专练35 余角与补角&专练36 角度计算中的数学思想(一) 方程思想-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

35 专练35余角与补角 【方法规律】熟练掌握余角和补角的定义，根据等角的余角相等、等角的补角相等确 定角与角之间的关系 ⑦典创导练 示范题 如图，直线AB,CD相交于点O,OF平分∠AOE,OF⊥ CD,垂足为O. A (1)写出图中所有与∠AOD互补的角. 0 (2)若∠AOE=120°，求∠BOD的度数， 【思路点拨】(1)根据补角的定义确定出∠AOC和∠BOD,再根据角平分线的定义可 得∠AOF=∠EOF,根据垂直的定义可得∠COF=∠DOF=90°，然后根据等角的余角相 等求出∠DOE=∠AOC,从而最后得解. (2)根据补角的定义求出∠BOE,再由(1)中∠DOE=∠AOC=∠BOD,求出 ∠BOD. 【自主解答】 之知能检测 如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,若∠FOC=90°，∠AOF=x. (1)若x=32°18'40”，求∠EOD的度数 (2)图中∠AOF的余角有哪些？ D 36 专练36角度计算中的数学思想（一）方程思想 【方法规律】求角度大小问题中，有多个未知角，且它们与某一个角有关，这时我们设 这个角为x,根据角的和、差、倍、分关系列方程求解 ③典例导练 示范题如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上， OD平分∠AOF,OF平分∠AOE,求∠BOE的度数. 【思路点拨】设∠AOD=x,则∠DOF=x,∠EOF=90°-x,列方 程即可求得. 【自主解答】 心知能检测 1.如图，已知∠AOC:∠BOC=3:11,OD平分∠AOB,且∠COD=28°，求∠DOB的度数. 2.如图，点O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，2∠BOE= ∠EOC,∠DOE=72°，求∠EOC的度数商品的每个进价分别是x元和×(x一800)=420，解得：x=3800. (30+x)元，4(30十x)十5.x=570, 答：这笔稿费为3800元. 解得x=50, 专练27特殊法解二元一次 答：毛绒公仔、3D钥匙扣两种商品 方程组 的每个进价分别是80和50元. 典例导练 (2)设毛绒公仔买了x个，80x+ ②-①得：x+y=1,变形得x=1 50(60-x)=4200,解得x=40, -y③，将③代入②得：2025(1-y) 设3D钥匙扣的每个售价为y元， +2026y=2,解得：y=-2023,把y 由题意得：(100-80)×40+20(y =一2023代入③得：x=2024,则方 50)=4200X25%,解得y=62.5. x=2024 程组的解为 答：每个3D钥匙扣的售价为625元 1y=-20231 专练25一元一次方程的实际 知能检测 应用（四）几何图形问题 1.设x十y=m,x一y=n,原方程组 典例导练 m+=1 m=3 设计的长边不符合实际情况，理 可化为 3+2 ,解得 n=0 由如下：设篱笆的长为xm,宽为 2m-3m=6 (x-5)m,由题意得，x+2(x-5) 即/x+y=3 x= 3 2 =35,解得x=15,.15>14,.设 y=0解得 .原 计的长边不符合实际情况， y-2 知能检测 3 号xamxm(号x+1)am x一 方程组的解为 (2)由题意可得：号x+100=4× y2 15x-2y=3 2.由已知可得 (2×合x+27）解得x=21. 1x-4y=-3' 解得 答：天头长为24cm. 一起二代入下的两个 专练26一元一次方程的实际 方程组成的方程组 /mx+5y=4 应用（五）分段计费问题 5.x+y=1 典例导练 m+5=4 m=-1 (1)48 得 解得 5+n=1 n=-4 (2)设三月份用水xm3,则四月份 3.2:3:1 用水(15-x)m3.①四月份用水超 专练28 二元一次方程组的应用（三） 过6m3不超出10m3.2x+6×2+ 利润、方案问题 4(15-x-6)=44.解得：x=2.. 典例导练 15-x=13(不符合题意，舍去)； (1)设1辆A型车载满货物一次 ②四月份用水超过10m3.2x+6 可运货x吨，1辆B型车载满货物 ×2+4×4+(15-x-10)×8= 次可运货y吨，依题意得： 44.解得：x=4.∴.15-x=11. 2.x+y=13 /x=4 综上，三月份用水4m3,则四月份 x+2y=14:解得： y=5 用水11m3 答：1辆A型车载满货物一次可 答：三月份用水4m3,则四月份用 运货4吨，1辆B型车载满货物一 水11m3. 次可运货5吨： 知能检测 (2)依题意得：4a十5b=45,.∴.b=9 (1)224(2)440 4 (3)设稿费为x元，由题意得：14%一5a,又“a,b均为自然数， 6 |a=0 AB=号AB∴AB=-25 3种租车方案，方案1：租用9辆B 专练30线段计算中的数学 型车，所需总租金为150×9= 思想（一）方程思想 1350(元)；方案2：租用5辆A型 典例导练 车，5辆B型车，所需总租金为 设每一份为x,则MB=2x,BC= 110×5+150×5=1300(元)；方 3.x,CN=4x,因为MN=36cm,所 案3：租用10辆A型车，1辆B型 以2x十3x+4x=36,解得x=4, 车，所需总租金为110×10+150 所以CN=4×4=16(cm),因为P ×1=1250(元)..1350>1300>： 是MN的中点，所以PN=号MN 1250,∴.最省钱的租车方案为：租 用10辆A型车，1辆B型车，最 -号×36=18(cm),所以PC- 2 少租车费为1250元. PN-CN=18-16=2(cm). 知能检测 知能检测 145 1.C 专练29与线段有关的计算 2.(1)DB=1. 典例导练 (2)设BD=x,则AB=4x,CD :AB=20,BC=号AB.DA=号 =3.x,所以BC=DC-DB=3x -x=2.x,所以AC=AB+BC AB,∴.BC=10,DA=30,AC=30, =4x十2.x=6x,因为点E为线 ,M是DA的中点，N是AC的 中点， 段AB的中点，所以BE-=号AB M=号DA=15,NM=号AC =号×4女=2x,所以BC=BE+ =15,.MN=MA+NA,∴.MN BC=4x=12,解得x=3,所以AC =30. =6x=6×3=18. 知能检测 专练31线段计算中的数学 1.AD-AC.:DC-- 思想（二）分类讨论思想 典例导练 而C是线段AB的中点，.AC AM=6cm,点M是线段AC的 =合AB.DC=号×号AB= 中点，∴.AC=12cm,设BC=xcm, 则AB=5.xcm 号AB,又：CE-DE-DC∴CE ①当C在线段AB上时，AC=AB- =号AB-号AB=号AB-号 BC=5x-x=4x,∴.4x=12,'.x= 3,∴.AB=5x=15; 24=8,故线段CE的长为8cm ②当C在线段AB的延长线上 2..AC:BC=3:2,AC+BC= 时，AC=AB+BC=5x+x=6.x, AB.:AC-AB. ∴.6x=12,x=2,.AB=5x=10. 综上，AB=10cm或15cm. ,E为AC的中点，∴.AE=CE 知能检测 -合AC-号AB.:点D为ABID6 (2)分两种情况：当点P在线段 的中点，.AD= 合AB,:ED AB上时，如图1： =5,ED=AD-AE=号AB AP C MO N 图1 65 ,PA=2cm,AB=30cm,∴.BP=(2)①当点P在点A左侧时，PA AB-AP=30-2=28(cm),.点 <PB,不合题意，舍去；②当点P Q为BP的中点， 位于A、B两点之间时，因为PA= .QB-BP-14em.B- 2PB,所以x十1=2(3-x),所以x 9cm,..QN=QB-BN=5cm; 号：③当点P位于点B右侧时， 当点P在线段BA的延长线上：因为PA=2PB,所以x十1=2(x 时，如图2： 3).所以x=7.故x的值为号或7 PA C OM B 图2 (3)t秒后，点A的值为(-1-t), '.'PA=2cm,AB=30cm, 点P的值为2t,点B的值和(3+ ∴.BP=AB+AP=30+2= 3t),所以3PB-PA=3(3+3t 32cm,,点Q为BP的中点， 2t)-[2t-(-1-t)]=9+3t QB=号BP=16cm,:BV (2t+1+t)=9+3t-3t-1=8.所 以3PB一PA的值为定值，不随时 9cm,∴.QN=QB-BN=7cm.综间变化而变化. 上所述，QN的长度为5cm或7cm. 知能检测 专练32线段计算中的数学 思想（三）整体思想 专练34与角有关的计算 典例导练 典例导练 ,M是AB的中点，N是CB的中点，因为∠BOD=90°，∠COD=25°， f号A.BN=2CB.AC=m 所以∠BOC=65°，因为OC平分 /BOE,所以/COE=/BOC= :=MBN=合AB-吉C- 65°，因为∠COD=25°，所以 ∠DOE=40°，所以∠AOD=1801 (AB-BC)-7AC-- 1 n. -∠DOE=180°-40°=140°. 知能检测 知能检测 1.因为AE=12,BD=5, 1.12130 所以所有线段的和为AB+AD2.(1):∠B0C=100,∴∠AOC= +AE+BD+BE+DE=(AB 180°-100°=80°，.OM平分 +BE)+(AD+DE)+AE+ ∠A0C.∠coM=2∠AC- BD-AE+AE+AE+BD-12 40°，，∠COD=90°，.∠MOD= +12+12+5=41. 90°-∠COM=50°. 2.,点E、F分别是AC、BD的中 (2),∠BOP与∠AOM互余， 点，CE=AC,DF=BD, ∴.∠BOP+∠AOM=90°， .AB=m,CD=n,.'.AC+BD= .∠AOB=180°，∴.∠MOP= m-n.:.CE+DF-j(m-. 180°-90°=90°，，OM平分 .EF=CE+DF+CD,∴.EF ∠A0C ∠AOC,∠COM=号 1 =40°，∴.∠COP=∠MOP =2(m-n)+n=2(m+n）. ∠COM=90°-40°=50°. 专练33线段计算中的数学 专练35余角与补角 思想（四）数形结合思想 典例导练 典例导练 (1).直线AB,CD相交于点O, (1)-13 ∴.∠AOC和∠BOD与∠AOD互 % 补，：OF平分∠AOE,∠AOF +x十2x=180°，解得x=36°， =∠EOF,,OF⊥CD,∴.∠COF ∴.∠EOC=2x=72°. =∠DOF=90°，∴.∠DOE= 专练37角度计算中的数学 ∠AOC,∴.∠DOE也是∠AOD 思想（二） 分类讨论思想 的补角，综上所述，与∠AOD互 典例导练 补的角有∠AOC,∠BOD, 24°或36或489 ∠DOE. 知能检测 (2)∠AOE=120°，∴.∠BOE= 1.5或55 180°-∠AOE=60°，由(1)2.(1)9060100 ∠DOE=∠AOC=∠BOD,. (2)20°如图，当射线OE在 ∠BOD=∠DOE=30°. ∠AOB内部时，∠BOE= 知能检测 ∠AOB-∠AOE=60°-40°= (1).∠FOC=90°，.∠FOD 20° 90°，.∠AOD=90°-321840" 专练38角度计算中的数学 5741'20",.OE平分∠AOD, 思想（三）整体思想 ∠EOD= 典例导练 2 ∠A0D=28°50 40”. ∠MON=∠M0C-∠ON= (2).'∠AOD=∠BOC,∠FOD= (ZBC-∠A00=2∠A0B=45 90°，∴.∠AOF的余角有∠AOD ∠BOC. 知能检测 专练36角度计算中的数学 1.,∠AOB=180°，∠COD=90°， 思想（一）方程思想 ∴.∠AOC+∠BOD=90°， 典例导练 .OE平分∠AOC,OF平分 设∠AOD=x,,OD平分∠AOF ∠B0D,∴∠C0E-号∠A0C, ∴.∠DOF=x,∠DOE=90°， .∠EOF=90°-x,OF平分 ∠DOF=号∠BOD,:∠EOF ∠AOE,∴.∠EOF=∠AOF,∴.x十x =∠COE+∠COD+∠DOF, =90°-x,.x=30°，∴.∠BOE=180 -∠AOD-∠DOE=180°-30° ·∠E0F=7∠A0C+90°+ 90°=60°. 3∠B0D= X(∠AOC+ 知能检测 1.设∠AOC=3.x,∠BOC=11x, VB0D)+90°=×90°+903 ∴.∠AOB=14x, =135°. .OD平分∠AOB,∴.∠AOD 2.(1)6 =∠BOD=2∠AOB=7x, (2),∠COD=m°，∠AOB=n°， 又∠AOC=3x,∴.∠COD= ∴.∠AOC+∠AOD+∠AOB+ 7x-3x=4x=28°，解得：x= ∠COD+∠COB+∠DOB= 7°，.∠BOD=7x=49° (∠AOC+∠COB)+(∠AOD 2.设∠BOE=x,则∠EOC=2x, +∠DOB)+∠AOB+∠COD ,OD是∠AOB的平分线， =∠AOB+∠AOB+∠AOB+ ∠DOE=72°，∴.∠DOB= ∠COD=3∠AOB+∠COD= ∠AOD=72°-x,.2(72°-x) 3n°+m°. 67 《学情监测》参考答案 学情监测（一） (升)， 1-5 ADCCC 6-10 BCBCC .195>180 11.312.-1或513.1 ∴.收工前需要中途加油，195一 14.(1)0.6(2)-3 180=15(升)， 15.(1)5-2.512.5-4 答：应加15升. (2)-4<-2.5<1<2.5<5. 22.(1)1-3+5-7+9-11+13-15 16.(1)原式=-32； +17-19+21-23=-12 (2)原式=-18； (2)-8091 -4046 (3)原式=-9片 (3)原式=-71. 23.(1)2(2)-3若-1表示的点 17.佳佳的解题过程不正确，计算 与3表示的点重合，则折痕为 如下：50÷（号-+》 -1+3=1, =50(危+》 ①5表示的点与一3表示的点 重合： =50÷ ②设折痕为点C,则AC=BC=6, =50×6 ∴.点A表示的数为1-6=一5， =300. 点B表示的数为1+6=7. 18.由题意，得a+b=0,cd=1,e 学情监测（二） =0, 1-5 CDCBD 6-10 BBCBD ∴.2024(a+b)+cd+2024e=011.-x3y-3.x2+2xy2-1 +1+0=1. 12.113.1814.7 19.由题意，得x=3,y=-3或x15.(1)50%(3 m -m): =-3,y=1, x十y=0或x十y=-2. 2)-: 20.(1)10月2日人数最多；10月 6日人数最少： (3)b ab· 它们相差：0.78-(-1.6)=16.(1)原式=4x-2y. 2.38(万人) (2)原式=-2a2+b2, 答：游客最多的人数与最少的17.原式=一2m2; 人数的差是2.38万人； 由(m-3)2+|n+1|=0,解得 (2)1.9×7+0.78+0.18-0. m=3,n=-1, 06-0.1-1.6-1.15=11.35 当m=3,n=一1时，原式=一6. (万人 18.2x2+my-12-(n.x2-3y+6) 答：来贵州乌江源百里画廊景区 =(2-)x2+(m十3)y-18, 旅游的游客共有11.35万人. 由题意，得2-n=0,m十3 21.(1)+15+(-2)+5+(-1)+ 0,解得n=2,m=-3, (-10)+(-3)+(-2)+12+4: m+n+mn=2+(-3)+2X +(-5)+6=19(km), (-3)=-7. 答：检修小组在A地东边，距A 地19千米： 19.2 (2)(+15+|-21+5+1-1|+|20.(1)地面总面积=3×4+2y+ -101+|-31+|-21+12+4+ 3×2+6x=(18+6x+2y) -5|+6)×3=65×3=195m2; 68 (2)铺1m地砖的平均费用为 所以A-2B+3C+4D-6E= 80元，当x=4,y=1.5, x-8-2(x-7)+3.x+4(x+ 铺地砖总费用=(18+6×4+ 7)-6(x+8)=x-8-2.x+14 2×1.5)×80 +3.x+4.x+28-6x-48=x十 =(18+24+3)×80 4x+3x-2x-6.x+14+28- =3600(元) 48-8=-14, 答：铺地砖的总费用为3600元 故代数式A-2B+3C+4D- 21.(1)略(2)x2 6E的值是定值，为-14. (3)理由如下： 学情监测（三） 当输入数据为x时，将进行以1一5 CCDBC6-10 ADBAB 下计算， 11.4312.-2或-413.16 号[6(-+32+2月 14.(1)x=160 (2)x= 2021(n+1) -3(-x+3r+6x) 15.(1)解：6-3(x-1)=2,去括 =x2. 号，得6一3x十3=2.移项、合 22.(1)根据题意可得，方案一需 并同类项，得一3x=一7.系数 付款为20×200+(x-20)× 50=(50.x+3000)元； 化为1，得一子 (2)x=12. (2)根据题意可得，方案二需 付款为20×200×0.9+x×50 16.(1)/x=-1 y=3 (2)/x-1 y=-11 ×0.9=(45.x+3600)元： (3)当x=30时，方案一需付17. 解方程组 x+y=3 款，50×30+3000=4500（元）， xy=1得 x=2 方案二需付款，45×30+3600 y=1 =4950(元)， 代入方程组 (mx+ny=8 因为45004950， 所以方案一更划算. mxy=4得 2m+n=8 23.甲同学方法：设A=x,则B= 2m-n=41 x+1,C=x+8,D=x+15,E 解得m=3,n=2. =x+16, 18.设x人剪筒身，则(50-x)人 所以A十B+C+D+E=x十 剪筒底 x+1+x+8+x+15+x+16 根据题意，得120×(50-x)= =5.x+40=5(x+8), 2×40.x. 所以5x十40能被5整除， 解得x=30. 故这五个数的和能被5整除； 则50-x=20(人). 乙同学方法：设C=x,则D=x十 答：30人剪筒身，则20人剪筒底 7,E=x+8,B=x-7,A=x-8, 19.设该汽车专卖店1月份A款 所以A+B+C+D+E=x-8 电动汽车的销售额为x万元， +x-7+x+x+7+x+8=5x, B款电动汽车的销售额为y 所以这五个数的和能被5整除； 万元，根据题意得： 代数式A-2B+3C+4D-6E x+y=400 的值是定值，理由如下：设C= 1(1+306)x+(1-2060y=400+101 x,则D=x十7，E=x十8，B= /x=180 x-7,A=x-8, 解得： y=220 69