精品解析：河北黄骅中学2026-2027学年高一上学期期中分班考数学试卷

高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得， 即， 所以 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】命题“，”的否定是：，. 3. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定原函数的定义域，由此建立中关于的不等式组并求解. 【详解】由，可得，解得， 即的定义域是， 所以，解得， 即的定义域为. 4. 已知：，，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质可得充分性成立；通过举反例说明必要性不成立. 【详解】由命题：得；又，则可得，即充分性成立； 由命题：若取、，此时，但，即必要性不成立. 故是的充分不必要条件. 5. 若函数为定义在R上的奇函数,且在内是增函数,又,则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的单调性的性质,可以知道函数在上的单调性,结合的值可以知道的值,分类讨论求出的解集. 【详解】奇函数在内是增函数,所以函数在内是增函数, . 当时,则有, 当时, 则有,所以的解集为 . 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数奇偶性和单调性求解不等式解集问题. 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等价变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 7. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ） A. 31 B. 63 C. 64 D. 127 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】因为， 又，若，则， 所以集合是的非空子集， 且元素和，和，和，和，和必须同时出现， 故可把元素和，和，和，和，和看成一个元素，再包括12，则集合可看成有个元素， 所以满足上述条件的集合的个数为. 8. 已知正数，，满足且，若，，恰好能构成三角形的三边边长，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理将，看作方程两根，结合判别式保证根存在，再把三角形两边之和大于第三边转化为，联立不等式求得范围. 【详解】设，，则，为方程的根， 由一元二次方程有两个正实数根，判别式， ，整理得， 解得，因为 ，所以， 因为，所以 ，得 ，与 取交集后仍为 ； 且 ，等价于 ， 对 两边平方，得，即， 所以，即，解得或， 因为 ，所以 ， 又，所以， 当时，构成等边三角形，满足条件，故取等号， 因此的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 若，则 C. 函数与不是同一函数 D. 若函数是定义在上的偶函数，则的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：依据绝对值的非负性可判定方程无实根，该特称命题为假；B：由已知条件可推出，结合不等式性质即可证；C：两个函数定义域存在差异，不满足同一函数的判定条件；D：根据函数图象平移规律与偶函数对称轴性质，可推得的对称轴为. 【详解】选项A，因为，所以，所以不存在实数使得，故该命题为假命题，A错误； 选项B，由可知，即，可得，故该命题为真命题，B正确； 选项C，的定义域为，的定义域为， 二者定义域不同，因此不是同一函数，故该命题为真命题，C正确； 选项D，由 是偶函数，得的图象关于对称； 而的图象是将的图象向右平移1个单位得到的，对称轴也随之向右平移1个单位， 因此的图象关于直线对称，故该命题为真命题，D正确. 10. 定义运算已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 不等式的解集为 C. 若对任意，恒成立，则实数的最大值为 D. 方程在区间上有且仅有个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，结合一元二次不等式以及一元二次方程的解依次判断选项即可. 【详解】令，解得：或， 所以， 当或时，，当时，， 当时，则，所以函数的最小值为，故A正确， 对于B，当或时，，解得：，或， 当，则，解得：， 综上，不等式的解集为，故B正确； 对于C，结合A选项可知，对任意，，所以，所以实数的最大值为，故C不正确； 对于D，当时，方程，即，解得：， 因为，，所以此时， 当时，方程，即，此时方程无解， 当时，方程，即，解得：，因为，，所以此时， 综上方程在区间上有且仅有个根，故D正确. 11. 对于任意的正数，，恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令、反解出、把原式化为，用基本不等式求其最大值，再把恒成立转化为关于的一元二次不等式求解并检验选项. 【详解】令、，由、得、， 且由、解得、. 于是. 由基本不等式得，当且仅当， 即、时取等号，此时、均满足， 所以，即左边式子的最大值为. 题设要求该式对任意正数、都不超过， 等价于，即， 因式分解得，解得或， 所以实数的取值范围为. 选项中，，而、都落在内，不符合要求. 所以AC选项正确，BD选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以 13. 已知函数满足，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中抽象函数的性质，对所求代数式化简即可得结果. 【详解】因为，令，则， 所以，， ，， 以此类推可知，对任意的，， 所以当时，，即， 所以. 14. 定义集合，，，的“长度”均为（），若，则满足不等式的解集中各集合的“长度”之和为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据不等式进行化简，求出不等式对应的解集，根据区间长度的定义进行求解即可． 【详解】 ， 设的根为和． 设， 因为， 所以方程在内必有一实数根， 由求根公式得， ，显然， ，数轴标根，穿针引线如图所示： 解得或 即原不等式的解集为， 则构成的区间的长度之和. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的运算即可； （2）由题意得命题“，”为真命题，利用即可求解实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 由，得或． 则或． 【小问2详解】 因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题， 所以， 所以，即，即． 在的条件下，若，则或，解得或， 所以由，得， 所以实数的取值范围为． 16. 某企业生产一种产品，月固定成本为万元，每生产千件需另投入可变成本万元．当月产量不足千件时，；当月产量不小于千件时，，每千件售价为万元，假设该产品能全部售出． （1）写出月利润（万元）关于月产量（千件）的函数解析式； （2）当月产量为多少千件时，该企业生产该产品所获月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1） （2）月产量为千件时，该企业生产该产品所获月利润最大，最大月利润为万元． 【解析】 【分析】(1)依据利润的等量关系，分区间代入成本表达式，求出分段利润函数； (2)分别利用二次函数性质、基本不等式求出各段最大值，比较得到最大利润及对应产量. 【小问1详解】 由题可知，月销售收入（单位：万元）：． 月利润， 当时，， ， 当时，， ， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，取最大值为， 当时，由基本不等式，， ，当且仅当，即时取等号， 因为，的最大值为. 所以月产量为千件时，该企业生产该产品所获月利润最大，最大月利润为万元. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增．证明如下： ，且， 则， 因为， 所以，，，， 所以， 即， 故在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）由求的值，由求的值，再检验即可； （2），且，利用作差法证明即可； （3）根据函数为奇函数且在上单调递增，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 得，解得， 又，解得， 故，． 经检验，是奇函数，满足题意， 所以． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为为奇函数，所以， 不等式可化为， 又在上是增函数， 所以 解得， 所以不等式解集为． 18. 设函数． （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2）①时，不等式的解集为； ②时，不等式的解集为； ③时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程的两根为，即可求解； （2）分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可求解； （3）利用基本不等式可得的最小值为3，将问题转为在上恒成立，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 将代入不等式， 整理得， 因为不等式解集为，所以， 且对应的一元二次方程的两根为，． 由根与系数的关系得，， 解得，． 【小问2详解】 当时，不等式，即为，即为， ①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为． 【小问3详解】 对任意的，， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为3． 已知条件等价于：，使得成立，即使得成立， 即使得成立，即使得成立，所以， 令，， 设，则，， 当时，， 当,则， 因为，当且仅当，即，即时，取得等号， 所以的最大值为1， 所以，即实数的取值范围为． 19. 对于非空数集，定义集合为集合的生成集（其中，可以取相同的元素）．例如：若，则；若，则． 请根据上述定义，解决以下问题： （1）若集合的生成集，求集合； （2）若集合的生成集满足，，，且集合的子集个数为，求集合； （3）是否存在含有三个元素的集合，使得？若存在，求出满足条件的集合；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用生成集的定义，验证生成集即可； （2）利用集合的子集个数得到集合的元素个数为，设，再利用生成集的定义得到的元素，再逐个进行验证即可. （3）设，且，利用生成集的定义得到的元素，再利用元素与集合的关系即可. 【小问1详解】 记集合中的最小元素为，最大元素为，集合中的元素个数为． 因为，所以． ． 所以，且，． 当时，两两求和：，，，即，符合题意． 假设中还含有其他元素（），因为，所以． 故假设不成立，所以中不能有其他元素，所以． 【小问2详解】 集合的子集个数为，即，解得． 设，且． 中两元素两两求和有三种结果：，，． 因为，所以． 因为，， 分以下三种情况： ①若，，解得，，此时，，满足； ②若，，解得，，此时，，不满足，舍去； ③若，，解得，，则，，不满足，舍去． 综上，． 【小问3详解】 存在． 理由如下： 设，且， 两两求和：，，，，，， 其中，，，，这五个数的大小关系是确定的，为． 又因为，恰有5个元素， 所以要满足题意，则与上面的五个数中的一个数重合， 又因为，所以， 因为，所以，，解得，， 所以，解得． 所以． 验证：此时，符合题意， 所以存在满足题意的集合，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知：，，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数为定义在R上的奇函数,且在内是增函数,又,则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ） A. 31 B. 63 C. 64 D. 127 8. 已知正数，，满足且，若，，恰好能构成三角形的三边边长，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，”是真命题 B. 若，则 C. 函数与不是同一函数 D. 若函数是定义在上的偶函数，则的图象关于直线对称 10. 定义运算已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 不等式的解集为 C. 若对任意，恒成立，则实数的最大值为 D. 方程在区间上有且仅有个根 11. 对于任意的正数，，恒成立，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则__________． 13. 已知函数满足，且，则__________． 14. 定义集合，，，的“长度”均为（），若，则满足不等式的解集中各集合的“长度”之和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围． 16. 某企业生产一种产品，月固定成本为万元，每生产千件需另投入可变成本万元．当月产量不足千件时，；当月产量不小于千件时，，每千件售价为万元，假设该产品能全部售出． （1）写出月利润（万元）关于月产量（千件）的函数解析式； （2）当月产量为多少千件时，该企业生产该产品所获月利润最大？最大月利润是多少？ 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式． 18. 设函数． （1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 对于非空数集，定义集合为集合的生成集（其中，可以取相同的元素）．例如：若，则；若，则． 请根据上述定义，解决以下问题： （1）若集合的生成集，求集合； （2）若集合的生成集满足，，，且集合的子集个数为，求集合； （3）是否存在含有三个元素的集合，使得？若存在，求出满足条件的集合；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $