精品解析：北京市丰台区2025-2026学年高二上学期期中练习数学试题

丰台区2025-2026学年度第一学期期中练习 高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角. 【详解】由题意可得直线的斜率为， 设其倾斜角为，则， 又，所以， 故选：B 2. 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程为可求解. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以，所以抛物线的标准方程为 故选：D 3. 圆心为且经过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合选项逐个判断即可. 【详解】，圆心坐标为，不符合， ，圆心坐标为，代入原点坐标得不成立，不符合， ，圆心坐标为，不符合， ，圆心坐标为，代入原点坐标成立，符合， 故选：D 4. 的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率，确定高的斜率，再由点斜式求解. 【详解】， 所以边上的高所在直线斜率为1， 所以边上的高所在直线的方程为， 即， 故选：C 5. 设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【详解】由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 6. 为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】因为过总能作圆的切线， 所以直线与圆相离或相切， 所以，即，解得， 故的最大值为. 故选：A 7. 已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【详解】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆：的圆心是，半径， 而圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 9. 根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，，是椭圆：的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，为椭圆在点P处的切线，光线经过直线反射后一定经过另一个焦点.过作的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆的光学性质与椭圆定义可得为定值，即可得解. 【详解】延长、使其交于点，连接， 由光线经过直线反射后为直线，且， 则点与关于对称，则，， 故， 为中位线，则， 即点在圆上. 故选：D. 10. 已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定点的轨迹方程，由两圆的位置关系即可求解. 【详解】对于直线，化简可得：，恒过点， 对于直线，化简可得：，恒过点， 又可知两直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 方程为， 因直线恒过点，若交点为， 则点也应在另一条直线上，代入得，即，不成立， 故点的轨迹不包含点， 当时，直线与直线交于点， 所以点轨迹方程为， 则圆和圆，易知相离，两圆圆心距为， 的距离下限为，在时取得， 但因点的轨迹不包含点，故该值无法取到， 最大值为，当取最大值， 所以的取值范围是， 故选：A 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由焦点坐标求得，即可求解. 【详解】由题意可知，焦点在轴上， 所以，即， 所以， 故答案为： 12. 已知两直线：和：，若，则与间的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】因为， 所以，即：， 所以与间的距离为， 故答案为：2 13. 已知点，点在圆：上，则的最大值为_______；若与圆相切，则切线的方程为_______. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空. 【详解】易知点A在圆C外，且， 即圆心，半径，， 则，即； 则的最大值为， 若直线斜率不存在，即， 此时圆心C到直线的距离等于半径，满足题意； 若直线斜率存在，不妨设其方程为：， 则圆心C到直线的距离，解得， 此时直线方程为. 故答案为：；或 14. 已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于_______. 【答案】2 【解析】 【分析】分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 15. 已知曲线（a为常数），给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②当时，曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③设为曲线上的一个动点，则存在，使得有最大值（其中为坐标原点）； ④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，都有. 其中所有正确结论的序号为_______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对①：将代入计算即可得；对②：证明时该方程无解后求出所有整点即可得；③令可得，结合可得趋于正无穷；对④：证明曲线在第一象限的部分高于曲线与、轴正半轴交点的连线即可得. 【详解】对①：令满足， 则对点有， 故点也在曲线上， 故曲线C关于坐标原点对称，故①正确； 对②：当时，， 当时，对关于的方程， 有，故该方程无解， 又当时，，当时，或，当时，或， 故曲线C恰好经过6个整点、，与，故②正确； 对③：令，当时，，则， 当时，，由，无解，故， 则当时，可设，则有，即， 则， 对，由，则，故有两根， 则存在，使得无限接近于，又， 则可趋向于正无穷，故无最大值，故③错误； 对④：当时，令，则，令，则，即， 故曲线与、轴正半轴分别交于点、点， 两点所在直线方程为， 该直线与坐标轴围成的三角形面积为， 设曲线在第一象限的部分的方程为， 则要证，只需证在直线上方， 将代入中， ， 由，，则，，又， 则，，故， 即， 即对任意直线， 其与的交点横坐标都大于与的交点横坐标， 故曲线在第一象限的部分在直线左上方， 故，故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行的性质，设出直线后代入点计算即可得. 【小问1详解】 因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； 【小问2详解】 因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； 【小问3详解】 因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 17. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. （1）求圆C的方程； （2）求直线被圆C所截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：设圆的标准方程，结合点，在圆上，列出等式求解即可；法二，易知圆心在上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 法一：设圆C的方程为， 依题意得， 解得，，. 所以圆C的方程为. 法二： 设线段的垂直平分线为直线m， 则C既在直线m上，又在直线上. 因为的中点为即（2，2）， 直线的斜率为， 所以直线m的斜率为-1. 所以直线m的方程为， 即. 联立，解得. 所以点C坐标为. 又因为圆的半径为， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 因为圆心到直线的距离 设直线与圆C交于M，N两点， 由垂径定理得，弦长. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义计算即可得； （2）联立直线与抛物线方程，计算可得两交点横坐标关系，再利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算出三角形的底与高即可得解. 【小问1详解】 依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆E的焦点在轴上， 所以设椭圆E的标准方程为. 由椭圆的定义可得：， ， 所以，. 所以椭圆E的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，. 联立， 整理得. 依题意得，. 解得，或. 所以，k的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，. . 因为，所以， 即. 所以. 解得. 所以的值为. 20. 已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】（1） （2） 设，其中，，. 因为，，，， 所以直线的方程为， 令，则，所以， 因为直线的方程为， 又直线的方程为， 联立，解得， 所以， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 因为直线的斜率，所以， 又因为直线与直线显然不重合，所以. 【解析】 【分析】（1）由离心率定义结合椭圆性质计算即可得； （2）求出各顶点坐标，设出点，表示出直线、、方程后，联立直线与直线求出点坐标，联立直线与直线求出点坐标，则可表示直线的斜率，再结合点坐标在椭圆上，化简后结合直线的斜率即可得证. 【小问1详解】 依题意得，，且，解得， 所以椭圆E的方程为； 【小问2详解】 略 21. 已知行列的数表的分量都是非零整数.若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，中有个，1个1； ②存在.使得都是正整数. （1）分别判断数表，是否为规范表（直接写出结论）； （2）若，是否存在规范表满足?若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （3）若，是否存在规范表满足?若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）B是规范表，C不是规范表 （2） 不存在.用反证法假设存在规范表满足， 令，则； 另一方面，根据性质①：， 所以对任意，； 又由条件②，存在，使，矛盾，所以假设不成立，即不存在符合题意的规范表 （3） 存在符合题意的规范表. ①构造： 考虑满足如下条件的数表， 其中， 并且当时，相邻两行与 满足对成立， 则数表为符合题意的规范表； ②估值： 以下证明，当为偶数且时， 规范表满足. 事实上，用表示规范表第行中的个数， 其中为偶数， 令，则， 从而，，据此可知为偶数，为奇数. 设为规范表，则m为奇数. 另一方面，由条件①知相邻两行有个分量符号相反， 据此可知第行与第行至多有2个分量符号相反， 即， 所以，， 这表明.综合①②所述，m的最小值是. 因为， 所以m的最小值是2027. 【解析】 【分析】（1）直接根据规范表的定义判断即可； （2）利用反证法假设存在规范表 满足 ，分析得到矛盾的结论即可； （3）先构造再估计，再证明出，则得到最小值. 【小问1详解】 （1）数表，， 当时，，，中有个，1个1； 当时，，，中有个，1个1； 满足条件①； ，当时，，，均为正整数，满足条件②， 综上B是规范表； 数表，， 当时，，，中有个，2个1；不满足条件①， 则C不是规范表． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2025-2026学年度第一学期期中练习 高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为且经过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 6. 为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. -1 7. 已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知圆：上恰有两个点到直线：的距离等于1，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图，，是椭圆：的两个焦点，P为椭圆C上任意一点，为椭圆在点P处的切线，光线经过直线反射后一定经过另一个焦点.过作的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为______. 12. 已知两直线：和：，若，则与间的距离为______. 13. 已知点，点在圆：上，则的最大值为_______；若与圆相切，则切线的方程为_______. 14. 已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于_______. 15. 已知曲线（a为常数），给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②当时，曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③设为曲线上的一个动点，则存在，使得有最大值（其中为坐标原点）； ④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，都有. 其中所有正确结论的序号为_______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点，倾斜角为； （2）经过点和； （3）经过点，且与直线平行. 17. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线：上. （1）求圆C的方程； （2）求直线被圆C所截得的弦长. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 20. 已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 21. 已知行列的数表的分量都是非零整数.若数表满足如下两个性质，则称数表为规范表： ①对任意，中有个，1个1； ②存在.使得都是正整数. （1）分别判断数表，是否为规范表（直接写出结论）； （2）若，是否存在规范表满足?若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由； （3）若，是否存在规范表满足?若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $