专题05有理数的乘方及混合运算期中复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题05有理数的乘方及混合运算期中复习讲义 1.理解乘方相关概念：掌握乘方、底数、指数、幂的定义，能区分底数与指数，正确读懂幂的表达式；分清-an与(-a)n的区别，理解乘方的意义。 2.掌握乘方运算与符号法则：会进行有理数乘方计算；牢记乘方符号规律，正数任何次幂都是正数，负数奇次幂为负、偶次幂为正，0 的正整数次幂等于 0。 3.科学记数法：会用科学记数法表示绝对值大于 1 的大数；能把科学记数法还原成原数，掌握a×10n中a的取值范围、n的确定方法。 4.有理数混合运算：熟记有理数混合运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面。能熟练完成含有乘方的综合计算，规范书写步骤。 5.近似数与精确度：理解近似数概念，会求一个数的近似数；能判断近似数的精确度，根据近似数推断原数的取值范围。 6.拓展题型能力：读懂程序流程图类计算题，理解计算逻辑；会用有理数运算解决 24 点游戏、乘方实际应用题，能借助计算器辅助有理数计算。 7.易错点辨析：重点区分负号是否在底数括号内；运算顺序容易出错，计算时优先计算乘方；科学记数法中指数n的正负与位数关系；近似数精确数位判断，不要混淆十分位、百分位等。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 算 “24” 点 ★★ 题型九 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型十 程序流程图与有理数计算 ★★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n -a n个-a相乘 (-4)2=(-4)(-4)=16 -an a an结果的相反数 -42=-(44)=-16 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 运算技巧 小数统一化为分数，方便约分； 带分数拆成整数 + 分数再计算； 灵活使用加法交换律、结合律、乘法分配律简化计算； 乘除混合统一转化为乘法（除以一个数 = 乘它的倒数） 知识点07:近似数、精确位数（拓展配套知识点） 准确数：完全符合实际的精确数值； 近似数：通过四舍五入得到、与实际接近的数； 精确到哪一位判断：看最后一位有效数字对应的数位。 例：3.14精确到百分位；5.2103精确到百位。 知识点08:综合易错题汇总 错误类型 错误写法 正确解法 失分核心原因 底数不分括号 -32=9 -32=-9 把负号错误归入底数 分数乘方漏括号 =- (-)2= 未将分数整体作为底数加括号 科学记数法a不达标 42103 4.2104 a超出1a<10)范围 运算顺序颠倒 322=62=36 34=12 先算乘除，后算乘方 分配律漏乘 3(5-2)=15-2 35-32=9 括号后项忘记相乘 题型一、有理数幂的概念理解 1．对的记法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：4个相乘，记作． 2．下列可以表示的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：表示a个7相乘，即． 3．若，则___________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系，即可代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， 解得：， 故 ． 故答案为：． 题型二、有理数的乘方运算 4．计算： _______ ． 【答案】12 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】解：原式． 5．下列各组数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、，，故A选项错误； B、，，故B选项错误； C、，，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 6．若，，且，则的值为_____． 【答案】9或5/5或9 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘方运算，根据绝对值的几何意义，非负性，有理数的乘方法则，求出的值，进一步计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，可有， 又，故； 当时，可有， 又，故， ∴当，时，可有； 当，时，可有． 综上所述，的值为9或5． 故答案为：9或5． 7．将转换为十进制数应写为，按此方式，则将十进制数转换为二进制数应该写成（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了十进制数与二进制数的互化，将十进制数转换为二进制数，采用“除取余”法，即不断除以并记录余数，直到商为，然后将余数从下往上排列得到二进制数，解题的关键是掌握十进制数转化为二进制数的方法． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴余数从下往上排列为，即， 验证：，符合， 故选：． 题型三、有理数乘方逆运算 8．若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论． 【详解】解：若 ∴a=±b，故A、B、C不一定成立； ∴，故D正确 故选D． 【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 9．如果，，那么___________． 【答案】 【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． 【详解】解：am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝3÷42＝， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键． 10．已知，，且，则代数式的值为（    ） A．1或7 B．1或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据绝对值和乘方意义可得a,b,再代入式子求值. 【详解】因为， 所以a=±3,b=±4 又因为 所以a+b<0 所以，a=3,b=-4或a=-3,b=-4 所以=3-（-4）=7或=-3-（-4）=1 故选A 【点睛】考核知识点：绝对值，乘方.理解绝对值意义是关键. 题型四、乘方运算的符号规律 11．已知，则分别为（    ） A．1， B．，4 C．2， D．2， 【答案】A 【分析】利用非负数的性质分别求出x,y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，. 故选：A. 【点睛】本题考查了非负数的性质，熟练非负数的性质是解题的关键． 12．若有理数x，y满足，则的值为_________． 【答案】/0.5 【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出x和y的值，再代入求值． 【详解】解：∵，，且， ∴，，即，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方式和绝对值的非负性，解题的关键是利用平方式和绝对值的非负性求出未知数的值． 13．对于代数式，下列说法正确的是（      ） A．当时，最大值是2 B．当时，最小值是2 C．当时，最大值是2 D．当时，最小值是2 【答案】B 【分析】利用平方的非负性质即可解决问题. 【详解】解：∵， ∴， ∴当x=1时，y有最小值为2． 故选：B． 【点睛】本题考查平方的非负性质，解题的关键是利用平方的非负性进行判断． 题型五、乘方的应用 14．系列纸张以面积约平方米的纸为基础，纸是纸的一半，纸是纸的一半，纸是纸的一半．以此类推．如图所示，大多数印刷厂用的纸每平方米重克，那么一张纸重约为（     ） A．5克 B．10克 C．20克 D．80克 【答案】A 【分析】根据题中纸是纸的一半，纸是纸的一半，纸是纸的一半，则纸是纸的一半，直接计算即可． 【详解】解：一张纸重约为（克）． 15．数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据知道和的值，可以求的值；如果知道和的值，可以求的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： （1）填空：___________ （2）若，则___________ 【答案】 【分析】（1）根据新定义进行解答即可； （2）根据新定义求出，，代入，根据新定义即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 16．你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再这伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出1024根面条，需要拉伸的次数是（   ） A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方在找规律问题中的应用，熟练掌握乘方的意义以及寻找规律的方法是解题的关键． 通过分析每次拉伸后面条数量的规律，建立指数方程求解拉伸次数． 【详解】解：∵第一次拉伸后面条数量为根， 第二次为根， 第三次为根， 以此类推，第次拉伸后面条数量为根． 令， 又∵， ∴． 故选：C． 题型六、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 17．东北虎豹国家公园总面积约14100平方千米，横亘于林海雪原之间．将14100用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原数写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：． 18．兴城市统计局数据显示，2026年月份，兴城市社会消费品零售总额811240000元，同比增长．数据811240000元用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到答案． 【详解】解：． 19．一个大正方体容器的棱长为，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为．将大正方体容器的水全部倒出，能装满______个小立方体容器．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键；先计算大正方形的体积，再计算小正方形的体积，进而求解即可； 【详解】解：， ； （个）； 故答案为： 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 20．一个数用科学记数法表示为，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 21．光年是天文学上的一种长度单位，一光年是指光在一年内走过的路程，用科学记数法表示约为，已知原数中“0”的个数为10，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法与原数的互化，核心是掌握科学记数法中指数与原数位数、0的个数的关系．根据科学记数法还原原数的规律，结合原数中0的个数建立关于的等式，进而求解的值． 【详解】解：将科学记数法还原为原数，需把的小数点向右移动位． ∵有两位小数，移动两位后得到整数，剩余的位需补0，且原数中0的个数为， ∴，； 故选：C． 22．过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的逆过程，科学记数法的表示形式为：的形式，关键是根据n的大小向右移动小数点得到原数． 【详解】∵n=6，∴小数点需要向右移动6位 故3.12×106=3120000 故选B． 【点睛】本题考查科学记数法的逆过程，科学记数法还可表示较小的数，注意，此刻小数点的移动方向与较大数表示时移动方向刚好相反． 题型八、算 “24” 点 23．“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 24．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：他的算式是． 25．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型九、含乘方的有理数混合运算 26．规定，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 27．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；；在一种八进制计数法中，它是用这八个数字来表示数，满八进一，例如：八进制数12对应十进制的数为，八进制数235对应十进制的数为，那么八进制数367对应的十进制数为_____，八进制数1573对应的十进制数为________ ． 【答案】 247 891 【分析】将八进制数转换为十进制数，需要将每位数字乘以8的相应次幂后求和即可． 【详解】解：八进制数367对应十进制的数为； 八进制数1573对应十进制的数为． 28．规定一种运算：，例如，则的值为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ． 29．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，错误． 选项B：，错误． 选项C：，正确． 选项D：，错误． 题型十、程序流程图与有理数计算 30．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入x的值为，则输出的结果为（     ） A．3 B．0 C．9 D．8 【答案】D 【详解】解：， ， 故输出的结果为8. 31．如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是_______． 【答案】 【详解】解：输入，得到， 输入，得到， ∴输出的结果是． 32．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（     ） A．4 B．9 C．13 D．53 【答案】C 【分析】根据示例确定代表的运算，按顺序列出算式计算即可． 【详解】解：由题意可知，表示平方，表示加，表示乘，表示减， ∴经过顺序的运算列式为： ． 题型十一、求一个数的近似数 33．用四舍五入法按要求对0.0509分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到千分位） D．0.051（精确到0.001） 【答案】C 【详解】解：精确到，得，A正确． 精确到百分位，得，B正确． 精确到千分位，得，C错误． 精确到，得，D正确． 34．一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 【答案】 【分析】分“四舍”和“五入”两种情况讨论近似数，“四舍”得到的近似数比原数小，对应原数的最大值；“五入”得到的近似数比原数大，对应原数的最小值． 【详解】解：若原数是通过“四舍”得到近似值，则原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需小于，千分位最大取，因此最大原数为； 若原数是通过“五入”得到近似值，则进位后得到，原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需大于等于，千分位最小取，因此最小原数为． 35．下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．将数80360保留2个有效数字是 C．用四舍五入法得到的近似数精确到 D．用科学记数法表示的近似数，其原数是60600 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是近似数与有效数字，关键是要明确其近似数和有效数字的意义．根据近似数和有效数字的意义对每个选项逐一分析判断，得出正确选项． 【详解】解：A、近似数精确到十分位，，所以说精确到十分位不正确； B、将数80360保留2个有效数字是：，所以正确； C、用四舍五入法得到的近似数精确到，所以说精确到不正确； D、用科学记数法表示的近似数，应是约等于60600，因为是近似数，所以不正确； 故选：B． 题型十二、求近似数的精确度 36．关于近似数，下列说法正确的是（     ） A．精确到个位 B．精确到十分位 C．精确到百分位 D．精确到十位 【答案】C 【详解】解：∵近似数的末位数字在百分位， ∴该近似数精确到百分位． 37．今年月份，深圳市累计完成地方一般预算收入亿元，数据亿精确到__________，有效数字有________ 个． 【答案】 百万 5 【分析】根据近似数和有效数字的性质，精确到哪一位就看数的最后一位在什么位上；而有效数字是指从左边第一个不是0的数起，到右边精确到的数位止，中间所有的数字都叫有效数字，据此求解即可． 【详解】数据亿精确到百万位，有5个有效数字 故答案为：百万，5． 【点睛】本题主要考查的是近似数和有效数字的知识，解题的关键是熟练掌握近似数和有效数字的定义，从而完成求解． 38．将数精确到百分位是（   ） A．1.2 B．1.23 C．1.234 D．1.235 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确百分位的位置并掌握四舍五入的方法． 确定百分位是小数点后第二位，看千分位数字，根据四舍五入法对精确到百分位．精确到百分位即保留两位小数，需根据千分位数字进行四舍五入． 【详解】解： 数字的千分位是4，且， 舍去千分位及后续数字，精确到百分位为． 故选：B 题型十三、近似数推断取值范围 39．近似数所表示的准确数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从近似数的精确度出发，结合四舍五入的“四舍”“五入”两种情况推导准确数的取值范围． 【详解】解：∵ 近似数精确到百分位，由千分位四舍五入得到， ∴“五入”得到时，准确数最小为，即； ∵“四舍”得到时，准确数需小于，即． ∴ 准确数的取值范围是． 40．某数由四舍五入法得到的近似数为4.83，那么原来的数介于______和_______之间． 【答案】 4.825 4.834 【分析】根据近似数的精确度求解． 【详解】解：数a由四舍五入得到的近似数是4.83，那么4.825≤a＜4.834． 故答案为4.825，4.834． 【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数． 41．下列说法中：①近似数与表示的意义不同；②近似数是精确到十位；③近似数是精确到的近似数；④精确到百位；⑤近似数所表示的准确数的范围是．正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据近似数的精确度的知识对选项逐一判断即可． 【详解】解：①近似数精确到，精确到，它们表示的意义不同，①说法正确； ②近似数，是精确到十位，②说法正确； ③近似数是精确到的近似数，③说法正确； ④精确到个位，④说法错误； ⑤近似数所表示的准确数的范围是，⑤说法错误． ∴正确的个数有个． 故选：B． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 解答题 42．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照有理数混合运算顺序，先计算乘方、括号内运算与绝对值，再计算乘除，最后计算加减； （2）按照有理数混合运算顺序计算，注意乘方的符号规则，先计算乘方与绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．求值： (1)已知，，且，求的值； (2)如果，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或． 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数乘法，有理数乘方，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得 或，所以当时，，不符合条件；当时，，符合条件，再代入即可求解； （）由，，得，，然后通过，分为当时，只能取，当时，只能取，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∵，， ∴当时，，不符合条件； 当时，，符合条件， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴分情况：当时，只能取， 此时； 当时，只能取， 此时； ∴的值为或． 44．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 45．在适宜的条件下，某种细菌每30分钟分裂一次（1个分裂成2个），如图所示． (1)从1个细菌开始，经过3小时，共有多少个细菌？（先列出乘方算式，再求出结果） (2)至少经过多少小时，细菌个数能超过1000个？ (3)在实际培养中，细菌个数会一直按这个规律增长吗？请结合生活经验说明理由． 【答案】(1) (2)5小时 (3)不会．实际培养中营养物质有限、空间有限、代谢废物会积累， 所以细菌不可能一直按此规律无限增长（说法合理即可） 【分析】（1）根据题意，得出分裂次数，然后利用有理数的乘方计算； （2）根据有理数的乘方算出结果，然后进行比较； （3）根据实际生活经验进行解答即可． 【详解】（1）解：3小时共分裂6次，细菌个数为（个）； （2）解：∵，， 故需分裂10次，用时（分钟）（小时）； （3）解：略． 46．【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如…，这个字母依次对应…这个自然数（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（26被4除余2），即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 (1)按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ；明文对应的密文为 ； (2)按照以上程序加密次的密文为“新城加油”的首字母“”，则其对应的明文为 ； (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据将明文转换成密文的方法计算即可求解； （2）根据将密文转换成明文的方法计算即可求解； （3）根据将明文转换成密文的方法计算出前几项，找到规律，根据规律即可求解． 【详解】（1）解：根据将明文转换成密文的方法计算可得： （16被4整除）， ， （20被4整除）， ， ， 明文对应的密文为；明文对应的密文为． 故答案为：；； （2）解：根据将密文转换成明文的方法计算可得： ， ， ， ， “”对应的明文为． 故答案为：； （3）解：根据将明文转换成密文的方法计算出前几项可得： ， （12被4整除）， （3被4除余3）， （8被4整除）， ．．．， 发现规律：密文以、、、、、、为一组重复出现， ……， 加密次，明文对应的密文为． 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的乘方及混合运算期中复习讲义 1.理解乘方相关概念：掌握乘方、底数、指数、幂的定义，能区分底数与指数，正确读懂幂的表达式；分清-an与(-a)n的区别，理解乘方的意义。 2.掌握乘方运算与符号法则：会进行有理数乘方计算；牢记乘方符号规律，正数任何次幂都是正数，负数奇次幂为负、偶次幂为正，0 的正整数次幂等于 0。 3.科学记数法：会用科学记数法表示绝对值大于 1 的大数；能把科学记数法还原成原数，掌握a×10n中a的取值范围、n的确定方法。 4.有理数混合运算：熟记有理数混合运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面。能熟练完成含有乘方的综合计算，规范书写步骤。 5.近似数与精确度：理解近似数概念，会求一个数的近似数；能判断近似数的精确度，根据近似数推断原数的取值范围。 6.拓展题型能力：读懂程序流程图类计算题，理解计算逻辑；会用有理数运算解决 24 点游戏、乘方实际应用题，能借助计算器辅助有理数计算。 7.易错点辨析：重点区分负号是否在底数括号内；运算顺序容易出错，计算时优先计算乘方；科学记数法中指数n的正负与位数关系；近似数精确数位判断，不要混淆十分位、百分位等。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型八 算 “24” 点 ★★ 题型九 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型十 程序流程图与有理数计算 ★★★★ 题型十一 求一个数的近似数 ★ 题型十二 求近似数的精确度 ★★ 题型十三 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 算式 真正底数 算式含义 计算结果示例 (-a)n -a n个-a相乘 (-4)2=(-4)(-4)=16 -an a an结果的相反数 -42=-(44)=-16 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 运算技巧 小数统一化为分数，方便约分； 带分数拆成整数 + 分数再计算； 灵活使用加法交换律、结合律、乘法分配律简化计算； 乘除混合统一转化为乘法（除以一个数 = 乘它的倒数） 知识点07:近似数、精确位数（拓展配套知识点） 准确数：完全符合实际的精确数值； 近似数：通过四舍五入得到、与实际接近的数； 精确到哪一位判断：看最后一位有效数字对应的数位。 例：3.14精确到百分位；5.2103精确到百位。 知识点08:综合易错题汇总 错误类型 错误写法 正确解法 失分核心原因 底数不分括号 -32=9 -32=-9 把负号错误归入底数 分数乘方漏括号 =- (-)2= 未将分数整体作为底数加括号 科学记数法a不达标 42103 4.2104 a超出1a<10)范围 运算顺序颠倒 322=62=36 34=12 先算乘除，后算乘方 分配律漏乘 3(5-2)=15-2 35-32=9 括号后项忘记相乘 题型一、有理数幂的概念理解 1．对的记法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列可以表示的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则___________ ． 题型二、有理数的乘方运算 4．计算： _______ ． 5．下列各组数中，数值相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．若，，且，则的值为_____． 7．将转换为十进制数应写为，按此方式，则将十进制数转换为二进制数应该写成（   ） A． B． C． D． 题型三、有理数乘方逆运算 8．若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．如果，，那么___________． 10．已知，，且，则代数式的值为（    ） A．1或7 B．1或 C．或 D．或 题型四、乘方运算的符号规律 11．已知，则分别为（    ） A．1， B．，4 C．2， D．2， 12．若有理数x，y满足，则的值为_________． 13．对于代数式，下列说法正确的是（      ） A．当时，最大值是2 B．当时，最小值是2 C．当时，最大值是2 D．当时，最小值是2 题型五、乘方的应用 14．系列纸张以面积约平方米的纸为基础，纸是纸的一半，纸是纸的一半，纸是纸的一半．以此类推．如图所示，大多数印刷厂用的纸每平方米重克，那么一张纸重约为（     ） A．5克 B．10克 C．20克 D．80克 15．数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据知道和的值，可以求的值；如果知道和的值，可以求的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： （1）填空：___________ （2）若，则___________ 16．你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再这伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出1024根面条，需要拉伸的次数是（   ） A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 题型六、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 17．东北虎豹国家公园总面积约14100平方千米，横亘于林海雪原之间．将14100用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 18．兴城市统计局数据显示，2026年月份，兴城市社会消费品零售总额811240000元，同比增长．数据811240000元用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 19．一个大正方体容器的棱长为，里面装满了水，一个小立方体容器的棱长为．将大正方体容器的水全部倒出，能装满______个小立方体容器．（用科学记数法表示） 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 20．一个数用科学记数法表示为，则这个数是（     ） A． B． C． D． 21．光年是天文学上的一种长度单位，一光年是指光在一年内走过的路程，用科学记数法表示约为，已知原数中“0”的个数为10，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（    ） A． B． C． D． 题型八、算 “24” 点 23．“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 24．小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 25．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 题型九、含乘方的有理数混合运算 26．规定，则的值是（    ） A． B． C． D． 27．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；；在一种八进制计数法中，它是用这八个数字来表示数，满八进一，例如：八进制数12对应十进制的数为，八进制数235对应十进制的数为，那么八进制数367对应的十进制数为_____，八进制数1573对应的十进制数为________ ． 28．规定一种运算：，例如，则的值为（     ） A．1 B．3 C． D． 29．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十、程序流程图与有理数计算 30．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入x的值为，则输出的结果为（     ） A．3 B．0 C．9 D．8 31．如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的结果是_______． 32．如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（     ） A．4 B．9 C．13 D．53 题型十一、求一个数的近似数 33．用四舍五入法按要求对0.0509分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.050（精确到千分位） D．0.051（精确到0.001） 34．一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 35．下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．将数80360保留2个有效数字是 C．用四舍五入法得到的近似数精确到 D．用科学记数法表示的近似数，其原数是60600 题型十二、求近似数的精确度 36．关于近似数，下列说法正确的是（     ） A．精确到个位 B．精确到十分位 C．精确到百分位 D．精确到十位 37．今年月份，深圳市累计完成地方一般预算收入亿元，数据亿精确到__________，有效数字有________ 个． 38．将数精确到百分位是（   ） A．1.2 B．1.23 C．1.234 D．1.235 题型十三、近似数推断取值范围 39．近似数所表示的准确数的范围是（     ） A． B． C． D． 40．某数由四舍五入法得到的近似数为4.83，那么原来的数介于______和_______之间． 41．下列说法中：①近似数与表示的意义不同；②近似数是精确到十位；③近似数是精确到的近似数；④精确到百位；⑤近似数所表示的准确数的范围是．正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解答题 42．计算： (1)； (2)． 43．求值： (1)已知，，且，求的值； (2)如果，，且，求的值． 44．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 45．在适宜的条件下，某种细菌每30分钟分裂一次（1个分裂成2个），如图所示． (1)从1个细菌开始，经过3小时，共有多少个细菌？（先列出乘方算式，再求出结果） (2)至少经过多少小时，细菌个数能超过1000个？ (3)在实际培养中，细菌个数会一直按这个规律增长吗？请结合生活经验说明理由． 46．【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如…，这个字母依次对应…这个自然数（见表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（26被4除余2），即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 (1)按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ；明文对应的密文为 ； (2)按照以上程序加密次的密文为“新城加油”的首字母“”，则其对应的明文为 ； (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文对应的密文为 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $