣获“口语小天才”称号． 七．（本题12分） 22．如图，点，，在一条直线上，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）连接，求证：． 八．（本题14分） 23．如图，已知抛物线的图象与轴交于，，与轴交于点．、为抛物线上的两点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点，联结、，使的值最小，求点的坐标； （3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年第一学期九年级第二次限时训练 数学参考答案 一.选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 4 U 6 7 8 9 10 答案 C D 0 A D 0 D 二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分) 1.212.3(r+20x-2）15.如哭a=2,那么a2=4 14.(1)2（2)2V5-2 三.（本大题共2小题，每题8分，共16分） 15.解：(2a+l+(a-5)(a+1) =4a2+4a+1+a2+a-5a-5 =5a2-4,… …5分 当a=-1时，原式=5×(--4=5×1-4=5-4=1 …8分 16.解：(1)如图所示，△D'E'F'即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形 …3分 (2)如图所示，DA为EF边上的高线.…6分 H (3) SaDr=2×3x2=3 …8分 四.（本大题共2小题，每题8分，共16分) 17.证明：D在AB边上，AC=4,AD=2,BD=6, .AB=AD+BD=2+6=8 .:AC2=ADAB=2×8=16 AC AD 1 ABAC2」 ∠A=∠A, ∴.△ACD∽△ABC 3 y= 18.(1):点A在一次函数4的图象上，且点A的横坐标为4， 3 y=二x=3 当x=4时， 4 点4的坐标为(4,3) y=- :点A在反比例函数x的图象上， ∴.k=4×3=12 3 y= ,反比例函数 x的图象与一次函数 4的图象都关于原点0对称， :点B与点A关于原点O对称 点B的坐标为（4，-3) k的值为12，B点的坐标为-4，-3) …5分 (2)由(1)可知：点A的坐标为(4,3)，点B的坐标为4，-3)， k、3 结合函数的图象可得当x4时，x的取值范围是：x<一4或0<x<4…8分 五.（本大题共2小题，每题10分，共20分） 19.(1)y=2x2+4x-6 =2(x2+2x)-6 =2(x+1)2-8 …3分 (2)… .7分 抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标 y=2x2+4x-6 （-1,-8) (-3,0).(1,0) (0,-6) (3)①<-1 ②-3<x<1 ③-8≤y<10 …10分 20.(1)k,k:… 2分 4=42=a==am= (2)证明：令bb2b ,a=h,4=边4=边.，a=功 :4-4-4--a-x6-6-6-b）=x= b-b2-b3-...-bm b-b2-b-...-bm bm… …6分 -x2-3 x2-3 -x2-3 -x2-3+x2-3 6=-1 (3解：x2-4x+5-x2+4x+1,“2-4x+52-4x+5-x2+4x+16 -x2-3 x-4r+5-l 1 1 ..x=- X= 2.经检验，2是原方程的解.（无检验扣1分）10分 六、（本题12分） 21.（1)甲校测试班级成绩统计图 ↑人数 10 A B CD等级 …3分 (2)95.100 9分 (3)960人. …12分 七.（本题12分） AB BC AC 22.(1)证明：AD DE AE .△ABC∽△ADE. ∴.∠BAC=∠DAE. .∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF. 即∠BAD=∠CAE,…4分 (2)21° 8分 (3)证明：：△ABC∽△ADE. .∠BAC=∠DAE ∴.∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF, 即∠BAD=∠CAE .AB_AC AD AE .△ABD∽△ACE …12分 八.（本题14分） 23.1):抛物线y=ar+br+c(a≠0)的图象与x轴交于A(-,0）,B(3,0), :设y=a(x+1(x-3)=a(x2-2x-3) :C(0,-3)在抛物线上， ∴.a×(02-2×0-3)=-3 ∴.a=1, 则抛物线的表达式为：y=x2-2x-3 …4分 (2)y=x2-2x-3, x=- 2-1 ∴，抛物线的对称轴为直线 2×1 A(-1,0)B(3,0) A、B关于对称轴x=1对称， .MA=MB. ∴.MA+MC=MB+MC. 当B、M、C三点共线时，MB+MC值最小. 设直线BC的解析式为y=ax+t, 3k+t=0 把B(3,0),C(0,-3列代入解析式得1=-3， k=1 解得t=-3 ∴直线BC的解析式为y=x-3, 把x=1代入得y=1-3=-2 .M(1,-2) …8分 (3)存在， …9分 ,P的横坐标为m, P(m,m2-2m-3) Q的横坐标为m+1, ∴.yo=(m+1)2-2(m+1)-3 =m2+2m+1-2m-2-3 =m2-4 ∴Q(m+1,m2-4） 设直线P9交x轴于点H,直线PO的表达式为y=px+g, 把点P、Q的坐标代入得 pm+g=m2-2m-3 p(m+1)+q=m2-4 :{p2m-1 q=-m2-m-3 .直线P9的表达式为：y=(2m-l)x-m2-m-3 ①当m=0.5时，m+1=1.5, 5.Ps》 ∴点P、关于对称轴x=1对称，且PQx轴， me--营， 此时 ②当m≠0.5时，令y=0, m2+m+3 X=- 则2m-1, OH= m2+m+3 则 2m-1 m2+m+3>0, 0H=m2+m+3 I.当m>0.5,即2m-1>0时， 2m-1, 则S=Saon-Sai0 =LxOHxye-yrl 2 1xm2+m+3×m2-4-(m2-2m-3 22m-1 m+m+3) 1.1211 =。m+。 2 28 0H=-m2+m+3 Ⅱ.当m<0.5,即2m-1<0时， 2m-1, 则S=Saor-Saoa =号x0Hx。-为 =1xm+m+3x1-2m） 21-2m =m+m+) + 11 综上，S存在最小值为8。… …14分