二次函数中的相似三角形 相似专题复习讲义 2026—2027学年苏科版九年级数学下册

二次函数中的相似三角形 2026—2027学年苏科版九年级数学下册专题复习 图形的相似 解析版 学习导航 知识梳理 1 题型1 相似对应与动点分类 2 题型2 由相似确定动弦的固定点 5 题型3 由共圆条件构造相似三角形 9 题型4 相似三角形内部的抛物线片段 12 A 基础通关 16 B 难点突破 17 C 方法进阶 20 D 中考真题精选 22 姓名：________________ 班级：________________ 知识梳理 坐标与正长度 点到轴的距离为点到直线的水平距离为列边长比前，先确定点在辅助线哪一侧。 先判相似再列比例 两个三角形各有一个直角还不够。还须找到一组锐角相等，或证明两组直角边成比例；按对应顺序写相似式，再列比例。 从边比到固定量 动点坐标不一定要单独求出。相似若能给出两段长度的乘积或比值，先保留这个关系，再代入动弦的表达式或其他相似三角形。 正向和反向 由垂直推出相似后，可用比例求点；反过来用比例判定垂直时，要重新核对相似条件。求得参数后，还须检查两个交点存在、位置合法且三角形不退化。 内部不含边界 三角形内部的点要同时满足三条边的位置限制。曲线仅接触顶点或边，不算内部有点；求内部曲线的单调性时，要分别检查对称轴两侧，并排除内部没有曲线的情况。 检查结果 对应顺序是否准确，点是否在指定范围内，候选位置是否真的能实现。 题型1 相似对应与动点分类 【要点1】已按顺序写出相似式时，只按给定顺序列对应边；只说以三个点为顶点的三角形相似时，须自己确定对应。 【要点2】有一组公共角或等角，并不要求它是直角。把这组角配好后，夹角的两边仍可能交换对应，可分别用两边成比例且夹角相等检验。 【要点3】参数既改变抛物线，也会改变参照三角形的形状。先找全相似位置，再检查线段内部、射线方向及重合的边界。 【要点4】共用一个顶点，不代表这个顶点必定对应自身。没有已知等角时，应先按参照三角形的三个角分类，再讨论两条夹边的对应。 【解题要领】先判断题目是否规定了对应，再找等角。将每一种对应变成正长度比例，与函数条件联立，最后检查范围并反向验证。 母题精讲 例1 抛物线与轴交于两点（点在点左侧），点是抛物线上横坐标为的点。点在射线上，且不与点重合。若求点的坐标。 图1 解 令得当时，所以由勾股定理得故又 题目已经规定对应顺序：对应对应对应因此即解得 由于在射线上，所以 检验：射线与重合，故上面的两组边成比例，所以由两边成比例且夹角相等，确有 【易错提醒】只列一组比例容易漏解；机械列六种也可能重复。等腰时要合并同一位置，区间端点造成重合或退化时必须排除。 题型1 递进练习 变式1-1 抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点顶点为点在射线上，且不与点重合。若以为顶点的三角形与相似，求点的所有坐标。 图1-1 解 作轴于则所以 由勾股定理，的三边互不相等，故三个角互不相等，相似时只能与对应。 当时，所以 当时，所以 两点都在射线上，且由两边成比例及夹角相等均可验证相似。答案为或 变式1-2 已知抛物线其中它与轴交于点是抛物线上横坐标为的点。若在线段内部存在点使以为顶点的三角形与相似，求的取值范围。 图1-2 解 且由于在线段内部，射线与重合，所以 相似三角形的三个角分别相等。先配去这一对相等的角，余下的两角只有两种对应次序。因此，即使某个使成为等腰三角形，也只需讨论以下两类，不会漏掉新的点的位置。 ①若由得于是不在线段内部，舍去。 ②若由得从而 在线段内部，等价于因为时恒成立，所以只需解得结合得到 反之，对上述范围内任意取都有又且故由两边成比例且夹角相等，确有 当时，上式给出不能取等号。所求范围为 变式1-3 抛物线与轴交于点在抛物线上。点在轴上方的抛物线上运动，点在轴正半轴上。若以为顶点的三角形与相似，求所有符合条件的点的坐标。 图1-3 解 由勾股定理得三边两两不等。设则所以过作轴于有 相似时，必与的某个角对应，应分三类；不能因为两三角形都有顶点便认定只与对应。 ①若将向轴作垂线，与比较，得由及得故 其余两顶点可有两种对应：时，时，因此或 ②若由于点的水平距离和竖直距离都为故于是即由及得故 时，时，因此或 ③若取点在线段上，且所以由勾股定理得 此时又故得到由及得故 时，时，因此或 以上各点均满足在轴正半轴上，三角形不退化；在每一种对应下，两边成比例且夹角相等，均可反向验证相似。三个对应角及各自的两种边对应已全部列出，所以共有六组： 或或或 题型2 由相似确定动弦的固定点 【要点1】过抛物线顶点作水平线，把顶点与两个动点组成的直角转化为两组直角三角形的相似。 【要点2】相似得到的是两段水平距离的乘积；将它代入弦所在直线，可求出弦与对称轴交点的纵坐标。 【要点3】反向使用结论时，须先证两交点分别在对称轴两侧，再用边比判定相似。 【解题要领】先用相似把垂直条件转成距离乘积，再把乘积代入一次函数。 母题精讲 例2 在平面直角坐标系中，抛物线上有两点点在轴左侧，且 （1）当点的横坐标为时，求点的坐标。 （2）点运动时，求直线与轴交点的坐标。 图2 解 过分别作轴的垂线，垂足为点必须在轴右侧，否则射线同处第二象限，夹角小于设则 由得因此所以即得 （1）得所以 （2）设直线为代入两式相减得故直线与轴的交点为 【易错提醒】顶点不是原点时，要使用到对称轴和过顶点水平线的距离；动点范围必须在最后代回检验。 题型2 递进练习 变式2-1 抛物线的顶点为过点的直线与抛物线交于不同的两点则________。 图2-1 解 设交点相对于对称轴的横坐标为直线写成交点满足当时左边为且辅助函数的图象开口向上，所以两个根一负一正，故在对称轴两侧。 设其中代入直线后得分别除以后相加，得故 过作水平线，过分别作垂线，垂足为则且两组夹角均为直角，故从而在中，故又共线，都在这条水平线下方，所以 变式2-2 已知抛物线（的顶点为直线与抛物线交于不同的两点且求的值。 图2-2 解 由且均在过的水平线上方，知两点分别在对称轴两侧。设其中 作过的水平线及到这条直线的垂线，垂足为由得所以得 直线与对称轴交于将代入一次函数并相减，得又由到的横坐标增加得故与联立，得 检验：取交点横坐标满足该二次式在处为故两交点在对称轴两侧。相对于轴的两段正距离满足有反向用两边成比例及夹角为直角可得因此符合题意。 变式2-3 抛物线的顶点为对称轴与轴交于点过点的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧。直线分别与轴交于点 （1）求的值。 （2）求的最小值。 图2-3 解 设其中设直线为代入两点坐标并相减，得 再代入点得所以 （1）过作水平线，过分别作这条水平线的垂线，垂足为由于得从而即同理 点分别在两侧，所以 （2）由得所以 当时，直线为两点都满足题设，且等号能取得。因此的最小值为 题型3 由共圆条件构造相似三角形 【要点1】几段到同一点的距离相等，可把这些端点放到同一个圆上，再利用圆周角找相等角。 【要点2】两条轴上的弦相交或两条割线相交时，都先标清点的顺序，再写相似式，不直接套用带符号的乘积。 【要点3】遇到外接圆与坐标轴相切，可作过切点的直径，用圆周角与余角补出相似；涉及半径最值时，要检查弦能否成为直径。 【解题要领】先由函数确定点的位置，再由共圆找角。把两个根的乘积保留为整体，避免无用的根式运算。 母题精讲 例3 抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点的外接圆与轴负半轴交于点求点的坐标。 图3 解 令得所以令得 在同一个圆上，所以又在线段内部，故且 因此得即代入得所以点在轴负半轴上，故 【易错提醒】不能把两个同侧轴交点的坐标差当成它们到原点的距离。相切时只有一个切点，不可当作两个不同交点。 题型3 递进练习 变式3-1 抛物线与轴交于两点，与轴交于点点在轴上，且不与点重合。已知存在点使则点的坐标为________。 图3-1 解 所以可取且等长条件表明在以为圆心的同一个圆上。 原点在弦的延长线上，且在圆外。因此轴与圆的两个交点在原点同侧；点都在轴正半轴上。 将中靠近的点记为另一点记为由圆内接四边形对角互补及平角关系，又所以故即 解得所以该点与不同，位置也符合两条割线的交点顺序。 变式3-2 已知抛物线其中它与轴交于两点，与轴交于点若的外接圆与轴相切，求的值。 图3-2 解 由方程有两个不同的正根。记为且则 将二次式写成比较常数项，得所以 设外接圆的圆心为作直径由于轴在点处与圆相切，连接则且 故又所以 于是即由得 检验：当时，取由勾股定理得且轴，所以所求外接圆确与轴相切。故 变式3-3 抛物线与轴交于两点，与轴交于点其中为实数。求外接圆半径的最小值及此时的值。 图3-3 解 抛物线开口向下且在时函数值为故两根一负一正。设其中 二次式可写成比较常数项得所以 外接圆与轴负半轴再交于由圆周角得又两三角形在处均为直角，故因此得 所以弦长不大于直径，故外接圆半径等号成立时，为直径，圆心在轴上；弦被轴垂直平分，故关于轴对称，抛物线的对称轴为轴，从而 当时，取有且故半径确为所求最小值为此时 题型4 相似三角形内部的抛物线片段 【要点1】先用相似比求三角形顶点，再确定其边所在直线。三角形内部不含边界。 【要点2】把抛物线分成对称轴两侧，分别判断是否有点进入三角形；一侧完全没有内部点，不能只靠一张示意图断定。 【要点3】内部相切时只有边界点，不能算内部有弧段；碰到顶点的状态也要逐一检查。 【解题要领】先找三角形的边界，再分别求增支、减支进入内部的条件。 母题精讲 例4 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且已知抛物线 （1）用含的式子表示点的坐标。 （2）若内部有抛物线上的点，且这些点的纵坐标随横坐标增大而减小，求的取值范围。 图4 解 （1）由相似得所以 （2）直线为抛物线上一点在三角形内部，等价于且 由知只需检查和前一段在对称轴左侧，函数递减；后一段在对称轴右侧，函数递增。 令位于下方等价于在内，随增大而减小，值域为所以存在内部减支点当且仅当 在内，随增大而增大，值域为所以存在内部增支点当且仅当题意要求前者存在、后者不存在，故 【易错提醒】不要把没有抛物线点的空区域算成单调区间；首次相切与端点落边的等号处理不同。 题型4 递进练习 变式4-1 在平面直角坐标系中，点在射线上，且点不与点重合；点在直线上且位于轴上方，已知抛物线 （1）求点的坐标。 （2）若内部有抛物线上的点，且这些点的纵坐标随横坐标增大而增大，求的取值范围。 图4-1 解 （1）由相似得所以 （2）直线为内部的抛物线点须满足及因此 令最后一个不等式等价于 在增支上，由大于增至所以每个都有内部增支点。 在减支上，且值可以任意接近故时没有内部减支点，时出现内部减支点。所求范围为 变式4-2 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且已知抛物线 若内部有抛物线上的点，且这些点的纵坐标随横坐标增大而减小，则的取值范围为________。 图4-2 解 由相似得所以内部点须满足且 由只需检查减支及增支令最后一个不等式等价于 在内，在处取到最小值故减支内部有点当且仅当等号时直线与抛物线相切，切点在边界，不在内部。 在内，递增且故没有内部增支点当且仅当综上 变式4-3 在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在直线上，且横坐标为过作的垂线，在轴下方取点使连接已知抛物线 （1）求点的坐标。 （2）若内部有抛物线上的点，且这些点的纵坐标随横坐标增大而增大，求的取值范围。 图4-3 解 （1）且过分别作轴的垂线，垂足为则由于所以 相似比为故点在点的右下方，因此 （2）直线为三角形内部在这条直线的上方。抛物线与直线的交点横坐标满足由于方程有一负一正两个根，记为 又所以右侧交点严格在线段内部，既不是顶点，也不在边上。取该点右侧足够近的一小段曲线，它仍位于确定的三角形一侧；又曲线在上方，故这段曲线严格在三角形内部。因此每个都有非空的内部递增片段。 要使全部内部曲线递增，须排除的递减片段。三角形各顶点的横坐标均不小于所以只需检查 若则左侧交点也严格在线段内部，不是顶点。同理，交点左侧足够近的一小段曲线位于确定的三角形一侧，且故它是内部递减片段，不符合题意。 若则在内，曲线不高于边没有内部递减片段。 故且所求范围为当时，左支仅在顶点接触边界，右支仍有内部片段，所以左端点应保留。 A 基础通关 A1 已知抛物线（与轴交于两点，与轴交于点若的外接圆经过点则的值为________。 图A1 解 不妨设其中由二次式的常数项为得故 由同弧圆周角及处直角，得所以于是解得 当时，两个横轴交点分居原点两侧。设的外接圆与轴负半轴再交于由同一相似关系得所以与重合，条件确能实现。 A2 抛物线的顶点为为抛物线上不同于的两点，且点到直线的距离的最大值为________。 图A2 解 两点必在对称轴两侧，设其中 过作水平线，过分别作该水平线的垂线，垂足为由直角条件，得所以故 设直线为代入两点坐标并相减，得再代入得故直线恒过 作于因为在直线上，所以 当为时，且等号成立。因此最大值为 B 难点突破 B1 抛物线的顶点为点在抛物线上运动，横坐标满足点也在抛物线上，且直线与轴交于点求的取值范围。 图B1 解 设则由垂直条件，点在对称轴右侧，设其中 分别向过的水平线作垂线，由两组直角三角形相似，得即所以 设直线为代入两点坐标并相减，得直线上横坐标为的点的纵坐标为因此 当时，且故 反过来，对任意方程的正根为代入二次式在时的值分别为知正根满足取可反向验证相似及垂直，故区间内每个值都可取得。所求范围为 B2 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且若抛物线与的边界恰有两个不同的交点，求的取值范围。 图B2 解 由相似得所以所在直线为抛物线在三角形内或边界上的点满足 由只需考察和记 在上，的最小值为当时没有交点；当时只有切点 当时，这段抛物线与三角形边界总有两个不同交点：时都在上；时分别在上；时分别在上。或时，落在顶点的交点只计一次，仍共两个。 在上，随增大而增大，且因此时这一支不与三角形相交；时新增交点时新增两个交点，分别在上。 综上，所求范围为 B3 已知抛物线（与轴交于两点，与轴交于点的外接圆经过点且与直线相切。求抛物线的表达式。 图B3 解 两个横轴交点分居原点两侧。由共圆条件及处直角，得所以 将二次式写成（比较常数项得故解得 设圆心为因为所以在的垂直平分线上，可设又所以在的垂直平分线上，其横坐标等于抛物线对称轴的横坐标。因此 由勾股定理，圆与直线相切，其半径等于圆心到该直线的距离，故解得从而 检验：当时，取有任一横轴交点的横坐标均满足故同理又到直线的距离为符合题设。 所以抛物线的表达式为 C 方法进阶 C1 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且 若抛物线上满足的所有点均在内部或边界上，求面积的最小值。 图C1 解 设其中由相似得所以 当时，曲线上的点在三角形内或边界上，等价于 在上最大值为故所求条件等价于 因此当时，整段曲线均在三角形内或边界上，且在边上，等号成立。面积的最小值为 C2 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点（点在点的左侧）。经过原点的动直线与抛物线交于两点，其中在第二象限。直线分别交轴于设点的横坐标为记 （1）证明并用含的式子表示 （2）若分别求与的取值范围。 图C2 解 （1）由得设因为在第二象限，所以且交点横坐标满足两根异号，所以另一交点在第四象限，故 由在直线上，得即两交点不同，所以 直线为故直线为故两点分居原点两侧，因此 过分别作轴，垂足为由共线，得所以于是 （2）由得结合得到两个端点均符合在第二象限的条件。 令则且当增大时，增大，也增大，故所以 反过来，对任意二次式在时的值为在时的值为且它有一正一负两个根。因此它的负根落在内，满足面积比条件。综上，两区间端点均能取到。 D 中考真题精选 D1 （2026年江苏省连云港市中考数学第26题） 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点点位于点的左侧，与轴交于点．若将抛物线向右平移个单位，或向左平移个单位，都经过点． （1）直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； （2）若平行于轴的直线与抛物线交于点与直线交于点且求的取值范围； （3）设抛物线的顶点为连接在轴上找一点使以点为顶点的与相似，求点的坐标． 图D1（辅助示意图） 解 （1）向右平移个单位后经过得解得或向左平移个单位后经过得解得或两条件同时成立，所以 故抛物线为令得令得所以直线为 （2）设则记因为抛物线开口向上，点的横坐标严格介于水平线与抛物线的两个交点之间，等价于 整理得即反之，在此范围内，水平线高于顶点，确有两个不同交点，且位于它们之间。 由对称轴得又两式相加，得 所以由得当时取到最小值；在内，函数值覆盖从到小于的全部数。因此 （3）作轴，垂足为则由于且夹角均为直角，得所以 由勾股定理，又三边两两不等，故的三个角也两两不等。 若在右侧，则而唯一的钝角为没有角能与对应，故不可能相似。与重合时三角形退化，也不符合要求。因此必须在左侧。 此时且的三个角互不相等，所以必须与对应，只有以下两种情形。 ①时，即得于是 ②时，即得于是 两点均在左侧，三角形均不退化；分别用对应的两边成比例及夹角相等，可以反向验证相似。因此所有符合条件的点为或 D2 （2026年四川省乐山市中考数学第26题） 已知抛物线交轴于两点（点在点的左侧），顶点为点． （1）求两点的坐标； （2）直线（与抛物线交于两点． ①若两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 图D2（辅助示意图） 解 （1）令得因为在左侧，所以配方得故顶点 （2）①设与轴交于因为所以存在，且既不平行也不垂直于轴。过分别作的垂线，垂足为 若与或重合，则其中一点到的距离为另一点的距离大于不符合题意。其余情形中，与均为直角三角形。无论在线段内还是在其延长线上，它们在处的锐角都等于两相交直线的锐夹角，所以两三角形相似。 于是得在直线上，只有线段的中点到两端点等距，故因此直线恒过定点 ②直线恒过定点证明如下。由知均不与重合。又是抛物线最低点，所以均在过的水平线上方。 若在对称轴的同一侧，则射线位于同一个开口为的角的内部，夹角小于矛盾。因此两点分别在对称轴两侧。不妨设在左侧，在右侧。 过作水平线，过分别作这条水平线的垂线，垂足为设则从而 因为且共线，得又所以结合两个直角，得 因此即因为可约去正因子，得到 将的坐标代入直线两式相减，得因为得 设直线上横坐标为的点为由到的横坐标增加代入同一一次函数，得 故无论满足条件的直线如何变化，它都经过点 D3 （2026年福建省初中学业水平考试数学第25题） 已知抛物线． （1）若求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； （3）抛物线与轴交于两点，与轴交于点直线与相交于点是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足试探究和的数量关系，并证明． 图D3（辅助示意图） 解 （1）所以顶点坐标为 （2）点在抛物线上且在轴上方，所以得 方程的判别式为故该方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点。 （3）由知抛物线为它开口向下，且在时函数值为正，因此两根一正一负。不妨设其中 将二次式写成比较常数项得即 因为所以在以为圆心的同一个圆上。原点在弦内部，故在圆内；过的直线与圆的两个交点分居两侧，因此在轴负半轴上。 连接由同弧所对圆周角相等，得因为射线重合，射线重合，所以又故 因此即代入得从而 题设保证两直线相交于所以不能为点同时在与上，两式相加得所以而的中点为故在的垂直平分线上，得到 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数中的相似三角形 2026—2027学年苏科版九年级数学下册专题复习 图形的相似 学生版 学习导航 知识梳理 1 题型1 相似对应与动点分类 2 题型2 由相似确定动弦的固定点 5 题型3 由共圆条件构造相似三角形 7 题型4 相似三角形内部的抛物线片段 9 A 基础通关 13 B 难点突破 14 C 方法进阶 16 D 中考真题精选 18 姓名：________________ 班级：________________ 知识梳理 坐标与正长度 点到轴的距离为点到直线的水平距离为列边长比前，先确定点在辅助线哪一侧。 先判相似再列比例 两个三角形各有一个直角还不够。还须找到一组锐角相等，或证明两组直角边成比例；按对应顺序写相似式，再列比例。 从边比到固定量 动点坐标不一定要单独求出。相似若能给出两段长度的乘积或比值，先保留这个关系，再代入动弦的表达式或其他相似三角形。 正向和反向 由垂直推出相似后，可用比例求点；反过来用比例判定垂直时，要重新核对相似条件。求得参数后，还须检查两个交点存在、位置合法且三角形不退化。 内部不含边界 三角形内部的点要同时满足三条边的位置限制。曲线仅接触顶点或边，不算内部有点；求内部曲线的单调性时，要分别检查对称轴两侧，并排除内部没有曲线的情况。 检查结果 对应顺序是否准确，点是否在指定范围内，候选位置是否真的能实现。 题型1 相似对应与动点分类 【要点1】已按顺序写出相似式时，只按给定顺序列对应边；只说以三个点为顶点的三角形相似时，须自己确定对应。 【要点2】有一组公共角或等角，并不要求它是直角。把这组角配好后，夹角的两边仍可能交换对应，可分别用两边成比例且夹角相等检验。 【要点3】参数既改变抛物线，也会改变参照三角形的形状。先找全相似位置，再检查线段内部、射线方向及重合的边界。 【要点4】共用一个顶点，不代表这个顶点必定对应自身。没有已知等角时，应先按参照三角形的三个角分类，再讨论两条夹边的对应。 【解题要领】先判断题目是否规定了对应，再找等角。将每一种对应变成正长度比例，与函数条件联立，最后检查范围并反向验证。 母题精讲 例1 抛物线与轴交于两点（点在点左侧），点是抛物线上横坐标为的点。点在射线上，且不与点重合。若求点的坐标。 图1 解 令得当时，所以由勾股定理得故又 题目已经规定对应顺序：对应对应对应因此即解得 由于在射线上，所以 检验：射线与重合，故上面的两组边成比例，所以由两边成比例且夹角相等，确有 【易错提醒】只列一组比例容易漏解；机械列六种也可能重复。等腰时要合并同一位置，区间端点造成重合或退化时必须排除。 题型1 递进练习 变式1-1 抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点顶点为点在射线上，且不与点重合。若以为顶点的三角形与相似，求点的所有坐标。 图1-1   变式1-2 已知抛物线其中它与轴交于点是抛物线上横坐标为的点。若在线段内部存在点使以为顶点的三角形与相似，求的取值范围。 图1-2   变式1-3 抛物线与轴交于点在抛物线上。点在轴上方的抛物线上运动，点在轴正半轴上。若以为顶点的三角形与相似，求所有符合条件的点的坐标。 图1-3   题型2 由相似确定动弦的固定点 【要点1】过抛物线顶点作水平线，把顶点与两个动点组成的直角转化为两组直角三角形的相似。 【要点2】相似得到的是两段水平距离的乘积；将它代入弦所在直线，可求出弦与对称轴交点的纵坐标。 【要点3】反向使用结论时，须先证两交点分别在对称轴两侧，再用边比判定相似。 【解题要领】先用相似把垂直条件转成距离乘积，再把乘积代入一次函数。 母题精讲 例2 在平面直角坐标系中，抛物线上有两点点在轴左侧，且 （1）当点的横坐标为时，求点的坐标。 （2）点运动时，求直线与轴交点的坐标。 图2 解 过分别作轴的垂线，垂足为点必须在轴右侧，否则射线同处第二象限，夹角小于设则 由得因此所以即得 （1）得所以 （2）设直线为代入两式相减得故直线与轴的交点为 【易错提醒】顶点不是原点时，要使用到对称轴和过顶点水平线的距离；动点范围必须在最后代回检验。 题型2 递进练习 变式2-1 抛物线的顶点为过点的直线与抛物线交于不同的两点则________。 图2-1   变式2-2 已知抛物线（的顶点为直线与抛物线交于不同的两点且求的值。 图2-2   变式2-3 抛物线的顶点为对称轴与轴交于点过点的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧。直线分别与轴交于点 （1）求的值。 （2）求的最小值。 图2-3   题型3 由共圆条件构造相似三角形 【要点1】几段到同一点的距离相等，可把这些端点放到同一个圆上，再利用圆周角找相等角。 【要点2】两条轴上的弦相交或两条割线相交时，都先标清点的顺序，再写相似式，不直接套用带符号的乘积。 【要点3】遇到外接圆与坐标轴相切，可作过切点的直径，用圆周角与余角补出相似；涉及半径最值时，要检查弦能否成为直径。 【解题要领】先由函数确定点的位置，再由共圆找角。把两个根的乘积保留为整体，避免无用的根式运算。 母题精讲 例3 抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点的外接圆与轴负半轴交于点求点的坐标。 图3 解 令得所以令得 在同一个圆上，所以又在线段内部，故且 因此得即代入得所以点在轴负半轴上，故 【易错提醒】不能把两个同侧轴交点的坐标差当成它们到原点的距离。相切时只有一个切点，不可当作两个不同交点。 题型3 递进练习 变式3-1 抛物线与轴交于两点，与轴交于点点在轴上，且不与点重合。已知存在点使则点的坐标为________。 图3-1   变式3-2 已知抛物线其中它与轴交于两点，与轴交于点若的外接圆与轴相切，求的值。 图3-2   变式3-3 抛物线与轴交于两点，与轴交于点其中为实数。求外接圆半径的最小值及此时的值。 图3-3   题型4 相似三角形内部的抛物线片段 【要点1】先用相似比求三角形顶点，再确定其边所在直线。三角形内部不含边界。 【要点2】把抛物线分成对称轴两侧，分别判断是否有点进入三角形；一侧完全没有内部点，不能只靠一张示意图断定。 【要点3】内部相切时只有边界点，不能算内部有弧段；碰到顶点的状态也要逐一检查。 【解题要领】先找三角形的边界，再分别求增支、减支进入内部的条件。 母题精讲 例4 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且已知抛物线 （1）用含的式子表示点的坐标。 （2）若内部有抛物线上的点，且这些点的纵坐标随横坐标增大而减小，求的取值范围。 图4 解 （1）由相似得所以 （2）直线为抛物线上一点在三角形内部，等价于且 由知只需检查和前一段在对称轴左侧，函数递减；后一段在对称轴右侧，函数递增。 令位于下方等价于在内，随增大而减小，值域为所以存在内部减支点当且仅当 在内，随增大而增大，值域为所以存在内部增支点当且仅当题意要求前者存在、后者不存在，故 【易错提醒】不要把没有抛物线点的空区域算成单调区间；首次相切与端点落边的等号处理不同。 题型4 递进练习 变式4-1 在平面直角坐标系中，点在射线上，且点不与点重合；点在直线上且位于轴上方，已知抛物线 （1）求点的坐标。 （2）若内部有抛物线上的点，且这些点的纵坐标随横坐标增大而增大，求的取值范围。 图4-1   变式4-2 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且已知抛物线 若内部有抛物线上的点，且这些点的纵坐标随横坐标增大而减小，则的取值范围为________。 图4-2   变式4-3 在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在直线上，且横坐标为过作的垂线，在轴下方取点使连接已知抛物线 （1）求点的坐标。 （2）若内部有抛物线上的点，且这些点的纵坐标随横坐标增大而增大，求的取值范围。 图4-3   A 基础通关 A1 已知抛物线（与轴交于两点，与轴交于点若的外接圆经过点则的值为________。 图A1   A2 抛物线的顶点为为抛物线上不同于的两点，且点到直线的距离的最大值为________。 图A2   B 难点突破 B1 抛物线的顶点为点在抛物线上运动，横坐标满足点也在抛物线上，且直线与轴交于点求的取值范围。 图B1   B2 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且若抛物线与的边界恰有两个不同的交点，求的取值范围。 图B2   B3 已知抛物线（与轴交于两点，与轴交于点的外接圆经过点且与直线相切。求抛物线的表达式。 图B3   C 方法进阶 C1 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且 若抛物线上满足的所有点均在内部或边界上，求面积的最小值。 图C1   C2 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点（点在点的左侧）。经过原点的动直线与抛物线交于两点，其中在第二象限。直线分别交轴于设点的横坐标为记 （1）证明并用含的式子表示 （2）若分别求与的取值范围。 图C2   D 中考真题精选 D1 （2026年江苏省连云港市中考数学第26题） 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点点位于点的左侧，与轴交于点．若将抛物线向右平移个单位，或向左平移个单位，都经过点． （1）直接写出抛物线和直线对应的函数表达式； （2）若平行于轴的直线与抛物线交于点与直线交于点且求的取值范围； （3）设抛物线的顶点为连接在轴上找一点使以点为顶点的与相似，求点的坐标．   D2 （2026年四川省乐山市中考数学第26题） 已知抛物线交轴于两点（点在点的左侧），顶点为点． （1）求两点的坐标； （2）直线（与抛物线交于两点． ①若两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 图D2   D3 （2026年福建省初中学业水平考试数学第25题） 已知抛物线． （1）若求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； （3）抛物线与轴交于两点，与轴交于点直线与相交于点是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足试探究和的数量关系，并证明．   1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $