相似测量中的方案设计与数据判断 相似专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册第7章

相似测量中的方案设计与数据判断 解析版 相似测量中的方案设计与数据判断 相似专题复习讲义 2026—2027学年 苏科版九年级数学下册第7章 解析版 目录导航 知识与方法 2 题型1 不可直测距离的转移 6 题型2 两次测量消去未知距离 8 题型3 场地与目高限制下的方案 12 题型4 记录核验与数据范围 14 A组 基础识别 17 B组 方案应用 19 C组 综合测量 21 D组 中考真题 22 姓名：________________ 班级：________________ 知识与方法 1 不可直测距离的转移 测量方案首先要说明哪些点可到达、哪些线段可测，以及目标是斜距、垂直距离还是两点间距离。不能把算出的每一条长度都称为高度或宽度。 在图知中，依次共线，依次共线，由平行线得由对顶角得因此 对应关系是对应对应对应所以只量就可计算不必到达 若是目标到测量基线的距离，还要根据实际岸线或建筑物底部的位置，加上或减去已知高差、退让距离。若为斜距，应另作垂线，结合勾股定理求垂直距离。 设计测量长度时，先把未知目标保留为字母。由比例求出所需测线，再检查器材量程、可站区域和点的先后顺序；不能算完后省略可行性检查。 图知1 2 两次测量消去未知距离 在水平地面上，竖直建筑、竖直标尺及眼睛的竖直投影线相互平行。过眼睛作水平线后，标尺与建筑上的竖直线段都与这条水平线垂直；再利用眼睛、读数点、目标顶点共线，可用两角分别相等判定相似。 列高度之比时要使用同一水平基准。若眼高为标尺读数是离地高度建筑总高为则小三角形的竖直边是大三角形的竖直边是而不是直接使用与不同眼高的两次观测必须分别扣除各自眼高。 同次相似中的水平距离必须与同次的竖直高度对应。标尺随人移动时，眼睛到标尺的距离可能不变；标尺固定时，这一距离会随人移动。观测者后退的距离也不一定等于标尺脚移动的距离，必须先写清地面各点的顺序。 两观测点不在同一高度时，连接两点的直线距离不一定是相似比例所用的水平距离。可先由两点距离与高差用勾股定理求水平距离；第二次眼睛到原水平面的高度还要加上平台高差，再列两次比例。 方程有解不等于测量方案可行。求出长度后，还要检查正长度、点的先后顺序、标尺是否确实位于观测者与目标之间、读数是否落在标尺范围内，以及目标是否位于相应视线方向上。发现数据矛盾时应指出违背的具体条件。 图知2 3 场地与目高限制下的方案 镜面测高题以题干给定的等角条件为依据，不需要调用三角函数。图知中依次在水平地面上，竖直，题设给出 由可得所以对应的地面边是与不是与 设建筑物高为目高为因比例式为可整理为应有 目高必须与镜片所在的水平面使用同一高度基准。人在平台上时，眼睛到镜片水平面的高度等于平台高度加上眼睛到脚部的高度。 方案不仅要满足等角和比例，还要满足站立距离、可放镜片区域及目高范围。可以先求所需位置再判断，也可以把条件写成不等式求所有可行位置。 求最大可测高度或最小场地长度时，既要给出上界或下界的推导，也要指出达到等号时的实际位置，确认所有限制能同时满足。 图知3 4 记录核验与数据范围 同一目标在不同方案中应对应同一个真实长度。先由相似把各组可测数据转成同一个目标量，才有依据比较记录是否一致。 若题目说至多一组记录有误，且至少两组独立记录给出相同结果，可据此核查其余记录。没有这样的附加条件，单凭两个不同结果不能断言其中哪一个正确。 题目给定某一长度的上下界时，可通过比例得到目标长度范围。若比例系数为正，上下界同时乘该系数；其他给定长度应按题目说明是否视为准确。 同一真实长度必须落在所有有效测量范围的公共部分。没有公共部分时，记录、位置条件或误差假设至少有一项不相容，不能简单取平均数掩盖矛盾。 测量结果与真实值之差的绝对值越小，说明该次结果更接近真实值。最大误差界较小只表示允许偏差范围更窄，不能保证每次读数都更准确。 图知4 题型1 不可直测距离的转移 例1 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，已知垂直于岸边，求河宽 图1 解 因为所以又故对应顶点为分别对应 所以即解得 垂直于岸边，故所求河宽为所需测量的均可在近岸完成，不需要到达点 变式1-1 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于直线近岸水边点在线段上，从到为不能进入的湿地。测得求水面宽度 图1-1 解 因为又所以故 代入得所以 点在线段上，故是从目标点到测量基线的距离，不能直接当作水面宽度。 变式1-2 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，点在线段上，求河宽 图1-2 解 因为又所以所以 于是 在中， 注意：是斜测线，河宽是两平行岸线间的垂直距离应为 变式1-3 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，勘测前只知道岸边可选的满足测线的长度不能超过若要求对上述任意河宽都能完成测量，应取什么范围？若取整数米，可取哪些值？ 图1-3 解 因为又所以故即 固定时，越大，越长。因此要对全部可行，只需且必须使即 再结合岸边条件得整数米的取值为若则在时不能满足要求。 题型2 两次测量消去未知距离 例2 为测量一座竖直塔的高度，为塔底，为塔顶。地面水平，观测点的地面投影和点在同一直线上，且顺序为两次观测的眼高均为 第一次站在处，将一根高的竖直标尺放在与之间，标尺脚为眼睛标尺上高出地面的点和塔顶恰好共线。 随后沿远离塔的方向后退到并把标尺移到与之间，标尺脚为仍为此时眼睛标尺上高出地面的点和恰好共线。各次观测时标尺均位于观测者与塔之间。 求塔高 图2 解 设其中过作水平线，交第一位置的标尺于交于由竖直方向与地面垂直，又共线，所以故 因此即得到 第二次过作水平线，交第二位置的标尺于因两次眼高相同，该水平线也经过由得此时所以得到 联立得解得于是 注意：两次读数均不超过标尺高度且均高于眼睛。故塔高为 变式2-1 某小组测量一面竖直墙的高度，为墙底，为墙顶。地面水平，竖直标尺的底端两个观测点的地面投影及共线，点的顺序为标尺高并始终固定在处。已知无法直接测量。 第一次，甲在处观测，眼睛离地视线经过标尺上离地的点第二次，乙在处观测，眼睛离地视线经过标尺上离地的点 求及墙高 图2-1 解 设其中由点的顺序，标尺没有移动，不能把第二次眼睛到标尺的水平距离仍写成 过作水平线，交标尺于交于且共线，所以于是即 过作水平线，交标尺于交于由得于是即 联立得解得代回得 注意：点序符合题意；均在标尺至的范围内，墙顶均高于读数点。故两次眼高不同，分别扣除与后再列比例，不能把同时用于两次。 变式2-2 如图，为竖直塔，为塔底。第一次在低平台的处观测，低平台与塔底在同一水平面，把高的竖直标尺放在与之间的处，目高为眼睛标尺上离地的点和塔顶共线。 第二次移至后方的另一水平平台处，平台高出原水平面观测点间的直线距离为过作垂直于原水平面，垂足在的延长线上，依次共线。平台朝塔一侧有足够长的水平台面，把同一标尺放在台面上的处，目高仍为眼睛标尺上高出平台的点和共线。两次标尺均位于观察者与塔之间，以上各点均在同一竖直平面内。 求及塔高 图2-2 解 在中，所以 设过作水平线，交于交于由得因此即 第二次眼睛到原水平面的高度为过作水平线，交于交于由得 此时所以即 由得解得 检查：读数与均不超过塔顶高于两次读数点，位置可行。故塔高 变式2-3 小组用竖直标尺测量一座竖直建筑的高度，为建筑底部，为顶点。地面水平，两次观测眼高均为第一次的站位地面投影为第二次从沿远离的方向后退到点的顺序为 每次都把高的标尺放在观测者朝向的前方处，且标尺严格位于观测者与建筑之间。第一次标尺脚为第二次为第一次眼睛标尺上离地的点与共线。第二次眼睛标尺上的读数点与共线。 第二次的读数记录模糊，只能确认其为中的一个，且这三个候选值中恰有一个与全部测量条件相符。其他测量数据均准确。 请确定第二次的读数，并求建筑高度；同时说明另两个候选值为何不符合题意。 图2-3 解 设第二次读数为由于第一次标尺严格在与之间且必须有 过作水平线，交于交于过作水平线交于两次目高相同，共线。由得由得因此 首次观测得若则得虽然为正数，但建筑底部将位于与标尺脚之间，违背标尺严格位于观测者与建筑之间，故舍去。 若则得进而此时两个标尺都在观测者与建筑之间，读数也不超过符合题意。 若则解得与距离为正及矛盾，故舍去。也可先判断：眼高与标尺到眼睛的水平距离均不变，退后后读数应降低，不可能从升为 所以第二次读数为建筑高度为解方程后必须检查点序、标尺位置与读数范围，不能只检查长度是否为正数。 题型3 场地与目高限制下的方案 例3 如图，为竖直建筑物，依次在水平地面上，为观察者目高，为镜片。已知观测时要求已知小镜片只能放在距为至的地面上。能否按上述方法看到？若能，求若不能，说明理由。 图3 解 因为所以故 设则解得 且点位于之间，所以能够完成观测，镜片应放在距为处。 变式3-1 如图，为竖直建筑物，依次在水平地面上，为观察者目高，为镜片。已知观测时要求可站立区域要求甲、乙两位同学的目高分别为和分别求两人恰好看到时所需的并判断谁能在可站立区域内完成观测。 图3-1 解 因为所以所以 甲的目高为所需因甲的站位不符合要求。 乙的目高为所需因乙能在可站立区域内完成观测。 变式3-2 如图，是竖直建筑物，依次在同一水平直线上。观察者站在高的平台上，脚部为眼睛为点依次在同一竖直线上，在地面上，镜片位于地面，观测时要求已知镜片只能放在距为至的区域内。判断方案是否可行。 图3-2 解 因为依次在同一竖直线上，所以 由及得故 设则所以解得 由于镜片位置符合要求，方案可行。目高是眼睛到平台的距离，相似比例中应使用眼睛到镜片所在地面的高度 变式3-3 如图，为竖直建筑物，依次在水平地面上，为观察者目高，为镜片。已知观测时要求现要测量高的建筑物，观察者目高镜片与观察者之间至少相距甲场地允许乙场地允许两处均可按图示调整镜片位置。分别求所需判断哪些场地可用。 图3-3 解 因为所以故 设则所以即 甲场地时，不满足最低间距要求，不能使用。 乙场地时，满足全部条件，可以使用。 题型4 记录核验与数据范围 例4 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。三次测量均保持记录依次为：第次第次第次已知和各次的记录均准确，至多一组记录有误，其余记录视为准确。判断哪一组有误，并求的正确值及河宽 图4 解 因为又所以所以 前三组分别给出 同一河宽不能同时为和因为与各次准确，至多一组记录有误，而前两组相符，所以第组记录有误， 第次应满足故 变式4-1 如图，均竖直，依次在水平地面上，为目高，镜片处满足甲组测得乙组在同一位置测得 （分别计算两组得到的建筑物高度，结果精确到 （已知实际高度为哪组结果的误差较小？若乙组仅把读小了，说明这会使求得的高度偏大还是偏小。 图4-1 解 （由及得故 甲组算得乙组算得约为 （按保留到的结果比较，甲组误差为乙组误差为所以甲组结果误差较小。 当与不变时，正数读得偏小，除以它的结果会偏大，因此乙组这一读数偏差会使计算高度偏大。 变式4-2 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。第一次的实际值在至之间；第二次的实际值在至之间。除外，其余给定长度均视为准确。若两次测的是同一河宽，求的共同取值范围。将作为可能的河宽，是否符合两次测量信息？ 图4-2 解 因为又所以故 第一次由得 第二次也有由得 注意：同一必须同时满足两组条件，所以虽符合第一次信息，却不符合第二次信息，不能作为同时符合两次信息的河宽。 变式4-3 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。为比较方案，先用已知宽度的场地试测，固定方案甲取方案乙取方案丙取场地要求各方案测的读数与实际值之差的绝对值均不超过其余长度视为准确。比较三方案的可行性，并在可行方案中选出所得最大误差较小的一个。 图4-3 解 因为又所以故甲、乙、丙所需分别为甲、乙符合丙不符合。 计算时用若读数与实际值相差不超过则甲所得与真实宽度相差不超过乙相差不超过 因此在可行方案中选乙，其最大误差界较小。这里只比较给定读数误差范围下的计算结果，不据此断言每次乙都比甲更接近真实值。 A组 基础识别 A1 如图，依次共线，依次共线，下列比例式一定成立的是（ ）。 ． ． ． ． 图A1 解 答案： 因为又所以 对应顶点为分别对应因此选 A2 如图，为竖直塔，水平地面上依次共线，分别为处的眼睛，两次目高均为第一次竖直标尺脚为共线；后退到后，竖直标尺脚为共线。 （设填写相似所得的比例式： ＿＿＿＿； ＿＿＿＿。 （求塔高及标尺脚两次位置间的距离 图A2 解 （过作水平线，交于交于过作水平线交于两次目高相同，共线。由得 由得 第一次相对眼睛的读数为水平距离为第二次相对眼睛的读数为水平距离为因此两空分别为 （由和得解得满足两次标尺的位置条件。 以为朝向为正方向，在处，在处，在处，所以也可由得 故塔高为标尺脚两次位置间的距离为观测者后退了不表示标尺也移动第二次读数较大，是因为眼睛到标尺的距离也改变了。 A3 如图，为竖直建筑物，依次在水平地面上，为观察者目高，为镜片。已知从镜片恰能看到且已知求 图A3 解 由和得 所以即得 A4 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。测得的读数为且实际与读数相差不超过除外，其余长度视为准确。求的取值范围。 图A4 解 因为又所以有 实际满足各项乘得 故的取值范围为读数并不表示实际长度一定等于 B组 方案应用 B1 如图，是对岸的两个目标，依次共线，依次共线，延长到使过作与的延长线交于（点序为及测得求两目标间距离 图B1 解 因为又所以所以 又所以得 因此解得 第一次相似求出测量尺度第二次把可测的转移为两目标间的距离 B2 如图，为竖直建筑物，为底部。水平地面上的依次共线，处竖直标尺高观测者保持站位不变：直立时眼睛为目高共线，蹲下后眼睛为目高共线， 小强认为不前后移动就不能测出建筑物高度。判断他的说法是否正确，并求及 图B2 解 设由于在与之间，过作水平线，交标尺于交于且共线，所以得到即 过作水平线，交标尺于交于由得第二次眼睛的地面投影没有变化，眼睛到标尺、到建筑的水平距离仍分别为与故即 联立得解得代入得两个读数都在标尺范围内，所以几何位置可行。 注意：该说法不正确。本题通过改变眼高得到两条独立的关系，即使地面站位不变，也能求出 B3 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。甲组记录乙组称其测量位置满足相同条件，记录两组的实际值与各自记录值相差均不超过其余长度视为准确。这两组记录能否都符合同一河宽？ 图B3 解 因为又所以 甲组给出所以 乙组给出所以 两区间没有公共部分，因此两组记录不能在所给误差范围内同时符合一个河宽。至少有一组未满足题设的位置条件或误差要求，不能简单取平均数消除矛盾。 C组 综合测量 C1 如图，广告牌竖直安装在高处，依次共线，为广告牌所在直线与水平地面的交点。观测者站在处，眼睛为先把镜片放在处，恰能看到广告牌顶端再把镜片放在处，恰能看到底端点依次共线，且求广告牌的高度。 图C1 解 由得因为所以即得 由得因为所以即得 点依次共线，所以两次相似分别求端点离地高度，广告牌本身的高度是两者之差。 D组 中考真题 D1（1） （2025年江苏省无锡市中考第26题）某校数学研究性学习小组用卷尺和标杆开展测量物体高度的活动。 活动测量校内旗杆。图①中，在处竖立标杆站在处的小军从眼睛处看到标杆顶与旗杆顶在同一直线上。旗杆底端与在同一水平直线上， （求旗杆的高度。 图D1（1） 解 （过作水平线，分别交于因均竖直，得 又共线，所以 故即得 D1（2） 活动测量南禅寺妙光塔。塔顶和塔底中心均无法到达。图②中，先在水平步道的处竖立标杆站在处的小军从眼睛处看到在同一直线上；小军沿方向走到处，标杆竖立在处，从眼睛处看到在同一直线上。在同一平面内，在同一水平直线上， （求妙光塔的高度。 图D1（2） 解 （设过作水平线，交于于过作水平线，交于因两次目高相同，在同一水平线上， 由共线及两个直角，得由共线及两个直角，得 因此于是解得 所以 检查点序：满足依次排列。是不能误作 D2 （2025年河南省中考第21题）某综合与实践小组测量焦裕禄纪念园内纪念碑的高度。如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，顶端的影子落在处；同一时刻，竖直标杆的顶端的影子落在处。观测者位于处，眼睛为在一条直线上，碑底在观测者的水平视线上。测得在同一水平线上。 （由可得请说明理由。 （求纪念碑的高度。 （小红通过间接测量得到的长，进而求出的高度约为查阅资料得知，纪念碑实际高度为判断小红的结果和（中的结果哪个误差较大，并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）。 图D2 解 （同一时刻的太阳光线平行，故又共线，所以从而 由相似得因故 （过作垂足为设由均竖直及水平，得故 又故 因共线，所以又得 于是即整理得解得 符合在上方的图形位置，因此纪念碑高 （（的误差为小红结果的误差为由于小红结果误差较大。 可能原因：间接测量时所用工具不够精确，或选点、读数存在较大偏差。这里只提出可能原因，不能由两个结果直接确定具体哪一步发生了错误。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $相似测量中的方案设计与数据判断 学生版 相似测量中的方案设计与数据判断 相似专题复习讲义 2026—2027学年 苏科版九年级数学下册第7章 学生版 目录导航 知识与方法 2 题型1 不可直测距离的转移 6 题型2 两次测量消去未知距离 8 题型3 场地与目高限制下的方案 12 题型4 记录核验与数据范围 14 A组 基础识别 16 B组 方案应用 18 C组 综合测量 19 D组 中考真题 20 姓名：________________ 班级：________________ 知识与方法 1 不可直测距离的转移 测量方案首先要说明哪些点可到达、哪些线段可测，以及目标是斜距、垂直距离还是两点间距离。不能把算出的每一条长度都称为高度或宽度。 在图知中，依次共线，依次共线，由平行线得由对顶角得因此 对应关系是对应对应对应所以只量就可计算不必到达 若是目标到测量基线的距离，还要根据实际岸线或建筑物底部的位置，加上或减去已知高差、退让距离。若为斜距，应另作垂线，结合勾股定理求垂直距离。 设计测量长度时，先把未知目标保留为字母。由比例求出所需测线，再检查器材量程、可站区域和点的先后顺序；不能算完后省略可行性检查。 图知1 2 两次测量消去未知距离 在水平地面上，竖直建筑、竖直标尺及眼睛的竖直投影线相互平行。过眼睛作水平线后，标尺与建筑上的竖直线段都与这条水平线垂直；再利用眼睛、读数点、目标顶点共线，可用两角分别相等判定相似。 列高度之比时要使用同一水平基准。若眼高为标尺读数是离地高度建筑总高为则小三角形的竖直边是大三角形的竖直边是而不是直接使用与不同眼高的两次观测必须分别扣除各自眼高。 同次相似中的水平距离必须与同次的竖直高度对应。标尺随人移动时，眼睛到标尺的距离可能不变；标尺固定时，这一距离会随人移动。观测者后退的距离也不一定等于标尺脚移动的距离，必须先写清地面各点的顺序。 两观测点不在同一高度时，连接两点的直线距离不一定是相似比例所用的水平距离。可先由两点距离与高差用勾股定理求水平距离；第二次眼睛到原水平面的高度还要加上平台高差，再列两次比例。 方程有解不等于测量方案可行。求出长度后，还要检查正长度、点的先后顺序、标尺是否确实位于观测者与目标之间、读数是否落在标尺范围内，以及目标是否位于相应视线方向上。发现数据矛盾时应指出违背的具体条件。 图知2 3 场地与目高限制下的方案 镜面测高题以题干给定的等角条件为依据，不需要调用三角函数。图知中依次在水平地面上，竖直，题设给出 由可得所以对应的地面边是与不是与 设建筑物高为目高为因比例式为可整理为应有 目高必须与镜片所在的水平面使用同一高度基准。人在平台上时，眼睛到镜片水平面的高度等于平台高度加上眼睛到脚部的高度。 方案不仅要满足等角和比例，还要满足站立距离、可放镜片区域及目高范围。可以先求所需位置再判断，也可以把条件写成不等式求所有可行位置。 求最大可测高度或最小场地长度时，既要给出上界或下界的推导，也要指出达到等号时的实际位置，确认所有限制能同时满足。 图知3 4 记录核验与数据范围 同一目标在不同方案中应对应同一个真实长度。先由相似把各组可测数据转成同一个目标量，才有依据比较记录是否一致。 若题目说至多一组记录有误，且至少两组独立记录给出相同结果，可据此核查其余记录。没有这样的附加条件，单凭两个不同结果不能断言其中哪一个正确。 题目给定某一长度的上下界时，可通过比例得到目标长度范围。若比例系数为正，上下界同时乘该系数；其他给定长度应按题目说明是否视为准确。 同一真实长度必须落在所有有效测量范围的公共部分。没有公共部分时，记录、位置条件或误差假设至少有一项不相容，不能简单取平均数掩盖矛盾。 测量结果与真实值之差的绝对值越小，说明该次结果更接近真实值。最大误差界较小只表示允许偏差范围更窄，不能保证每次读数都更准确。 图知4 题型1 不可直测距离的转移 例1 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，已知垂直于岸边，求河宽 图1 思考路线 先确认目标与基线，再写相似对应，把不可测量转到可测边上。 解答： 变式1-1 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于直线近岸水边点在线段上，从到为不能进入的湿地。测得求水面宽度 图1-1 解答： 变式1-2 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，点在线段上，求河宽 图1-2 解答： 变式1-3 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，勘测前只知道岸边可选的满足测线的长度不能超过若要求对上述任意河宽都能完成测量，应取什么范围？若取整数米，可取哪些值？ 图1-3 解答： 题型2 两次测量消去未知距离 例2 为测量一座竖直塔的高度，为塔底，为塔顶。地面水平，观测点的地面投影和点在同一直线上，且顺序为两次观测的眼高均为 第一次站在处，将一根高的竖直标尺放在与之间，标尺脚为眼睛标尺上高出地面的点和塔顶恰好共线。 随后沿远离塔的方向后退到并把标尺移到与之间，标尺脚为仍为此时眼睛标尺上高出地面的点和恰好共线。各次观测时标尺均位于观测者与塔之间。 求塔高 图2 思考路线 分别画出两次的点序，列高差与水平距离的比例，用已知位移或目高变化消元，最后检查位置。 解答： 变式2-1 某小组测量一面竖直墙的高度，为墙底，为墙顶。地面水平，竖直标尺的底端两个观测点的地面投影及共线，点的顺序为标尺高并始终固定在处。已知无法直接测量。 第一次，甲在处观测，眼睛离地视线经过标尺上离地的点第二次，乙在处观测，眼睛离地视线经过标尺上离地的点 求及墙高 图2-1 解答： 变式2-2 如图，为竖直塔，为塔底。第一次在低平台的处观测，低平台与塔底在同一水平面，把高的竖直标尺放在与之间的处，目高为眼睛标尺上离地的点和塔顶共线。 第二次移至后方的另一水平平台处，平台高出原水平面观测点间的直线距离为过作垂直于原水平面，垂足在的延长线上，依次共线。平台朝塔一侧有足够长的水平台面，把同一标尺放在台面上的处，目高仍为眼睛标尺上高出平台的点和共线。两次标尺均位于观察者与塔之间，以上各点均在同一竖直平面内。 求及塔高 图2-2 解答： 变式2-3 小组用竖直标尺测量一座竖直建筑的高度，为建筑底部，为顶点。地面水平，两次观测眼高均为第一次的站位地面投影为第二次从沿远离的方向后退到点的顺序为 每次都把高的标尺放在观测者朝向的前方处，且标尺严格位于观测者与建筑之间。第一次标尺脚为第二次为第一次眼睛标尺上离地的点与共线。第二次眼睛标尺上的读数点与共线。 第二次的读数记录模糊，只能确认其为中的一个，且这三个候选值中恰有一个与全部测量条件相符。其他测量数据均准确。 请确定第二次的读数，并求建筑高度；同时说明另两个候选值为何不符合题意。 图2-3 解答： 题型3 场地与目高限制下的方案 例3 如图，为竖直建筑物，依次在水平地面上，为观察者目高，为镜片。已知观测时要求已知小镜片只能放在距为至的地面上。能否按上述方法看到？若能，求若不能，说明理由。 图3 思考路线 按统一高度基准列比例，再把位置与器材限制一项项代入检验。 解答： 变式3-1 如图，为竖直建筑物，依次在水平地面上，为观察者目高，为镜片。已知观测时要求可站立区域要求甲、乙两位同学的目高分别为和分别求两人恰好看到时所需的并判断谁能在可站立区域内完成观测。 图3-1 解答： 变式3-2 如图，是竖直建筑物，依次在同一水平直线上。观察者站在高的平台上，脚部为眼睛为点依次在同一竖直线上，在地面上，镜片位于地面，观测时要求已知镜片只能放在距为至的区域内。判断方案是否可行。 图3-2 解答： 变式3-3 如图，为竖直建筑物，依次在水平地面上，为观察者目高，为镜片。已知观测时要求现要测量高的建筑物，观察者目高镜片与观察者之间至少相距甲场地允许乙场地允许两处均可按图示调整镜片位置。分别求所需判断哪些场地可用。 图3-3 解答： 题型4 记录核验与数据范围 例4 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。三次测量均保持记录依次为：第次第次第次已知和各次的记录均准确，至多一组记录有误，其余记录视为准确。判断哪一组有误，并求的正确值及河宽 图4 思考路线 把数据都转成同一目标量，先看是否相容，再核查误差及读数范围。 解答： 变式4-1 如图，均竖直，依次在水平地面上，为目高，镜片处满足甲组测得乙组在同一位置测得 （分别计算两组得到的建筑物高度，结果精确到 （已知实际高度为哪组结果的误差较小？若乙组仅把读小了，说明这会使求得的高度偏大还是偏小。 图4-1 解答： 变式4-2 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。第一次的实际值在至之间；第二次的实际值在至之间。除外，其余给定长度均视为准确。若两次测的是同一河宽，求的共同取值范围。将作为可能的河宽，是否符合两次测量信息？ 图4-2 解答： 变式4-3 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。为比较方案，先用已知宽度的场地试测，固定方案甲取方案乙取方案丙取场地要求各方案测的读数与实际值之差的绝对值均不超过其余长度视为准确。比较三方案的可行性，并在可行方案中选出所得最大误差较小的一个。 图4-3 解答： A组 基础识别 A1 如图，依次共线，依次共线，下列比例式一定成立的是（ ）。 ． ． ． ． 图A1 解答： A2 如图，为竖直塔，水平地面上依次共线，分别为处的眼睛，两次目高均为第一次竖直标尺脚为共线；后退到后，竖直标尺脚为共线。 （设填写相似所得的比例式： ＿＿＿＿； ＿＿＿＿。 （求塔高及标尺脚两次位置间的距离 图A2 解答： A3 如图，为竖直建筑物，依次在水平地面上，为观察者目高，为镜片。已知从镜片恰能看到且已知求 图A3 解答： A4 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。测得的读数为且实际与读数相差不超过除外，其余长度视为准确。求的取值范围。 图A4 解答： B组 方案应用 B1 如图，是对岸的两个目标，依次共线，依次共线，延长到使过作与的延长线交于（点序为及测得求两目标间距离 图B1 解答： B2 如图，为竖直建筑物，为底部。水平地面上的依次共线，处竖直标尺高观测者保持站位不变：直立时眼睛为目高共线，蹲下后眼睛为目高共线， 小强认为不前后移动就不能测出建筑物高度。判断他的说法是否正确，并求及 图B2 解答： B3 如图，为对岸目标，依次在岸边直线上，依次共线，垂直于岸边，各长度均以米为单位。甲组记录乙组称其测量位置满足相同条件，记录两组的实际值与各自记录值相差均不超过其余长度视为准确。这两组记录能否都符合同一河宽？ 图B3 解答： C组 综合测量 C1 如图，广告牌竖直安装在高处，依次共线，为广告牌所在直线与水平地面的交点。观测者站在处，眼睛为先把镜片放在处，恰能看到广告牌顶端再把镜片放在处，恰能看到底端点依次共线，且求广告牌的高度。 图C1 解答： D组 中考真题 D1（1） （2025年江苏省无锡市中考第26题）某校数学研究性学习小组用卷尺和标杆开展测量物体高度的活动。 活动测量校内旗杆。图①中，在处竖立标杆站在处的小军从眼睛处看到标杆顶与旗杆顶在同一直线上。旗杆底端与在同一水平直线上， （求旗杆的高度。 图D1（1） 解答： D1（2） 活动测量南禅寺妙光塔。塔顶和塔底中心均无法到达。图②中，先在水平步道的处竖立标杆站在处的小军从眼睛处看到在同一直线上；小军沿方向走到处，标杆竖立在处，从眼睛处看到在同一直线上。在同一平面内，在同一水平直线上， （求妙光塔的高度。 图D1（2） 解答： D2 （2025年河南省中考第21题）某综合与实践小组测量焦裕禄纪念园内纪念碑的高度。如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，顶端的影子落在处；同一时刻，竖直标杆的顶端的影子落在处。观测者位于处，眼睛为在一条直线上，碑底在观测者的水平视线上。测得在同一水平线上。 （由可得请说明理由。 （求纪念碑的高度。 （小红通过间接测量得到的长，进而求出的高度约为查阅资料得知，纪念碑实际高度为判断小红的结果和（中的结果哪个误差较大，并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）。 图D2 解答： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $