第十三章 全等三角形（单元自测）数学新教材冀教版八年级上册

第十三章 全等三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，嘉嘉用四根相同的小棒搭了一个正方形，添加一根小棒后，可以把正方形分成两个全等的图形，并且两个图形都具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 4．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（ ） A． B． C． D． 5．下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A．三条边分别相等 B．两边和它们的夹角分别相等 C．两角和其中一角的对边分别相等 D．三个角分别相等 6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 7．下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．通过构造得到．构造的依据是（ ） A． B． C． D． 8．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 9．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 10．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（ ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 11．如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（ ） A． B． C． D． 12．题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 14．如图，于，，则的判定依据是________． 15．在中，，边上的中线，则边的取值范围是________． 16．如图，已知，要使，还需添加的一个条件是________．（写出一个即可） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18．（8分）如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19．（8分）证明：在直角三角形中，如果有一个角为，那么这个角对边的长度是斜边的一半． （1）根据图形写出已知、求证． 如图，已知：________ 求证：________ （2）证明： 20．（8分）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 21．（9分）解决下列问题． （1）如图①，为线段上一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． （2）如图②，为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧，此时与相等吗？请说明理由． （3）如图③，为线段外一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． 22．（9分）已知，在中，，，一直线过顶点，过、分别作这条直线的垂线，垂足分别为、． （1）如图，求证：； （2）如图，请直接写出、、三者之间的关系________． 23．（11分）【问题情境】课外数学社团开展活动时，提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，求中线的取值范围． 【方法探究】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下方法：延长到E，使，连接，如图1，请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是________．（填判定依据） （2）由“三角形的三边关系”，可以得到中线的取值范围为________． （3）【拓展迁移】如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，求的长度． 24．（12分）如图，中，，，点是上一动点，连接，过点作，并且始终保持，连接． （1）求证：； （2）若平分交于，探究线段，，之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若，，直接写出的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 全等三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．根据全等图形的定义：两个图形放在一起能够完全重合，是全等图形，符合题意； B根据全等图形的定义：两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D．根据全等图形的定义：两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．故选A． 2．下列图形具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解析】选项中只有选项A是三角形，具有稳定性．故选A． 3．如图，嘉嘉用四根相同的小棒搭了一个正方形，添加一根小棒后，可以把正方形分成两个全等的图形，并且两个图形都具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，三角形具有稳定性、四边形具有不稳定性，添加的小棒把正方形分成的两个图形如果都是三角形，则分成的两个图形都具有稳定性． 【解析】A选项：添加的小棒把正方形分成了两个矩形，四边形不具有稳定性，故A选项不符合题意； B选项：添加的小棒把正方形分成了一个四边形和一个三角形，四边形不具有稳定性，故B选项不符合题意； C选项：添加的小棒把正方形分成了两个四边形，四边形不具有稳定性，故C选项不符合题意； D选项：添加的小棒把正方形分成了两个三角形，三角形具有稳定性，故D选项符合题意． 故选D． 4．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等． 【解析】在与中， ， ∴， ∴， ∴他的判定依据为． 故选C． 5．下列各组条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A．三条边分别相等 B．两边和它们的夹角分别相等 C．两角和其中一角的对边分别相等 D．三个角分别相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【解析】A、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； B、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； C、符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意； D、若三个角分别相等，则不能推出两三角形全等，故本选项符合题意．故选D． 6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解析】A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选B． 7．下图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图．通过构造得到．构造的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图步骤确定三边对应相等． 【解析】由作图步骤可知，，， 在和中 ， ∴．故选B． 8．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，则的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形知识；解题的关键是通过正方形面积求边长，设未知数表示相关线段，利用勾股定理建立方程求解；先由正方形的面积求出其边长，易证得，根据，证得，． 【解析】∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可证 ∴， 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选D． 9．给出下列四组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中，能确定和全等的条件共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】判定全等需边、角对应相等，两边及其中一边的对角不能判定一般三角形全等，据此逐一验证四组条件. 【解析】① ，，，符合判定，可确定. ② ，，，边与角不对应，不能确定全等. ③ ，，，边不对应，不能确定全等. ④ ，，，为两边及其中一边的对角，不能确定全等. 综上，能确定全等的条件共组.故选A． 10．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（ ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，即可得到一定正确的结论． 【解析】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴；故①，②都正确； ∴，故④正确； 无法证明平分，．故③⑤不正确， 故选C． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 11．如图，要测量池塘两岸相对的两棵树A，B之间的距离，可这样操作：在池塘外取的垂线上的点C、D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．这种做法可证，因此，其中全等的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可得，再由，即可利用证明，则． 【解析】∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选A． 12．题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（ ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是银题的关键． 利用全等三角形的性质得到，，，再证明得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【解析】， ，，， 在和中， ， ， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为或． ∴甲、乙答案合在一起才完整． 故选C． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可得到，则可以确定这个条件多余． 【解析】∵，，， ∴， ∴可以去掉的一个已知条件， 故答案为． 14．如图，于，，则的判定依据是________． 【答案】 【解析】∵， ∴， 在和中， ， ∴．故答案为$\mathrm{SAS}$． 15．在中，，边上的中线，则边的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 延长至，使，连接，则，证明和全等得，在中，根据三角形三边之间得，由此即可得出边的取值范围． 【解析】延长至，使，连接，如图所示： ， ， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， 在中，根据三角形三边之间得：， ，， ， ， 即， 故答案为． 16．如图，已知，要使，还需添加的一个条件是________．（写出一个即可） 【答案】（或、等） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解析】∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为（或、等）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中 ， ． （2） 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，然后根据证明出即可； （2）根据三角形全等的性质结合三角形外角的性质可得，即可求解； 【解析】（1）略 （2）解：∵， ， ∵， ∴． 18．（8分）如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ． （2）6 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质； （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可解决问题； 【解析】（1）略； （2）解：由（1）可知， ， ． 19．（8分）证明：在直角三角形中，如果有一个角为，那么这个角对边的长度是斜边的一半． （1）根据图形写出已知、求证． 如图，已知：________ 求证：________ （2）证明： 【答案】(1)，； （2） 证明：如图，延长至点，使得， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】本题考查了写出命题的已知与求证、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据题意写出已知和求证即可； （2）延长至点，使得，则，先证明，得到，，进而证得是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可证明． 【解析】（1）解：如图，已知：，， 求证：； 故答案为，；； （2）略 20．（8分）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：________；线段和的数量关系是________； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1)， （2）证明：①与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ； ②在等边三角形中，， ， ， ； （3） 【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可； （2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可； （3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可． 【解析】（1）解：，，， ， 在与中， ， ； ； （2）略 （3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示： ， 是等边三角形， 与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， 则在等边三角形中，． 21．（9分）解决下列问题． （1）如图①，为线段上一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． （2）如图②，为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧，此时与相等吗？请说明理由． （3）如图③，为线段外一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）相等．理由见解析 （2）相等．理由见解析 （3）相等．理由见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质得到对应边相等，推导夹角相等，通过证明三角形全等证线段相等； （2）根据等边三角形性质找出相等边，结合三点共线推导等角，借助证明全等； （3）由等边三角形边角特性，等式变形推导夹角相等，利用证明三角形全等． 【解析】（1）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 在和中： ∴， ∴． （2）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． ∵点为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧， ∴点，，这三点共线， ∴， 在和中： ∴， ∴． （3）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 在和中： ∴， ∴． 22．（9分）已知，在中，，，一直线过顶点，过、分别作这条直线的垂线，垂足分别为、． （1）如图，求证：； （2）如图，请直接写出、、三者之间的关系________． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到，，再利用即可证明结论； （2）先证明，可得，，再由，即可得结论． 【解析】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 23．（11分）【问题情境】课外数学社团开展活动时，提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，求中线的取值范围． 【方法探究】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下方法：延长到E，使，连接，如图1，请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是________．（填判定依据） （2）由“三角形的三边关系”，可以得到中线的取值范围为________． （3）【拓展迁移】如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，求的长度． 【答案】（1） （2） （3）2 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长、，交于点F，根据全等三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，再由线段和差求解． 【解析】（1）解：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长、，交于点F， ∵平分， ∴,， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵M是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）如图，中，，，点是上一动点，连接，过点作，并且始终保持，连接． （1）求证：； （2）若平分交于，探究线段，，之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 (2)，理由见解析 （3） 【分析】（1）利用，只要证明即可解决问题； （2）连接，只需证明，，利用勾股定理即可得到结论； （3）过点作于，根据，，由（2）可知，可以得出，又因为，，所以，根据即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（ ）   （2）结论：．理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴（ ）， ∴， ∴ （3）如图，过点作于， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $