第4章 6 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第二册教用Word（人教B版）

1．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　)

A．y＝x(x∈N＋)    B．y＝x (x∈N＋)

C．y＝2x(x∈N＋)    D．y＝(x∈N＋)

解析：选D.由题意可得，剩下的部分依次为，，，…，因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y＝(x∈N＋).故选D.

2．衣柜里的樟脑丸的体积会随着时间挥发而缩小．若刚放进衣柜里的新樟脑丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝ae－kt，且新樟脑丸经过50天后，体积变为a，则一个新樟脑丸体积变为a，需经过的天数为(　　)

A．75    B．100   

C．125    D．150

解析：选A.根据题意可知a＝ae-50k，

所以k＝－ln .①

把V＝a代入题中关系式得a＝ae－kt，

所以e－kt＝，－kt＝ln ，将①代入可得，t＝ln ×＝3ln ×＝75.

3．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始

含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)

A．8    B．9   

C．10    D．11

解析：选D.设至少需要过滤n次，

则0.02×(1－)n≤0.001，即()n≤，

所以n lg ≤－lg 20，

即n≥≈≈10.42，

又n∈N，所以n≥11，

所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．

4．5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C＝Wlog2，其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，则C大约增加了(附：lg 2≈0.3)(　　)

A．20%    B．40%   

C．60%    D．80%

解析：选C.当T1＝9时，C1＝Wlog2(1＋9)＝Wlog210，

当T2＝39时，C2＝Wlog2(1＋39)＝W(2＋log210)，

则C2－C1＝2W，所以C大约增加了＝2lg 2≈0.6，即C大约增加了60%.故选C.

5．(2025·日照期中)当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为(　　)

(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)

A．0.2    B．0.18   

C．0.1    D．0.14

解析：选B.依题意得，＝40%＝e-5K，化成对数式，得－5K＝ln ＝ln 2－ln 5≈－0.9，解得K≈0.18.

6．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1≥p2    B．p2>10p3

C.p3＝100p0    D．p1≤100p2

解析：选ACD.因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010 ＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p010>10p010，所以10－>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；