精品解析：山东烟台市莱阳市2026-2027学年度第一学期期中学业水平检测九年级数学试题

2026—2027学年度第一学期期中学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知二次函数，下列说法正确的是（  ） A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 【详解】解：二次函数， 该函数图象过，故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为，故选项B错误，不符合题意； 当时，，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当时，，即该函数图象与y轴的交点坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 2. 拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 4. 一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其表达式可能为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由已知抛物线得开口向上，结合顶点式筛选选项． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴所求抛物线开口向上，即二次项系数， ∵顶点为， ∴抛物线顶点式为，选项B顶点为，排除；选项C、D含开口向下的表达式，排除， 故只有选项A符合条件． 5. 一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作，垂足为点D，先求出的长度，再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：过点C作，垂足为点D， ∵，海里， ∴海里， ∵， ∴， 根据勾股定理得：海里， ∴救援艇到达处所用的时间为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、含有角的直角三角形，以及等腰直角三角形，解题的关键是熟练掌握含有角的直角三角形，所对的边等于斜边的一半． 6. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，掌握数形结合思想是解题的关键．图象在图象下方部分对应的x的值取值范围即为所求． 【详解】解：与的图象交于A、B两点，点B的横坐标为2， 点A的横坐标为， 由图可得，当或时，图象在图象的下方， 当时，x的取值范围是或， 故选A． 7. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 8. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，由可得，再由得，即得，得到，最后根据对顶角的性质及正切的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设， 利用矩形的性质和中点坐标公式表示出点的坐标，即得，，又由的面积为，可得，最后根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：设， ∵是矩形，且点为的中点，点，在轴的正半轴上， ∴点纵坐标为，， 把代入反比例函数解析式，得， ∴， ∴点横坐标为， ∴点横坐标为， 把代入反比例函数解析式，得， ∴， ∴， ∵的面积为，点为的中点， ∴， ∵， ∴， 解得． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象和对称轴可得，，，即可判定①；由对称性得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即得当时，，即可判定②；由抛物线与轴的交点位置得顶点纵坐标小于，即可判定③；由抛物线与轴的交点位置得，由根和系数的关系得，即得，得到，即可判定④；由对称轴得，再结合，，即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴相交于负半轴上， ∴，， 又∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的交点的坐标为，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，故②错误； ∵抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两点）， ∴顶点纵坐标小于， 即， ∵， ∴，故③错误； ∵抛物线与轴的交点在和之间（不包括这两点）， ∴， ∵抛物线与轴的交点坐标为和， ∴方程的两个根为和， 由一元二次方程根和系数的关系，得， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的结论有个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同位角相等把转化为，设小正方形边长为，在直角三角形中按正切定义算出． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 则， 设小正方形的边长为， 则，， ． 12. 如图是反比例函数在第一象限的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，延长到点，使．若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意可得，再根据比例系数的几何意义得，得到，进而根据图象分布的象限即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵点是反比例函数图象上的一点，轴， ∴， ∴， 解得， 又∵图象的一支分布在第一象限， ∴， ∴． 13. 如图，在中，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握锐角三角函数的概念是关键；过点A作于点D；在中由余弦函数关系求得，由正弦函数关系求得；在中由，设，则，由勾股定理求得，进而求得x的值，即可求得，由可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D； 在中，，，， ∴，； 在中，， 设，则，由勾股定理得， ∴， 解得：， 即， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质求出点的坐标，可求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，得到的长，过点作于，求出高的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点， ∴，，， ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴反比例函数， 把代入，得， ∴， ∴， 过点作于， 则， ∴． 15. 已知二次函数（为常数），当时，这个二次函数的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】先由二次项系数判断函数开口方向，求出对称轴，结合给定的自变量取值范围确定最大值、最小值对应的自变量位置，代入计算两者的差值． 【详解】解：∵二次函数解析式为，二次项系数为， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴在的范围内，点离对称轴越远，对应的函数值越小， ∵，，， ∴当时，函数取得最大值，代入得， ∵当时，函数取得最小值，代入得， ∴最大值与最小值的差为． 16. 如图，边长为的正方形截取一个角后成为五边形，其中，．是边上的任意一点，过点作于点，于点，则矩形的最大面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，可证四边形和四边形均是矩形，得到，，，进而得到，设，则，利用正切的定义可得，即得，得到，即得到，由此得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形和四边形均是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 【答案】32米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，，则，，过点作于，则四边形是矩形，，，，，可得 ，，计算求解，进而可求． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∴， 如图，过点作于，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 宿舍楼的高度约为． 18. 已知抛物线（，，为常数，）的最小值是． （1）若该抛物线的对称轴为直线，且经过点，求这条抛物线的表达式； （2）若直线经过抛物线的顶点，求这条抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设表达式为，代入，即可求解； （2）根据抛物线的顶点坐标为，代入得出，根据得出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为， 设表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为，即； 【小问2详解】 根据题意，抛物线的顶点坐标为， 代入，得， ， ， ， ，则 ∴抛物线的顶点坐标为． 19. 如图，在直角坐标系中，的边在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，点的坐标为． （1）求这两个函数的表达式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入得出一次函数表达式，把点代入得出反比例函数的表达式 （2）根据题意求得的坐标，从而求得，根据平行四边形的性质求得点，结合题意可得平移后的点为，代入反比例函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入 得， 解得， ∴一次函数表达式为， ∵把点代入 得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 轴，点， ∴点的纵坐标为2， 把代入得， ， ， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ∵点， ∴点， 设点向下平移的距离为，则平移后的点为， ∵平移后的点恰好落在图象上， ， ． 20. 实践小组测量塔的高度，在塔的正西方向选择点，在处测得的仰角为，从处沿方向前进15米到达处（，，三点在同一条直线上）．再从点出发，沿坡度为的山坡走了13米到达坡顶的观测站，在处测得的仰角为，求塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】塔高约为19米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，则四边形是矩形，根据山坡的坡度为，设，则，利用勾股定理求得，结合已知求得的长，设，解，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得， ∴四边形是矩形， ，， ∵山坡的坡度为， ， 设，则， ， ， ， 解得， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∴塔高约为米． 21. 某校开展阳光大课间跳长绳活动，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线的一部分，如图，两名同学摇绳的手，之间的水平距离为，手到地面的距离与都为，绳甩到最高点处时，最高点距地面的高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用表示．为保证学生安全，学生头顶正上方的绳子比其头顶至少高出． （1）求，的值； （2）某班挑战多人跳绳，即学生依次跳进后不跳出，跳进后，相邻学生在水平方向上的距离至少为，若他们跳绳时头顶与地面的高度均为，求最多能跳进多少人？ 【答案】（1） （2）最多能跳进21人 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）由（1）得函数的表达式为，将代入，即可求得水平方向上的距离，结合题意，进而求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 将，分别代入 得， ； 【小问2详解】 解：由（1）得函数的表达式为， ∴当时，， ，， （人）． ∴最多能跳进21人． 22. 如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）点在反比例函数（）的图象上，记线段与轴正半轴的夹角为，若，求的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）把代入得出，再代入，即可求解； （2）如图，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴于点，根据题意设，则，则，代入，得出的坐标，进而得出所在直线的函数表达式为，从而求得点的坐标，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， ． 把代入，得， ， ； 【小问2详解】 如图，过点作轴的垂线，交于点，过点作轴于点， ， ， 设，则， ， 将代入，得，解得，（不合题意，舍去）， ， 设所在直线的函数表达式为，把代入得，解得， 所在直线的函数表达式为， 轴，， ∴点的横坐标为3， 把代入，得， ， ， ； 23. 如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上． （1）求、两市之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，） 【答案】（1） （2），，  ， ， ， 由（）知：，， ， ∵在中，， ， ， ∴甲货车选择路线①，所需时间为， 乙货车选择路线②，所需时间为， ， ∴乙货车先到达市． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，，即得，进而得到，，又由得，，得到，即得到，再根据方程求出即可求解； （2）求出，再分别求出两条路线所需时间，比较即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图， 由题意得，，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， 、两市之间的距离为， ， ， ， 答：、两市之间的距离为； 【小问2详解】 略 24. 某网店专售一种商品，其成本为每件60元，当售价为每件80元时，每月可销售400件．已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，据市场调查发现：销售单价每提高5元，则每月少销售25件，设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件． （1）直接写出与的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为元，当销售价单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，求该商品的销售单价应该写在什么范围内？ 【答案】（1）；（2）当销售单价为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元；（3）为了保证捐款后每月利润不低于7700元，该商品的销售单价应该定在80元到90元之间（含80元、90元） 【解析】 【分析】（1）每件商品的售价提高部分为x-80,每月销量减少部分件，每月的销售量为=400-即可； （2）利用每件利润×销售件数可列出利润解析式，由销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，列不等式组，求出售价范围，求出抛物线对称轴为直线，，由<0，抛物线开口向下，函数图象在对称轴的左侧，随的增大而增大，取最大值时，取得最大值，； （3）根据利润不低于7700元，构造取最小值方程，解得，利用抛物线两个边值来确定范围即可． 【详解】解：（1）每件商品的售价提高部分为x-80,每月销量减少部分件， 每月的销售量为=400-， ∴与的函数关系式为； （2）由题意，得， ∵销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%， ∴，解得：， ∵，∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴此时函数图象在对称轴的左侧，随的增大而增大， ∴时，取得最大值，； 答：当销售单价为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元． （3）根据题意得：， 解得：， ∵抛物线开口向下，∴当时，每月利润不低于7700元， 又∵，∴当时，每月利润不低于7700元， 答：为了保证捐款后每月利润不低于7700元，该商品的销售单价应该定在80元到90元之间（含80元、90元）． 【点睛】本题考查销量与售价的一次函数关系，销售利润与售价二次函数关系式，利用抛物线解决获取最低利润的售价范围问题，掌握销售单价每提高1元，则每月少销售5件的关系，利润=每件利润×销量是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中学业水平检测 初四数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知二次函数，下列说法正确的是（  ） A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为 2. 拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（ ） A. B. C. D. 4. 一条抛物线的开口方向与抛物线相同，顶点为，则其表达式可能为（ ） A. B. C. D. 或 5. 一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 6. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 12. 如图是反比例函数在第一象限的图象，点是轴正半轴上的一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，延长到点，使．若的面积为，则的值为______． 13. 如图，在中，，则的长为_____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是______． 15. 已知二次函数（为常数），当时，这个二次函数的最大值与最小值的差为_____________． 16. 如图，边长为的正方形截取一个角后成为五边形，其中，．是边上的任意一点，过点作于点，于点，则矩形的最大面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 九年级（1）班学生计划利用无人机测量宿舍楼的高度．如图，此时无人机在离地面的距离为，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得宿舍楼BC顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和宿舍楼之间的距离为，点A，B，C，D，E都在同一平面上．求宿舍楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 18. 已知抛物线（，，为常数，）的最小值是． （1）若该抛物线的对称轴为直线，且经过点，求这条抛物线的表达式； （2）若直线经过抛物线的顶点，求这条抛物线的顶点坐标． 19. 如图，在直角坐标系中，的边在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，点的坐标为． （1）求这两个函数的表达式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 20. 实践小组测量塔的高度，在塔的正西方向选择点，在处测得的仰角为，从处沿方向前进15米到达处（，，三点在同一条直线上）．再从点出发，沿坡度为的山坡走了13米到达坡顶的观测站，在处测得的仰角为，求塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 21. 某校开展阳光大课间跳长绳活动，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线的一部分，如图，两名同学摇绳的手，之间的水平距离为，手到地面的距离与都为，绳甩到最高点处时，最高点距地面的高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用表示．为保证学生安全，学生头顶正上方的绳子比其头顶至少高出． （1）求，的值； （2）某班挑战多人跳绳，即学生依次跳进后不跳出，跳进后，相邻学生在水平方向上的距离至少为，若他们跳绳时头顶与地面的高度均为，求最多能跳进多少人？ 22. 如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）点在反比例函数（）的图象上，记线段与轴正半轴的夹角为，若，求的面积． 23. 如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上． （1）求、两市之间的距离（结果保留根号）； （2）甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，） 24. 某网店专售一种商品，其成本为每件60元，当售价为每件80元时，每月可销售400件．已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品的获利不得高于50%，据市场调查发现：销售单价每提高5元，则每月少销售25件，设每件商品的售价为元（为正整数），每月的销售量为件． （1）直接写出与的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为元，当销售价单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出300元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于7700元，求该商品的销售单价应该写在什么范围内？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $