专题13 线段静态+动态综合压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

专题13 线段静态+动态综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段中点与和差倍分计算（静态） 题型二、含字母系数／方程思想的线段问题（静态） 题型三、直线上点的位置不确定（分类讨论） 题型四、数轴动点问题（位置表示、相遇、距离） 题型五、动点＋中点结合（判断线段长度是否变化）· 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 （一）线段静态计算题通用通法 通法1 设未知数，把线段用代数式表示。题目给出线段之间的和、差、倍、分关系时，取最短或关键的线段为x（或用份数），其余线段都用含x的式子表示，再由“总长”或题目给出的等量关系列方程求解。 通法2 抓住中点、等分点。中点把线段一分为二，AM＝MB＝½AB；等分点按份数表示。凡出现中点，优先把它转成“一半”的关系，往往能消去中间未知量。 通法3 点的位置不确定时要分类讨论。点“在直线AB上”与“在线段AB上”不同——前者C可在A、B之间，也可在延长线上，应分情况计算，结果可能不唯一。 （二）线段动态（动点）问题通用通法——五步法 线段动态压轴多以数轴为背景，核心是“用时间把运动过程代数化”，可归纳为五步： 第一步，设运动时间为 t（或设运动路程）； 第二步，表示动点位置：向右运动“加”，向左运动“减”，如点P从表示a的点出发，以速度v向右运动，t秒后表示的数为 a＋vt； 第三步，表示两点间距离：AB＝|A表示的数－B表示的数|； 第四步，找等量关系列方程：相遇即两动点位置相等；追及即路程差等于初始距离；距离给定则用距离表达式列方程； 第五步，解方程并检验 t 的范围与合理性。 追及与相遇模型：相向运动（迎面相遇），两者路程之和等于初始间距；同向运动（快追慢），路程之差等于初始间距。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段中点与和差倍分计算（静态） 【典例1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点是线段上两点，，点是线段的中点，．求线段的长． 【典例2】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，若，． (1)求线段的长； (2)若点E是直线上一点，位于点B的左侧，且，求线段的长． 【典例3】．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，已知C，E为线段上的点，，，，D是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 题型模版 通法：用份数表示比例线段。设 AC＝2k，CB＝3k。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，是线段上两点，分别是线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)试说明：． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知线段，延长到C，使得． (1)若点M是的中点，求的长； (2)若点D，E分别是的中点，求的长． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知线段，延长到点，使得．点分别是的中点． (1)求的长度； (2)若点在线段上，且，求的长度． 题型二、含字母系数／方程思想的线段问题（静态） 【典例4】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点D是线段的中点，延长到点C，使，点E是线段的中点，，求线段的长． 【典例5】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点D是线段延长线上一点，点P是线段的中点，点Q是线段的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求线段的长（结果用m，n表示）． 【典例6】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图点在线段上，线段，点，分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 题型模版 通法：点C在延长线上时，AB＝AC－BC 或 AB＝BC－AC（视谁长），先判断大小关系。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在同一直线上有四点A、B、C、D，已知，，且，求的长． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，已知线段． (1)尺规作图：反向延长到点C，使； (2)若点M是中点，点N是中点，，求的长． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知：分别是线段的中点． (1)如图1，点在线段上，且，求线段的长． (2)若为线段上任意一点，且，求线段的长（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若点在线段的延长线上，且，求线段的长（用含有的代数式表示）． 题型三、直线上点的位置不确定（分类讨论） 【典例7】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且． (1)图中共有__________条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，直接写出的长． 题型模版 通法：C“在直线AB上”位置可能有两种，必须分类讨论。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有________条线段． (2)求的长； (3)若点在直线上，且，求的长． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，已知点在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点在直线上，且，点为的中点，求的长． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知点C在线段上，cm，cm，点M，N分别是，的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点P在直线上，且，点Q为的中点，求的长． 题型四、数轴动点问题（位置表示、相遇、距离） 【典例8】．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）【背景材料】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一点． 【探究发现】数轴是数形结合的重要工具，借助数轴可以更灵活地解决线段相关问题．如图，线段的长为 ．因为或，所以当点，表示的数分别为，时，与两点之间的距离． 【迁移应用】 （1）若点表示的数为，则与两点之间的距离 ． （2）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为）秒，当为何值时， 【拓广探索】对数轴进行深入研究后，发现线段的中点表示的数为．在（2）的条件下，将，的中点分别记为点，，在运动过程中，线段的长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【典例9】．（24-25七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【典例10】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【变式1】．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离________，线段的中点C表示的数为_________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 题型五、动点＋中点结合（判断线段长度是否变化） 【典例11】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【典例12】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【典例13】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）【问题情境】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点A，再向右移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动4个单位长度到达点C． 【问题探究】 （1）点A到点B的距离 ，点A到点C的距离 ； 【拓展探究】 （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，N从点B，点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（）． ①若点M是线段PN的中点，求运动时间t的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 题型模版 通法：用参数表示动点位置，再表示中点，最后相减看是否消去参数。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ； (2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长 (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列结论：①的长度不变；②的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒． (1)当t＝6时，AC＝　 　． (2)用含t的式子表示线段AC的长； 当0≤t≤5时，AC＝　 　； 当5＜t≤10时，AC＝　 　． (3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长， 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 3．追本溯源 题（1）来自课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的___________，___________ 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有两点，是的中点，．求线段的长． 4．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点，，求的长． 5．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 6．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知、在线段上． (1)如上图，图中共有__________条线段； (2)如下图，，是的中点，是的中点，求的长度． 7．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）数轴上有，，三点，点，表示的数分别为，，点在点的右侧，点是的中点，． (1)如图1，若，． ①点表示的数为________，点表示的数为________； ②如图2，线段（点在点的左侧，），线段从点出发，以1个单位每秒的速度向点运动（点不与点重合），点是的中点，点是的中点，在运动的过程中，的长度始终为1，求的值； (2)若，，试求线段的长． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为﹣2和8． （1）线段AB的长为 ； （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ①当0＜t＜10时，PA＝ ，PB＝ ，点P表示的数为 ； ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度． 9．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点，，是数轴上三点，点为原点．点对应的数为6，，． (1)求点，对应的数； (2)动点，分别同时从，出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．点在线段上，且，点为线段的中点，设运动时间为（）． ①求点、对应的数（用含的式子表示）；②为何值时，． 10．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 11．如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值； (2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长； (3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 13．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 14．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段检测）如图：点O是线段上一点，且，P，Q两点分别从点O，M同时出发以，的速度沿直线向右运动，后，点P，Q恰好分别为，的中点． (1)求的长度； (2)试求与的数量关系； (3)若运动后，P，Q两点到O点的距离相等，求t的值． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）已知，线段AB上有三个点C、D、E，，，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持． （1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长； （2）如图2，点F为线段BC的中点，，求AE的长； （3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 线段静态+动态综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段中点与和差倍分计算（静态） 题型二、含字母系数／方程思想的线段问题（静态） 题型三、直线上点的位置不确定（分类讨论） 题型四、数轴动点问题（位置表示、相遇、距离） 题型五、动点＋中点结合（判断线段长度是否变化）· 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 （一）线段静态计算题通用通法 通法1 设未知数，把线段用代数式表示。题目给出线段之间的和、差、倍、分关系时，取最短或关键的线段为x（或用份数），其余线段都用含x的式子表示，再由“总长”或题目给出的等量关系列方程求解。 通法2 抓住中点、等分点。中点把线段一分为二，AM＝MB＝½AB；等分点按份数表示。凡出现中点，优先把它转成“一半”的关系，往往能消去中间未知量。 通法3 点的位置不确定时要分类讨论。点“在直线AB上”与“在线段AB上”不同——前者C可在A、B之间，也可在延长线上，应分情况计算，结果可能不唯一。 （二）线段动态（动点）问题通用通法——五步法 线段动态压轴多以数轴为背景，核心是“用时间把运动过程代数化”，可归纳为五步： 第一步，设运动时间为 t（或设运动路程）； 第二步，表示动点位置：向右运动“加”，向左运动“减”，如点P从表示a的点出发，以速度v向右运动，t秒后表示的数为 a＋vt； 第三步，表示两点间距离：AB＝|A表示的数－B表示的数|； 第四步，找等量关系列方程：相遇即两动点位置相等；追及即路程差等于初始距离；距离给定则用距离表达式列方程； 第五步，解方程并检验 t 的范围与合理性。 追及与相遇模型：相向运动（迎面相遇），两者路程之和等于初始间距；同向运动（快追慢），路程之差等于初始间距。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线段中点与和差倍分计算（静态） 【典例1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点是线段上两点，，点是线段的中点，．求线段的长． 【答案】21 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段的和差等知识点，理清线段间的关系是解题的关键． 由已知条件可得，，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，若，． (1)求线段的长； (2)若点E是直线上一点，位于点B的左侧，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据中点的定义计算即可； （2）根据和计算即可． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∴； （2） 解：∵，， ∴， ∴． 【典例3】．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，已知C，E为线段上的点，，，，D是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）利用线段的和差求解； （2）首先求出，然后由线段中点的性质求出，然后利用线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 题型模版 通法：用份数表示比例线段。设 AC＝2k，CB＝3k。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，是线段上两点，分别是线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)试说明：． 【答案】(1) (2) 证明：分别是线段的中点， ， ， ， ， ∵， ∴， ． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据线段中点及线段的和差找到，代入求值即可； （2）根据线段中点及线段的和差进行线段的转换即可． 【详解】（1）解：分别是线段的中点， ， ， ， 即， ， （2）略 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，关键是灵活应用知识点解题． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图，已知线段，延长到C，使得． (1)若点M是的中点，求的长； (2)若点D，E分别是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段和与差计算、线段中点的有关计算，理解题意，弄清各线段之间的关系是解题关键． （1）首先根据可解得，进而可知的长度，从而可求即可； （2）根据题意，由求解即可． 【详解】（1）解：因为，，所以   又因为M为的中点， 所以   所以，即的长为； （2）解：因为，， 所以； 因为E为的中点， 所以 ， 因为D为的中点， 所以， 所以， 即的长为． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知线段，延长到点，使得．点分别是的中点． (1)求的长度； (2)若点在线段上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段和与差计算、线段中点的有关计算，理解题意，弄清各线段之间的关系是解题关键． （1）首先根据可解得，进而可知长度，再由线段中点的定义确定的值，然后由求解即可； （2）根据题意，由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴； （2）如下图， ∵点在线段上，且， ∴． 题型二、含字母系数／方程思想的线段问题（静态） 【典例4】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点D是线段的中点，延长到点C，使，点E是线段的中点，，求线段的长． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，设，中点得到，根据，得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵点C在的延长线上，， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， 解得x， ∴． 【典例5】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点D是线段延长线上一点，点P是线段的中点，点Q是线段的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求线段的长（结果用m，n表示）． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】线段中点的有关计算、整式的加减运算 【分析】本题考查线段中点有关的计算，掌握线段中点的定义和线段的运算法则是解题关键． （1）利用线段中点计算出的长，在通过线段和差计算得到的长，进而得到的长，再线段和差运算求解即可； （2）先表示出，再通过线段和差计算得到，进而得到的长，再线段和差运算求解即可． 【详解】（1）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴． 【典例6】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图点在线段上，线段，点，分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)9； (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了与线段中点有关的和差关系以及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程． （1）根据，可以得到，再根据点分别是的中点，得到，的关系，进而求解； （2）设，根据点是的中点，可得，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：（1）因为， 所以． 因为点分别是的中点， 所以， 所以． （2）解：设，因为点是的中点， 所以， 因为，且点是的中点， 所以， 则， 即， 解得． 所以． 题型模版 通法：点C在延长线上时，AB＝AC－BC 或 AB＝BC－AC（视谁长），先判断大小关系。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在同一直线上有四点A、B、C、D，已知，，且，求的长． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理清各线段之间的数量关系． 设，则，，然后表示出，最后由建立方程求解即可． 【详解】设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ 【变式2】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，已知线段． (1)尺规作图：反向延长到点C，使； (2)若点M是中点，点N是中点，，求的长． 【答案】(1) 解：所作图形如图所示， (2) 【知识点】作线段(尺规作图)、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了基本作图——作线段，线段中点的定义，解一元一次方程的应用． （1）根据几何语言及基本作图——作一条线段等于已知线段作出相应的几何图形即可； （2）根据中点的定义求出，根据，进而求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图1， ∵点M是中点，点N是中点， ∴，． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）已知：分别是线段的中点． (1)如图1，点在线段上，且，求线段的长． (2)若为线段上任意一点，且，求线段的长（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若点在线段的延长线上，且，求线段的长（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)6 (2) (3) 【知识点】线段的和与差、列代数式、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的和差运算，利用了线段中点的性质．分情况讨论是解题的难点，难度较大． （1）根据“点M、N分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可． （2）当C为线段上一点，且M，N分别是、的中点，则，进一步可得答案． （3）点在的延长线上时，根据M、N分别为、的中点，可得，进一步即可求出的长度． 【详解】（1）解：因为，点是的中点，点是的中点， 所以，， 所以， 即线段的长度为6； （2）解：因为点，分别是线段，的中点． 所以，， 所以； （3）解：如图2，因为是的中点，点是的中点， 所以，， 所以． 题型三、直线上点的位置不确定（分类讨论） 【典例7】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且． (1)图中共有__________条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，直接写出的长． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，线段的条数问题，熟知线段的相关知识是解题的关键． （1）根据两点确定一条线段可得答案； （2）根据线段中点的定义可得的长，再由线段的和差关系可得答案； （3）先求出的长，再分两种情况：点E在上和点E在的延长线上，根据线段的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：图中的线段有线段，共6条线段； （2）解：∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴； 如图所示，当点E在上时，则 如图所示，当点E在的延长线上时，则； 综上所述，的长为或． 题型模版 通法：C“在直线AB上”位置可能有两种，必须分类讨论。 【变式1】．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有________条线段． (2)求的长； (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和(差)，熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和、差是解题的关键． （1）固定为端点，数线段，依次类推，最后求和即可； （2）根据，计算即可； （3）分点在点左边和右边两种情形分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 共有（条）； 故答案为：； （2）解：∵为中点，， ∴， ∵， ∴； （3）解：第一种情况：点在线段上（点在点左侧），如图所示： ； 第二种情况：点在线段上（点在点右侧），如图所示： ， 综上所述，的长为或． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，已知点在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点在直线上，且，点为的中点，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段和差运算以及与线段的中点有关的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，点是的中点，则，即可作答． （2）因为，点是的中点．所以，结合，即可作答． （3）依题意，进行分类讨论，即当点在线段的外部时或当点在线段的内部时，且结合线段的和差运算，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点． ∴； （2）解：∵，点是的中点． ∴， 由（1）得出， ∴． （3）解：依题意，当点在线段的外部时， ∵，， ∴， 点为的中点， ∴， 由（1）得， 则； 当点在线段的内部时， ∵，， ∴， 点为的中点， ∴， 由（1）得， 则； 综上：的长为或． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知点C在线段上，cm，cm，点M，N分别是，的中点． (1)求的长； (2)求的长； (3)若点P在直线上，且，点Q为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长度为或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． （1）先求得，然后根据是的中点得出 （2）利用线段的和差关系可得，然后利用线段的中点定义可得，，进而利用即可解答； （3）分两种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是的中点， ， （2）解：，， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， 即的长为； （3）的长度为或， 理由：分两种情况： 当点在线段上时，如图： ，， ， 点为的中点， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图： ，， ， 点为的中点， ， ， ； 综上所述：的长度为或． 题型四、数轴动点问题（位置表示、相遇、距离） 【典例8】．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）【背景材料】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，是数轴上的一点． 【探究发现】数轴是数形结合的重要工具，借助数轴可以更灵活地解决线段相关问题．如图，线段的长为 ．因为或，所以当点，表示的数分别为，时，与两点之间的距离． 【迁移应用】 （1）若点表示的数为，则与两点之间的距离 ． （2）若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为）秒，当为何值时， 【拓广探索】对数轴进行深入研究后，发现线段的中点表示的数为．在（2）的条件下，将，的中点分别记为点，，在运动过程中，线段的长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】探究发现：； 迁移应用：（1）；（2）的值为秒或秒； 拓广探索：不变，． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、绝对值方程的求解以及动点问题的分析，熟练掌握数轴上两点距离公式和中点坐标公式是解题的关键． 探究发现：利用数轴上两点距离公式，代入点、表示的数即可求出线段的长度． 迁移应用：（1）直接套用两点距离公式，用含的代数式表示与两点间的距离． （2）先根据点的运动速度和时间表示出点的坐标，再代入距离公式得到的表达式，结合列方程求解． 拓广探索：先根据中点坐标公式表示出、两点的坐标，再计算的距离，观察其表达式是否含时间，从而判断长度是否变化． 【详解】解：探究发现： ； 迁移应用： （1）； （2）∵点从点出发，速度为个单位/秒，运动时间为秒， ∴点表示的数为， ∴， ∵，且， ∴， ∴或， 解得或， ∴的值为秒或秒； 拓广探索：线段的长不变，为，理由如下： ∵为的中点，表示的数为，表示的数为， ∴表示的数为， ∵为的中点，表示的数为，表示的数为， ∴表示的数为， ∴， ∴线段的长不变，为 【典例9】．（24-25七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴， 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或或， 即或或， 解得：或或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或或． 【典例10】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)8，2； (2)； (3)或4； (4)长度不变化，为4． 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴动点问题，根据题意分析动点运动情况进行解题． （1）根据数轴上线段长度的计算方法，用点表示的数减去点表示的数，即为的长；根据中点的性质，确定出中点到点和点的距离，确定中点位置即可； （2）用含的表达式表示、，结合相遇问题，得出方程，解出时间即可； （3）做分类讨论，对相遇前和相遇后都进行计算分析，注意区分相遇前和相遇后的长度计算方式； （4）考虑点经过点和未经过点的情况，用含的表达式表示相关长度，计算的长度； 【详解】（1）解：∵表示，表示， ∴的长度为， 故的长度为， 则中点中点表示的数为 ∴中点表示的数为． （2）解：的长度为，的长度为， 若、点相遇，则， 即，解得． （3）在、点未相遇的情况下： ， 若，即， 解得； 在、点相遇后的情况下： ， 若，即， 解得； 故当的值为或时，． （4）解：当点未经过点时： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 当点经过点后： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 所以长度不会发生变化，的长度始终为． 【变式1】．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离________，线段的中点C表示的数为_________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10；；②；； (2)1或3 (3)解：不变， ∵数轴上点A表示的数为，点P表示的数为，点M为的中点， ∴点M表示的数为， ∵点B表示的数为8， 点N为的中点， ∴点N表示的数为， ∴， 即点P在运动过程中，线段的长度不变，线段的长为5． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式、与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据“数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为”，即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离公式可得，再根据，即可求解； （3）根据数轴上线段中点的公式，可得点M，N表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8， ∴；线段的中点C表示的数为； ②根据题意得：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为； （2）解：∵点P表示的数为；点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或3， 即当t为1或3时，； （3）略 【变式2】．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【答案】(1)15，，0和5； (2)4或1； (3)3秒或秒或10秒． 【知识点】线段n等分点的有关计算、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上的翻折、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）由知线段的长为15；由，知线段的中点表示的数为；列式计算可得线段的三等分点表示的数为0和5； （2）设点表示的数为，可得表示的数为，故，解得或，即点表示的数为4或1； （3）设运动时间为秒，当时，表示的数为，求出，可得或，当时，表示的数为，可得或，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， 线段的长为15； ， 线段的中点表示的数为； ，， 线段的三等分点表示的数为0和5； （2）解：设点表示的数为， 将数轴沿点向右对折，点恰好与点重合， 是的中点， 表示的数为， ， ， 或， 解得或， 点表示的数为4或1； （3）解：设运动时间为秒， 根据题意，表示的数为，，点Q先向左运动时表示的数为， 由，得， 即时，点Q与P相遇， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得或； 当，相遇时，，相遇点表示的数为0， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为3或或10； 运动时间为3秒或秒或10秒． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 【答案】(1)或 (2) (3)， (4) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、线段中点的有关计算、整式的加减运算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由两点间的距离可得，再解方程求解； （2）根据到两点距离相等的点是线段的中点，结合数轴可得答案； （3）根据两点之间，线段最短，结合数轴可得答案； （4）根据m的取值范围，画图，再去掉绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：数轴上点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度， ； 或， 解得：m为或， （2）解：如图，记表示，表示，对应的数为， ∴与的值相等， 即， 此时对应的数为：； （3）解：如图，记表示，表示，表示，对应的数为， ∴， ∴当重合时，即，有最小值， 最小值为； （4）解：点P位于表示的点左侧，如图， ∴ ； 【点睛】本题考查了绝对值，数轴上两点的距离，以及绝对值方程，整式的加减运算，线段的中点的含义，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． 题型五、动点＋中点结合（判断线段长度是否变化） 【典例11】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长度不发生变化，长度为 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的有关计算，掌握线段间的数量关系是解题的关键． （1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，，进而求解即可； （2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变． 【详解】（1）解：，，， ， 点是的中点，点是的中点． ，， ； （2）线段的长度不发生变化． 理由如下： 点是的中点，点是的中点， ，， ， 线段的长度不发生变化，长度为． 【典例12】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值24； (3)． 【知识点】两点间的距离、列代数式、与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可； （2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论； （3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解． 【详解】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴， ， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵，，， ∴， 即为定值24． （3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧． ∵，，，， ∴， 所以MN的长度无变化是定值． 【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度． 【典例13】．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）【问题情境】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点A，再向右移动2个单位长度到达点B，然后再向右移动4个单位长度到达点C． 【问题探究】 （1）点A到点B的距离 ，点A到点C的距离 ； 【拓展探究】 （2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，N从点B，点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（）． ①若点M是线段PN的中点，求运动时间t的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）2，6（2）①1 ②不变，值为10 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式的加减运算、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据动点移动的距离即可确定两点之间的距离； （2）①表示出各点所表示的数，然后根据中点列出方程求解即可； ②表示出两点之间的距离，整理代数式即可求出结果． 【详解】解：（1）∵先向左移动1个单位长度到达点A，再向右移动2个单位长度到达点B， ∴； ∵再向右移动4个单位长度到达点C ∴； 故答案为：2，6； （2）①根据题意得， 点A所表示的数是，点B所表示的数是，点C所表示的数是， 运动时间为t秒时，点P所表示的数是，点M所表示的数是，点N所表示的数是， 根据题意得，， 解得， ∴运动时间t的值为1； ②的值不会随着时间t的变化而变化，理由如下： ，， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而变化． 题型模版 通法：用参数表示动点位置，再表示中点，最后相减看是否消去参数。 【变式1】．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ； (2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值； (3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)8或24 (3) ， 理由：当点P在线段AB的反向延长线上时，， ∵，， ∴． 【知识点】与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解； （2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解； （3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵ M为AP的中点，， ∴ ， ∵线段，N为BP的中点， ∴． 故答案是：2； （2）解：①当点P在线段AB上，时，如图， ∵，， ∴，解得：． ②当点P在线段AB的延长线上，时，如图， ∵，， ∴，解得：． 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24． （3） 略 【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键． 【变式2】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长 (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列结论：①的长度不变；②的值不变．其中正确的结论是__________，请求出其值． 【答案】(1)或； (2)当点在射线上运动时，出发秒后； (3)①，12． 【知识点】列代数式、与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段中点以及线段的和差，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先表示出，再根据点的位置分别表示出的长即可； （2）根据题意得，根据点的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （3）当点在线段的延长线上运动时，根据线段中点，得到，，再计算线段的和差即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为秒，则， 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上可知，的长为或； （2）解：，点为的中点， ， ①当点在线段上时，此时，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，此时，， ，此方程无解； 即当点在射线上运动时，出发秒后； （3）解：当点在线段的延长线上运动时， ，， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， 的长度不变，①结论正确； ，， ， 的值是变的，②结论错误． 【变式3】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒． (1)当t＝6时，AC＝　 　． (2)用含t的式子表示线段AC的长； 当0≤t≤5时，AC＝　 　； 当5＜t≤10时，AC＝　 　． (3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长， 【答案】(1)8 (2)，； (3)的长度不变，长度为5 【知识点】两点间的距离、与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据点的运动速度和可得答案； （2）根据路程速度时间可求的长度； （3）分情况讨论，再根据线段中点的定义可得答案． 【详解】（1）当时，动点运动了个单位， ， ． ． 故答案为：8； （2）当时，； 当时， ． 故答案为：，； （3）当时， ； 当时， ； 故的长度不变，长度为5． 【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先确定，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由图可得， ∵点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴ 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查线段中点的性质与线段长度的计算，关键是利用“中点将线段分成相等的两段”这一性质，结合线段的和差关系进行推导． （1）先根据中点定义得到线段的一半关系，再结合线段和的规律，将转化为的一半来计算； （2）先通过线段差求出的长度，再利用中点性质得到、的表达式，最后计算两者的比值． 【详解】（1）解：是的中点， ， 是的中点， ， ； （2）解：，，， ， 、分别为、的中点， ，， ． 3．追本溯源 题（1）来自课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的___________，___________ 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有两点，是的中点，．求线段的长． 【答案】（1）中点，；（2） 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键： （1）根据中点的定义，作答即可； （2）中点求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）点把线段分成相等的两条线段与，点叫做线段的中点，； （2）， ， ∵D是的中点， ， ∴． 4．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点，，求的长． 【答案】(1)6 (2)1 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差； （1）由线段中点得的长，再由中点得的长，由即可求解； （2）由（1）及已知可得的长，由即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，由（1）知，， ∴， 由（1）知， ∴． 5．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)是定值，值为2 【知识点】数轴上两点之间的距离、多项式的项、项数或次数、整式加减的应用、线段的和与差 【分析】本题考查了数轴上动点问题、多项式的定义，根据二次多项式的次数及系数，掌握数轴上两点间的距离的表示方法，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据代数式是关于的二次多项式，得出，代数式，二次项的系数为．得出，由．可列方程求解即可； （2）设点P的出发时间为t秒，则，，，，，当时，根据线段的和差得到，，即可求出比值；当时，此时点Q与点A重合，，点F对应的数值为，点E对应的值为，进而得出，，即可求出比值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 6．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知、在线段上． (1)如上图，图中共有__________条线段； (2)如下图，，是的中点，是的中点，求的长度． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】线段的和与差、直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的定义，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数； （2）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． 【详解】（1）解∶图中共有6条线段，分别是、、、、、， 故答案为：6； （2）解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴ ∴． 7．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）数轴上有，，三点，点，表示的数分别为，，点在点的右侧，点是的中点，． (1)如图1，若，． ①点表示的数为________，点表示的数为________； ②如图2，线段（点在点的左侧，），线段从点出发，以1个单位每秒的速度向点运动（点不与点重合），点是的中点，点是的中点，在运动的过程中，的长度始终为1，求的值； (2)若，，试求线段的长． 【答案】(1)①4，；② (2)3 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了数轴的简单应用，线段中点的定义，利用点在数轴上对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）①利用数轴上的点对应的数字和线段中点的定义解答即可；②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用列出方程，解方程即可得出结论； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而得到的值，利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：①， ． ， ， ∴点C对应的数字为， ∵点D是的中点， ， 设点D表示的数为x， ， ． ∴点D表示的数为． 故答案为：，； ②设运动的时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为． ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为． ∵， ∴，解得或， ∵， ∴． （2）解：∵点，表示的数分别为，，点在点的右侧，， ∴点表示的数为，，． ∵点是的中点， ∴，． ∵， ∴， 解得， ∴． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为﹣2和8． （1）线段AB的长为 ； （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒， ①当0＜t＜10时，PA＝ ，PB＝ ，点P表示的数为 ； ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度． 【答案】（1）10；（2）①t ，10－t，﹣2+t ；②MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、与线段有关的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】(1)用右边的数减去左边的数，化简即可； (2)①利用路程=速度×时间计算PA，根据线段和的意义，计算PB；利用x-(-2)=t计算；②根据线段中点的意义，线段和的意义，化简计算即可. 【详解】解：（1）AB=8-（-2）=10，故应填10； （2）①0＜t＜10时， ∵速度为每秒1个单位， ∴t秒时运动路程为PA=t； ∵PA+PB=AB=10， ∴PB= 10－t， 设点P表示的数为x, 则x+2=t， ∴x=t-2, ∴点P表示的数为﹣2+t ； 故依次填t，10-t，-2+t； ②MN的长与点P的运动时间t无关． 当0＜t≤10时，PA=t，PB= 10－t ， 又∵点M、N分别是PA、PB的中点， ∴PM=，PN=， ∴MN=PM+PN= 当t＞10时，PA=t，PB=t－ 10 ， 又∵点M、N分别是PA、PB的中点， ∴PM=，PN=， ∴MN=PM－PN= 综上所述，MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，熟练运用两点间距离公式，线段和的意义，线段中点的意义是解题的关键. 9．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点，，是数轴上三点，点为原点．点对应的数为6，，． (1)求点，对应的数； (2)动点，分别同时从，出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．点在线段上，且，点为线段的中点，设运动时间为（）． ①求点、对应的数（用含的式子表示）；②为何值时，． 【答案】(1)点A对应的数为，点B对应的数为2 (2)①点M、N表示的数分别为、；②当为或时， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用）、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，中点公式，一元一次方程的应用等知识． （1）根据点对应的数及，利用两点的距离等于大数减小数，即可求得点B表示的数；根据点B表示的数及，利用两点的距离等于大数减小数，即可求得点A对应的数； （2）①先求出P、点Q对应的数，利用中点公式即可求得M、N两点表示的数； ②表示出，根据条件建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点对应的数为6，， ∴点B表示的数为； ∵， ∴点A表示的数为； 故点A对应的数为，点B对应的数为2； （2）解：①点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵，点为线段的中点， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为：； 即点M、N表示的数分别为、； ②，， ∵， ∴， 解得：或， 故当为或时，． 10．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． (2)①长度不变，； 【知识点】与线段有关的动点问题、整式加减的应用 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ② 略 （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 11．如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值； (2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长； (3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：设运动时间为，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    当点P在点B右边时， ∵，， ∴， ∴； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 12．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足． （1）点表示的数是___________，点表示的数是____________． （2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？ （3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？ 【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5； （2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可； （3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵满足， ∴a+2＝0， b﹣5＝0， ∴a＝﹣2，b＝5， 即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5； 故答案为：﹣2，5； （2）AB＝5﹣（﹣2）＝7， 设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度， 则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ， 列方程得，7﹣3x﹣x＝3， 解得：x＝1， 答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度； （3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t， ∵AP的中点为M，BQ的中点为N， ∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t， 如图1，当点P、M都在点B的左侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（7﹣3t）， 解得：t＝1； 如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时， BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴7﹣t +7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝； ③如图3，当点P、M都在点B的右侧时， BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t， ∵BM+AN＝3PB， ∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7）， 解得：t＝（舍去）； 综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程． 13．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 【答案】(1)16，24． (2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、线段之间的数量关系 【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可； （2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可； （3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，AB=AC+BC，AC=8m， ∴8+BC=，解得：BC=16m， ∴AB=×16=24m． 故答案为：16，24． （2）解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前， ∴6x={8+2x），解得x=． 答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． （3）解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=； 当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x ． 答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键. 14．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段检测）如图：点O是线段上一点，且，P，Q两点分别从点O，M同时出发以，的速度沿直线向右运动，后，点P，Q恰好分别为，的中点． (1)求的长度； (2)试求与的数量关系； (3)若运动后，P，Q两点到O点的距离相等，求t的值． 【答案】(1)40cm (2) (3) 【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用： （1）先求出，，则由线段中点的定义可得； （2）先求出，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别表示出，即可得到结论； （3）分当点是线段的中点时，两点到点的距离相等，当点重合时，点在线段的延长线上，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，后，， 点恰好分别为的中点， ； （2）解：∵ ∴， ∴， 当点在线段上时，， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 综上，； （3）解：当点是线段的中点时，两点到点的距离相等， ∴， 解得； 当点重合时，点在线段的延长线上， ， 解得（不合题意，舍去）． 综上，． 15．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）已知，线段AB上有三个点C、D、E，，，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持． （1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长； （2）如图2，点F为线段BC的中点，，求AE的长； （3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【知识点】线段的和与差、动点问题（一元一次方程的应用）、与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由，，求解，再利用E为BC中点，求解 再求解 最后利用，从而可得答案； （2）由点F为线段BC的中点，求解，再求解，，再利用，即可得到答案； （3）如图3，以为原点建立数轴，则分别表示先确定的最长运动时间，再在运动后，表示对应的数为 对应的数为 求解，再分两种情况列方程即可得到答案． 【详解】解：（1）如图1， ，， E为BC中点时， , （2）如图2， 点F为线段BC的中点， ， （3）如图3，以为原点建立数轴，则分别表示 由运动开始前： 的最长运动时间为： 运动后，由题意可得：对应的数为 对应的数为 当时， ， 经检验：符合题意， 当时， 经检验：符合题意， 综上：当或时，AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $