专题10 全等三角形判定 压轴专题（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册
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内容正文：
专题10 全等三角形判定 压轴专题
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等的性质和SAS综合
题型二、全等的性质和ASA（AAS）
题型三、全等的性质和SSS综合
题型四、全等的性质和HL综合
题型五、条件探索（补充条件判全等）
题型六、全等三角形综合问题
题型七、全等三角形基础综合压轴
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
（一）第一步：锁定目标，明确需证的全等对
先读清要证的结论（证边相等、证角相等，还是证线段和差），据此反推：要得出该结论，需要哪两个三角形全等、由哪组对应元素入手。目标三角形选错，后面全盘皆输。
（二）第二步：挖掘隐含条件，补齐已知元素
把题干给出与图形中蕴含的条件全部列出（公共边、公共角、对顶角、平行线导角、角平分线、中点、垂直等），判断还缺哪一组元素。隐含条件是压轴题设置的核心障碍。
（三）第三步：依据已知元素选判定方法
按"一（二）"的选择表锁定判定方法。原则是：能用已有元素直接匹配的优先，缺哪组元素就优先构造哪组（作辅助线）。
（四）第四步：规范书写"因—果"证明链
按判定条件逐条书写"因为…所以…"，把满足的每组对应元素依次写出，最后下全等结论。书写顺序必须与判定条件一致（如SAS先写两边、再写夹角），保证阅卷采分点完整。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等的性质和SAS综合
【典例1】．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
证明：∵为的角平分线，
，
在和中，
，
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形角平分线的定义
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由角平分线的性质得出，即可利用证明．
（2）由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的定义和性质即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
，
，
．
【典例2】．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
(2)
证明：∵，
∴，
∴．
【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．
（1）由可证出，再利用判定全等即可；
（2）利用全等三角形的性质得到，即可判定出平行．
【详解】（1）略
（2）略
【典例3】．如图，两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中，B，C，E在同一条直线上，连结．
(1)求证：．
(2)指出线段和线段的关系，并说明理由．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴
(2)
线段和线段的关系是：垂直且相等．
证明：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即∴，
∴，
∴线段和线段的关系是：垂直且相等．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）根据证明即可；
（2）线段和线段的关系是：垂直且相等．理由全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）略
（2）略
题型模版
两边及其夹角对应相等，夹角必须是两边的夹角
【变式1】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在和中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点．
(1)求证：
(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)
证明：，
，即，
在和中，
；
(2)
理由如下：
，
，
，
，
．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键．
（1）利用“”可判断；
（2）利用得到，再根据三角形内角和得到，即可判断．
【详解】（1）略
（2）略
【变式2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
解： 平分 ，
，
又 ，
．
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）先求解，再结合全等三角形的性质可得，再进一步求解即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解： ，
，
由 （1）知
，
．
【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，是延长线上一点，且，过点作，使，连接并延长，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
证明：，
，
在和中，
，
；
∴；
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）利用“”证明全等即可；
（2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：，，，
，
，
．
题型二、全等的性质和ASA（AAS）
【典例4】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，，，，，，则______．
【答案】/30度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的外角性质可得，根据推出，证明，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：，，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：．
【典例5】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，和按如图位置摆放，，，，在同一直线上，已知，，，．若，，，则的长为______．
【答案】6
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，三角形内角和性质，先结合，，以及三角形内角和性质，得，又因为，，，证明，故，，最后把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
【典例6】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
证明：，，
，
又，
，
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质，解题的关键是熟悉掌握全等三角形的性质和证明．
（1）由，，得到，根据等量代换即可得证；
（2）根据等角的补角相等得到，从而证明，得到，再根据，，即可得解．
【详解】（1）略
（2），，，
，
在和中，
，
，
，
又，，
，
．
题型模版
两角及其夹边对应相等，夹边位于两角之间
【变式1】．（2024八年级上·安徽亳州·期末）如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为__________m．
【答案】14
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出．
【详解】解：，
．
在和中，
∴，
，
，
，
故答案为：14．
【变式2】．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）线段，射线在的内部，点D，E都在射线上．
(1)如图1，，，，求证：；
(2)如图2，，试问与全等吗？说明理由．
【答案】(1)证明：，，
．
．
，
．
．
在与中，
，
；
(2)解：；
理由：在中，，，
．
又，
．
同理可得：．
在与中，
，
．
【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】（1）利用证明即可；
（2）利用证明与全等即可.
【详解】（1）略
（2）略
【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
(2)
证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
（1）首先推导出，然后根据证出；
（2）求出，证，推出，即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）略
题型三、全等的性质和SSS综合
【典例7】．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，A，B，C，D四点在一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明：，
，即．
在和中，
，
，
．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】证明，即可求证．
【详解】略
题型模版
三边对应相等，三条边都需找到等量关系
【变式1】．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接．补全图形并证明：．
【答案】
作图如下：
证明：由作图知：．
在和中，
，
．
【知识点】作线段(尺规作图)、用SSS证明三角形全等（SSS）
【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．先根据题意补全图形，再根据证明三角形全等．
【详解】略
【变式2】．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
证明：在中，
，
∴；
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SSS证明三角形全等（SSS）
【分析】本题考查了判定两个三角形全等，三角形外角的定义：
（1）根据三个边长对应相等可得到两个三角形全等；
（2）根据两个三角形全等得到对应角相等，再根据三角形外角的定义可求得结果；
找到角度之间的关系是解题的关键．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为．
【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）中国现役的第五代隐形战斗机歼—20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角，必须相等.
(1)制造中，工作人员只需用刻度尺测量，就能满足要求，说明理由；
(2)求证：；
(3)把两个机翼摆成一个六角星，如图，其中，求的度数.
【答案】(1)理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SSS综合（SSS）
【分析】（1）连接，证明即可证明；
（2）如图所示，过点C作射线，然后利用三角形外角的性质证明即可；
（3）利用三角形外角的性质证明，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点C作射线，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．
题型四、 直角三角形 HL 判定型
【典例8】．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．若，，，则：
（1）________；
（2）________．
【答案】
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先证明，于是得到，则，再证明，然后根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵，，
，
∵，，
，
，
∴，
同理可证明：，
∴，
故答案为：，．
题型模版
两三角形只要出现直角符号“⊥”或“Rt△”，优先尝试 HL。它只需两个条件，往往比 SAS、SSS 更快得出结论。
【变式1】．（24-25八年级上·安徽六安·期末）在中，，点分别在边上，
(1)如图（1），若，求证：．
(2)如图（2），若，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
【答案】(1)
证明：，
均为直角三角形，
又
．
(2)
相等，理由如下：
如图所示，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于．
，
，
，
，
，
．
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查了直角三角形的全等判定和性质，三角形全等的判定和性质．
(1)根据直角三角形的全等判定证明即可．
(2)过点作交的延长线于，过点作交的延长线于．仿照(1)证明直角三角形全等即可．
【详解】（1）略
（2）略
【变式2】．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，平分，点是上一点，且．
(1)求证：．
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)
证明：过点D作，
平分
故，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中
，
，
∴，
∵，
；
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，外角的性质等知识点，解题的关键是证明三角形全等；
（1）证明，得出，再证明，从而得出，根据即可求解；
（2）由得出，，再由，得出，根据即可求解；
【详解】（1）略
（2）由（1）得，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
【变式3】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，于点，于点，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)
证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)12
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，
（1）由题所给条件可得，即得；
（2）证明，结合（1）可得，则．
【详解】（1）略
（2）解：在和中，
，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型五、条件探索（补充条件判全等）
【典例9】．（2024八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，添加一个条件________，可以得到．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等；
【详解】解：添加AB=DC，
∵ AC=BD，BC=BC，AB=DC，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴ 加一个适当的条件是AB=DC，
故答案为：AB=DC．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知图形以及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
【典例10】．（26-27八年级上·安徽·阶段检测）如图 ，在 和 中，，．
(1)请你再添加一个条件，使，并写出判定依据；
(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
【答案】(1)（依据）（答案不唯一，符合题意即可）
(2)添加 ：
在 和 中，，，，
所以 ．
添加 ：
在 和 中，，，，
所以 ．
添加 ：
在 和 中，，，，
所以 ．
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【详解】（1）可添加 依据 ；也可添加 或 ，任写一种即可．
（2）略
【典例11】．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，，点，分别在，上，与交于点．
(1)请补充一个条件，使．
(2)在（1）的条件下，吗？为什么？
【答案】(1)补充条件：（答案不唯一，正确即可）
(2)，理由如下：
∵，
，
，，
，
在和中，
，
∴，
．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】（1）根据“”添加条件即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差推出，最后根据“”证得，即可得到结论．
【详解】（1）解：补充条件：（答案不唯一，正确即可）
在△和△中，
，
．
（2）略
题型模版
公共边、公共角、对顶角、垂直（产生 90°）、中点（产生等线段）、角平分线（产生等角），都是题图中“没写出来但客观存在”的条件，务必主动标注。
【变式1】．（2026·安徽合肥·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得．
(1)你选择的补充条件是__________（填序号）；
(2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程．
【答案】(1)①（或②）
(2)选①，证明如下：
在和中，
，
∴．
选②，证明如下：
在和中，
，
∴．
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据三角形全等的判定定理进行求解即可；
（2）若选择①，则根据“”判定三角形全等；若选择②，则根据“”判定三角形全等．
【详解】（1）略
（2）略
【变式2】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与相交于点O，，，_____________，请从①；②；③；中选取一个作为条件，填在横线上（只填序号），再解决下列问题：
(1)求证：；（选取一种情况）
(2)在（1）的条件下，若，，求的度数．
【答案】(1)
①或②；
选①证明：，
，
即，
，，
；
选②证明：，
，即，
，
，
，
；
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：
（1）选择①或②，利用或证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）由（1）得，
，，
．
【变式3】．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，点分别在线段上，，不添加新的线段和字母，从下列条件①，②，③，④中选择一个使得．
(1)你选择的一个条件是_____________（填写序号）
(2)根据你的选择，请写出证明过程．
【答案】(1)①或③或④
(2)
选择①：
在和中
，
∴；
选择③
在和中
，
∴；
选择④
在和中
，
∴．
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法选择一个条件即可；
（2）根据所选条件，利用相应的判定方法证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：∵，，可以利用三种方法证明；
故可以选择的条件可以是：①或③或④
（2）略
【点睛】本题考查了添加一个条件证明三角形 ，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
题型六、全等三角形综合模型
【典例12】．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在和中，与交于点，与交于点，与交于点，已知，，．
证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
证明：，
，即.
在和中
，
；
(2)
证明：，
，.
在和中，
，，，
，
，
，即.
又，
，
．
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）先得到，再由证明即可；
（2）先证明，再证明，利用全等三角形的性质即可求证．
【详解】（1）略
（2）略
【典例13】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）【问题初探】
如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；
【变式探究】
如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，求的面积．
【答案】
（1）证明：在中，
．
又
在和中，
，
∴
（2），
证明：
在和中，
∴，
∴，
；
（3）
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等；
（2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明；
（3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1） 略
（2） 略
（3）解：如图，过点作于点，作，交的延长线于点，
．
与（1）同理可得
∵
∴．
【变式1】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知在四边形中，，．
(1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：；
(2)已知．
（ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：；
（ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
证明：，
，
，，
，
，．
，
，
，
.
又，
；
(2)
（ⅰ）证明：如图，延长至，使，连接．
，，
.
，，
，
，，
，
，
，
.
又，
，
；
（ⅱ）解：（ⅰ）中的结论不成立，，
理由：如图，延长至，使，连接．
，，
，
，，
，
，，
，
，
.
，
，
，
，
．
，
，
．
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
（1）先证明，得到，，进而推出，即可证明；
（2）（ⅰ）延长至，使，连接．类比（1）同理先证明，得到，，进而推出，再证明，最后结合全等三角形性质求解，即可解题；
（ⅱ）延长至，使，连接，类比（ⅰ）的证明过程，先证明，再证明，并结合全等三角形性质进行分析，即可解题．
【详解】（1）略
（2）略
【变式2】．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、分别是正半轴和正半轴上的点，是第三象限内的点，已知，，点坐标为．
(1)如图1，过点作轴于点，证明：．
(2)如图2，若与轴交于点，证明：；
(3)交轴于点，连接，如图3，证明：．
【答案】(1)
证明：由题意可知，
，
，
又，
在和中，
，
，
；
(2)
证明：如图2，过点分别作轴于点，轴于点，
，
则，
，，
由（1）可知，
，
，
，即点是BC的中点，
；
(3)
证明：如图3，在上截取，使得，
，
在和中，
，
，
，，
，则，
由（2）可知，
，
，
．
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题
【分析】本题考查全等三角形性质和判定，平行线判定及性质等．
（1）证明，继而利用全等三角形性质可得结论；
（2）过点分别作轴于点，轴于点，利用平行线性质及判定得到，，继而判定，再利用全等三角形性质即可得到本题答案；
（3）在上截取，使得，证明，继而得到，即可得到本题答案．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
【变式3】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）在中，．
(1)如图1，点在的延长线上，连接，过点作，交于点，交于点．
（i）填空：___________．（填“”“”或“”）
（ii）求证：．
(2)如图2，点在线段上，连接，过点作，点在点左侧，且，连接，交于点，求与之间的数量关系．
(3)如图3，点在的延长线上，连接，且，连接，的延长线交于点．若，直接写出的值．
【答案】(1)（i）；
（ii）证明：，
，
，
，
；
(2)
(3)
【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）（i）根据对顶角相等，三角形内角和定理进行分析求解，即可解题；
（ii）证明，再结合全等三角形性质即可推出；
（2）过点作于点．证明，推出，进而证明，推出，再进行等量代换，即可得到与之间的数量关系；
（3）过点作交的延长线于点．由（2）同理可证，设，则，进而即可求得的值．
【详解】（1）解：（i），，，
，
，
故答案为：．
（ii）略
（2）解：如图，过点作于点．
，
，
．
，
，
，
.
，
，
，
．
（3）解：过点作交的延长线于点．
，
．
，
，
，
.
，
，
，
．
，设，则，
．
题型七、全等三角形基础综合压轴
【典例14】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，．
求证：．
【答案】
证明：如图，连接、．
在和中
在和中
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，连接、，证明得出，进而证明，即可得证．
【详解】略
【典例15】．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）已知：如图，与，，，是的中线，是的中线，且．求证：．
【答案】
证明：∵是的中线，是的中线，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明得，再利用即可证明结论．
【详解】略
【典例16】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点．
(1)若，求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
证明：是的中点，
在和中，
．
(2)
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据中点的性质可得，根据证明，即可得出；
（2）根据平行线的性质可得，进而根据证明，得出，根据，即可求解．
【详解】（1）略
（2），
是的中点，
在和中，
．
【变式1】．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，中，点D是的中点，过点D的直线交于点N，交的平行线于点M，，交于点P，连接，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明：∵点D是的中点，
．
，
．
又，
．
．
(2)证明：，
．
，
∴．
又，
．
．
在中，，
，，
．
【知识点】两直线平行内错角相等、三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）证明，得到，根据三角形的三边关系结合等量代换，即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
【变式2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，为上的一点
求证：
(1)平分；
(2)
【答案】(1)
证明：在和中，
，
，
，
平分；
(2)
在和中，
，
，
．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义．
（1）利用证明，则，即可得出结论；
（2）利用证明，则．
【详解】（1）略
（2）略
【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）阅读下题及其证明过程：
已知：如图，是中BC的中点，，试说明：．
证明：是中BC的中点
在和中，
（第一步）
（第二步）
在和中
（第三步）
问：
(1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？
(2)写出你认为正确的推理过程．
【答案】(1)不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误
(2)
证明：是中的中点，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）可以用证明；
（2）根据证明，再证明可得结论．
【详解】（1）解：不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误；
（2）证明：略．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、填空题
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点的坐标，点的坐标，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握利用判定三角形全等并结合坐标特征求点的坐标是解题的关键．
通过作辅助线，构造全等三角形；利用同角的余角相等，证明；再根据全等三角形的对应边相等，求出点的横纵坐标，从而确定其坐标．
【详解】解：过点作垂直于，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
2．如图，在与中，在边上，，，，若，则_______，_______．
【答案】
【分析】证明，得出，，进而可得，根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图，
在与中，
，
，
，，
，
，
，，
．
故答案为：，．
3．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次
行动者
添加条件
1
甲
2
乙
3
甲
…
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
【答案】②③④
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误；
②若第3轮甲添加，
如图，当，时，以B为圆心，为半径画弧，与射线相交于点C，
，
此时交点C是唯一的，
故甲添加时，与全等，
故甲获胜，故本说法正确；
③若第2轮乙添加条件修改为，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确；
④若第2轮乙添加条件修改为，
第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等，
第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜，
此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确．
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
4．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…，
（1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是_____________；
（2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是_____________．
【答案】 10
【分析】本题考查了全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
（1）根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果；
（2）根据（1）中规律得出当有个点时，图中有对全等三角形即可确定答案．
【详解】解：（1）∵D为的角平分线上一点，
∴，
又∵，，
∴，
∴图1中有1对三角形全等；
同理可证，图2中，，，
∴图2中有3对三角形全等；
以此类推，图3中有6对三角形全等；
∵，，，…，
∴由规律可得第4个图中有对全等三角形．
故答案为：；
（2）由（1）知当有个点时，图中有对全等三角形，
故答案为：．
二、解答题
5．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在和中，，，点B，E，C，F在同一条直线上，且．求证：．
【答案】见详解
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）
【分析】根据，可得，根据证明即可解答；
【详解】证明：，
，
即，
，
在和中
，
，
∴．
6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)
证明；∵
∵
∴
又∵
∴
∵
∴，
在与中，
∴
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，全等三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由，可求，利用三角形内角和定理可求，因为是的平分线，则可求，再求出后两角相减即可求解题目；
（2）由已知可证，因为，则，又因为，则可证．
【详解】（1）解；∵，，
∴，
，
又∵平分，
，
，
，
，
∴
；
（2）略．
7．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，已知，点C和点F在线段上，与交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 度．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由易证，再通过，即可得证；
（2）由，易得，可得，即可求出的度数．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)
证明：∵，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
∴．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据定理证得，得到，即可证得结论；
（2）证明得到，证明，即可得到．
【详解】（1）略
（2） 略
9．如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件：
①点为中点；②于；③；④．
(1)添加2个条件：__________（填序号），使得；
(2)说明（1）中结论成立的理由．
【答案】(1)①③或③④
(2)解：添加2个条件：①③，使得，
理由如下：
∵，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∴；
添加2个条件：③④，使得，
理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴．
【分析】（1）②与对顶角相等重复，不可选取，全等至少有一组边相等，故①和④必须选一个，据此求解即可；
（2）添加①③利用证明；添加③④利用证明．
【详解】（1）略
（2）略
10．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知，是的边上的高，平分，且交于点E．
(1)如图1，若．求证：．
(2)如图2，点F是的中点，过A作交的延长线于点G．求证．
【答案】(1)
证明：∵平分，
，
∵
∴，
又∵是的边上的高，
∴，
∴在和中：
∴
(2)
证明：∵，F是的中点，
∴，，
∴在和中：
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识．
（1）根据角平分线的定义进一步得出，证明，再利用即可证明；
（2）由平行线的性质得出，根据点F是的中点，则，证明，由全等三角形的性质得出，结合（1）可知，最后根据线段的和差进而求出结论．
【详解】（1）略
（2）略
11．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)
证明：，
．
，
．
在和中，
，
．
．
【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．
（1）结合即可证出，由此即可得出，，即可求解；
（2）通过角的计算得出，证出，由此即可得出．
【详解】（1）解：在和中，
，
，
，，
，
，，
，
；
（2）略
12．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测），点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点．
(1)求证：是的中点．
(2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由．
【答案】(1)
证明：，
即
在和中，
在和中，
，即是的中点；
(2)
解：成立，理由如下：
，
，即
，
在和中，
在和中，
，即是的中点．
【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据垂线的性质得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论；
（2）根据，结合，得到，同（1）可证是的中点．
【详解】（1）略
（2）略
13．（25-26八年级上·安徽池州·期末）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使，最后量出的距离就是的长．
方案2：如图（2），过点B作的垂线，在上取C、D两点，使，接着过D作的垂线，交的延长线于E，则测出的长即为间的距离．
问：
(1)方案1是否可行？并说明理由；
(2)方案2是否可行？并说明理由；
(3)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将‘’换成了_________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上，并说明理由．
【答案】(1)
解：方案1可行．
理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
即量出的距离就是的长；
(2)
解：方案2可行．
理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即量出的距离就是的长．
(3)
解：，小明的说法正确．
理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即量出的距离就是的长．
【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据证明即可得出；
（2）根据证明即可得出；
（3）根据平行线的性质可得，然后根据证明即可得出．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
14．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）按要求完成各题：
(1)如图1，是的一个外角，写出，，的数量关系_____．
(2)如图2，是与的公共边，，．
①与相等的角是_____．
②求证：．
(3)如图3，在中，，，分别平分，，D为延长线上的一点，且，连接，猜想线段与的关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①
②证明：，
．
，
．
(3)，．
证明：平分，
．
在和中，，
，
，．
，分别平分，，且，
，
，
，即．
【分析】（1）根据三角形外角的性质即可求解；
（2）①根据三角形内角和及等量代换即可求解；②根据各角之间的关系直接求解即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质得出，，．再由角平分线及各角之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：∵是的一个外角，
∴；
（2）解：①，
．
∵，
，
∴；
②略
（3）略
15．【问题提出】
我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，而对于“”，课本第38页提供了如下材料：
思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？
这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．
【初步思考】
我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
(1)第一种情况：当是直角时，．
如图2，在和中，，，，根据_________，可以知道．
(2)第二种情况：当是钝角时，．
如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程；
(3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．
①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立？_________（填“是”或“否”）
②经过以上探究，什么情况下，“SSA”（有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等）成立呢？要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论．
【答案】(1)
(2)证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，
∵，且都是钝角，
∴，即，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
，，
∴；
(3)①否；②当或时，成立
【分析】（1）直接利用“”定理得出；
（2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，得出，则，进而得出，再求出；
（3）①利用已知图形再作一个钝角三角形即可得出答案；
②利用①中方法可得出当或．
【详解】（1）解：，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
（2）略
（3）解：①不成立，理由如下：
在和中，，，且都是锐角，如图，和不全等；
；
②由①图可知，，
∴，
∴当时，上述图中的与线段交在点，此时不能组成三角形，
所以需要满足题干的条件，则和必须重合，
当时，上述图中的与线段无交点，此时画出的三角形与这个条件矛盾，
所以需要满足题干的条件，则和必须重合，
所以当时，；
当时，
即，
在和中，
，
∴，
所以，当或时，就可以使．
16．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：．
【答案】(1)
证明：∵，
∴， ，
∴．
在和中，
；
∴；
(2)
(3)
证明：延长到，使得，连接，如图所示．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据，推出，证明即可解答．
（2）先证明，得到，再求出，，即可解答．
（3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）略
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专题10 全等三角形判定 压轴专题
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等的性质和SAS综合
题型二、全等的性质和ASA（AAS）
题型三、全等的性质和SSS综合
题型四、全等的性质和HL综合
题型五、条件探索（补充条件判全等）
题型六、全等三角形综合问题
题型七、全等三角形基础综合压轴
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
（一）第一步：锁定目标，明确需证的全等对
先读清要证的结论（证边相等、证角相等，还是证线段和差），据此反推：要得出该结论，需要哪两个三角形全等、由哪组对应元素入手。目标三角形选错，后面全盘皆输。
（二）第二步：挖掘隐含条件，补齐已知元素
把题干给出与图形中蕴含的条件全部列出（公共边、公共角、对顶角、平行线导角、角平分线、中点、垂直等），判断还缺哪一组元素。隐含条件是压轴题设置的核心障碍。
（三）第三步：依据已知元素选判定方法
按"一（二）"的选择表锁定判定方法。原则是：能用已有元素直接匹配的优先，缺哪组元素就优先构造哪组（作辅助线）。
（四）第四步：规范书写"因—果"证明链
按判定条件逐条书写"因为…所以…"，把满足的每组对应元素依次写出，最后下全等结论。书写顺序必须与判定条件一致（如SAS先写两边、再写夹角），保证阅卷采分点完整。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、全等的性质和SAS综合
【典例1】．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，为的角平分线，E为上一点，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
【典例2】．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，．
(1)求证：．
(2)求证：．
【典例3】．如图，两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中，B，C，E在同一条直线上，连结．
(1)求证：．
(2)指出线段和线段的关系，并说明理由．
题型模版
两边及其夹角对应相等，夹角必须是两边的夹角
【变式1】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在和中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点．
(1)求证：
(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
【变式2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，是延长线上一点，且，过点作，使，连接并延长，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
题型二、全等的性质和ASA（AAS）
【典例4】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，，，，，，则______．
【典例5】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，和按如图位置摆放，，，，在同一直线上，已知，，，．若，，，则的长为______．
【典例6】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，点，在线段上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
题型模版
两角及其夹边对应相等，夹边位于两角之间
【变式1】．（2024八年级上·安徽亳州·期末）如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为__________m．
【变式2】．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）线段，射线在的内部，点D，E都在射线上．
(1)如图1，，，，求证：；
(2)如图2，，试问与全等吗？说明理由．
【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
题型三、全等的性质和SSS综合
【典例7】．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，A，B，C，D四点在一条直线上，，，．求证：．
题型模版
三边对应相等，三条边都需找到等量关系
【变式1】．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接．补全图形并证明：．
【变式2】．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，，与相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）中国现役的第五代隐形战斗机歼—20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角，必须相等.
(1)制造中，工作人员只需用刻度尺测量，就能满足要求，说明理由；
(2)求证：；
(3)把两个机翼摆成一个六角星，如图，其中，求的度数.
题型四、 直角三角形 HL 判定型
【典例8】．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．若，，，则：
（1）________；
（2）________．
题型模版
两三角形只要出现直角符号“⊥”或“Rt△”，优先尝试 HL。它只需两个条件，往往比 SAS、SSS 更快得出结论。
【变式1】．（24-25八年级上·安徽六安·期末）在中，，点分别在边上，
(1)如图（1），若，求证：．
(2)如图（2），若，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
【变式2】．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，平分，点是上一点，且．
(1)求证：．
(2)连接，若，求的度数．
【变式3】．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，于点，于点，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
题型五、条件探索（补充条件判全等）
【典例9】．（2024八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，添加一个条件________，可以得到．
【典例10】．（26-27八年级上·安徽·阶段检测）如图 ，在 和 中，，．
(1)请你再添加一个条件，使，并写出判定依据；
(2)根据你添加的条件，写出证明过程．
【典例11】．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，，点，分别在，上，与交于点．
(1)请补充一个条件，使．
(2)在（1）的条件下，吗？为什么？
题型模版
公共边、公共角、对顶角、垂直（产生 90°）、中点（产生等线段）、角平分线（产生等角），都是题图中“没写出来但客观存在”的条件，务必主动标注。
【变式1】．（2026·安徽合肥·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得．
(1)你选择的补充条件是__________（填序号）；
(2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程．
【变式2】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，与相交于点O，，，_____________，请从①；②；③；中选取一个作为条件，填在横线上（只填序号），再解决下列问题：
(1)求证：；（选取一种情况）
(2)在（1）的条件下，若，，求的度数．
【变式3】．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，点分别在线段上，，不添加新的线段和字母，从下列条件①，②，③，④中选择一个使得．
(1)你选择的一个条件是_____________（填写序号）
(2)根据你的选择，请写出证明过程．
题型六、全等三角形综合模型
【典例12】．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在和中，与交于点，与交于点，与交于点，已知，，．
证明：
(1)；
(2)．
【典例13】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）【问题初探】
如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：；
【变式探究】
如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，，求的面积．
【变式1】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知在四边形中，，．
(1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：；
(2)已知．
（ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：；
（ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由．
【变式2】．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、分别是正半轴和正半轴上的点，是第三象限内的点，已知，，点坐标为．
(1)如图1，过点作轴于点，证明：．
(2)如图2，若与轴交于点，证明：；
(3)交轴于点，连接，如图3，证明：．
【变式3】．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）在中，．
(1)如图1，点在的延长线上，连接，过点作，交于点，交于点．
（i）填空：___________．（填“”“”或“”）
（ii）求证：．
(2)如图2，点在线段上，连接，过点作，点在点左侧，且，连接，交于点，求与之间的数量关系．
(3)如图3，点在的延长线上，连接，且，连接，的延长线交于点．若，直接写出的值．
题型七、全等三角形基础综合压轴
【典例14】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，．
求证：．
【典例15】．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）已知：如图，与，，，是的中线，是的中线，且．求证：．
【典例16】．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点．
(1)若，求证：．
(2)若，求的长．
【变式1】．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，中，点D是的中点，过点D的直线交于点N，交的平行线于点M，，交于点P，连接，．求证：
(1)；
(2)．
【变式2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，为上的一点
求证：
(1)平分；
(2)
【变式3】．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）阅读下题及其证明过程：
已知：如图，是中BC的中点，，试说明：．
证明：是中BC的中点
在和中，
（第一步）
（第二步）
在和中
（第三步）
问：
(1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？
(2)写出你认为正确的推理过程．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、填空题
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点的坐标，点的坐标，则点的坐标是______．
2．如图，在与中，在边上，，，，若，则_______，_______．
3．数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次
行动者
添加条件
1
甲
2
乙
3
甲
…
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
4．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知，点D为的角平分线上一点，连接，；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接，，，；如图3，已知，D，E，F为的角平分线上三点，连接，，，，，；…，
（1）根据规律，第4个图形中有全等三角形的对数是_____________；
（2）根据规律，第n个图形中有全等三角形的对数是_____________．
二、解答题
5．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在和中，，，点B，E，C，F在同一条直线上，且．求证：．
6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，，是的平分线，交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)若，求证：．
7．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，已知，点C和点F在线段上，与交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 度．
8．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
9．如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件：
①点为中点；②于；③；④．
(1)添加2个条件：__________（填序号），使得；
(2)说明（1）中结论成立的理由．
10．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知，是的边上的高，平分，且交于点E．
(1)如图1，若．求证：．
(2)如图2，点F是的中点，过A作交的延长线于点G．求证．
11．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)求的度数；
(2)求证：．
12．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测），点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点．
(1)求证：是的中点．
(2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由．
13．（25-26八年级上·安徽池州·期末）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使，最后量出的距离就是的长．
方案2：如图（2），过点B作的垂线，在上取C、D两点，使，接着过D作的垂线，交的延长线于E，则测出的长即为间的距离．
问：
(1)方案1是否可行？并说明理由；
(2)方案2是否可行？并说明理由；
(3)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将‘’换成了_________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上，并说明理由．
14．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）按要求完成各题：
(1)如图1，是的一个外角，写出，，的数量关系_____．
(2)如图2，是与的公共边，，．
①与相等的角是_____．
②求证：．
(3)如图3，在中，，，分别平分，，D为延长线上的一点，且，连接，猜想线段与的关系，并证明．
15．【问题提出】
我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，而对于“”，课本第38页提供了如下材料：
思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？
这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．
【初步思考】
我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
(1)第一种情况：当是直角时，．
如图2，在和中，，，，根据_________，可以知道．
(2)第二种情况：当是钝角时，．
如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程；
(3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．
①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立？_________（填“是”或“否”）
②经过以上探究，什么情况下，“SSA”（有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等）成立呢？要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论．
16．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在和中，，且点在边上，连接，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：.
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