精品解析：广东省东莞市三校联考2026-2027学年高三上学期第二次质量检测数学试题

高三年级第二次质量检测数学学科试卷 考试时间：150分钟 一、单选题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 4. 在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入如图所示的方格表中，每个小方格只填一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列四个命题为真命题的是（   ） A. 已知非零向量，，，若，，则 B. 若四边形中有，则与共线 C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 10. 关于函数f（x）=的下列四个命题正确的是（ ） A. f（x）的图像关于y轴对称 B. f（x）的图像关于原点对称 C. f（x）的图像关于直线x=对称 D. f（x）的最小值为2 11. 任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. B. 当，时， C. 当，时， D. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 三、填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 13. 在的展开式中，的系数为________． 14. 已知函数，实数，满足，．若恒成立，则实数的最大值为________． 四、解答题.（本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角A的大小： （2）设的面积为，外接圆的面积为，求. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设的两个极值点分别为，（其中），求的最小值． 17. 已知向量，，函数． （1）求的单调增区间； （2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围． 18. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； （3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 19. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值． （2）如果且，证明：． （3），求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级第二次质量检测数学学科试卷 考试时间：150分钟 一、单选题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据集合并集的定义计算即可. 【详解】解一元二次不等式，，解得，即. 又因为，由并集的定义得. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先依据对数函数单调性判断充分性成立，再举反例判断必要性不成立. 【详解】函数的底数，因此该函数是定义域上的严格增函数， 若，根据对数定义域要求得， 结合增函数性质可得，可推出，充分性成立； 若，取，满足，但无意义， 无法推出，必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 3. 某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【详解】先从5人中选1人担任组长，再从其余4人中选2人参赛，共有种选派方法． 4. 在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得. 【详解】由题意， 故, 根据平面向量基本定理可知，，则. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可知，， 且，解得或． 因为，所以，所以. 6. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，， 则，即， 所以. 7. 在1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入如图所示的方格表中，每个小方格只填一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出6个数中选4个数放入方格表的种数，再分两种情况，得到每行、每列所填数之积都是偶数的个数，从而求出概率 【详解】1，2，3，4，5，6这6个数中选4个数随机填入方格表中，共有个， 每行、每列所填数之积都是偶数， ①当4个方格有3个偶数时满足要求， 从3个奇数中选一个，和3个偶数进行全排列，共有个， ②当4个方格表有2个偶数且分布在对角线上时，满足要求， 从3个偶数中选2个，且放在某一条对角线上，有种选择， 再从3个奇数中选两个，放在剩余的对角线上，有种选择，故此时有个， 综上，共有个， 所以每行、每列所填数之积都是偶数的概率是. 8. 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立方程并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】函数，的定义域均为， 设，则点关于轴的对称点为， 依题意，方程组有解，即方程组有解， 因此方程有解， 令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 则，由有解得， 所以的最大值为. 二、多选题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列四个命题为真命题的是（   ） A. 已知非零向量，，，若，，则 B. 若四边形中有，则与共线 C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【详解】A. 已知非零向量，，，根据平行向量的传递性可知，若，，则，故A正确； B. 由向量共线定理可知，若四边形中有，则与共线，故B正确； C.因为，所以，所以，不可以作为平面向量的一组基底，故C错误； D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 10. 关于函数f（x）=的下列四个命题正确的是（ ） A. f（x）的图像关于y轴对称 B. f（x）的图像关于原点对称 C. f（x）的图像关于直线x=对称 D. f（x）的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】通过可判断A；通过可判断B；通过可判断C；通过当时，可判断D. 【详解】对于命题A，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题A错误； 对于命题B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题B正确； 对于命题C，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题C正确； 对于命题D，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：BC. 【点睛】本题主要考查了函数的对称性以及最值等基本性质，属于中档题. 11. 任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. B. 当，时， C. 当，时， D. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则，逐项进行运算求解. 【详解】选项A：， 故， 又因为， 所以，选项A正确； 选项B：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以选项B错误； 选项C：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以 所以选项C正确； 选项D：当，时， 由棣莫弗定理得，， 当时， ，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数， 所以选项D错误； 故选：AC. 三、填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理可得，， 则. 13. 在的展开式中，的系数为________． 【答案】40 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项赋值计算即得. 【详解】二项式的展开式的通项为， 取，可得的系数为. 14. 已知函数，实数，满足，．若恒成立，则实数的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】化简，根据题意可得或，讨论这两种情况即可求解. 【详解】， 由于，所以， 所以或， 当时，， 不妨设，，由， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，则， 由于，所以； 当时，，此时， 综上，，所以实数的最大值为. 四、解答题.（本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角A的大小： （2）设的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由余弦定理得, 又，∴. 【小问2详解】 ∵的面积为， 则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即， 则，. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）设的两个极值点分别为，（其中），求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 当时，，所以 ，从而且， 所以曲线在点处的切线方程为即. 【小问2详解】 ，由于， 故令可得，， 且当和时，从而的单调递增区间为和； 当时，从而的单调递减区间为， 所以为极大值点，为极小值点. 故，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 17. 已知向量，，函数． （1）求的单调增区间； （2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的性质即得函数的值域与单调增区间； （2）根据条件先求出角，由正弦定理用角的三角函数表示边，利用三角形面积公式与和角公式展开，结合角的范围确定正切值的范围即可确定面积的取值范围. 【小问1详解】 ， 由，可得， 所以单调增区间为 【小问2详解】 由可得， 因，则，故，解得， 由正弦定理，，则， 于是的面积 ， 因为锐角三角形，则，解得，则， 故，即面积的取值范围为. 18. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； （3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 【答案】（1） （2）分布列为： 0 1 2 3 （3） 【解析】 【详解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以， 所以， 解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， 其中， ， ， ， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 另解：因为，所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”， 则，， 所以 所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为. 19. 已知函数在处取得极大值． （1）求的值． （2）如果且，证明：． （3），求证：． 【答案】（1） （2）法一：不妨设，要证，只要证， 因为、，函数在单调递减， 只要证，只要证． 令，， 则 所以在单调递减，即， 所以成立，即成立． 法二：由题意知，则， 不妨设，要证，只要证，只要证， 只要证， 只要证，只要证，令， 只要证，令，，， 所以在单调递增，所以， 即，所以． （3）先证明左边：由（1）知，等号成立当且仅当， 令为，可得，等号成立当且仅当． 令，则， 从而有，，…，． 根据不等式同向可加性得，左边得证． 下面证明右边：由（2）的方法二知：，，令，可得 ． 从而，，…，． 根据不等式同向可加性得，右边得证； 法二：以证明右边为例：因为数列的前项和为， 所以要证， 只要证 只要证，只要证 只要证，令，只要，，证毕． 【解析】 【分析】（1）利用极值点的必要条件进行求解； （2）极值点偏移问题，利用函数的单调性构造对称函数即可求解； （3）根据对数恒等式，利用裂项相消与放缩。 【小问1详解】 因为为函数的最大值点， 即为函数的极大值点， 求导得，，解得． 当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减，所以． 即符合题意． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $