精品解析：山东省烟台市莱阳市2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（五四学制）

2025-2026学年山东省烟台市莱阳市九年级（上）期中数学试卷 （五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 2. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，，当跷跷板的一端A着地时，跷跷板与地面的夹角，此时另一端B离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最小值2 D. 最小值 4. 如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ） A. 米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 6. 如图，在中，，，，点 P 从点A 出发，沿向点C 以的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿向点B 以的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形的面积最小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，都在反比例函数（）的图象上，其中，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边中，，点在边上，，过点作交于点，为边的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 10. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知是二次函数，则a的值为______． 12. 如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点为轴上一点，若的面积为5，则的值为_____． 13. 如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为______． 14. 如图，已知，分别是反比例函数与图象上的点，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为______． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____． 16. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为________． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在直角坐标系中，点在反比例函数的图像上．将点A向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图像上，此时点C的纵坐标为求反比例函数的表达式． 18. （1）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式； （2）已知抛物线（是常数）经过点，且对称轴为直线，求b，c的值． 19. 高铁座椅靠背及小桌板打开时的侧面如图1所示，支架连接靠背和小桌板，小桌板平行于地面，凹槽E处可以用来放置水杯，靠背垂直于地面时测得． （1）求的度数； （2）靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图2，若此时乘客的水杯能竖直放在凹槽E处（不计凹槽深度），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 21. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时， ，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，） 22. 已知二次函数 （1）若，，当时，求y的取值范围； （2）当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴，y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P在线段上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标． 24. 如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，A处有一个测速仪，铁路有关部门规定路段限速已知B、C在上，，， （1）测速仪测得火车从点B行驶至点C用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； （2）若上有一点D，且，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省烟台市莱阳市九年级（上）期中数学试卷 （五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 2. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，，当跷跷板的一端A着地时，跷跷板与地面的夹角，此时另一端B离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决本题的关键．过点B作，先利用平行线分线段成比例定理求出，再利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点 ，O是的中点， 在中， ， 故选：D. 3. 在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最小值2 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．根据题意求得该函数图象的对称轴为求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数为常数）的图象经过点和， 该函数图象的对称轴为直线， ， ， 该函数解析式为， ， 该函数图象的开口向上， 当时，该二次函数有最小值． 故选：． 4. 如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，连接，延长交y轴于点F，则四边形为矩形，有和，结合反比例函数的几何性质化简即可． 【详解】解：连接，延长交y轴于点F，如图， 则四边形为矩形， 那么，， ， 故选∶D． 5. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ） A. 米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，结合平行线性质得到和等腰三角形性质得到，再推出，进而得到，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：如图，由题可知，，，， ，， ， 米， 米， ， ， 米， 米． 故选：A． 【点睛】本题考查的是方向角，平行线性质，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，正确理解方向角是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，点 P 从点A 出发，沿向点C 以的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿向点B 以的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形的面积最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，列函数关系是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y，根据题意表示出y与t的函数关系式，进一步利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由题可知，是直角三角形， ∴， 设点 P 运动时间为t，四边形的面积为y， 则， ∴， 则当时，y最小为． 故选：C． 7. 已知，，，都在反比例函数（）的图象上，其中，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正确求出反比例函数解析式是解题关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，从而得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：，，在反比例函数的图象上， ， ∴ 解得：， 反比例函数图象位于第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大， ，都在反比例函数的图象上，且， ， 故选：B． 8. 如图，在等边中，，点在边上，，过点作交于点，为边的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DM⊥AB于点M，根据解直角三角形，可得DM= ，MB=1，结合正切三角函数的定义，即可求解． 【详解】过点D作DM⊥AB于点M， ∵在等边中，，为边的中点， ∴∠B=60°，BD=2， ∴在Rt∆BDM中，DM=BD∙cos30°=，MB= BD∙sin30°=1， ∵，， ∴PE∥DM，PM=4-1-1.5=1.5， ∴∠PDM=∠EPD，即：=tan∠PDM==． 故选B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的定义，解直角三角形以及锐角三角函数的定义，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 9. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意求得点P坐标，再利用待定系数法求解k值即可． 【详解】解：∵轴于点，且， ∴点P的纵坐标为4， ∵直线与双曲线交于点， ∴将代入中，得，解得， ∴点P坐标为， 将代入中，得， 故选：C． 10. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 则，即．故①正确． 将代入函数解析式得，， 又因为， 所以， 即．故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时总有，， 即．故③错误． 由题知，方程的两个解为． 方程可转化为， 所以1或3， 则．故④正确． 因为， 所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以．故⑤正确； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知是二次函数，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，函数表达式需满足指数为2且二次项系数不为零的条件，由此列方程求解． 【详解】解：因为函数是二次函数，所以的指数且二次项系数． 解方程得，所以． 当时，，二次项系数为零，不符合二次函数定义； 当时，，符合二次函数定义． 故． 故答案为：1． 12. 如图，点是反比例函数的图象上一点，轴于点为轴上一点，若的面积为5，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值． 【详解】解：连接，如图， 轴， ∴， ， 而， ， ∴， ∵由图像可知， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，已知，分别是反比例函数与图象上的点，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 点的坐标为，且在反比例函数图象上， ， ， 四边形的面积为， ， 故答案为： 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵在Rt△ABC中，BC=6，sinA= ∴AB=10 ∴． ∵D是AB的中点，∴AD=AB=5． ∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB， ∴ 即 解得：DE=． 16. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的顶点式、根据开口方向结合自变量范围确定最值是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分和两种情况，结合的范围求函数的最大值与最小值，根据差值为8列方程求解的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式：， ∴对称轴为直线， 当时， ∵抛物线开口向上，在中，时取最小值，时取最大值， ∴最小值，最大值 ∵最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：， 当时， ∵抛物线开口向下，在中，时取最大值，时取最小值， ∴最大值，最小值， ∵最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：， 综上，的值为或 故答案为：或 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在直角坐标系中，点在反比例函数的图像上．将点A向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图像上，此时点C的纵坐标为求反比例函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角坐标系中坐标的平移，熟练掌握坐标的平移特征和反比例函数解析式的特征是解决本题的关键． 先利用向右平移2个单位长度，即横坐标加2，得出点B的坐标，再根据将点B向下平移，对应点为点C，得点C的横坐标和点B的横坐标相同，根据点A与点C均在反比例函数图像上，代入列式可求解，可得a的值，进而可知点A的坐标，代入函数解析式即可求解． 【详解】解：向右平移2个单位长度，得到点B， 点B的坐标为， 将点B向下平移得到点C，且点C的纵坐标为1， 点C的坐标为， 点，都在反比例函数的图像上， ， 解得， ， ， 反比例函数的表达式为 18. （1）已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式； （2）已知抛物线（是常数）经过点，且对称轴为直线，求b，c的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，把，，三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值，确定函数解析式； （2）由对称轴方程求得b的值，由点A坐标代入抛物线解析式即可求得c的值． 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为， 把，，代入得， 解得， 则抛物线解析式为； （2）∵抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线经过点， ， ． 19. 高铁座椅靠背及小桌板打开时的侧面如图1所示，支架连接靠背和小桌板，小桌板平行于地面，凹槽E处可以用来放置水杯，靠背垂直于地面时测得． （1）求的度数； （2）靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图2，若此时乘客的水杯能竖直放在凹槽E处（不计凹槽深度），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）乘客水杯的最大高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、平行线的性质等知识点是解决本题的关键： （1）先利用垂直的定义求出度数，再利用平行线的性质求出； （2）过点E作，在中利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【小问1详解】 解：∵靠背垂直于地面时测得， 小桌板平行于地面， 【小问2详解】 过点E作，交于点 ， 在中， ， 答：乘客水杯的最大高度为 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）根据，两点坐标判断即可． （3）设,，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数图象上， ， 点A的坐标为点， 将点A，B坐标代入中，得， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：令，则， 令，则， 解得， 点C的坐标为，点D的坐标为， 设， 点A的坐标为点，， ， ， 解得：， 21. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时， ，．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，） 【答案】3cm 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据三角函数进行计算，求出，，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ． 在中，， ． ． 在中，，， ， ． 答：的长为3cm． 22. 已知二次函数 （1）若，，当时，求y的取值范围； （2）当时，y的最大值为2；当时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键 （1）先把解析式进行配方，再求顶点，然后根据函数的性质求解； （2）根据函数的图象和系数的关系，推出对称轴在轴的右侧，根据增减性和顶点的纵坐标为3，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，时， ， 抛物线的开口向下，顶点坐标为 ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 中含有顶点， 当时，y有最大值7， 当时，y有最小值为6， 当时， 【小问2详解】 解：时，y的最大值为2；时，y的最大值为3， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， 抛物线开口向下，时，y的最大值为2， ， 又时，y的最大值为3， ， ， ， 二次函数的表达式为 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴，y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P在线段上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在上确定点A的坐标，再确定反比例函数解析式，计算即可． （2）根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，整理得，解答即可． 本题考查了图象的交点，解方程，待定系数法，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在上， ∴， ∴， ∴，解得， 故反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：根据点P在线段上，设，根据题意得，由得， 整理得， 解得，（舍去）； 故点Q的坐标为：． 24. 如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，A处有一个测速仪，铁路有关部门规定路段限速已知B、C在上，，， （1）测速仪测得火车从点B行驶至点C用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； （2）若上有一点D，且，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角的度数． 【答案】（1） 该火车超速，理由如下： 火车限速为，则每秒限速为， 过A作于E， ，， ， ， 在中，， ， ， 则该火车速度为， ， 该火车超速了； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程 （1）过A作于E，根据三角函数得出，进而解答即可； 作于F，根据直角三角形的三角函数解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于F， 由知，中，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $