精品解析：河北廊坊市三河市燕郊育才学校2026-2027学年度高二第一学期第一次阶段考试数学试卷

育才学校2026-2027年度第一学期第一次阶段考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：和：平行，则实数（ ） A. 2或 B. 1 C. D. 2 4. 若直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 7. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 边上的高所在直线的斜率为 C. 边上的高所在直线的倾斜角为 D. 边上的高所在直线的倾斜角为 10. 已知空间向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 11. 已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 若，则的最小值为 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，直线与直线所成角的余弦值的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 13. 已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为__________. 14. 如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 16. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知直线l：． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程． 19. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点． （1）求证：平面ABC； （2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才学校2026-2027年度第一学期第一次阶段考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得， 解得，，所以. 故选：D. 2. 如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图像，可得答案. 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 3. 已知直线：和：平行，则实数（ ） A. 2或 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线的不相交可得的值，进而分类讨论平行和重合的情形即可.. 【详解】当：，：平行 得，解得或， 当时，：，：，即，此时直线和直线重合，故不符合题意， 当时，：，：，此时直线和直线平行，符合题意； 故选：D 4. 若直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心坐标，将圆心的坐标代入直线方程，即可求得实数的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为， 由题意可得，解得. 故选：C. 5. 已知，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直,得到关于的等式,再利用基本不等式即可求出的最大值. 【详解】因为直线与直线互相垂直, 所以,即, 因为, 所以,即, 故选:B. 【点睛】本题将两直线位置关系与基本不等式相结合进行考查,难度不大. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称的性质即可求解A，根据向量垂直可判断B，根据线面角的定义，结合向量夹角即可求解C，根据共面的推论即可求解D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误， 对于B，由于，故，则或，故B错误， 对于C，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为，C正确， 对于D，由于，，，四点共面，故，故，D错误， 故选：C 7. 点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，点到直线的距离取最大值，且最大值为，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 当时，即当时，即当时， 点到直线的距离取最大值，且最大值为. 故选：D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为,其表面积为，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值可求得②正确，求出平面的法向量为，可知，即③正确，易知点到平面的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即④错误. 【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为, 则满足，可得， 此时外接球的表面积为，可知①错误； 对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，所以， 设，其中； 可得， 异面直线与所成角的余弦值为， 易知时，， 可得， 所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确； 对于③，由②可知，，则； 设平面的法向量为，又， 则，取，则； 所以平面的法向量为， 此时，可得，又平面， 所以直线平面，即③正确； 对于④，根据正方体性质平面，所以， 易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误； 综上所述，正确的结论为②③. 故选：C 【点睛】方法点睛：求解异面直线所成角的方法： （1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值； （2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 边上的高所在直线的斜率为 C. 边上的高所在直线的倾斜角为 D. 边上的高所在直线的倾斜角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将三角形的顶点放到坐标原点，画出图象，结合等边三角形的性质及直线的斜率、倾斜角的定义判断即可. 【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示）， 则，所以直线的斜率为，故A正确； 因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误. 故选：ABC 10. 已知空间向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据数量积、模、平行、垂直的坐标逐一运算. 【详解】由题意得，，故A错误； ，则，故B错误； 因为，所以，得，故C正确； 由题意得，，则，得，故D正确. 故选：CD 11. 已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（ ） A. 存在点P，使得 B. 若，则的最小值为 C. 若，则P点运动轨迹的长度为 D. 若，直线与直线所成角的余弦值的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，建立适当空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算判定即可； B选项，找出动点在正方体底面内的运动轨迹，利用点到圆上点的最值求解即可； C选项，根据立体几何中线面垂直推出线线垂直，可找出动点在正方体底面内的运动轨迹是线段，即可求解； D选项：建立适当空间直角坐标系，利用可得出点，再利用空间向量的坐标表示求解即可. 【详解】对于A选项：如图1, 以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，， 设，，则，， 若，则，解得，不合题意，错误； 对于B选项：如图2， 若，连接，则点在以为圆心，为半径的圆上，此时点的轨迹为， 又，， ， ，故正确； 对于C选项：如图3， 连接，，，，， 为正方形，则， 又平面，平面， ，，平面， 平面，平面， ，同理可证：， 又，平面， 平面，平面平面， 故点在正方体底面内的运动轨迹是线段， 又正方体的棱长为2，，故错误； 对于D选项：如图4， 以为坐标原点建立空间直角坐标系，连接，，，，则，，，， 设，，则，， 当，有，则，此时， 又，， 当时，有最大值，此时，故正确. 故答案选：BD. 【点睛】关键点点睛：立体几何中线面垂直的判定定理，动点在立体几何中的轨迹问题，以及利用空间向量法解决立体几何的问题，属于难题. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线. 【详解】由； 由. 综上：且. 故答案为：. 13. 已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据直线平分圆的圆周可知，反射光线所在直线过圆心，根据对称性可知反射光线过点，即可求直线方程. 【详解】由圆的方程得：圆心为， ∵反射光线恰好平分圆的圆周， ∴反射光线经过点， ∵关于轴对称的点为， ∴反射光线所在直线经过点， ∴反射光线所在直线斜率为，所以方程为，化简得. 故答案为：. 14. 如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，可得其数量积，结合二次函数的性质可得答案. 【详解】以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，点P为线段上一点， 则，， 可设，， 则 ， 当时，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，，，， 又，，. 因此，，. 【小问2详解】 ，. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在上的投影向量为. 16. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解. 【小问1详解】 由点，得线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，即圆心，半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点， 当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：如图建立空间直角坐标系． 因为正方体的棱长为，是的中点， 所以，． 所以， 所以，所以，即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得． 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 显然平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：因为，设点到平面的距离为， 则，故点到平面的距离为. 18. 已知直线l：． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程． 【答案】（1）证明：直线l的方程可化为， 令，解得， 所以无论k取何值，直线总经过定点． （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而可求得结论， （2）先求出两点的坐标，再表示出的面积，然后利用基本不等式可求出S的最小值，从而可求出直线l的方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，再由l的方程，得，． 依题意得，解得． 因为， “=”成立的条件是且，即， 所以，此时直线的方程为． 19. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点． （1）求证：平面ABC； （2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由题意，因为，，，利用余弦定理， 解得，又，，侧面，． 又，AB，平面ABC，∴直线平面ABC． （2）存在，或，理由如下： 以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，，， ，，令，则，， 假设存在点M，设，，， ，， 利用平面的一个法向量为， ，得． 即，或， 或． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理解得，结合勾股定理得到，证得侧面， ，继而可证平面ABC； （2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M，设，由EM与平面所成角的正弦值为，可求解. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $