北京市丰台区2026-2027学年第一学期期中练习高一数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中练习 高一数学 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）集合 (A) (B) (C) (D) （2）下列函数中，在区间上单调递增的是 (A) (B) (C) (D) （3）已知命题，则命题的否定为 (A) (B) (C) (D) （4）已知集合，，若，则实数的取值集合为 (A) (B) (C) (D) （5）下列命题为真命题的是 (A) 若，则 (B) 若，则 (C) 若，则 (D) 若，则 （6）已知集合，或，，则是的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （7）对于任意，都有，则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) （8）函数的大致图象是 (A) (B) (C) (D) （9）已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为.若恒成立，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) （10）已知命题关于的不等式的解集为，其中，命题.若命题和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）函数的定义域为 . （12）计算： . （13）已知，则的最小值为 . （14）已知函数，则 ；若在区间上的值域恰为，则实数的取值范围为 . （15）已知函数，给出下列四个结论： ①当时，的最小值为； ②若存在最小值，则实数的取值范围为； ③若的图象与轴恰有2个交点，则实数的取值范围为； ④对于任意实数，都存在，使得点在的图象上. 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 已知集合，. （Ⅰ）若，求：①；②； （Ⅱ）若，求实数的取值范围. （17）（本小题14分） 已知关于的不等式. （Ⅰ）当时，求不等式的解集； （Ⅱ）当且时，求不等式的解集. （18）（本小题14分） 已知函数为奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围. （19）（本小题15分） 已知函数. （Ⅰ）若，都有，求的值； （Ⅱ）若在区间上的最小值为，求的值； （Ⅲ）若函数在区间上单调递减，求的取值范围. （20） （本小题14分） 近年来，“博物馆热”持续升温，逛馆打卡、把“文创”带回家成为年轻人的新风尚.某博物馆的文创团队推出一款以馆藏明代凤冠为原型的金属冰箱贴，上市后迅速成为爆款，一度“一贴难求”.已知生产该产品的年固定成本（含设计打样、模具开发与宣传推广等）为万元，生产万件产品的可变成本（含原料采购、生产制作与包装等）为万元.受产能限制，该产品的年产量不超过万件，年销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万件）满足关系式：. （Ⅰ）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）； （Ⅱ）当年产量为多少万件时，该产品获得的年利润最大？并求出年利润的最大值. （21）（本小题15分） 已知集合由个不同的非零实数组成.由中的元素构成两个相应的集合：,，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为.若对于任意的，总有，则称集合具有性质. （Ⅰ）判断集合是否具有性质，并写出相应的集合和； （Ⅱ）若具有性质的集合满足，且 ，证明：； （Ⅲ）证明：. 9 高一数学 第7页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中练习 高一数学 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D C B A A B D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）； （12）； （13）； （14），；(第一空3分，第二空2分） （15）①②④.（填对1个给2分，填对2个给3分，填对3个给5分，不填或填含③均给0分） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）当时，， ………………1分 ①； ………………3分 ②因为， ………………5分 所以或. ………………7分 （Ⅱ）因为，所以， 当时，，解得； ………………8分 当时， ，此时无解， ………………10分 或，解得. ………………12分 综上，实数的取值范围是. ………………13分 （17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为，所以， 当时，，不等式恒成立； ………………1分 当时，； ………………3分 当时，. ………………5分 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. ………………6分 （Ⅱ）当时，不等式化为， ………………7分 因为，所以， ………………8分 令，解得：或， ………………9分 当即时，解得：； ………………11分 当即时，解得：. ………………13分 综上，当时，解集为； 当时，解集为. ………………14分 （18）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为为奇函数，且定义域为， ………………1分 所以，解得. ………………2分 此时，， 则，即， 所以是奇函数，满足题意. ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以在上单调递增， ………………5分 证明：任取，且，则 ………………6分 ………………7分 因为，所以，， ………………8分 所以，即， 所以在上单调递增. ………………9分 （Ⅲ）由，得， ………………10分 又为奇函数，所以， ………………11分 由（Ⅱ）知，在上单调递增， 所以， ………………12分 即，对恒成立， ………………13分 所以实数的取值范围为. ………………14分 （19）（本小题15分） 解：（Ⅰ）由题意得，的图象关于直线对称， ………………2分 又的对称轴为， ………………3分 所以. ………………4分 （Ⅱ）当时，在区间上单调递增， ………………5分 此时. ………………6分 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ………………7分 此时, 解得或（舍）. ………………8分 综上，的值为或. ………………9分 （Ⅲ）要使在区间上单调递减，则在区间上单调递减且恒非负，或在区间上单调递增且恒非正， ………………11分 ，解得：, ………………13分 或，解得：, ………………14分 所以的取值范围是. ………………15分 （20）（本小题14分） 解：（Ⅰ）由题意得，， 所以. ………………6分 （Ⅱ）当时，， 因为的对称轴为， ………………7分 所以在区间上单调递增， 所以万元； ………………8分 当时，， 而， ………………10分 当且仅当，即时，等号成立. ………………12分 所以万元， ………………11分 因为， ………………13分 所以当年产量为万件时，该产品获得的年利润最大，年利润的最大值为万元. ………………14分 （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）集合具有性质. ………………2分 相应的集合，集合. ………………4分 （Ⅱ）证明：对于，当时，，所以. ………………5分 当时，有，所以，进而. ………………6分 因为，所以可能属于A， 其中满足的有，共10个， 由可知，这10个数都属于A， 由题意得， 所以， ………………7分 因此. ………………8分 显然为中的元素，下证均为中的元素. ，，， 因此. 综上，. ………………10分 （Ⅲ）证明： 一方面，设，则由可得，即对，总有； ………………11分 如果是中的两个不同元素，则中至少有一个不成立，从而与中至少有一个不成立，从而是中元素，所以中的元素个数. ………………12分 另一方面，设，则由可得，即对，总有； ………………13分 如果是中的两个不同元素，则中至少有一个不成立，从而与中至少有一个不成立，从而是中元素，所以中的元素个数. ………………14分 综上，. ………………15分 高一数学 第 2 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $