折叠中的相似关系与条件转化 相似专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册

相似专题复习讲义 折叠中的相似关系与条件转化 解析版 相似专题复习讲义 折叠中的相似关系与条件转化 2026—2027学年 苏科版九年级数学下册 第7章 图形的相似 折叠综合专题 解析版 内容导航 知识梳理 2 题型1 动折痕中的周长不变量与反求 3 题型2 附加平行条件与真实重叠边界 6 题型3 等边三角形折叠后的双相似 10 A 基础通关 13 B 难点突破 15 C 方法进阶 17 D 中考真题精选 21 例题、变式及A—C为原创练习；D为2026年中考真题。 姓名：________________ 班级：________________ 知识梳理 先由折叠补足等长等角 折叠只提供对应点、对应线段和对应角的相等，还须结合原图形中的平行或垂直关系确定相似。 周长不变量有图形前提 正方形换成矩形后，原来的周长结论未必成立，应重新写相似比例。 先确认真正的公共区域 折起部分、未折部分、重叠部分是不同区域。求面积前先沿边界指出它的顶点。 反求后检查线段内部 长度为正不等于几何可行；折痕与指定边的交点、折后落点都须满足题目的位置限制。 下界还须检查能否达到 求最值时同时写出等号条件，并确认该位置能实现合法折叠。 三个检查 像点与原点是否对应；折痕是否为垂直平分线；所得位置是否满足题设。 题型1 动折痕中的周长不变量与反求 【要点1】折叠保持等长和直角，配合正方形或矩形中的垂直关系，可构造两组对应边方向不同的相似三角形。 【要点2】周长和面积反求后，须再核实折痕两端仍在指定边的内部。 【解题要领】先写折叠等长，再用两组垂直关系证相似；把形状、周长、切分面积条件分别转为方程。 母题精讲 例1 在正方形中，点分别在边的内部。沿折叠四边形点的对应点分别为点落在边的内部，线段与交于点 （1）当时，求的长。 （2）当点在边内部移动时，的周长是否改变？请说明理由。 图1 解 折叠可得因为且与共线，所以进而对应为 （1）设在中，解得又因此由相似得 （2）设其中由得由相似， 所以的周长恒为 不能把误写为不能把两个相似三角形的对应顺序写反。这里分别在内部，始终非退化。周长不变量来自相似比与折叠等长的组合，不是某一固定直角三角形的三边不变。 【易错提醒】正方形的周长不变量不能直接搬到矩形；切分面积不是重叠面积。 题型1 递进练习 变式1-1 在正方形中，点分别在内部。沿折叠四边形分别对应在内部，与交于若是等腰三角形，求的长。 图1-1 解 故等腰条件只能是由折叠和垂直关系，因此 设则由勾股定理，整理得解得长度为正，所以 正根满足是的垂直平分线。过向作垂线垂足为由所以确在内部。负根舍去。相较母题，新增了“先由相似翻译等腰条件，再反求折痕”的任务。 变式1-2 在矩形中，点分别在内部。沿折叠四边形分别对应在内部，与交于若的周长为求的长。 图1-2 解 设由折叠，由得由于可知 同母题，由两组垂直关系可证因此 解得于是 过作垂足为所以于是 故 三个折点均在指定线段内部。还可验得三边和为正方形中的周长不变量不能直接搬到矩形；本题要求重新建立相似式。 变式1-3 在边长为的正方形中，分别在内部。沿折叠四边形使的对应点落在内部。已知折叠前的两个四边形与的面积比为求的所有可能值。 图1-3 解 设由和勾股定理， 过作垂足为由于又所以因而 折叠前四边形是梯形，上下底分别为和高为因此 由面积比及正方形面积得所以解得或 当时，当时， 两组解均满足所以是两条真实可行折痕。本题比较的是折叠前纸片的切分面积，不是折叠后的重叠面积。两根分别给出不同折痕，不能只保留一个。 题型2 附加平行条件与真实重叠边界 【要点1】附加平行条件与折叠等角共同确定等腰三角形，再恢复平行四边形。 【要点2】同高三角形面积比用一次边比，相似三角形面积比用相似比的平方。 【解题要领】先恢复和再圈定重叠区域；用两个已知面积比例作差。 母题精讲 例2 在中，点在内部，将沿翻折，点的对应点为且设与交于 （1）求的长。 （2）指出折后的与未折部分的重叠区域，并求其面积。 图2 解 由勾股定理，折叠得又所以故 折叠还给出结合四边形是平行四边形，因此由此相似比于是 点在线段和内部。折后与的共同部分由围成，即由于而所以重叠面积为 在内，在内。不能把或整个当作重叠区域。附加的是解题关键；没有此条件，不能直接认定 【易错提醒】不要把小三角形当作重叠区域，也不要在非直角三角形中继续套用直角边乘积面积。 题型2 递进练习 变式2-1 在中，点在内部，沿折叠使的对应点满足若折后的与的重叠面积为原面积的求的所有可能值。 图2-1 解 设由折叠、平行可得设与交于则重叠区域为且 设由于与同高，面积比为由相似，与的面积比为因此重叠面积与原面积之比为 令则由题意解得或故或 由勾股定理，当时，当时， 两种直角三角形均存在，且在内。两个答案对应两张边长不同的纸片，不能误称为同一固定的两种折法。由重叠面积逆推原图形是本题新增任务。 变式2-2 在中，点在内部，沿折叠的对应点为且设与交于求折后的与重叠区域的面积和周长。 图2-2 解 折叠与平行给出四边形为平行四边形，所以相似比为于是 作垂足为由所以原三角形面积为与原三角形的面积比为与原三角形的面积比为因此重叠的面积为 又所以由勾股定理，重叠三角形的周长为 在内部。此时与不垂直，不能套用母题中的两直角边面积式；应先用同高面积比及相似面积比。附加平行带来的结构不依赖原为直角三角形。 变式2-3 在非退化中，点在内部，沿折叠的对应点为且 证明：折后的与的重叠面积不超过原面积的并说明等号成立的边长条件，举出一个能够达到等号的三角形。 图2-3 解 由折叠与设与交于则在内部，重叠区域为 记相似比为由同高关系，由相似，因此 等号当且仅当即这个条件可以达到，例如取则为中点，符合全部条件。 求的是重叠面积占原三角形面积的比例上限，不是大小任意的所有三角形中的绝对面积最大值。只说“取”还不够，需确认该边长关系能组成非退化三角形和合法折叠。 题型3 等边三角形折叠后的双相似 【要点1】折叠产生的与落点处的平角，可为两侧三角形补出第二组相等角。 【要点2】固定折痕端点、反求落点、面积最值分别有不同的方程和取值域。 【解题要领】从处的平角分配角度，证先保留有序比例，再引入变量。 母题精讲 例3 在等边中，分别在的内部。将沿翻折，使的对应点落在的内部，且 （1）证明 （2）求的长。 图3 解 （1）折叠得因为在内部，所以 在中，故因此又所以对应为 （2）设由相似，此时所以又由此解得于是 与不是由“有一个”就能判相似，还须利用折叠产生的和处平角，补出第二组等角。相似对应顺序不可写为 【易错提醒】一个不足以判相似；代数两根未必都是边内点，必须核验折叠可达。 题型3 递进练习 变式3-1 在边长为的等边中，分别在内部。将沿翻折，使的对应点落在内部。若求的长。 图3-1 解 由折叠、及处平角，同母题可证因此 设则由得 由又所以 解得于是 构型有效。这里先给折痕两端的长度比，再反求折后落点，不能把直接当作 变式3-2 在等边中，点在内部且点在内部，将沿翻折，使的对应点落在内部。求的所有可能值。 图3-2（两种折法） 解 由折叠可得利用等边三角形及处平角，可证 设则由相似， 由前两个比，再由得代入并整理，得 即 当时，当时， 两组解都满足还需确认两组解均能实现：过作有由勾股定理，或时因此均有在的垂直平分线上。 对任一上述故分居的垂直平分线两侧，该垂直平分线与交于内部点沿折叠就能将送到前面的相似关系随之成立，分别为和两个答案都是充分可行的。 本题不能因为固定就认定折痕唯一。 变式3-3 在边长为的等边中，分别在内部。将沿翻折，使的对应点落在内部。求面积的最小值，并确定取到最小值时的位置。 图3-3 解 由折叠、及处平角，可证设并设由相似， 消去得进而 与在处的角相同，分别以为底时，其高之比等于因此 令由得将上式整理，得 它与之差为 故至少为的等号当且仅当即此时为中点，分别为中点。 原等边三角形的高为面积为所以的最小值为 等号构型的均为边的内点，沿中位线翻折确实将送至中点，最小值可达。属于退化端点，不在本题内；若记面积比为则其范围是这不影响上述最小值。 A 基础通关 A1 在正方形中，分别在内部。沿折叠四边形分别对应在内部，与交于填空：与的位置关系是______； 图A1 解 垂直，折叠保持长度和直角；再结合可得两组对应等角， A2 在中，在内部，沿折叠的对应点满足与交于求及 图A2 解 与同高，面积比等于相似比面积比为不能把同高面积比也平方。 A3 在等边中，分别在内部。沿翻折的对应点在内部。若求并写出一对相似三角形。 图A3 解 折叠给出处平角给中故又所以 B 难点突破 B1 在矩形中，有人称，可以取分别在内部，沿折叠四边形使落到上的点且这个说法是否正确？请用计算说明。 图B1 解 若能实现，设由得过作因得因此与在内部矛盾。故不能实现。仅算出在内部，不能就认定折痕的另一端也在指定边上。 B2 在中，点在内部，沿折叠的对应点满足与交于若重叠区域与的面积相等，求 图B2 解 两三角形以为底时，顶点同为故等面积推出由及所以又故设由勾股定理，解得故和均为对应边的中点，构型合法。 B3 在边长为的等边中，是的中点，在内部。沿翻折使的对应点落在内部，求 图B3 解 设由及得于是且得故或因为在内部，舍去保留此时故沿中位线折叠可实现。 B4 在等边中，分别在内部。沿翻折使的对应点落在内部。是否可能有？请说明理由。 图B4 解 设由消去得由于故不能等于所以不可能有 若强行代入会得到即且两个位置都违反内点条件。 C 方法进阶 C1 在边长为的正方形中，分别在内部。沿折叠四边形使的对应点落在内部。记折叠前四边形的面积为 （1）求的取值范围。 （2）说明何时只有一条折痕，何时有两条折痕；若两条不同折痕对应分别为证明 图C1 解 设由折叠及相似，因此 由于所以 时，只有一个位置，故只有一条折痕。当时，给出两个不同内点，均能构成合法折痕；两者和为对于区间之外的没有符合条件的折痕。 可行性检查：时严格位于内。因此两端均在指定边内部。 C2 在矩形中，分别在内部，沿折叠四边形对应在内部，与交于求周长的取值范围，并说明端点能否取到。 图C2 解 设由可得又由折痕与垂直及相似，要求等价于即结合得到 所以由于故 趋近时趋近但意味着不符合内点条件；趋近时趋近但意味着四边形退化，不符合为内点。两个端点都不能取到。 对任意上述均大于且小于折痕真实存在，所以满足的每个周长均可取得。 C3 在中，在内部。沿折叠的对应点满足设与交于若重叠三角形与原三角形相似，求并说明是否存在两种不同对应方式。 图C3 解 设由折叠、平行可得因此故 与都是直角。两直角三角形相似时，两条直角边可能顺次对应，也可能交换对应，必须分两种检验。 情形一：即所以由勾股定理，故 情形二：即所以而且得到即与非退化三角形矛盾，故此情形不存在。 所以只有第一种对应方式，且所求边长比为取即可实现，充分性也成立。 C4 在边长为的等边中，在内部，记点在内部，沿折叠使的对应点落在内部。根据的取值，讨论符合条件的折法有几种。 图C4 解 过作垂足为因为由等边三角形半边对应的直角三角形相似，得 设折叠必须有所以由勾股定理， 整理得判别式为由于当且仅当记 当时，没有实数所以无折法。 当时，且只有一种折法。 当时，方程有两个不同实根，根之和大于且小于根之积为正，因此两根均为正且均小于有两种折法。 当时，两根为对应须舍去，所以只有一种折法。 当时，根之积为负，所以一正一负。对二次式有而所以唯一正根满足只有一种折法。 最后核验每个有效都确实给出折痕：由在的垂直平分线上；又分居该垂直平分线两侧，所以它与交于内部点沿折叠即可将送到故上述计数不仅是必要解的数量。 结论：时种；时种；时种；时种。 D 中考真题精选 D1 （2026年江苏省无锡市中考数学第10题（原题3分）） 在直角三角形纸片中，点在边上，将沿翻折，得到当时，与重叠部分的面积是（　）。 A．　　B．　　C．　　D． 图D1（解析补图） 解 由折叠与可得所以又四边形为平行四边形，所以 设与交于相似比为因此重叠区域是由于面积为选 D2 （2026年江苏省苏州市中考数学第16题（原题3分）） 如图，在等边中，分别是边上的点，将沿翻折得到若点恰好落在边上，则线段长度的最小值为______。 图D2 解 由折叠，过作垂足为由于在上，且等号当且仅当 图D2（取等位置） 过作垂足为等边三角形边长为所以得即因此 解得 下面检查等号能否取得。取则且取则到的距离相等，故在的垂直平分线上。 由于分居的垂直平分线两侧，所以这条垂直平分线与交于内部点沿折叠即可把送到等号确实可达。补充数值核验：该位置满足 故的最小值为 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $相似专题复习讲义 折叠中的相似关系与条件转化 学生版 相似专题复习讲义 折叠中的相似关系与条件转化 2026—2027学年 苏科版九年级数学下册 第7章 图形的相似 折叠综合专题 学生版 内容导航 知识梳理 2 题型1 动折痕中的周长不变量与反求 3 题型2 附加平行条件与真实重叠边界 7 题型3 等边三角形折叠后的双相似 11 A 基础通关 15 B 难点突破 17 C 方法进阶 21 D 中考真题精选 25 例题、变式及A—C为原创练习；D为2026年中考真题。 姓名：________________ 班级：________________ 知识梳理 先由折叠补足等长等角 折叠只提供对应点、对应线段和对应角的相等，还须结合原图形中的平行或垂直关系确定相似。 周长不变量有图形前提 正方形换成矩形后，原来的周长结论未必成立，应重新写相似比例。 先确认真正的公共区域 折起部分、未折部分、重叠部分是不同区域。求面积前先沿边界指出它的顶点。 反求后检查线段内部 长度为正不等于几何可行；折痕与指定边的交点、折后落点都须满足题目的位置限制。 下界还须检查能否达到 求最值时同时写出等号条件，并确认该位置能实现合法折叠。 三个检查 像点与原点是否对应；折痕是否为垂直平分线；所得位置是否满足题设。 题型1 动折痕中的周长不变量与反求 【要点1】折叠保持等长和直角，配合正方形或矩形中的垂直关系，可构造两组对应边方向不同的相似三角形。 【要点2】周长和面积反求后，须再核实折痕两端仍在指定边的内部。 【解题要领】先写折叠等长，再用两组垂直关系证相似；把形状、周长、切分面积条件分别转为方程。 母题精讲 例1 在正方形中，点分别在边的内部。沿折叠四边形点的对应点分别为点落在边的内部，线段与交于点 （1）当时，求的长。 （2）当点在边内部移动时，的周长是否改变？请说明理由。 图1 解 折叠可得因为且与共线，所以进而对应为 （1）设在中，解得又因此由相似得 （2）设其中由得由相似， 所以的周长恒为 不能把误写为不能把两个相似三角形的对应顺序写反。这里分别在内部，始终非退化。周长不变量来自相似比与折叠等长的组合，不是某一固定直角三角形的三边不变。 【易错提醒】正方形的周长不变量不能直接搬到矩形；切分面积不是重叠面积。 题型1 递进练习 变式1-1 在正方形中，点分别在内部。沿折叠四边形分别对应在内部，与交于若是等腰三角形，求的长。 图1-1   变式1-2 在矩形中，点分别在内部。沿折叠四边形分别对应在内部，与交于若的周长为求的长。 图1-2   变式1-3 在边长为的正方形中，分别在内部。沿折叠四边形使的对应点落在内部。已知折叠前的两个四边形与的面积比为求的所有可能值。 图1-3   题型2 附加平行条件与真实重叠边界 【要点1】附加平行条件与折叠等角共同确定等腰三角形，再恢复平行四边形。 【要点2】同高三角形面积比用一次边比，相似三角形面积比用相似比的平方。 【解题要领】先恢复和再圈定重叠区域；用两个已知面积比例作差。 母题精讲 例2 在中，点在内部，将沿翻折，点的对应点为且设与交于 （1）求的长。 （2）指出折后的与未折部分的重叠区域，并求其面积。 图2 解 由勾股定理，折叠得又所以故 折叠还给出结合四边形是平行四边形，因此由此相似比于是 点在线段和内部。折后与的共同部分由围成，即由于而所以重叠面积为 在内，在内。不能把或整个当作重叠区域。附加的是解题关键；没有此条件，不能直接认定 【易错提醒】不要把小三角形当作重叠区域，也不要在非直角三角形中继续套用直角边乘积面积。 题型2 递进练习 变式2-1 在中，点在内部，沿折叠使的对应点满足若折后的与的重叠面积为原面积的求的所有可能值。 图2-1   变式2-2 在中，点在内部，沿折叠的对应点为且设与交于求折后的与重叠区域的面积和周长。 图2-2   变式2-3 在非退化中，点在内部，沿折叠的对应点为且 证明：折后的与的重叠面积不超过原面积的并说明等号成立的边长条件，举出一个能够达到等号的三角形。 图2-3   题型3 等边三角形折叠后的双相似 【要点1】折叠产生的与落点处的平角，可为两侧三角形补出第二组相等角。 【要点2】固定折痕端点、反求落点、面积最值分别有不同的方程和取值域。 【解题要领】从处的平角分配角度，证先保留有序比例，再引入变量。 母题精讲 例3 在等边中，分别在的内部。将沿翻折，使的对应点落在的内部，且 （1）证明 （2）求的长。 图3 解 （1）折叠得因为在内部，所以 在中，故因此又所以对应为 （2）设由相似，此时所以又由此解得于是 与不是由“有一个”就能判相似，还须利用折叠产生的和处平角，补出第二组等角。相似对应顺序不可写为 【易错提醒】一个不足以判相似；代数两根未必都是边内点，必须核验折叠可达。 题型3 递进练习 变式3-1 在边长为的等边中，分别在内部。将沿翻折，使的对应点落在内部。若求的长。 图3-1   变式3-2 在等边中，点在内部且点在内部，将沿翻折，使的对应点落在内部。求的所有可能值。 图3-2   变式3-3 在边长为的等边中，分别在内部。将沿翻折，使的对应点落在内部。求面积的最小值，并确定取到最小值时的位置。 图3-3   A 基础通关 A1 在正方形中，分别在内部。沿折叠四边形分别对应在内部，与交于填空：与的位置关系是______； 图A1   A2 在中，在内部，沿折叠的对应点满足与交于求及 图A2   A3 在等边中，分别在内部。沿翻折的对应点在内部。若求并写出一对相似三角形。 图A3   B 难点突破 B1 在矩形中，有人称，可以取分别在内部，沿折叠四边形使落到上的点且这个说法是否正确？请用计算说明。 图B1   B2 在中，点在内部，沿折叠的对应点满足与交于若重叠区域与的面积相等，求 图B2   B3 在边长为的等边中，是的中点，在内部。沿翻折使的对应点落在内部，求 图B3   B4 在等边中，分别在内部。沿翻折使的对应点落在内部。是否可能有？请说明理由。 图B4   C 方法进阶 C1 在边长为的正方形中，分别在内部。沿折叠四边形使的对应点落在内部。记折叠前四边形的面积为 （1）求的取值范围。 （2）说明何时只有一条折痕，何时有两条折痕；若两条不同折痕对应分别为证明 图C1   C2 在矩形中，分别在内部，沿折叠四边形对应在内部，与交于求周长的取值范围，并说明端点能否取到。 图C2   C3 在中，在内部。沿折叠的对应点满足设与交于若重叠三角形与原三角形相似，求并说明是否存在两种不同对应方式。 图C3   C4 在边长为的等边中，在内部，记点在内部，沿折叠使的对应点落在内部。根据的取值，讨论符合条件的折法有几种。 图C4   D 中考真题精选 D1 （2026年江苏省无锡市中考数学第10题（原题3分）） 在直角三角形纸片中，点在边上，将沿翻折，得到当时，与重叠部分的面积是（　）。 A．　　B．　　C．　　D．   D2 （2026年江苏省苏州市中考数学第16题（原题3分）） 如图，在等边中，分别是边上的点，将沿翻折得到若点恰好落在边上，则线段长度的最小值为______。 图D2   第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $