精品解析：安徽省合肥市四校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

2026年10月高三数学联考试卷 一．单选 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使是等比数列 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题 9. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 点是曲线的一个对称中心 C. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 D. 在区间有两个极值点 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，的最大值为2 D. 若，，且，的最小值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，，则（ ） A. B. C. D. 三．填空题 12. 已知，，则______． 13. 在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________． 14. 已知函数，若过点可以作曲线的四条不同的切线，四个切点的横坐标依次为，，，，且，则______. 四．解答题 15. 在中角，，所对的边分别是a，b，c，． （1）求角； （2）若，的平分线交于点，，求的周长． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）设，数列的前n项和为，求． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）当时，关于x的方程有两个不同的实根，且，求的最小值． 18. 已知，，，，记为函数取得极值时对应的点，直线与直线的斜率分别记为和． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标（要求写出推导过程）； （3）设，记的前项和为，求证：． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若时，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月高三数学联考试卷 一．单选 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，从而得到他的虚部． 【详解】复数，则其虚部为. 故选：B. 2. 已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，所以， ， 所以 . 3. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象的特殊值排除即可 【详解】，，由图得，时，排除BD； ，，由图得，时，排除A. 故选：C． 4. 已知向量，在上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式和余弦计算公式求解. 【详解】由，且在上的投影向量为，得． 因此． 5. 若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将问题转化为当时，恒成立，再利用二次函数的性质，及不等式恒成立的充要条件得到，进而解不等式即可． 【详解】由命题为假命题， 则命题：，都有为真命题， 即当时，恒成立， 又当时，， 所以，解得，或． 所以实数的取值范围为． 6. 已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】对AB，举反例当时，数列既不成等差数列，也不成等比数列；对C，当时，可得数列的公比为1，可判断；对D，当时，，可判断. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 对于AB，当时，，，，数列既不成等差数列，也不成等比数列，故A，B错误； 对于C，当时，数列为常数列且，所以数列的公比为1，故C错误； 对于D，当时，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系和三角恒等变换求解. 【详解】令，则，，所以．又， 故． 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用换元法结合导函数分析单调性和最值，再求解. 【详解】令，原方程化为． ①当时，无解； ②当时，或，且 当时，，导数为，当，，当，， 所以从0递增至，故每个正数对应一个； 当时，，导数为，故在上递减，在上递增，最小值为， 当，，当，，所以两端函数值均趋于． 即：当时，从0递增至， 当时，从递减至再递增至， 所以当小于时，只在上有一个实根； 当等于时，在时和时各有一个实根，共两个实根； 当大于时，在时有一个实根，在时有两个实根，共三个实根， 原方程恰有4个不同实根，只需，即． 二．多选题 9. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 点是曲线的一个对称中心 C. 若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 D. 在区间有两个极值点 【答案】BCD 【解析】 【详解】A：当时，，正弦函数在此区间单调递减，故A错误． B：，，故点为对称中心，B正确． C：．图像关于轴对称，等价于，故，最小正值为，C正确． D：极值点满足，即．在给定区间内恰有、两个极值点，D正确． 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，的最大值为2 D. 若，，且，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】A：由，且两边均非负，得，A正确． B：取，则左边为，右边为2，不等式不成立，B错误． C：由， 令，得，即，故，即，当，时等号成立，C正确． D：由，得，所以． 当时等号成立，此时，，满足条件，D正确． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得为偶函数，取特值得出. 选项A：令，可判断. 选项B：令，，可推出函数为周期函数，然后求. 选项C：由周期性可判断. 选项D：先推出函数是以为周期的周期函数，由周期性可判断. 【详解】由是奇函数，得，且为偶函数．令，并取， ，得． 选项A：令，得，结合，， 由为偶函数得，A正确． 选项B：令，，得，故．由加法式， ①， 将替换为，得②， 由得，故，B正确． 选项C：由选项B知，函数是以为周期的周期函数，且， 每连续三个正整数处的函数值之和为．由， 得，C错误． 选项D：由求导，得．函数是以为周期的周期函数， 又， 所以，D正确． 三．填空题 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 13. 在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标法求解. 【详解】由 ，，，以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系：，，，因为 ，所以 ， 因为，所以点 在以 为直径的圆上（除去 ）， 因为 中点为圆心 ，半径 ，所以圆的方程：， 在凸四边形中，设 ， ，，， 由圆方程 ，得 ，即 ， 又凸四边形， 在 轴左侧（），故 . 14. 已知函数，若过点可以作曲线的四条不同的切线，四个切点的横坐标依次为，，，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点横坐标为，由导数的几何意义表示该点处切线, 再令切线经过，得到关于的方程，将该方程化为关于的二次形式，四个根分别来自两个二次方程，利用韦达定理求两组根的乘积，由四个切点横坐标的大小关系确定两组根分别为和，两乘积互为相反数. 【详解】. 设切点横坐标为, 则切线方程为. 由切线经过, 得. 即. 整理得， 即. 设，得. 由能作四条不同切线, 方程有两个不等实根, 且， 一正一负. 不妨设. 对每个, 满足，由韦达定理, 该方程两根之积为. 当时，两根之积，故一根小于, 一根大于，即为与. 当时，两根之积，两根之和为，故两根均在内， 即为与.于是， ，所以. 四．解答题 15. 在中角，，所对的边分别是a，b，c，． （1）求角； （2）若，的平分线交于点，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式，二倍角公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理知，故， 所以， 故，即， 由，得， 因为，所以，故， 则，故； 【小问2详解】 由平分，将的面积分为与面积之和， 得， 所以， 结合，得． 由余弦定理，， 设，得，故， 所以周长为． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）设，数列的前n项和为，求． 【答案】（1）当时，，得， 当时，， 故．于是， 所以数列是首项为2、公差为的等差数列. 因此，即. （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系化和为项，可得，两边同除以，结合等差数列定义和通项公式证明求解； （2）由（1）可得，分组求和得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由第（1）问，， 所以， 所以 . 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）当时，关于x的方程有两个不同的实根，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图象和正弦函数的图象和性质求解； （2）利用正弦函数的图象和性质求解. 【小问1详解】 由图象得，，所以． 又图象在附近单调递增，且，所以． 由图象中右侧第一个最高点的横坐标为，得，故． 所以． 【小问2详解】 当时，． 因函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，． 故方程有两个不同实根当且仅当． 此时两根关于直线对称，所以，且． 因此． 由，正弦函数在此区间上单调递增， 故的最小值为． 当时，、，最小值取得． 18. 已知，，，，记为函数取得极值时对应的点，直线与直线的斜率分别记为和． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标（要求写出推导过程）； （3）设，记的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3）各点横坐标严格递增，所论两直线的斜率均存在．对固定的， ， ． 所以 数列是正项递减数列，对任意，前项和的最小值为时的取值 ， 当增大时，求和项数增加，和单调不减，因此， 即．等号当且仅当． 又因为各分母均为正，． 其中时，上式仍成立．故所证不等式成立． 【解析】 【分析】（1）先求的导数，结合定义域求解导数为的点，再代入函数得到极值点坐标， （2）方法一：归纳函数的解析式，结合极值点定义求结论； 方法二：根据递推关系，通过复合函数求导法则推导的极值点和的递推关系，同时推导函数值​和​的递推关系，再结合第（1）问的坐标，通过递推数列求通项的方法得到的通项； （3）根据斜率公式，结合的坐标分别求出​和的表达式，进而得到​的表达式，然后写出​的求和式，对​进行放缩，利用数列求和或者不等式放缩的方法证明给定的不等式. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的导函数为，， 所以在上，仅在处取得极值，故． 【小问2详解】 方法一：因为​是的极值点， 对递推式两边求导得 ，  若是的极值点，则，代入上式可知：当即时，， 也就是​的极值点横坐标满足， 对应的极值纵坐标， 结合初值，这是首项为、公比为的等比数列， 因此 因为满足递推关系，， 令， 展开对比得即，因此 ，  数列是首项为、公比为的等比数列， 因此 综上，​的坐标为. 方法二：因为，，，， 所以，，，，， ，. 所以，， 令，可得，解得， 当时，， 当时，， 故为函数的极值点，所以，， 故． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）讨论的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若时，，且，求证：． 【答案】（1）当时，在上递增，在上递减． 当时，．在、递增，在递减； 当时，在上严格递增． 当时，在区间、递增，在递减． （2）． （3）此时，． 所以在上严格递增，在上严格递减． 由且，得，并且． 又，由上的严格递增性，得． 先证明对所有均有．设，． 在时，． 故在上严格递增，，即，． 再令，则． 因此在上递增，在上递减，从而， 即对所有成立． 将该不等式用于，得． 于是． 结合，有． 所证不等式成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数法求单调性. （2）由题意得，，构造函数，利用导数法求出单调性，利用单调性得到的最大值，从而得到的取值范围. （3）利用导数法求单调性，通过构造函数，得到证明. 【小问1详解】 函数的定义域为， 且． 当时，． 因此当时，当时； 故在上递增，在上递减． 当时，． 因此的区间为、，的区间为； 故在、区间递增，在区间递减． 当时，，且仅在时为零． 函数在、上均严格递增， 且在处连续，所以在上严格递增． 当时，． 因此的区间为、，的区间为； 故在前两个区间递增，在后一个区间递减． 【小问2详解】 对一切，． 令，则． 当时，，所以在上递增； 当时，，所以在上递减． 故的最大值为． 由于所求不等式为严格不等式，代入必须有； 反之，此条件下，对任意均有． 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $