北京市丰台区2026-2027学年第一学期期中练习高二数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中练习 高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知，，且，则 （A） （B） （C） （D） （2）直线的倾斜角为 （A） （B） （C） （D） （3）圆心为且经过原点的圆的方程是 （A） （B） （C） （D） （4）如图，在平行六面体中，与交于点，设，，，则与向量相等的是    （A） （B） （C） （D） （5）已知直线，，若，则实数 （A） （B） （C）或 （D）或 （6）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是 （A） （B） （C） （D） （7）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则直线与 平面所成角的大小是 （A） （B） （C） （D） （8）直线被圆所截得的弦长的最小值为 （A） （B） （C） （D） （9）已知圆与圆，过动点的两条直线，分别与圆，圆相切于点，.若，则的最小值是 （A） （B） （C） （D） （10）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，记动点所构成的曲线为，给出下列四个结论： ① 的轨迹方程为； ② 在上存在点，满足； ③ 若直线，则上的点到直线距离的最大值为； ④ 若上至少有个点到直线的距离等于，则的取值范围为. 其中所有正确结论的个数为 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）圆的圆心坐标为 ；半径为 . （12）已知两条平行直线，，则与间的距离 是 ． （13）已知直线，则直线的一个方向向量为 ． （14）如图，在四面体中，已知，，，与所成角为，与所成角为，与所成角为，则与所成角的余弦值为 ． （15）如图，在边长为的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ① 三棱锥的体积为定值； ② 不存在点，使得平面； ③ 对每一个点，在棱上总存在一点， 使得平面； ④ 点到的距离的最小值为． 其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知，，． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）若向量与向量，共面，求实数的值． （17）（本小题14分） 已知△的三个顶点，，. （Ⅰ）求边所在直线的方程； （Ⅱ）求边上的中线所在直线的方程． （18）（本小题14分） 已知圆，圆. （Ⅰ）判断圆和圆的位置关系； （Ⅱ）过点作圆的切线，求切线的方程. （19）（本小题14分） 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，且，为的中点. （Ⅰ）求证：直线平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离. （20）（本小题15分） 在平面直角坐标系中，已知圆的半径为. 条件①：圆经过点与点； 条件②：圆心是直线与直线的交点； 条件③：圆经过点，且圆心在轴上. 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得圆存在且唯一确定，完成下列问题： （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）已知点，直线与圆交于，两点，若四边形为平行四边形，求的值. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的 条件分别解答，按第一个解答计分. （21）（本小题15分） 对于任意集合，定义函数对于任意两个集合，，定义.已知，. （Ⅰ）写出和的值； （Ⅱ）用表示有限集合中元素的个数，求 的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对，满足，，且 （考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效） 9 高二数学 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度第一学期期中练习 高二数学 参考答案 第I卷（选择题共40分） 题号1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 答案 B A D A 0 A B B C 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二.填空题（每小题5分，共25分） 11)（-1,3);3; (12)5; (13)(山，)（答案不唯一）； Vi (14) 149 (15) ①②④. (注：15题给出的序号中，有多个序号符合题目要求.全部选对得5分，只 选对2个得4分，只选对1个得3分，不选或有错选得0分.) 三.解答题（共85分） (16)(本小题13分) 解：(I)因为a上c,所以ac=0, 即(2，-3,1)(x,2,4)=0 所以2x-6+4=0,解得x=1 .4 分 (Ⅱ)因为2a-b=(4,-6,2)-(2,0,-1)=(2,-6,3). 第1页共9页 所以|2a-bV22+(-6)2+32=7 …8分 (Ⅲ)因为向量C与向量a,b共面， 所以设c=a+b(,u∈R) x=22+24 2=-31 所以4=元-4 2 = 3 s、 14 32 X=- 所以( 3,解得 3 ......13分 (17)(本小题14分) 解：(I)BC边过两点B(2,5),C(O,), 所ac-2=2 2-0 得y=2x+1, 所以BC边的方程是2x-y+1=0 6分 (I)设BC的中点M(a,b), 2+0=16=5+1=3 a= 则2 ，2，所以M(1,3), 第2页共9页 因为BC边的中线过点A(-3,-4), 所以AM的直线方程为7x-4y+5=0 所以BC边上的中线AM所在直线的方程为7x-4y+5=0, …14分 (18)(本小题14分) 解：(I)圆C方程可整理为：(x+)2+0y-32=9, 则圆心C(-山3)，半径r=3, 由圆C方程可知：圆心C(3,),半径5=2， 因为|CCFV-1-3》+3-1)=25,r+r=5,r-5=1 所以r-片<CCKr+片， 所以圆C和圆C1相交 .6分 (Ⅱ)当过P(2,)的直线斜率不存在，即I为x=2时，其与圆C相切： 当直线斜率存在，可设所求切线I的方程为：y-1=k(x-2), 即x-y-2k+1=0 d=3k+2=3 所以圆心C到切线的距离 Vk2+1 第3页共9页 即9k2+9=(3k+2,解得： h=5 12 切线1的方程为：x=2或5x-12y+2=0 …14分 (19)(本小题14分) 解：(I)连接BD,设AC交BD于点O,连接OE, 因为正方形ABCD,所以O为BD中点， 因为E为PD的中点， 所以OE为△PBD的中位线， 所以PB∥EO. 因为EOC平面ACE,PB￠平面ACE, 所以直线PB∥平面ACE」 5分 (Ⅱ)因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥AB, 因为PA⊥平面ABCD,又因为AB、ADC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,故可建立如图所示空间直角坐标系 A-xyZ. B 第4页共9页 40..c22.5)P0.3. 则 设n=(xy,2)为平面ACE的一个法向量， 又因为4C=(22,0. E=(013 AC.n=2x+2y=0 3 所以 4En=y+22=0 ,令y=-3,可得x=3,z=2, 所以n=(3,-3,2). 由y轴1平面PAB,故平面PAB的法向量可为m=(O,1,O), 设平面PAB与平面ACE的夹角为B,则 cos0-cos(mn)m-33/22 m-n2222 3V22 所以平面PAB与平面ACE夹角的余弦值为22.10分 ()由（Ⅱ）得n=(3,-3,2)为平面ACE的一个法向量， AB=(2,0,0), 因为 第5页共9页 h=AB-m=16-322 所以点B到平面ACE的距离 n √2211 .14分 (20)(本小题15分) 解：(I)若选择条件①，设圆心C(a,b), a2+b2=4 由题意得 (a-1)2+(b-52-4 a=2 a=-1 解得 b=0或b=V3 圆C不能唯一确定， 故条件①不符题意 若选择条件②，求两直线的交点坐标， 2x+3y-4=0 由题意得 3x-y-6=0 x=2 解得y=0,即圆心为(2,0)， 所以圆C的方程为：(c-2)2+y2=4 若选择条件③，设圆心C(a,0), 由题意得 (a-2)}+(0-22=2 解得a=2, 所以圆C的方程为：(x-2)2+y2=4 第6页共9页 分 (Ⅱ)圆C的方程为：(x-2)+y=4,圆心C(2,0), 因为四边形ACBD为平行四边形， 所以AB中点即为CD中点， 因为C(2,0),D(4,-2). 所以CD中点为（③，-）， 设4(，)，B(x,), 则有+x=6,月+2=-2 因为A,B在圆C上， (x-2)+y2=4 所以(6，-2}+22=4 得到2(：-)-201-2)=0 所以kB=1, 因为CD中点在AB上， 所以直线AB:y=x-4, y=x-4 有(x-2}+y2=4 第7页共9页 解得七=2.x2=4 所以A(2,-2),B(4,0). 所以0A=(2,-2),0B=(4,0). 所以OAOB=8 ..15分 (21)(本小题15分) 解：(I)f0=1,f①=-1 ………4 分 (Ⅱ)对于集合C,X, ①a∈C且aEX,则Card(Ca(XU{a)》=Card(CaX)-l, ②aEC且agX,则Card(Ca(XU{a)》=Card(CaX)+l 所以要使Card(X△A)+Cad(XaB)的值最小， 2,4,8一定属于集合X:1,6,10,16是否属于X不影响 Card(X△A)+Card(XaB)的值： 集合X不能含有AUB之外的元素. 所以当X为集合L,6,10,16的子集与集合{2,4,8}的并集时， 第8页共9页 Card(X△A)+Card(XaB)取到最小值4. .9分 ()因为AaB={xf()·f()=-l 所以A△B=B△A,由定义可知：fAB()=f()fB() 对任意元素X, 有faac田)=fB(f()=fA()fx)fc() fAa(Bc(x)=fA(xfBc(x)=f(x)·fa()·fc(x) 所以fd.c()=fAa(Bcg0,所以(A△B)aC=Aa(B△C) 由(P△M)A(Q△B)=AAB知：(PaQ)a(AaB)=AaB. 所以(PAQ)A(A△B)△(A△B)=(A△B)△(A△B) 所以PAQA=,所以Pa2=2,即P= 因为P,Q二(AUB), 所以满足题意的集合对P,Q)的个数为2=128.15分 第9页共9页