1.1锐角三角函数 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级下册

2026-2027年浙教版九年级下册第一单元：锐角三角函数 【思维导图】 【知识梳理】 一阶学习（基础训练） 1.如图，已知△ABC，AD⊥BC，则sin∠ABD＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的定义判断即可． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴sin∠ABD． 故选：A． 2.在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 3.如图，在中，，如果把的各边都扩大为原来的4倍，则的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的倍 C. 扩大为原来的2倍 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键． 求出扩大前后的值即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 如果把的各边都扩大为原来的4倍， ∴， ∴的值不变． 故选：A． 4.如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大． 【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大， 如图所示， ∵A'D⊥BC， ∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ， 在Rt△BOD中， sinθ= ，cosθ=， ∴BD=sinθ，OD=cosθ， ∴BC=2BD=2sinθ， A'D=A'O+OD=1+cosθ， ∴S△A'BC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）． 故选：D． 5.在中，，若的三边都放大2倍，则的值(    ) A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C  【解析】解：把的三边都放大2倍后，所得的三角形与是相似三角形， 的大小不变， 的值不变， 故选： 根据三边成比例的两个三角形相似可得把的三边都放大2倍后，所得的三角形与是相似三角形，从而可得的大小不变，即可解答． 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据tanB＝ 即可解答． 【详解】解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝． ∴tanB＝． 故选：D． 7.如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图所示，连接BE，交AC于点D 设菱形的边长为a， ，，， 故选： 8.如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A，B，O三点均在格点上，则sin∠AOB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AB，分别过点O和点A作AB及OB的垂线，垂足分别为M，N，利用面积法求出AN的长再结合正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：连接AB，分别过点O和点A作AB及OB的垂线，垂足分别为M，N， 由勾股定理得， OA＝OB， AB． ∵OA＝OB，OM⊥AB， ∴AM． 在Rt△OAM中， OM． ∵， ∴AN． 在Rt△OAN中， sin∠AOB． 故选：A． 9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则sinA的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【分析】根据正弦的定义解答． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴sinA． 如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍， ∴sinA′， ∴sinA的值不变． 故选：A． 10．如图，在中，，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， 则. 故答案为：C. 11．2sin45°的值等于（） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】【解答】2sin45°=2× . 故答案为：B. 12．如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（　　） A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA 【答案】B 【解析】【解答】解： ∵45°＜A＜90°， ∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小， 当∠A＞45°时，sinA＞cosA． 故答案为：B． 13．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】【分析】根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值即可解答． 【解答】∵∠α是等边三角形的一个内角， ∴∠α=60°． ∴cosα=cos60°=． 故选A． 14.如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面展开距离（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：连接OA，则 根据题意：， 在Rt中， 故答案为：D. 二阶学习（提升训练） 1.tan45°＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据45°的正切值是1解答． 【解答】解：tan45°＝1， 故答案为：1． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵在Rt△ABC中，BC=6，sinA= ∴AB=10 ∴． ∵D是AB的中点，∴AD=AB=5． ∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB， ∴ 即 解得：DE=． 3.如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、， ， ，， 、， 在中，． 4.在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝______.； 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵tanA=， ∴设a=x，则b=2x， 则c=． ∴sinA=． 5.在中，，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦． 根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故答案为：． 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanA，那么sinA＝ ． 【分析】作出图形，设BC＝k，AC＝2k，利用勾股定理列式求出AB，再根据锐角的正弦即可得解． 【解答】解：如图， ∵tanA， ∴设BC＝k，AC＝2k， 由勾股定理得，ABk， ∴sinA． 故答案为：． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 　 ． 【分析】根据题意设BC＝3a，AB＝4a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵sinA， ∴设BC＝3a，AB＝4a， ∴ACa， ∴tanB． 故答案为：． 8.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为 ． 【分析】借助于格点，连接BM，AM，得出BM∥DC，进而得出∠ABM＝∠APC，最后在Rt△ABM中根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BM，AM， 则BM∥DC，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠APC． 令正方形网格的边长为a， 则AM， AB． 在Rt△ABM中， sin∠ABM， ∴sin∠APC＝sin∠ABM． 故答案为：． 9． 如果，那么锐角的度数为　 　°. 【答案】30 【解析】【解答】解：∵， ∴锐角A的度数为30°， 故答案为：30. 10．已知a，β均为锐角，且满足，则ɑ+β=　 　°． 【答案】105 【解析】【解答】解：∵， ∴ ∴ ∵，均为锐角 ∴， ∴． 故答案为：105． 11.计算： 　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：， ， ， 故答案为：. 12.6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图， ∵有个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．互余的两个锐角三角函数之间的关系：sin（90°﹣A）=　 　，cos（90°﹣A）=　 　，tan（90°﹣A）=　 　，cot（90°﹣A）=　 　． 【答案】sin（90°﹣A）=cosA；cos（90°﹣A）=sinA；tan（90°﹣A）=cotA；cot（90°﹣A）=tanA． 【解析】【解答】解：根据互为余角的锐角三角函数关系式，知sin（90°﹣A）=cosA| cos（90°﹣A）=sinA|tan（90°﹣A）=cotA|cot（90°﹣A）=tanA． 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sinA的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB= =10， ∴sinA= = = ； 故答案为： ． 15．已知在 Rt 中， ，则 的值为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：由题意得 ，， ， 设，则，， ， 故答案为： 16．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA=　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边， ∴tanA= ， ∵2b=3a， ∴ = ， ∴tanA= ． 故答案为： ． 三阶学习（培优训练） 1.计算： （1） （2）若，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形相关计算： （1）利用特殊角的三角函数值进行计算即可． （2）根据构造直角三角形，再根据正切的定义求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：如图，中，，，， 则， 由勾股定理得， 故． 2.计算：。 【答案】原式=2×12+1-(2-3) =3 3.先化简，再求值：，其中. 【答案】解： = = =. ∵=2×+1=+1， ∴原式===. 4.计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5.（1）计算：． （2）求中锐角α的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 6.计算： 【答案】  【解析】解： 7．计算：． 【分析】根据特殊角的函数值sin30°； cos30°；tan30°；sin45°；cos45°；tan45°＝1；sin60°；cos60°； tan60°；代入计算即可． 【解答】解：原式， ． ． 8.计算：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算得到答案． 【解答】解：sin230°﹣2cos30°•tan60°•sin245° ＝（）2﹣2（）2 ． 9．计算：4cos230°+tan45°﹣8sin260°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：4cos230°+tan45°﹣8sin260° ＝4×（）2+1﹣8×（）2 ＝41﹣8 ＝3+1﹣6 ＝﹣2． 10.计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°+（﹣1）2025． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答． 【解答】解：原式21 1． 11.如图，在△ABC中，∠B=∠C=67.5°． （1）求sinA的值； （2）求tanC的值． 【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠B=∠C=67.5°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°， ∴sinA=sin45°= ， 即sinA= （2）解：作BD⊥AC于点D，如下图所示， ∵由（1）可知∠A=45°，设BD=a， ∴AD=a，AB= ， ∵AB=AC， ∴AC= ， ∴CD=AC﹣AD= ， ∴ = ， 即tanC= ． 12.计算： （1）2sin30°+4cos30°•tan60°-cos245°． （2）tan60°-2sin45°+cos60°． 【答案】（1）解：2sin30°+4cos30°•tan60°-cos245° =2×+4××- =1+6- =． （2）解：tan60°-2sin45°+cos60° =-2×+ =-+ =． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027年浙教版九年级下册第一单元：锐角三角函数 【思维导图】 A的正孩 SinA:A的对边 斜边 定 C钱角A的三角 o<sinA 西数值艺围 oeCSA<1 tanA LA的余法 ⊙钱角角必教 cotA0 CoSA=- A的绅边 斜边 角增减性 0sinA.mA都随A的增大 而增大，减响减小 (0°<AL9）日0sA,otA都随4的培大而 小，减小而增大 边 林边U 0弃A卧正编 角必数 输⑥特殊角的角西教值 余磊上切.年订 含分、45.60°及。9的三角论教值 邻建b 月为小的较角 G同-锐角A(年钫矫、smA+osA 三角远数 的确选故 1 性 商凝、anAm LA的正切 tnA:∠A的对边 争边 倒赦疑AtA ⑤余两角之涧的选赦杀 A的条切 (0tA: A的争边 SimA-os9p-A)） 对边 osA:sn(9°-A） tan4:otL6-A】 lot A:tan 19A) 【知识梳理】 一、基础定义 在直角三角形Rt△ABC中，∠C=90°，对于锐角∠A,其三角函数定义如下： 表格 山 三角函数名称 英文符号 定义表达式 边的对应关系 正弦 sin A sinA=∠4的对边 斜边 sin A= 余弦 cos A cos A= ∠4的邻边 边 CosA- 正切 tan A tanA= 競 tanA=号 |注：三角函数值是直角三角形中两条边的比值，仅与锐角的角度大小有关，与三角形的边长无关。 二、特殊锐角的三角函数值 30°、45°、60°是初中阶段最常用的特殊锐角，其三角函数值可通过含特殊角的直角三角形推导得出： 表格 角度 sin a cos a tana 30° 2 45° 号 号 60 号 3 三、核心性质与规律 1.取值范围：对于任意锐角A,有0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0。 2.增减性： 。当角度在0°~90°之间增大时，正弦值siA随角度增大而增大 。当角度在0°~90°之间增大时，余弦值C0sA随角度增大而减小 。当角度在0°90°之间增大时，正切值tanA随角度增大而增大 3.互余角的三角函数关系：若A+B=90°，则 。sinA=cosB 。cosA=sinB 4.同角三角函数恒等式： 。平方关系：sin2A+cos2A=1 。商数关系：tanA= cos A 一阶学习（基础训练） 1.如图，已知△ABC,AD⊥BC,则sim∠ABD=() B 2 A.AD B铅 c.Ac AC AB AB D. BC 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3,则sinA=() 3 4 3 4 A.5 B.5 C.4 D.3 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则sinA的值( A.不变 B.缩小为原来的4倍 C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍 4.如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O,∠BAC=9(9是锐角)，则△ABC的面积的最大值为() .0 A.cos(1+cos0) B.cos(1+sin0) c.sine(1+sin) D.sin(1+cos0) 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值() A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,则tanB的值是() 3 A B C 4 3 4 A.5 B.4 c.5 D.3 7.如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A,B,C在格点上， 则tan∠CAB的值为() B B V3 c③ 3 D2 3 8.如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A,B,O三点均在格点上，则si∠AOB的值是() O B A. 5 B.3 C. 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边都扩大为原来的4倍，则siA的值() B C A.不变 B。缩小为原来的倍 4 C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍 10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，下列结论中正确的是() B A.sinA=BC AB B COSA= BC lanC=AB AC AC C. BC D cOSC= BC 11.2sin45的值等于() A.1 B.② c.v3 D.2 12.如图，已知：45°<∠A<90°，则下列各式成立的是() A.sinA=COSA B.sinACosA C.sinAtanA D. sinA<CoSA 13.如果∠是等边三角形的一个内角，那么cos0的值等于() A. 1 B. V2 C. 3 2 D.1 14.如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面AC的圆心为O,若AB的度数为a,伞柄B0=m,则伞 面展开距离AC=( B 5 A m B. 2m C.msina D.2msina sina sin a 二阶学习（提升训练） 1.tan45°= 3 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=5, 则DE=一 B D C E 3.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O,AC=6,BD=4,则tan∠DAO的值为 4.在△ABC中，∠C=90°，若tanA=2,则sinA=一： 5.在R△ABC中，∠C=90°，AB=3,BC=2,则Cos∠ABC的值为 B 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanA= 2,那么sin4= 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= 4:则tanB的值是 B 8.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与CD相交于点 P,则sin∠APC的值为 --下--T--7----1---1 D P 9.如果cosA= 2,那么锐角4的度数为 10.已知a,阝均为锐角，且满足 2 +(tan-l=0,则a+-— 11.计算：(2-V5)°+4cos30°= 12.6个全等的小正方形如图放置在△ABC中，则tanB的值是」 E =-B 13.互余的两个锐角三角函数之间的关系：sin(90°-A)= ,c0s(90°- A)= tan(90°-A)= cot(90°-A)= 14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC-6,BC=8,则sinA的值为 15已知在R1△ABC中，∠C=90,snA=是则mB的值为 16.在Rt△ABC中，∠C-90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C对边，如果2b=3a,则tanA= 三阶学习（培优训练） 1.计算： (1)sin30°-tan45 (2)若 sin 4=3 ,求tanA 2.计算：2cos60+(元-3°-|2-3° 1a+1）.2 3.先化简，再求值：(a+1a2-1厂a+1,其中a=2sin60°+1： 4计算：sin45°-c0s30tan60 5.(1)计算：2c0s'45°-tan30sin60° （2)求3tan(a-20)=V5中锐角a的值. 6.计算：sin30°-3tan45°+√8cos30°+6tan230°. 7.计算：sin30°+V3tan60°-2cos45°. 8.计算：sin30°-2cos30°tan60°sin45°. 9.计算：4cos230°+tan45°-8sin260°. 9 10.计算：sin45+2cos30°-tan60+(-1)2025, 11.如图，在△ABC中，∠B=∠C67.5°. C (1)求sinA的值； (2)求tanC的值. 12.计算： (1)2sin30°+4c0s30°·tan60°-cos45°. (2)tan60°-2sin45°+cos60°. 10