精品解析：河北衡水市枣强中学2026-2027学年高二上学期第一次调研考试数学试题

2026-2027上学期高二年级第一次调研考试数学试题 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分） 1. 已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 11. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱的中点，点为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 存在点，使得 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 若，则的轨迹长度为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为________ 13. 向量，，若，的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________． 14. 已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，则直线与直线所成角的余弦值最大为_____. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 16. 如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： （1）用、、表示向量，并求； （2）求直线和夹角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027上学期高二年级第一次调研考试数学试题 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分） 1. 已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 2. 已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据z轴上点的特点，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为， 因为点M到点与到点的距离相等， 所以， 两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 3. 已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 5. 设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 6. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 8. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，通过向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】取的中点，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面． 以为坐标原点，方向为轴正方向，底面内垂直于的方向为轴正方向， 方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标： ，，，． 因为是的中点，所以，则，． 设异面直线与所成角为，，则． 计算得： ，，  ， ， 代入得． 二、多选题（每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 11. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱的中点，点为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 存在点，使得 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 若，则的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法求解判断A；利用向量垂直的坐标表示推理判断B；利用点到平面的距离公式求出点到平面距离的最大值判断C；确定点的轨迹并求出长度判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，设直线与直线所成的角为， 则，，A正确； 对于B，，，取， 得，即，B正确； 对于C，，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 点到平面的距离，当且仅当时取等号， 此时点与点重合，而面积为定值，则三棱锥的体积的最大值 等于三棱锥的体积，C错误； 对于D，由平面，得，， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，长度为，D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的斜率公式，即可求解. 【详解】由条件可知直线的斜率为2，所以，得. 故答案为： 13. 向量，，若，的夹角为钝角，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由的夹角为钝角，得且与不反向共线：  ， 令，即，解得， 又当时，，，共线反向，夹角为，故排除， 综上，实数的取值范围是. 14. 已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，则直线与直线所成角的余弦值最大为_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】取中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法求解得最大值. 【详解】平面四边形，，，则， 过作于，取中点，连接，则， ，过作平面的垂线，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设二面角的大小为，在翻折过程中始终垂直于， 则， ，设直线与直线所成角为， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以直线与直线所成角的余弦值的最大值为. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知直线经过，，直线经过点，. （1）若，求m的值； （2）若，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【小问1详解】 直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. 【小问2详解】 由得,由(1)可得，所以. 16. 如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： （1）用、、表示向量，并求； （2）求直线和夹角的余弦值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【小问1详解】 ， 由已知可得，， 因此，. 【小问2详解】 由（1）知， 因为， 所以，所以； 且 ， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由平面可得出点到平面的距离； （3）以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以点到平面的距离等于线段的长，即为. 【小问3详解】 因为平面，四边形为正方形，且， 所以以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， ，， 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. （1）证明：直线平面； （2）若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图所示，连接BD，交AC于O， 因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点， 在中，E、O分别为PB、BD的中点，故， 又平面，平面，所以平面ACE. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证明线线平行，进而说明线面平行； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据线线夹角求出几何体的高，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，求出线面夹角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过做于，再以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设， 由，可取，，，，，， 直线AE、PD的方向向量可分别取，， 由两直线所成角为45°，得， 平方整理得，所以，. 可知，， 设平面的法向量为， 可得，即， 令，解得，即平面的一个法向量为 设直线PD与平面PAC所成角为，则. 19. 如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图： 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则， 又平面，平面，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 因为平面MQN，所以平面PBC. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理证且，由面面平行判定定理以及线面平行性质定理得证． （2）（i）先由平面PDE⊥平面BCDE建立空间直角坐标系，确定各点坐标；再设球心O，利用球心到距离相等列方程，求出球心坐标与半径，最后用球的表面积公式计算． （ii）在已建坐标系中，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两平面法向量夹角的余弦值，即为平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则，， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，， （i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设， 由得， 解得， 所以球O的半径的平方，故球O的表面积为. （ii），，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量， 所以． 故平面与平面的夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $