精品解析：河北省枣强中学2025-2026学年高二上学期第四次月考（1月）数学试题

2025-2026学年高二上学期第四次月考数学学科试题 一、单选题 1. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 该直线不存在 5. 已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则下列选项中结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 8. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 4 二、多选题 9. 已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 单调递减 10. 若直线与抛物线只有1个公共点，则抛物线的焦点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于对称 B. 曲线C上存在点P，使 C. 直线与曲线C无公共点 D. 点Q为曲线C在第二象限内的点，过点Q向直线作垂线，垂足分别为A，B，则为定值 三、填空题 12. 数列中，，，则______ 13. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m． 14. 已知椭圆（）的离心率为，双曲线的离心率为，且它们有公共焦点，P是它们的一个公共点，若，则__________. 四、解答题 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程 （1）顶点在原点，关于x轴对称且过点的抛物线方程 （2）渐近线方程为，且经过点的双曲线方程 （3）已知动圆P过点，并且与圆：外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.求曲线C的方程 16. 已知数列的通项公式为. （1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由 （2）计算，并判断其符号； （3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 17. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 18. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为4. （1）求的方程； （2）过的左焦点且斜率为的直线与的左支交于两点. （i）求的取值范围； （ii）记点，直线与的右支分别交于点，证明：直线过定点. 19. 过作直线交抛物线于两点，已知，抛物线在点处的切线为，过点作平行于的直线，设直线与抛物线另一交点为，线段的中点为. （1）求直线的斜率； （2）设直线的方向向量为，计算的值； （3）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期第四次月考数学学科试题 一、单选题 1. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 2. 已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 3. 若抛物线上的点（）到其焦点F的距离为3，则实数m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的定义结合题意计算可得. 【详解】由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点F的距离为3， 根据抛物线的定义，可得点P到准线的距离为3，即，解得， 因点是抛物线上的点，则，又，则. 故选：C. 4. 已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 该直线不存在 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程作差可得，若是线段的中点，则，则可得直线方程，检验直线方程与双曲线方程交点是否存在，即可确定直线的方程. 【详解】解：设，且，代入双曲线方程得，两式相减得： 若是线段的中点，则，所以，即直线的斜率为， 所以直线方程为：，即； 但联立，得，则，方程无解，所以直线不存在. 故选：D. 5. 已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解. 【详解】因为在双曲线中，因为，所以， 则，    在中，，， 所以，即，所以， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 6. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线及直线方程，通过直曲联立求出点的横坐标，再根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】因为，由抛物线的定义可知到准线距离为，即，解得：， 即抛物线方程为，代入点坐标得，即. 不妨取，又， 则直线的斜率为，所以直线为， 联立，消去整理得：， 解得：，，即点的横坐标为， 由此可得：，即得：. 故选：B 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则下列选项中结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程和定义可直接验证A，B选项；设出直线方程将其与抛物线方程联立，由韦达定理、焦半径公式即可判断C；由向量的数量积公式结合韦达定理结果计算，即可判断D． 【详解】对于A：由题意抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B：因为抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，所以，故B错误； 对于C：由题意直线斜率不为0且过点， 所以不妨设，将其与抛物线方程联立消去，得， 而，，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以最小值为16，故C错误； 对于D：由C选项分析可知 ， 由于不共线，所以是钝角，即为钝角，故D正确． 故选：D． 8. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线焦点弦长公式结合题设条件求出，利用抛物线定义将转化为点到准线的距离，进而求距离和的最小值. 【详解】抛物线方程为，根据抛物线的标准形式，其焦点为，准线方程为. 因与垂直，故存在且不为0，直线过焦点， 设直线的斜率为，方程为. 将直线方程代入抛物线方程，联立得： 设、，由韦达定理得： 因，，故： 因，故直线的斜率为，直线的方程为. 同理可得. 根据题设，将、代入得， 即，解得，故抛物线方程为， 此时焦点，准线方程为. 设点到准线的垂线段为（为垂足）， 则，因此， 表示点到准线的距离与到点的距离之和. 根据几何最短路径原理，当、、三点共线（且该直线垂直于准线）时，距离和最小. 此时的坐标为，则，即. 综上，的最小值为. 故选：B 二、多选题 9. 已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相减法求解，从而得的通项公式即可判断A,B,C；由数列单调性定义比较与的大小，即可判断D. 【详解】因为数列的前项和， 所以当时，， 所以， 当时，不符合上式， 所以，故C不正确； 所以，故A，B正确； 当时，， 当时，， 所以数列先增后减，故D不正确. 故选：AB. 10. 若直线与抛物线只有1个公共点，则抛物线的焦点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题需要分情况讨论直线与抛物线只有一个公共点时的值，再根据抛物线焦点坐标公式求出焦点坐标.情况分为直线斜率为0和不为0两种，对于斜率不为0的情况，通过联立直线与抛物线方程，利用判别式来确定的值. 【详解】当时，，抛物线方程为：. 此时，该直线与抛物线只有一个交点，符合已知条件. 那么抛物线的焦点坐标为：. 当时，联立直线与抛物线方程：. 消去，整理得，进一步化简得： . 因为直线与抛物线只有一个交点，所以判别式为0，即： ，解得（舍去）或者. 所以抛物线方程为：，此时焦点坐标为. 故选：BC. 11. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于对称 B. 曲线C上存在点P，使 C. 直线与曲线C无公共点 D. 点Q为曲线C在第二象限内的点，过点Q向直线作垂线，垂足分别为A，B，则为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】分，，和四种情况，求出曲线的方程，再根据椭圆和双曲线的定义与性质即可判断BC；判断是否在曲线上，即可判断A；根据点到直线的距离公式计算即可判断D. 【详解】当时，曲线， 表示焦点在轴上的椭圆第一象限的部分， 当时，曲线， 表示焦点在轴上的双曲线第四象限的部分， 其渐近线方程为，焦点为，， 当时，曲线， 表示焦点在轴上的双曲线第二象限的部分，其渐近线方程为， 当时，曲线，不表示任何图形， 对于A，因为， 所以点不在曲线上，所以曲线C不关于对称，故A错误； 对于B，当点在第四象限时，，故B正确； 对于C，由上可知直线与曲线C无公共点，故C正确； 对于D，设，则， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 三、填空题 12. 数列中，，，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，求出数列的前几项，观察可得数列的周期性，利用周期性，可求.. 【详解】因为，， 所以，， ，， 所以，所以. 故答案为：. 13. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面3m，水面宽6m．水面上升1m后，水面宽度是______m． 【答案】 【解析】 【分析】建立坐标系，先根据条件求抛物线的方程，再根据的值求即可. 【详解】如图：以拱桥顶点为原点，建立如图坐标系. 设抛物线方程为：，由题意，抛物线过点. 所以，所以抛物线方程为：. 水面上升，则，此时或. 所以水面宽度为：. 故答案为： 14. 已知椭圆（）的离心率为，双曲线的离心率为，且它们有公共焦点，P是它们的一个公共点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率和公共焦点建立等量关系，利用椭圆和双曲线定义表示线段长，结合余弦定理解决问题. 【详解】由椭圆离心率得，， 由双曲线离心率得，， 由椭圆和双曲线有共同焦点得，，即，故. 设点在第一象限，由椭圆和双曲线定义得， ， 所以， 由得，，故， 所以. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查圆锥曲线综合问题，具体思路如下： 由椭圆离心率得到的关系，由双曲线离心率得到的关系，由两曲线有共同焦点得和的关系，根据椭圆和双曲线定义表示，利用余弦定理解决问题. 四、解答题 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程 （1）顶点在原点，关于x轴对称且过点的抛物线方程 （2）渐近线方程为，且经过点的双曲线方程 （3）已知动圆P过点，并且与圆：外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.求曲线C的方程 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，再利用待定系数法求解. （2）由给定的渐近线，设出双曲线的方程，再利用待定系数法求解. （3）根据给定条件，利用两圆外切列式求出曲线C的方程. 【小问1详解】 依题意，设该抛物线方程为，由该抛物线过点，得， 解得，所以所求抛物线的方程为. 【小问2详解】 由双曲线的渐近线方程为，设该双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得，即有， 所以所求双曲线方程为. 【小问3详解】 设，圆的圆心，半径， 由动圆过点，且与圆外切，得，即， 因此点的轨迹是以为左右焦点、实轴长为2的双曲线右支，方程为， 所以曲线C的方程为. 16. 已知数列的通项公式为. （1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由 （2）计算，并判断其符号； （3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 【答案】（1）是，第17项；（2）；大于零；（3），无最大项. 【解析】 【分析】（1）令,求解即可； （2）化简即可得,由即可判断其符号； （3）由（2）可得数列是递增数列,最小项为首项,无最大项 【详解】（1）是, 令,即,解得, 0.25是数列的项,是第17项 （2）由题, ,,,即 （3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项 【点睛】本题考查数列的项的判断,考查利用递推公式判断数列增减性,考查数列的最大（小）项 17. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解； （2）设直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，通过，求得斜率，再由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由点在抛物线上，得， 由，可得，得， 所以抛物线的方程； 【小问2详解】 当斜率不存在时，方程为：， 此时， 则， ，不符合题意， 当斜率存在时，设直线方程为：， 联立抛物线方程消去可得： ， 设， 又，则， 代入， 可得： 代入 得： 化简可得：， 即或， 当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去， 当，直线方程为， 所以 由弦长公式得： 18. 已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为4. （1）求的方程； （2）过的左焦点且斜率为的直线与的左支交于两点. （i）求的取值范围； （ii）记点，直线与的右支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）由题意得直线的方程为. 代入，得. 则，所以，则， 所以.同理得. 所以. 所以直线的方程为，即. 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到双曲线方程； （2）（i）根据题意。联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；（ii）分别联立直线，直线与双曲线方程，表示出点的坐标，然后表示出直线方程，即可得到结果. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，即，所以.① 因为的焦距，所以，则.② 由①②解得，，所以的方程为. 【小问2详解】 设，，由题得， 则直线的方程为，，联立. 得. （i）因为直线与的左支交于两点，所以，. 所以 解得或，所以的取值范围为. （ii）略 19. 过作直线交抛物线于两点，已知，抛物线在点处的切线为，过点作平行于的直线，设直线与抛物线另一交点为，线段的中点为. （1）求直线的斜率； （2）设直线的方向向量为，计算的值； （3）求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）设直线：，联立方程利用韦达定理可得，设切线，联立方程根据运算求解； （2）根据题意可知的方程为，联立方程利用韦达定理求点，结合向量的坐标运算求解； （3）可知为面积的2倍，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，设为， 联立方程，消去x得， 则，即，抛物线方程为， 设，切线， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 所以直线的斜率. 【小问2详解】 由（1）可知：，的方程为， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 则，即， 可得，即， 则可取，则，可得， 则 ， 所以 【小问3详解】 由（2）知的纵坐标相等，故为面积的2倍， 因为的面积为 ， 当且仅当时取得等号. 所以面积的最小值为16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $